populatio sample II, B II? [1] I. [2] 1 [3] David J. Had [4] 2 [5] 3 2

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(1)確率と統計入門 (2015 年度). 1 はじめにここ最近，統計学に関する社会的需要が高まってきている．書店に行くと西内啓「統計学が最強の学問である」，イアン・エアーズ「その数学が戦略を決める」など，統計学関連の本を多く見かけるようになった．また，ニュース等でも統計学やビッグデータという言葉を耳にする機会が増えてきている．例えば NHK のクローズアップ現代では，2012 年 5 月 28 日「社会を変える“ビッグデータ”革命」，2013 年 7 月 3 日「数字のカラクリ・データの真実∼統計学ブームのヒミツ∼」，2014 年 9 月 17 日「公共データは宝の山∼社会を変えるか？オープンデータ∼」，2015 年 4 月 8 日「観光にビッグデータ!?∼外国人呼びこむ新戦略∼」など，統計学関連の放送があった．New York Times の 2009 年 8 月 5 日付けの記事 For Today’s Graduate, Just One Word: Statistics の中では，Google のチーフエコノミストであり経済学者でもある Hal Varian の次の言葉が引用されている．. “I keep saying that the sexy job in the next 10 years will be statisticians.” さらに日本統計学会では，2011 年から「統計検定」を開始し，統計に関する知識や理解を評価・認定するようになった．. 1903 年，SF 小説家の H.G. Wells は “Statistical thinking will one day be as necessary for eﬃcient citizenship as the ability to read and write.” と述べたそうだが，まさに統計的思考力が必要とされる時代になったといってよいであろう．では統計学とはどのような学問だろうか？以下，「統計学入門」（東京大学出版会）からの引用である．. Advanced Theory of Statistics という，統計学者なら一回は参照する専門書の著者 M. ケンドールは，統計学の生い立ちを，次のようにうまく説明している．. — 今日，「統計理論」として知られている考え方の太い流れは，この水源の岩から，というふうに遡ることはできない．むしろ，多くの分野からの小さな支流が集まって，過去 2 世紀以上もかかって合流し，一つの流れになったものである．たとえば. a) ゲームのテーブルから起った確率論， b) 常備軍や国家財政上の必要から起った国家状態の統計， c) 古代地中海貿易での，難破事故や海上掠奪に対する海上保険の計算， d ) 17 世紀のペスト禍を機とする近代死亡率表の研究， e) 天文観測で生じる観測誤差の理論， f ) 生物等で生じる諸量の相関関係の理論， g) 農学で実験を計画するための理論， h) 経済学や気象学おける時系列の理論， i ) 心理学における要因分析やランキングの理論， j ) 社会学における χ2 （カイ二乗）統計量の方法，などがあげられる．こうしてみると，人間の生活のあらゆる面とあらゆる科学がこの統計学とかかわりを有した，といってもそれほど言いすぎではない．— このことからわかるように，現象の法則性に対する人間のあくなき実際的関心が統計学を生み出した．これが「統. 1.

(2) 計学とは何か」という問題に対する手短な答えである．現象の法則性を知るために，すべてを丹念に調べ，規則性から法則を見出してもよいし，また，一部を観察して，そこから論理性のある推測で全体の法則性の発見に到ってもよい．今日の統計学とは，ある集団から得られたデータを整理・要約し，有用な情報を取り出す方法論のことである．データとは，実験や調査等で測定されたり計算されたりした結果得られる数値の集まりである．対象とする集団すべて，つまり母集団 population をくまなく調べ上げてデータを収集する場合もあるが（例えば国勢調査），通常，このような方法は膨大な時間とコストがかかり現実的ではない．そこで母集団という全体ではなく，標本 sample という，全体の中の一部の集団からデータを収集することが多い．現代の統計学では，データには不確実性が伴うと考えており，この不確実性を扱うために確率の理論が用いられている．標本が母集団を反映するように適切に選ばれていれば，確率の理論を用いて，不確実性のある標本のデータから母集団のことを正しく推測することができるようになる．つまり現代の統計学は，確率的に得られたデータの中に埋もれた有用な情報を引き出すための方法論である，ともいうことができる．この授業では統計学のの基礎的内容を学習する．具体的には以下のとおりである．. • データの視覚化，代表値と散らばりの尺度 • 確率（基本的計算），確率（条件付き確率） • 確率変数 • 確率分布（二項分布とポアソン分布），確率分布（正規分布） • 母集団と標本 • 推定（母平均の推定），（母比率の推定） • 仮説検定（母平均に関する検定），（母比率に関する検定，独立性の検定）高等学校の数学 II, B（新課程では数学 II?）までの数学の知識を前提とする．いくつかのデータを用いて具体例を示していくが，そのデータはホームページ（http://www.med.oita-u.ac.jp/IS/eshimahome.htm）からダウンロードできるので，エクセル等を用いて自分で分析しながら学習することが望ましい．. 参考文献 [1] 東京大学教養学部統計学教室編，基礎統計学 I 統計学入門. 東京大学出版会 [2] 柳川堯・荒木由布子著，バイオ統計学シリーズ 1 バイオ統計の基礎–医薬統計入門–，近代科学社 [3] David J. Hand 著，上田修功訳，統計学，丸善出版 [4] 日本統計学会編，日本統計学会公式認定統計検定 2 級対応統計学基礎，東京図書 [5] 日本統計学会編，日本統計学会公式認定統計検定 3 級対応データの分析，東京図書. 2.

(3) 2 データの要約と整理–記述統計– データとは，人やものなどの各個体から観測される数値の集まりである．通常の実験や調査では，各個体から観測する項目（変数 variable）は複数あり，それらを表やグラフ，いくつかの数値で要約して，データが得られた集団の特徴を把握することが必要となる．これは記述統計学 descriptive statistics と呼ばれ，データを分析する場合にはまず最初に行うべき重要な作業である．変数は質的変数と量的変数に分けることができる．質的変数は，性別や試験の成績（A, B, C などと表した場合）など，いくつかのカテゴリーに分類されその中から１つをとるような変数である．性別のようにカテゴリー間に順序関係がないものは名義変数，試験の成績（A, B, C などと表した場合）のように順序関係があるものは順序変数と呼ばれる．量的変数には，１日に吸うたばこの本数など，とびとびの値をとる離散変数，身長や体重などのように連続的な値をとる連続変数がある．本節では，連続変数を整理して視覚的に表現する方法，数値を用いて要約する方法を説明する．具体例として，主に表. 1 の数学と統計学の試験結果（仮想データ）を用いる．試験の得点は整数値のみをとる離散変数である．しかしとりうる値の数が 0 点から 100 点までと十分大きく，このような場合は連続変数とみなして問題ない．表 1 100 人の数学と統計の試験結果（仮想データ）. * 性別=1: 男性，0:女性. 生徒番号. 数学. 統計. 性別. 生徒番号. 数学. 統計. 性別. 生徒番号. 数学. 統計. 性別. 生徒番号. 数学. 統計. 性別. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25. 72 40 87 66 75 61 30 84 65 76 73 58 53 55 48 47 39 44 65 67 60 55 31 57 40. 76 59 94 60 66 87 40 90 83 80 84 72 86 78 49 56 68 59 71 77 54 47 64 78 37. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50. 72 66 31 43 37 56 62 57 70 64 41 37 58 52 87 29 70 58 72 83 85 52 67 52 68. 94 73 44 69 46 72 61 65 86 89 67 45 85 68 72 70 94 59 66 69 74 48 84 54 53. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75. 53 49 71 64 80 61 31 63 67 65 32 76 57 66 61 48 78 58 60 63 64 54 74 70 87. 83 61 69 94 100 55 58 64 86 76 53 93 52 83 71 48 75 67 61 71 81 50 90 88 76. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100. 59 33 67 47 58 42 57 50 49 75 59 69 80 66 60 71 48 71 47 70 84 44 68 73 82. 58 44 73 62 77 78 69 82 45 74 69 81 76 72 53 82 44 75 65 60 70 73 77 42 73. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 2.1 度数分布とヒストグラム表 1 の男性 50 人の数学のデータから，表 2 のような度数分布表を作ることができる．この表は，観測値のとりうる値を階級 class と呼ばれるいくつかのグループに分け，各階級に含まれる観測値がいくつあるか（度数 frequency）を数え上げたものである．2 列目の階級値は階級を代表する値である．各階級の中で観測値は一様に分布していると仮定して，階級の上限値と下限値の中間値を採用するのが普通である．4 列目の相対度数 relative frequency は，各階級の度数を観測値の総数で割ったものである．つまり，各階級の観測値の数が全体の中で占めている割合である．これは，データの大きさが異なる複数のデータの分布を比較するときに有用である．5，6 列目の累積度数 cumulative frequency と累積相対度数 cumulative relative frequency は，度数を１番下の階級から順に積み上げていったときの度数，相. 3.

