あたりまえプリント

「解けてあたりまえ」にすべき頻出問題の要点

あたりまえプリント

人には生きている限り，あたりまえにすべき常識がある．

はしがき ― 三宅 唯

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動 滑 車 と 束 縛 条 件 図のように，質量がそれぞれ m ，2m ，3m のおもり A ， B ，C を軽いひもで動滑車 D と天井につるした定滑車 E に 通し，静かに離したところ，おもり A ， B ， C はそれぞれ 天井に対して大きさα，β ，γ の加速度で図の向きに加速 し始めた． 2 つの滑車の質量は 3 つのおもりに比べて十分 小さいので無視することができ，それらの滑車は摩擦なく 滑らかに回るものとする．重力加速度を g とする． (1) おもり A がひもから受ける張力を T とするとき，おも り C が受ける張力を T を用いて表せ． (2) 動滑車 D に対するおもり A と B の相対運動を考えることで，α，β ，γ の関係を 答えよ． (3) おもり A ，B ，C の運動方程式をα，β ，γ ，T ，m ，g を用いてそれぞれ示せ． (4) α ，β ，γ を g を用いて表せ． E D A B C α β γ m 2m 3m

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等 速 円 運 動 と ド ッ プ ラ ー 効 果 静止した観測者 O と定点 Q を結ぶ線分 OQ を直径とする 半径 r の円周上を，振動数 f の音源 S が一定の速さ v で運動₀ している．空間上いずれの場所でも，空気中の音速は大きさ V _{であり風は吹いていない．図のように観測者 O と音源 S を} 結