(4) 対度数の累積和である．表2. 男性 50 人の数学試験結果の度数分布表. 階級. 0 点以上 10 点以上 20 点以上 30 点以上 40 点以上 50 点以上 60 点以上 70 点以上 80 点以上 90 点以上. 階級値. 度数. 相対度数. 累積度数. 累積相対度数. 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95. 0 0 1 6 7 12 11 8 5 0. 0.00 0.00 0.02 0.12 0.14 0.24 0.22 0.16 0.10 0.00. 0 0 1 7 14 26 37 45 50 50. 0.00 0.00 0.02 0.14 0.28 0.52 0.74 0.90 1.00 1.00. 10 点未満 20 点未満 30 点未満 40 点未満 50 点未満 60 点未満 70 点未満 80 点未満 90 点未満 100 点以下. 度数分布表から，ヒストグラム histogram と呼ばれるグラフが描かれる（図 1）．各階級に対して，階級の幅を横幅とし，柱の面積が度数と比例するように高さを決める．この例では階級幅はすべて等しいので，柱の高さが度数と比例. 8 6 4 0. 2. Frequency. 10. 12. する．. 0. 20. 40. 60. 80. 100. Test score. 図1. 男性 50 人の数学試験得点のヒストグラム. 度数分布表やヒストグラムを作成することにより，データの分布形を把握することができる．図はほぼ中央に１つ峰がある山型分布であるが，峰が左や右に寄った歪んだ分布になることもある．また，峰が２つ以上になる場合もある．そのような場合は，性質の異なるデータが混じり合っていることが多く，グループ分け（層別）することにより峰が１つの分布が現れることがある．度数分布表やヒストグラムを作成する際に，階級数や階級幅をどのようにするかが問題となることがある．階級幅を小さくすれば階級数は多くなり，逆に階級幅を大きくすれば階級数は少なくなる．しかし階級の設定に関する統一的なルールはなく，真の分布形が想像できるような階級の設定を探索的に行うのが普通である．問 2.1. 女性 50 人の数学試験について，度数分布表とヒストグラムを作成せよ．問 2.2. 統計学の試験について，全体，性別で度数分布表とヒストグラムを作成せよ．. 2.2 代表値代表値 averages とは，分布を代表する値のことである．ヒストグラムでは分布を視覚的に把握するのに有用であるが，代表値やこの次の散らばりの尺度は，客観的な数値として分布の形状を把握するのに役立つ．代表値は分布の中心的な位置を表す指標である．最もよく知られているものは平均 mean であり，その中でも算術平. 4.

(5) *1 これは，観測値 x , x , · · · , x の和を観測値の総数 n で割ったもので，均 arithmetic mean がよく用いられる． 1 2 n. x1 + x2 + · · · + xn 1∑ = xi n n i=1 n. x ¯=. で定義される．この式はデータが連続的な場合だけでなく離散的な場合でも使うことができる．また，度数分布表だけが与えられている場合でも，階級値を用いて平均の近似値を計算することができる．例えば男性 50 人の数学のデータの場合，平均は 58.34 となる．表 2 の度数分布表から計算する場合，. x ¯=. 5 × 0 + 15 × 0 + 25 × 1 + 35 × 6 + 45 × 7 + 55 × 12 + 65 × 11 + 75 × 8 + 85 × 5 + 95 × 0 = 59.00 50. となる．平均はデータの重心を表す．したがって，一般に平均は，実際に観測されていない値であったり，離散データの場合はそもそもありえない値となったりする．分布形が非対称で左右のどちらかに歪んでいる場合，平均（特に算術平均）を代表値として用いることは適当でないことがある．例えば (1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 16, 20) というデータが与えられている場合，平均は 5.4 である．観測値 10 個のうち 8 個はこの平均よりも小さく，残りの 2 個が平均より大きい．数は少ないが他と比べて極端に値が大きいデータにより，平均値が引っ張られており，分布の中心という意味ではあまり適切ではない．このような場合には，代表値として中央値 median が用いられる．中央値は，観測値を小さい順に並べたときの中央の値である．n 個の観測値を小さい順に並べたものを. x(1) , x(2) , · · · , x(n) とするとき，n が奇数，つまり n = 2m + 1 なら m + 1 番目の観測値 x(m+1) が中央値となる．n が偶数，つまり n = 2m なら m 番目と m + 1 番目の観測値の平均 (x(m) + x(m+1) )/2 が中央値となる．上の例の場合は. n = 10 だから，5 番目の観測値 x(5) = 2 と 6 番目の観測値 x(6) = 3 より 2.5 が中央値となる．男性 50 人の数学試験のデータでは中央値は 58 となる．全ての観測値を用いて計算される平均値と比べて，中央値は極端な値に影響されないという性質をもっている．平均，中央値の他によく用いられる代表値として最頻値（モード）mode がある．これは最も頻繁に表れる値を意味する．度数分布表では，度数が最大である階級の階級値が最頻値となる．例えば表 2 の度数分布表が与えられた場合は，. 50 点以上 60 点未満の階級の度数 12 が最大であるから，最頻値は 55 となる．ただし階級の設定に決まりはないから，階級のとり方によって最頻値も変わることになる．また，分布の峰が 2 つ以上あるような場合は有効な代表にはならない．峰が 1 つの単峰性で左右対称な形の分布の場合，平均，中央値，最頻値は比較的近い値を示す．右裾の長い分布の場合は，一般に平均，中央値，最頻値の順に小さくなる．問 2.3. 女性 50 人の数学試験について，平均と中央値を求めよ．また，問 2.1 で作成した度数分布表に基づき最頻値を答えよ．問 2.4. 統計学試験について，男女別に平均と中央値を求めよ．また，問 2.2 で作成した度数分布表に基づき最頻値を答えよ．. 2.3 散らばりの尺度 2 つのデータで分布の中心的な位置が同じであっても，散らばっている程度が異なるような分布の場合がある．つまり，分布の形状を表すには代表値の他に散らばり具合を表す尺度も必要となる．代表値と散らばりの尺度により，分布の大まかな形状を把握することができるようになる．散らばりの尺度のうち最も単純なものは範囲 range である．これは観測値の最大値と最小値の差をとったものである．男性 50 人の数学試験のデータの場合，最小値は 29 点，最大値は 87 点であり，したがって範囲は 58 となる．. *1. その他にも，幾何平均 xG や調和平均 xH などがある．xG =. √ n. x1 · x2 · · · · · xn ,. 5. 1 xH. =. 1 n. (. 1 x1. + ··· +. 1 xn. ).

(6) 範囲は最小値と最大値のみによって決まるので，極端な値が存在する場合はこれに大きく影響されてしまう．そのため，四分位範囲 Inter Quartile Range (IQR) が用いられることがある．中央値は観測値を小さい順に並べたときちょうど中央，つまり 50% の所にある値であった．この考え方を用いれば，小さい方から 100p%(0 ≤ p ≤ 1) の所にある値も考えることができ，100p パーセンタイルまたは分位点と呼ばれる．よく用いられる分位点に四分位点 quartile があり，これは観測値を小さい順に並べて 4 等分したときの 3 つの分割点である．第 1 四分位点 Q1 は 25% 分位点，第 2 四分位点 Q2 は 50% 分位点（中央値），第 3 四分位点 Q3 は 75% 分位点である．四分位範囲とは Q3 − Q1 のことであり，極端な値の影響をほとんど受けない散らばりの尺度である．男性 50 人の数学試験のデータの場合，Q1 = 47.25, Q3 = 69.5 であり，IQR= 22.25 となる．散らばりの尺度として他によく用いられるものとして，分散 variance と標準偏差 standard deviation がある．観測値 x1 , x2 , · · · , xn が得られたとき，各観測値と平均との差，すなわち xi − x ¯ (i = 1, 2, · · · , n) を偏差と呼ぶ．この偏差を 2 乗し，平均を求めたものが分散 S 2 である．. } 1∑ 1{ (x1 − x ¯)2 + (x2 − x ¯)2 + · · · + (xn − x ¯ )2 = (xi − x ¯)2 n n i=1 n. S2 = これを手計算する場合は，. 1∑ 1∑ 2 (xi − x ¯ )2 = x −x ¯2 n i=1 n i=1 i n. S2 =. n. として計算することもできる．*2 分散は単位が観測値の 2 乗となってしまい解釈が難しい．そこで分散の平方根をとった標準偏差 S が用いられる．すなわち. v u n √ u1 ∑ 2 S= S =t (xi − x ¯ )2 n i=1. である．男性 50 人の数学試験のデータの場合，分散は 240.7，標準偏差は 15.5 となる．度数分布表だけが与えられている場合でも，平均の時と同様に階級値を用いて分散や標準偏差を計算することができる．問 2.5. 女性 50 人の数学試験について，散らばりの尺度を計算せよ．問 2.6. 統計学試験について，男女別に散らばりの尺度を計算せよ．. 2.4 箱ひげ図データの分布を視覚的に表す方法として，ヒストグラムの他に箱ひげ図 box-and-whisker plot が用いられることがある．図 2 は 100 人の数学試験結果の基本箱ひげ図である．水平な線は，下から順に最小値，Q1 ，中央値，Q3 ，最大値を表している．通常の箱ひげ図では，四分位範囲の 1.5 倍以内で中央値から最も離れた測定値までひげ（垂直線）を引き，そこからさらに離れた観測値ははずれ値としてプロットする．また，平均値が示される場合もある．問 2.7. 数学試験について，男女別に箱ひげ図を作成せよ．問 2.8. 統計学試験について，男女別に箱ひげ図を作成せよ．. 2.5 標準化平均や標準偏差の大きく異なる変数を比較する場合や，単位の異なる変数を比較する場合，標準化（または基準化）と呼ばれる操作を施すことがある．観測値を xi (i = 1, 2, · · · , n)，平均を x ¯，標準偏差を S として，標準化とは. zi = *2. xi − x ¯ S. 1/n の代わりに 1/(n − 1) を用いることもあるが，これについては後述する．. 6.

(7) 100 80 60 40 20 0. 図 2 100 人の数学試験結果の箱ひげ図. とすることである．このように標準化された zi (i = 1, , 2, · · · , n) については平均 0，標準偏差 1 となり，z 値または z スコアと呼ばれる．標準化の特別な場合として偏差値がある．偏差値は平均 50，標準偏差 10 となるようにしたもので，50 + 10zi で計算できる．例えば 100 人の数学試験の結果の平均は 59.98，標準偏差は 14.46 であるから，生徒番号 1 の学生の偏差値は. 50 + 10 ×. 72 − 59.98 = 58.3 となる． 14.46. 2.6 散布図と相関係数これまでは単一の変数を整理・要約する方法について議論してきたが，一般のデータはもっと多くの変数がある多次元データである．複数の変数の背後にある複雑な現象を解き明かしていくには多変量解析（本講義では扱わない）といわれる方法が用いられるが，その前段階として 2 変数ずつの関係を調べることも重要である．質的変数どうしの関係を見る場合は，分割表 contingency table（クロス表 cross table ともいう）を用いる．例えば 100 人の数学の試験結果で，60 点以上を合格，60 点未満を不合格として性別による合格率に興味がある場合，表 3 のような 2 × 2 分割表を作ることができる．一方が質的変数，他方が量的変数の場合でも，量的変数を適当な階級に分ければ分割表を作成することができる．表3. 数学試験の合格数. 合格. 不合格. 計. 男性. 24. 26. 50. 女性. 30. 20. 50. 計. 54. 46. 100. 観測対象 i(= 1, · · · , n) から 1 組の量的変数のデータ (xi , yi ) が得られたとする．横軸に x，縦軸に y をとり，各観測対象を平面上にプロットすれば，x と y の関係を視覚的に把握することができる．このような図は散布図 scatter plot と呼ばれ，量的な 2 次元データの分析では必須のものである．男性 50 人の数学と統計学の試験結果のデータで散布図を作成したものが図 3 である．一般に 2 変数間の関係のことを相関関係と呼ぶ．上の散布図のように，一方の変数の値が増加したときにもう一方の変数の値も増加する傾向があるとき，2 変数間には正の相関関係があるという．逆に，一方が増加したときにもう一方が減少する傾向がある場合には負の相関関係があるという．正や負の相関関係が見られないときは相関関係がない，あるいは無相関という．直線に近い散布図の場合は強い相関関係，そうでないときは弱い相関関係という．散布図を用いれば，相関関係があるのか，あるとしたら正負のどちらか，強いのか弱いのかを視覚的におおよその所を. 7.

(8) . . . . . .

(9)

(10) . 図3. . . . 男性 50 人の数学と統計学試験結果の散布図. 捉えることはできるが，数値で表現できると便利である．これには，相関係数 correlation coeﬃcient と呼ばれるものが用いられる．観測値が (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), · · · , (xn , yn ) と与えられたとする．まず，x と y の共分散 covariance と呼ばれるものが次のように与えられる．. 1∑ = (xi − x ¯)(yi − y¯) n i=1 n. Sxy. これは x と y のそれぞれの偏差の積をとり，全データについての平均をとったものである．(¯ x, y¯) を中心にとった散布図を描いたとき，(xi − x ¯)(yi − y¯) は図のように長方形の面積を表す．特に，xi , yi がともに第 1 象限あるいは第 3 象限にあるとき正の面積，xi , yi がともに第 2 象限あるいは第 4 象限にあるときは負の面積を表す．したがって，(xi , yi ) が第. 1，第 3 象限に偏って分布しているときは共分散の値は大きな正の値となり，第 2，第 4 象限に偏って分布しているときは大きな負の値となる． . . . . . 図4. . . . . . . . 共分散の図形的意味. このように，共分散は正の相関のときは正の値，負の相関のときは負の値をとることになる．しかし，共分散の値は変数の単位に依存して変化してしまう．この点を修正するため，共分散を x の標準偏差 Sx と y の標準偏差 Sy で割ったものが相関係数 r である．. ∑n 1 ¯)(yi − y¯) Sxy i=1 (xi − x n √ ∑ =√ ∑ r= n n Sx Sy 1 ¯)2 n1 i=1 (yi − y¯)2 i=1 (xi − x n. 男性 50 人の数学と統計学の試験のデータでは，標準偏差は数学で 15.51，統計学で 15.02，共分散は 141.05 となり，相関係数は 0.605 となる．相関係数は，x と y を標準化して共分散を計算したものと見ることもできる．すなわち，zi = (xi − x ¯)/Sx , wi =. (yi − y¯)/Sy とおくと. 1∑ zi wi n i=1 n. rxy =. である．また，相関係数のとりうる値の範囲は −1 ≤ rxy ≤ 1 である．散布図が直線に近くなるほど，相関係数の絶対値は 1 に近づく．. 8.

(11) 相関係数に関する注意点. 1. 相関係数は 2 変数間にどの程度直線的な関係があるかを測る指標である．そのため，2 変数間の関係が直線状でないなら，関係の強さを適切には測れない．相関係数の値のみで相関の有無を判断することは適切ではなく，散布図も描いて確かめることが重要である．. 2. 相関関係と因果関係は異なる．数学と統計学の試験の例では相関関係が見られるが，どちらかがもう一方を決めるとはいえないので，因果関係があるとはいえない．. 3. 2 変数 x と y の相関関係を見たいとき，背後に第 3 の変数 z が隠れていることによってみせかけの相関関係が生じることがあり，注意を要する．問 2.9. 女性 50 人の数学試験について，散布図を作成し，相関係数を計算せよ．問 2.10. 統計学試験について，全体と男女別に散布図を作成し，相関係数を計算せよ．. 3 確率 3.1 標本空間と事象ある実験を行ったとき，起こりうる可能な結果を標本点，その全体の集合を標本空間または全事象と呼ぶ．例えばさいころを 2 回投げたときに起こりうる可能な結果は. (1, 1) (1, 2) (1, 3) · · · (6, 5) (6, 6) のように，全部で 36 通りある．これら 1 つ 1 つがこの実験の標本点であり，36 個の集合が標本空間である．今後，標本空間は記号 Ω，標本点は ω で表すこととする．上の実験の例では. Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), · · · , (6, 5), (6, 6)} である．標本空間の部分集合を事象 event と呼び，A, B, · · · などと表す．例えばさいころを 2 回投げる実験で 2 回とも同じ目が出る事象 A は，A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} である．また，標本点を 1 つも含まなず決して起こらないことも事象と見なし，空事象と呼び φ で表す．ただ 1 つの標本点からなり分解できない事象を根元事象，複数の標本点を含んで 2 つ以上の根元事象に分解可能な事象を複合事象と呼ぶ．さいころを 1 回投げた場合，1 という目が出る事象 {1} は根元事象であり，奇数の目が出る事象 {1, 3, 5} は複合事象である．事象を表す場合，次の図のように標本空間を長方形で表し，その内部に事象を円で表すベン図が用いられる． . 図 5 ベン図. 2 つの事象 A, B のうち，少なくともどちらかが起こるという事象を A と B の和事象と呼び，A ∪ B で表す．A, B が同時に起こるという事象は積事象と呼ばれ，A ∩ B で表される．また，A と B が同時に起こることがない場合，A と B は排反事象（または互いに排反）であるといわれ，A ∩ B = φ と表す．例. さいころを 1 回投げる実験で A を奇数の目が出るという事象，B を 3 以下の目が出るという事象とすると，. A ∪ B = {1, 2, 3, 5} であり，A ∩ B = {1, 3} である．C を偶数の目が出るという事象とすると，A ∩ C = φ，つまり A と C は互いに排反である．. 9.

(12) 3 つの事象 A, B, C に対して，次の分配法則が成り立つ． (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) 例. さいころを 2 回投げる実験で A を 2 回とも同じ目が出るという事象，B を 2 回とも奇数の目が出るという事象，C を 2 回の目の和が 5 以下になるという事象とする．この場合. A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} B = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)} C = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)} であり，. A ∪ B = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 4), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (6, 6)} (A ∪ B) ∩ C = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1)} である．また，. A ∩ C = {(1, 1), (2, 2)},. B ∩ C = {(1, 1), (1, 3), (3, 1)}. (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1)} となり，1 つ目の式が成り立っていることが確かめられる．（2 つ目の式が成り立っていることも確かめてみよ）事象 A が起こらないという事象を A の補事象（または余事象）と呼び，Ac で表す．これに関しては次の式が成り立つ．. φc = Ω,. Ωc = φ. A ∪ Ac = Ω,. A ∩ Ac = φ. Ω ∩ A = A,. φ∪A=A. c c. (A ) = A また，A, B の和事象，積事象の余事象については次のド・モルガンの定理が成り立つ．. (A ∪ B)c = Ac ∩ B c ,. (A ∩ B)c = Ac ∪ B c. 例. さいころを 1 回投げる実験で A を奇数の目が出るという事象，B を 3 以下の目が出るという事象とすると，. A ∪ B = {1, 2, 3, 5} だから (A ∪ B)c = {4, 6} である．また，Ac = {2, 4, 6}, B c = {4, 5, 6} より Ac ∩ B c = {4, 6} であり，1 つ目の式が成り立っていることが確かめられる．（2 つ目の式も確かめてみよ）. 3.2 確率の定義確率は次の (a), (b), (c) により定義される．. (a) すべての事象 A に対して 0 ≤ P (A) ≤ 1 (b) P (Ω) = 1 (c) 互いに排反な事象 A1 , A2 , A3 , · · · に対して P (A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ · · · ) = P (A1 ) + P (A2 ) + P (A3 ) + · · ·. 10.

(13) ラプラスによる確率の定義と頻度による確率の定義. . 初期の確率論はさいころやカードなどを使った賭けのゲームや保険といったものと関連して発生し，ラプラス（1749-1827）によって体系的にまとめられた．根元事象が全部で N 個あり，それらは同様に確からしいとする．事象 A が起こる場合の数が R であるとき，事象 A が起こる確率 P (A) を. P (A) =. R N. とするのがラプラスによる定義である．しかしこの定義の問題は，各標本点が同様に確からしく起こると仮定していることである．同様に確からしくない場合には，ラプラスの定義を用いることはできない．これよりも実際的な定義が，頻度による確率の定義である．さいころを n 回投げ，1 が出た回数 n1 を数えてその割合を記録するという実験を考える．さいころを投げる回数を限りなく多くする（n → ∞）とき，. 1 n1 → n 6. となることが予想できる．このように，実験を n 回繰り返して事象 A が nA 回出るとすると，n → ∞ のとき. nA →α n となるなら P (A) = α と定義する．しかし極限への収束は無限に実験を行うことではじめて確認される．仮に 100 兆回の実験を行っても，有限回数の実験である以上，収束したことが確認されるわけではない．このように，ラプラスによる定義も頻度による定義も理論的に完全なものではない．ロシアの数学者コルモゴロフは (a), (b), (c) の 3 つにより確率を定義することで，従来の困難を避けることに成功した．. . . 3.3 加法定理 A ∪ B は互いに排反な 3 つの事象 A ∩ B c , A ∩ B, Ac ∩ B により A ∪ B = (A ∩ B c ) ∪ (A ∩ B) ∪ (Ac ∩ B) と表すことができる．したがって，確率の定義 (c) を用いて. P (A ∪ B) = P (A ∩ B c ) + P (A ∩ B) + P (Ac ∩ B) となる．また，A は互いに排反な事象 A ∩ B c , A ∩ B により. A = (A ∩ B c ) ∪ (A ∩ B) と表されるから，再び確率の定義 (c) により. P (A) = P (A ∩ B c ) + P (A ∩ B) となる．同様に. P (B) = P (Ac ∩ B) + P (A ∩ B) が成り立つ．よって，. P (A ∪ B) = [P (A) − P (A ∩ B)] + P (A ∩ B) + [P (B) − P (A ∩ B)] = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) となり，. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) が成り立つ．これは加法定理と呼ばれる．特に A と B が排反事象，つまり A ∩ B = φ であるとき，. P (A ∪ B) = P (A) + P (B). 11.

(14) となる．加法定理を用いると，A ∩ Ac = φ, Ω = A ∪ Ac だから，確率の定義 (a), (c) により. 1 = P (Ω) = P (A) + P (Ac ) となる．また，A = Ω とすると Ac = φ だから. P (φ) = 0 もわかる．例 1. さいころを 1 回投げる実験で A を奇数の目が出るという事象，B を 3 以下の目が出るという事象とすると，A = {1, 3, 5}, B = {1, 2, 3} であり，P (A) = 3/6 = 1/2, P (B) = 3/6 = 1/2 である．A ∩ B = {1, 3} より. P (A ∩ B) = 2/6 = 1/3 であり，加法定理を用いると P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) =. 1 1 1 2 + − = 2 2 3 3. 実際，A ∪ B = {1, 2, 3, 5} だから P (A ∪ B) = 4/6 = 2/3 となって一致している．例 2. さいころを 2 回投げる実験で A を同じ目が出るという事象，B を出た目の和が 5 以下という事象とする．この場合. A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}, B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)} であり，P (A) = 6/36 = 1/6, P (B) = 10/36 = 5/18 である．A ∩ B = {(1, 1), (2, 2)} より P (A ∩ B) = 2/36 = 1/18 であり，加法定理を用いると. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) =. 6 10 2 14 7 + − = = 36 36 36 36 18. と計算できる．実際，. A ∪ B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} だから P (A ∪ B) = 14/36 = 7/18 である．問 3.1. 数学と統計学の試験結果は，合格か不合格かで表 4 のように整理できる．100 人の学生から無作為に 1 人を選ぶとして，その学生が数学を合格しているという事象を A，統計学を合格しているという事象を B とする．選ばれた学生が数学か統計学のどちらかを合格している確率はいくらか．表4. 数学と統計学の試験の合格数. 数学. 統計. 合格. 不合格. 計. 合格. 49. 24. 73. 不合格. 5. 22. 27. 計. 54. 46. 100. 3.4 条件付き確率と独立性 1 から 5 までの番号のついた 5 枚のカードから 1 枚取り出すとする．取り出したカードの番号が 3 であるという事象を A，奇数という事象を B とする．このとき，P (A) = 1/5 である．一方，取り出したカードが奇数であることがわかっているとしたら，番号が 3 である確率は 1/3 である．このように，事象 B が起こったとわかっている場合に事象 A が起こる確率を条件付き確率と呼び，P (A|B) で表す．これは，事象 B が起こったとわかっているから B を全事象と考え直し，そのときの A が起こる確率を考えたものである．上の例では奇数であることがわかっているから番号は 1, 3, 5 のいずれかであり，これを全事象と考えなおして番号が 3 である確率を考えている．. 12.

(15) 条件付き確率 P (A|B) は，B が起こったときにさらに A が起こる確率だから，. P (A|B) =. P (A ∩ B) P (B). と定義される．上の例では P (B) = 3/5, P (A ∩ B) = 1/5 だから. P (A|B) =. 1/5 1 = 3/5 3. となる．また，条件付き確率の式は. P (A ∩ B) = P (B)P (A|B) と表すこともでき，これは乗法定理と呼ばれる．A と B を入れかえてももちろん成り立つ．例. 当たりを 3 本含む 10 本のくじから，1 本ずつ 2 回続けてくじを引く．ただし 1 回目に引いたくじは元に戻さないとする．1 本目が当たるという事象を A，2 本目が当たるという事象を B とすると，2 本とも当たるという事象は A ∩ B である．1 本目が当たる確率は P (A) = 3/10 である．1 本目が当たりのとき 2 本目が当たる確率は P (B|A) = 2/9 である．したがって，2 本とも当たる確率は. P (A ∩ B) = P (A)P (B|A) =. 1 3 2 = 10 9 15. . 事象 A と B は. P (A ∩ B) = P (A)P (B) であるとき互いに独立であるという．これを乗法定理に用いれば，A と B が独立のときは. P (A) = P (A|B) が成り立つこともわかる．もちろん，. P (B) = P (B|A) のときにも A と B は独立である．例. さいころを 2 回投げて連続して 1 の目が出る確率を考える．1 回目に 1 の目が出るという事象を A，2 回目に 1 の目が出るという事象を B とすると，連続して 1 の目が出るという事象は A ∩ B であり P (A ∩ B) = 1/36 である．また，. P (A)P (B) = (1/6) · (1/6) = 1/36 であるから，A と B は独立である．問 3.2. 次の (i), (ii) が成り立つことを示せ．. (i) B1 ∩ B2 = φ のとき P (B1 ∪ B2 |A) = P (B1 |A) + P (B2 |A) (ii) P (B|A) + P (B c |A) = 1 問 3.3. 大小 2 つのサイコロがある．次の問いに答えよ．. (i) A をさいころの目の和が 6 という事象，B を大きい方のさいころの目が 4 という事象とする．事象 A と B は互いに独立か．. (ii) C をさいころの目の和が 7 という事象とする．事象 B と C は互いに独立か．問 3.4. 問 3.1 で P (A|B) と P (B|A) を計算せよ．. 3.5 ベイズの定理集合の分配法則により. A = A ∩ Ω = A ∩ (B ∪ B c ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B c ) が成り立つ．A ∩ B と A ∩ B c は互いに排反だから，確率の定義 (c) により. P (A) = P (A ∩ B) + P (A ∩ B c ) 13.

(16) である．さらに条件付き確率の定義から. P (A) = P (A|B)P (B) + P (A|B c )P (B c ) となる．したがって，. P (B|A) =. P (A ∩ B) P (A|B)P (B) = P (A) P (A|B)P (B) + P (A|B c )P (B c ). が成り立つ．これはベイズの定理と呼ばれている．例 1. 2 つの壺があり，第 1 の壺には白玉 3 個と黒玉 1 個が，第 2 の壺には白玉 1 個と黒玉 2 個が入っている．いずれかの壺から玉を 1 個取り出したところ白玉であった．白玉を取り出すという事象を A とする．B を第 1 の壺から取り出す事象とすると，B c は第 2 の壺から取り出す事象と考えることができ，どちらの壺を選ぶかは等しい確率と考えられるから P (B) = P (B c ) = 1/2 である．また，P (A|B) = 3/4, P (A|B c ) = 1/3 であるから，. P (B|A) =. (3/4)(1/2) 9 = , (3/4)(1/2) + (1/3)(1/2) 13. P (B c |A) =. 4 (1/3)(1/2) = (1/3)(1/2) + (3/4)(1/2) 13. となる．P (B c |A) は P (B|A) + P (B c |A) = 1 から計算することもできる．例 2. がんを診断するための検査法があり，ある集団から無作為に選ばれた人に対してこの検査を行うとする．A を検査の結果がんと診断される（陽性である）という事象，B を被検査者は真にがんであるという事象とする．検査法は，がんである人が検査を受けたときには 95 ％の確率で陽性と判定し，がんでない人が検査を受けたときには 90 ％の確率で陰性と判定するものとする．つまり P (A|B) = 0.95, P (Ac |B c ) = 0.90 である．この集団ではがんの確率が P (B) = 0.005 とわかっているとき，陽性と判定された人が本当にがんである確率 P (B|A) は. P (B|A) =. 0.95 × 0.005 = 0.046 0.95 × 0.005 + (1 − 0.90) × (1 − 0.005). と計算できる．問 3.5. 次の文章は毎日新聞 2012 年 10 月 30 日「3.11 後のサイエンス：統計の魔法にご用心」という記事からの引用である（一部省略）．この文章を読み，(1) と (2) に答えよ．『まず，ちょっとしたクイズから．致死率の高い感染症が日本に上陸したとする．よい検査薬があり，感染者を「陽性」と判定する精度は 99%．非感染者を「陰性」と判定する精度も 99%．念のため検査を受けると，結果は「陽性」．さて，あなたが実際に感染していて隔離されてしまう確率は？（中略）先週，東京で開かれた人類遺伝学会でも「99% 問題」がテーマになった．俎上（そじょう）に載せられたのは米国のバイオ企業が開発した新型の出生前診断．妊婦の血液を分析すると胎児がダウン症かどうか，「99% の精度」で判定できるといわれ，日本でも導入計画が浮上した．（中略）バイオ企業は，「高齢」「過去にダウン症の子を出産」「超音波検査で疑い」といった「高リスク群」の妊婦に新検査を受けてもらい，羊水検査などで確定診断．そこから，新検査がダウン症の胎児を正しく陽性と診断する「感度」を 99.1%，ダウン症でない胎児を陰性と判定する「特異度」を 99.9% とはじいた．確かに数値は高い．（以下省略）』注) 病気の人が検査を受けたとき実際に陽性と判定される確率を感度 sensitivity，健常な人が検査を受けたときに実際に陰性と判定される確率を特異度 specificity という．. (1) 前半 3 行の記述について，日本人全体での感染率を 1% として，検査で陽性だった人が実際に感染している確率（陽性的中率という），陰性だった人が実際に感染していない確率（陰性的中率という）を求めよ．. (2) （以下省略）とした部分では，高リスク群のダウン症出生頻度は 2%，一般集団では 1000 人に 1 人，35 歳の妊婦の場合 300 人に 1 人としてそれぞれの場合の陽性的中率を計算している．実際にどの程度になるか計算せよ．. 14.

(17) 4 確率変数 4.1 確率変数と確率分布サイコロを振って出る目は 1 から 6 のいずれかであるが，事前にどの目が出るかはわからない．ただし，どの目も 1/6 の確率で出る．このように，事前にどの値をとるのかわからないが，いずれかの値がある確率で得られるような変数を確率変数 random variable という．通常，確率変数は X, Y, · · · のようにアルファベットの大文字で表す．また，確率変数が具体的にとる値を文字で表す場合はアルファベットの小文字を用いる．サイコロを振って出る目を X とすると，. P (X = 1) = 1/6, P (X = 2) = 1/6, · · · , P (X = 6) = 1/6 である．このように，X のとる値 x とそれが生じる確率が与えられたとき，それを X の確率分布という．また，確率変数 X はこの分布に従う，といういい方をする．例. 2 個のサイコロを同時に振って出る目の和 X も確率変数である．X のとりうる値は 2, 3, · · · , 12 であり，各々の確率は. P (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36, P (X = 4) = 3/36, P (X = 5) = 4/36, P (X = 6) = 5/36, P (X = 7) = 6/36, P (X = 8) = 5/36, P (X = 9) = 4/36, P (X = 10) = 3/36, P (X = 11) = 2/36, P (X = 12) = 1/36 と与えられる．図で表せば次の通りであり，出た目の和 X はこの確率分布に従う．

(18) . . . . . . . . .

(19)

(20) . 図 6 ２個のサイコロを振って出る目の和の確率分布. 確率変数 X が離散的な値 x1 , x2 , · · · , xK をそれぞれ f (x1 ), f (x2 ), · · · , f (xK ) の確率でとるとき，X を離散型確率変数という．確率は f (xk ) = P (X = xk ) (k = 1, · · · , K) であり，これが X の確率分布である．f は. f (xk ) ≥ 0. K ∑. かつ. f (xk ) = 1. k=1. を満たし，X の離散型確率分布と呼ばれる．サイコロを振って出る目やコインを投げたときの表か裏か，などは離散型確率変数である．例えば日本人の成人における平均身長を調べたいとする．身長は離散的な値というより連続的と考えるべき変数であり，日本人の成人という集団から無作為に 1 人選ぶ場合は連続型確率変数と考えることができる．一般に，確率変数 X が a 以上 b 以下である確率が. ∫. b. P (a ≤ X ≤ b) =. f (x)dx a. のように表されるとき，X は連続型確率変数と呼ばれる．f は. ∫ f (x) ≥ 0 かつ. ∞. f (x)dx = 1 −∞. 15.

(21) を満たし，X の確率密度関数と呼ばれる．連続型の確率分布の場合，P (X = a) = 0 となり，一点をとる確率は 0 となる．確率変数 X に対し，x 以下の確率. F (x) = P (X ≤ x) を X の累積分布関数 cumulative distribution function という．連続型確率変数の場合は. ∫. x. f (u)du. F (x) = −∞. である．微分積分学の基本定理から. F 0 (x) = f (x). である．また，離散型確率変数のときは. F (X) =. ∑. f (u). u≤x. と表すことができる．. 4.2 確率変数の期待値確率変数はいろいろな値をとるが，それらの値を代表する平均（正確には確率の重み付き平均）を考えることができ，期待値 expectation と呼ばれる．期待値は E(X) と表し，（離散型）. ∑. xf (x),. （連続型）. ∫. x. ∞. E(X) =. xf (x)dx −∞. x. ∑. で定義される．. E(X) =. は離散型の x がとりうる値すべての和をとることを意味する．X の関数 g(X) についても同様に期. 待値を定義できる．（離散型）. E(g(X)) =. ∑. ∫ g(x)f (x),. （連続型）. ∞. E(g(X)) =. g(x)f (x)dx −∞. x. 期待値については次の性質が成り立つ．ただし，a, b は定数を表す．. E(aX + b) = aE(X) + b 特に a = 0 のとき E(b) = b，b = 0 のとき E(aX) = aE(X) 離散型の場合は次のように示される（連続型の場合も同様）．X がとりうる値が x1 , · · · , xK の K 個あるとすると，. E(aX + b) =. K K K ∑ ∑ ∑ (axi + b)f (xi ) = a xi f (xi ) + b f (xi ) = aE(X) + b i=1. i=1. i=1. 例 1. さいころを 1 回振って出る目を X とすると，これは離散型の確率変数であり，期待値は. E(X) = 1 ×. 1 1 1 1 1 1 21 7 +2× +3× +4× +5× +6× = = 6 6 6 6 6 6 6 2. である．これは，さいころを 1 回振るという実験を“仮に”無限に行ったとしたらそのたびに出る目は異なるが，それら出た目の平均をとったら 7/2 になるということを意味する．また，X 2 の期待値は. 1 1 1 1 1 1 91 + 22 × + 32 × + 42 × + 52 × + 62 × = 6 6 6 6 6 6 6 例 2. 3 枚のコインを投げたときに表が出た枚数を X 枚とすると，これは離散型の確率変数である．表が k 枚の確率は E(X 2 ) = 12 ×. 3 Ck (1/2). k. (1/2)3−k = 3 Ck (1/2)3 (k = 0, 1, 2, 3) だから， ( )3 ( )3 ( )3 ( )3 1 1 1 1 3 E(X) = 0 ×3 C0 + 1 ×3 C1 + 2 ×3 C2 + 3 ×3 C3 = 2 2 2 2 2. 例 1 と同様に，3 枚のコインを投げて表が出た枚数を数えるという実験を“仮に”無限に行ったとしたらそのたびに表の枚数は異なるが，それらの平均をとったら 3/2 になるということを意味する．問 4.1. 中の見えない壺の中に白玉 4 個と黒玉 3 個が入っている．この中から 3 個の玉を同時に取り出すときの白玉の個数を X とする．X の期待値を求めよ．. 16.

(22) 4.3 確率変数の分散と標準偏差上の例 1 で期待値の意味を，「さいころを 1 回振るという実験を“仮に”無限に行ったとしたらそのたびに出る目は異なるが，出た目の平均をとったら 7/2 になるということを意味する．」と述べた．確率変数がとる具体的な値は同じ実験を繰り返すたびに異なる値をとる．すなわちばらつきが存在する．記述統計で分布を数値で要約する際に，代表値だけでは不十分で散らばりの尺度も必要だったのと同様に，確率変数でもばらつきという考え方が重要となる．確率変数 X の期待値を µ = E(X) として，分散 variance が次のように定義される．. V (X) = E[(X − µ)2 ] この定義から明らかに V (X) ≥ 0 であり，V (X) の値が大きいほど X のばらつきは大きい．分散の正の平方根. √. V (X). 2. を標準偏差 standard deviation という．分散を σ ，標準偏差を σ で表すこともある．期待値の定義から（離散型）. V (X) =. ∫. ∑ (x − µ)2 f (x),. （連続型）. ∞. V (X) = −∞. x. (x − µ)2 f (x)dx. である．また，離散型，連続型いずれの場合でも. V (X) = E(X 2 ) − 2µE(X) + µ2 = E(X 2 ) − µ2 = E(X 2 ) − (E(X))2 と表すこともできる．分散については次の性質が成り立つ．ただし，a, b は定数を表す．. V (aX + b) = a2 V (X) 特に a = 0 のとき V (b) = 0 離散型の場合は次のように示される（連続型の場合も同様）．X がとりうる値が x1 , · · · , xK の K 個あるとすると，. V (aX + b) =. K ∑. 2. {(axi + b) − (aµ + b)} f (xi ) = a2. i=1. K ∑ (xi − µ)2 f (xi ) = a2 V (X) i=1. 例 1. 期待値の例 1 で，E(X) = 7/2, E(X 2 ) = 91/6 であった．したがって. ( )2 7 35 = 2 12. 91 − V (X) = 6 例 2. 期待値の例 2 で分散を計算する場合，まず. ( )3 ( )3 ( )3 ( )3 1 1 1 1 3 + 12 + 9 2 2 2 E(X ) = 0 ×3 C0 + 1 ×3 C1 + 2 ×3 C2 + 3 ×3 C3 = =3 2 2 2 2 8 2. 2. であるから，. V (X) = 3 −. ( )2 3 3 = 2 4. 問 4.2. 問 4.1 で X の分散を求めよ．問 4.3. 連続型確率変数 X が一様分布に従うとする．一様分布とは，確率密度関数が. { f (x) =. 1 (0 ≤ x ≤ 1) 0 (x < 0, 1 < x). で与えられる確率分布である．期待値と分散を計算せよ．. 17.

(23) 4.4 多次元の確率分布現実に起こる現象は 1 つの確率変数だけで表されるものではなく，多くの確率変数を必要とする．そしてそれらの関係を表すのに同時確率分布や条件付き確率分布が用いられる．ここでは特に 2 次元，つまり 2 個の確率変数がある場合について考える．例えば，ジョーカーを除く 52 枚のトランプから 1 枚カードを取り出すとき，得られるスペードの数を X ，最初に取り出したカードを元に戻さずもう一度カードを 1 枚引いたとき得られるスペードの数を Y とする．X, Y はともに 0, 1 だけをとる確率変数である．X = x, Y = y となる確率 f (x, y) = P (X = x, Y = y) を考えることができ，. 13 39 39 13 13 12 39 38 , f (1, 0) = , f (0, 1) = , f (1, 1) = となる．このように，2 個の確率変数 X, Y がと 52 51 52 51 52 51 52 51 りうる値の組とそれが生じる確率が与えられたとき，これを X と Y の同時確率分布という．. f (0, 0) =. f (x, y) に対しては，離散型確率変数 X, Y の場合 ∑∑. f (x, y) ≥ 0 かつ. x. f (x, y) = 1. y. が成り立つ．実際，上のトランプの例では f (0, 0), f (1, 0), f (0, 1), f (1, 1) ≥ 0 であり，. ∑ ∑. f (x, y) = f (0, 0) + f (1, 0) + f (0, 1) + f (1, 1) = 1. x=0,1 y=0,1. となっている．. X, Y が連続型のときは f (x, y) は同時確率密度関数と呼ばれ， ∫ f (x, y) ≥ 0. ∫. ∞. ∞. f (x, y)dxdy = 1. かつ −∞. −∞. を満たす．トランプの例で，X = 0 である確率は P (X = 0) = P (X = 0, Y = 0) + P (X = 0, Y = 1) = f (0, 0) + f (0, 1) と与えられる．同様に X = 1 である確率や Y = 0 である確率，Y = 1 である確率も与えられる．つまり，g(x) = P (X =. x), h(y) = P (Y = y) とおけば g(x) = f (x, 0) + f (x, 1), h(y) = f (0, y) + f (1, y) である．このように，同時確率分布から X, Y 単独の確率分布を得ることができる．一般に，同時確率分布から X, Y 単独の確率分布が. g(x) =. ∑. f (x, y),. h(y) =. y. ∑. f (x, y). x. で求められる．これは X, Y の周辺確率分布と呼ばれる．連続型の場合は. ∫. ∫. ∞. f (x, y)dy,. g(x) =. ∞. f (x, y)dx. h(y) = −∞. −∞. であり，周辺確率密度関数と呼ばれる．離散型確率変数 X, Y に対し，条件付き確率の定義より. P (X = x|Y = y) =. P (X = x, Y = y) , P (Y = y). P (Y = y|X = x) =. P (X = x, Y = y) P (X = x). という確率を考えることができる．f, g, h を用いてこれは. g(x|y) =. f (x, y) , h(y). h(y|x) =. f (x, y) g(x). ただし h(y) 6= 0, g(x) 6= 0 とする．. と表され，条件付き確率分布と呼ばれる．連続型確率変数の場合にも同様に条件付き確率分布が定義できる．g(x|y) は y が固定されており x の関数となっている．h(y|x) は x が固定されており y の関数となっている．. 18.

(24) 同時確率分布において，あらゆる x, y について. f (x, y) = g(x)h(y) が成り立つとき，X と Y は互いに独立であるという．独立のときは，X, Y の同時確率分布は X, Y それぞれの確率分布を知るだけで求められる．すなわち，. g(x|y) =. g(x)h(y) = g(x), h(y). h(y|x) =. g(x)h(y) = h(y) g(x). であり，独立のとき X は Y によらず，Y は X によらない．例えば 2 個のさいころを振って出た目を X, Y とする．このときの X, Y の同時確率分布と周辺確率分布は表 5 のように与えられる．直観的にも明らかだが，2 個のさいころの目は独立であることが確かめられる．表5. Y. 2 個のさいころの目 X, Y の同時確率分布と周辺確率分布. 1 2 3 4 5 6 g(x). 1 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6. 2 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6. X 3 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6. 4 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6. 5 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6. 6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6. h(y) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1. 5 確率分布の例前節は確率変数と確率分布に関する一般論であった．確率的に生じる現象にはそれにあてはまる確率分布があり，ここではその中でも代表的な二項分布，ポアソン分布，正規分布について説明する．. 5.1 二項分布次の (a), (b), (c) を満たすような実験を n 回繰り返すとする．これをベルヌーイ試行という．. (a) 生じうる結果は 2 種類である（仮に成功と失敗とする）． (b) 成功が起こる確率 p は毎回一定である． (c) 毎回の実験は独立，つまり前後の実験で関連は生じない．成功が起こる回数は離散型確率変数であり，これを X とする．このとき，成功が x 回，F が n − x 回生じる確率は. f (x) = P (X = x) = n Cx px (1 − p)n−x. (x = 0, 1, · · · , n). で与えられる．この確率分布を二項分布 binomial distribution といい，B(n, p) と表す．これが確率分布であることは，二項定理を用いて. n ∑. x n Cx p (1. − p)n−x = (p + (1 − p))n = 1. x=0. であることから確かめられる．例 1. コインを 10 回投げて表が出る回数 X を数えるとする．コインを投げたときに生じうる結果は表が出るか裏が出るかの 2 種類，表が出る確率は 0.5 で何回投げても一定，表が出るかどうかは前後に影響されないから，この実験はベルヌーイ試行である．表が出る回数 X は二項分布 B(10, 0.5) に従い，f (x) は次のようになる（図 7）．. f (x) = 10 Cx 0.5x 0.510−x 19. (x = 0, 1, · · · , 10).

(25) 例 2. さいころを 10 回投げて 1 の目が出る回数 X を数えるとする．1 の目が出るかどうかに注目する場合，生じうる結果は 1 の目が出るか出ないかの 2 種類であり，表が出る確率は毎回 1/6 で一定，1 の目が出るかどうかは前後に影響されないから，この実験はベルヌーイ試行である．1 の目が出る回数 X は二項分布 B(10, 1/6) に従い，f (x) は次のようになる（図 8）．. f (x) = 10 Cx. ( )x ( )10−x 1 5 6 6. (x = 0, 1, · · · , 10). . . .

(26) . . . . . . . . . . . . .

(27). . . . 図8. 図 7 二項分布 B(10, 0.5). . . . . . 二項分布 B(10, 1/6). 確率変数 X が二項分布 B(n, p) に従うとき，その期待値と分散は次のように与えられる．. V (X) = np(1 − p). E(X) = np,. 問 5.1. 二項分布 B(n, p) に従う確率変数 X において E(X) = np, V (X) np(1 − p) となることを証明せよ．. 5.2 ポアソン分布二項分布で n が非常に大きく，その一方で p が非常に小さい稀な現象である場合，n と p がつりあってある程度の大きさの x が観察される．すなわち，二項分布. f (x) = n Cx px (1 − p)n−x において np = λ とおき，これを満たしながら n → ∞, p → 0 となる極限を考えると，. e−λ λx (x = 0, 1, 2, · · · ) x! となる．この確率分布をポアソン分布 Poisson distribution といい，P o(λ) で表す．これが確率分布であることは， f (x) =. 指数関数 ex のマクローリン展開. ex = 1 + x + を用いて. ∞ ∑ e−λ λx x=0. x!. ∞ ∑ x2 x3 xr + + ··· = 2! 3! r! r=0. = e−λ. ∞ ∑ λx x=0. x!. = e−λ eλ = 1. となることから確かめられる．確率変数 X がポアソン分布 P o(λ) に従うとき，. E(X) = λ,. V (X) = λ. である．ポアソン分布 P o(λ) では，期待値と分散が等しく λ となる．これは期待値と分散の定義に従って示すこともできるが，二項分布 B(n, p) の期待値と分散が E(X) = np, V (X) = np(1 − p) であることからも理解できる．ポアソン分布の例は無数にある．交通事故件数，大量生産の不良品数，遺伝子の突然変異数など，リスクや安全性に関連する現象はよく研究されている．問 5.2. ある病院では，救急患者のために常時 4 床の空きベッドを確保している．ここへ収容される救急患者数 X が. λ = 2 のポアソン分布 P o(2) に従うとき，ベッドが不足する確率を計算せよ． 20.

(28) 5.3 正規分布正規分布 normal distribution（またはガウス分布）は最も代表的な連続型確率分布であり，統計学の理論上だけでなく応用上でも非常に重要である．確率密度関数は. { } 1 (x − µ)2 f (x) = √ exp − 2σ 2 2πσ 2. (−∞ < x < ∞). で与えられる．ただし σ > 0 である．期待値と分散は E(X) = µ, V (X) = σ 2 となることが示される（証明略）．すなわち，上の確率密度関数は平均 µ，分散 σ 2 の正規分布 N (µ, σ 2 ) を表している．正規分布 N (µ, σ 2 ) の確率密度関数のグラフは平均 x = µ に関して左右対称であり，x = µ で最大値をとる．また，. x → ±∞ のとき f (x) → 0 となる．平均 µ の値が変わると，形状は変わらずに x 軸上を平行移動し，分散 σ 2 の値が大きくなるほど分布の左右の幅は広がり，高さが低くなる（図 9）． .

(29)

(30) . .

(31) . . . . . . . 正規分布 N (20, 22 ), N (20, 42 ), N (20, 62 ) の確率密度関数. 図9. X −µ は N (0, 1)，すなわち平均 0，分散 1 の正規分布に σ 従い，これは標準正規分布 standard normal distribution と呼ばれる．標準正規分布の確率密度関数 f (z) と累積分 X が正規分布 N (µ, σ 2 ) に従うとき，X を標準化した Z =. 布関数 Φ(z) は. ( 2) 1 z f (z) = √ exp − , 2 2π. ∫. z. Φ(z) = −∞. ( 2) x 1 √ exp − dx 2 2π. と表される．累積分布関数については Φ(−z) = 1 − Φ(z) が成り立つ．この Φ(z) の値は，は多くの統計の教科書の巻末に与えられている正規分布表から知ることができる（Excel 等を用いて求めることも可能）．よく用いられる値としては，Φ(1.645) ' 0.95, Φ(1.96) ' 0.975 などがある．例えば標準化されたZ =. X −µ が標準正規分布 N (0, 1) に従うとき，Z の値が −k 以上 k 以下 (k > 0) である確率は σ P (−k ≤ Z ≤ k) = P (Z ≤ k) − P (Z < −k) = Φ(k) − Φ(−k). k = 2 とすれば，P (−2 ≤ Z ≤ 2) = Φ(2) − Φ(−2) ' 0.975 − (1 − 0.975) = 0.95 となる．このことから，Z の 95% 程度は −2 以上 2 以下の範囲内に入ることがわかる．標準化する前の X でいうと，X の 95% 程度は µ − 2σ 以上 µ + 2σ の範囲内に入ることになる．例 1. 確率変数 X が正規分布 N (9, 25) に従うとき，正規分布表を用いて P (3 ≤ X ≤ 21) を求めてみる．Z =. X −9 が 5. 標準正規分布 N (0, 1) に従うことから，. ( P (3 ≤ X ≤ 21) = P. 3−9 X −9 21 − 9 ≤ ≤ 5 5 5. ) = P (−1.2 ≤ Z ≤ 2.4) = Φ(2.4) − Φ(−1.2). ここで，正規分布表より z = 2.4 のとき Φ(2.4) ' 0.5 + 0.4918 = 0.9918. また，Φ(−1.2) = 1 − Φ(1.2) であり，正規分布表より Φ(1.2) ' 0.5 + 0.3849 = 0.8849 だから Φ(−1.2) ' 1 − 0.8849 = 0.1151. したがって，P (3 ≤ X ≤ 21) =. 0.9918 − 0.1151 = 0.8767 となる． 21.

(32) 例 2. 日本人 17 歳男性の身長の分布は正規分布 N (172, 42 ) で近似できるとする．日本人 17 歳男性の中から無作為に 1 人選んで身長を測定したところ，180cm であった．この男性よりも背が高い日本人 17 歳男性は何 % 程度いるかを考える．選んだ男性の身長を X とすると，X は正規分布 N (172, 44 ) に従っている．P (X ≥ 180) を計算すればよく，. (. P (X ≥ 180) = P. ) X − 172 ≥ 2 = 1 − Φ(2) ' 1 − 0.975 = 0.025 4. となる．よって，日本人 17 歳男性のうち身長 180cm より背が高い人は 2.5% 程度いることがわかる．問 5.3. 偏差値 T は平均 50，標準偏差 10 に調整されている．T が正規分布 N (50, 102 ) に従うと仮定して，40 ≤ T ≤. 60, T ≤ 70, T ≥ 75, T ≤ 55, 50 ≤ T ≤ 51 となる確率を求めよ．問 5.4. 平成 25 年度の国民健康・栄養調査によると，20 代男性 257 名での BMI (Body Mass Index, 体重 kg/ 身長 m2 ) は，平均 22.65(kg/m2 )，標準偏差 4.01(kg/m2 ) であった．20 代男性の BMI が N (22.65, 4.012 ) に従うと仮定して，20 代男性のうち一般に肥満とされる BMI 25(kg/m2 ) 以上の人は何 % 程度いるだろうか．一般に，二項分布 B(n, p) に従う確率変数 X は，n が十分大きいとき近似的に正規分布 N (np, np(1 − p)) に従う．つまり，n が十分大きいとき二項分布 B(n, p) は正規分布 N (np, np(1 − p)) に近似できる．例えばさいころを n 回投げたとき 1 の目が出る回数 X は二項分布 B(n, 1/6) に従い，期待値と分散はそれぞれ n/6, 5n/36 となる．n の値を. 10, 20, 30, 50, 100 として二項分布 B(n, 1/6) の確率分布を折れ線グラフにしてみると下図のようになる．n が大きくなるにつれて折れ線グラフが滑らかになり，正規分布の形状に近づいていく様子が見てとれる． . . . . .

(33) . 図 10. 二項分布 B(n, 1/6) の折れ線グラフ. 確率変数 X が二項分布 B(n, p) に従い n が十分大きいとする．このとき，二項分布が正規分布で近似できること，正規分布に従う確率変数を標準化すれば標準正規分布に従うことから，次が成り立つ．. (. P (X ≤ a) ' Φ. √. a − np. ). np(1 − p). この近似を用いてよいとされる条件は，通常 np > 5 かつ n(1 − p) > 5 であることとされている．p = 1/2 のときは n が 10 以上あればよいが，p が 0 や 1 に近いときには，非常に大きな n が必要となってくる．例. さいころを 720 回投げて 1 の目が出る回数を X とする．このとき X が 100 以下の値をとる確率が次のように求められる．X は二項分布 B(720, 1/6) に従うから，期待値は 120，分散は 100 である．よって，Z =. X − 120 は近似的に 10. 標準正規分布に従うと考えることができる．したがって，. (. P (X ≤ 100) = P. ) X − 120 ≤ −2 = P (Z ≤ −2) ' 0.025 10. となる（もう少し正確に計算すると 0.0228）．問 5.5. < 野球の打率 > 昨シーズンを 2 割 8 分の打率で終わった打者が，今シーズンもこの確率でヒットを打つものとし，450 打数であるとすると，3 割バッターになれる確率はどれくらいか．（参考文献 [1] より）. 22.

(34) 6 母集団と標本 6.1 母集団と標本統計的な調査では，調べたい対象全体からなる集団を母集団 population と呼ぶ．例えば日本人の成人の意識調査を行う場合は日本人の成人全体が母集団であり，大分県大学生の意識調査を行う場合は大分県の大学生全体が母集団となる．母集団全体を調査する場合を全数調査といい，国勢調査などがその例である．しかし，全数調査は通常多くの労力や時間，費用を必要とするため，実施が困難である場合が少なくない．このような場合，母集団からその一部だけを抽出した標本 sample（または標本集団）を分析し，母集団についての推測をする，ということが行われる．これは統計的推測と呼ばれる．日本人の成人男性の身長を調べたいという場合，母集団は日本人の成人男性であり，この母集団における身長はある分布をもっている．これを母集団分布という．身長の母集団分布から標本 X1 , X2 , · · · , Xn をランダムに選ぶとき，. X1 , X2 , · · · , Xn はこの母集団分布に従う確率変数と考えることができる．日本人の成人男性という集団は有限の集団であるから，X1 を選び出すときの分布と，X1 を選んで元に戻さず X2 を選び出すときの分布とは，厳密には異なる．しかし日本人の成人男性という集団は十分に大きな集団であり，実質的にはこの違いは無視して差し支えない．そのため，母集団は無限に大きな集団であると考えることにする．*3 このとき，標本 X1 , X2 , · · · , Xn は同一の母集団分布 f (x) に従う n 個の独立な確率変数である，ということができる．ここで n は標本の大きさ sample size という．このように母集団分布を考えるとき，(i) 理論的・経験的にどのような分布であるかが事前に分かっている場合，(ii) どのような分布か事前にはわかっていない場合，の 2 つの場合がある．(i) の場合は，その母集団分布を規定するいくつかのパラメータがわかれば，母集団分布についてすべて知ることができる．このような場合はパラメトリックの場合と呼ばれる．例えば母集団分布が正規分布であることがわかっている場合，標本 X1 X2 , · · · , Xn を用いて平均 µ や標準偏差. σ を推定する．これに対し (ii) の場合は，いくつかのパラメータで母集団分布を決定することはできず，ノン・パラメトリックの場合と呼ばれる．. 6.2 標本の抽出標本を分析することで母集団について推測するとき，その結果はどのようにして標本を抽出するかに大きく依存する．このことに関する有名な事例として，1936 年に行われた米国の大統領選挙がある．2 つの会社が選挙結果を予想しており，一方のリテラシー・ダイジェスト社は 237 万人もの有権者から誰に投票するかの回答を得て，共和党候補のカンザス州知事であったアルフレッド・ランドンが当選すると予測した．もう一方のギャラップ社は 2 万人を調査し，ルーズベルトが再選されると予測した．選挙結果はルーズベルトの圧勝に終わり，結局リテラシー・ダイジェスト社は信用を失い倒産となってしまっている．100 倍以上もの人数を調査したにもかかわらずリテラシー・ダイジェスト社が予想を外してしまった原因の 1 つが，標本の抽出方法にあったとされている．まず，リテラシー・ダイジェスト社は有権者を探すのに自社雑誌の購読者名簿，電話帳，自動車登録名簿から 1000 万人を選んでおり，この時代の全有権者の中では経済的に恵まれた人に偏っていた．また，実際に調査に回答したのは 1000 万人のうちの 24% 程度であったことも予想を外した原因と考えられる．これに対しギャラップ社では，居住地，年齢，性別などが有権者全体の分布と似るようにして調査対象者を選び出していたため，調査数が少なくても全国民の代表的意見を反映した結果になったと考えられる．母集団から標本を選び出す方法はいくつかあり，最も基本的な方法に単純無作為抽出（単純ランダム・サンプリング）と呼ばれるものがある．これは，母集団に含まれる各要素が抽出される確率をすべて等しくとる方法である．ただしこの方法では，偶然に高齢の人が多く抽出されてしまったり，男性が多く抽出されてしまったりするなど，大きな偏りが生じてしまう可能性もある．このような場合には，事前に年齢をいくつかの層に分けたり，男性と女性に分けたりして層ごとに無作為抽出する（層別無作為抽出という）など，偏りが生じないようにする様々な方法がある．. *3. この身長の例に限らず，以降では母集団は無限に大きな集団（無限母集団という）とする．ただし実際の調査で母集団の大きさが十分大きくない（有限母集団）場合は，有限母集団修正という修正が行われる．. 23.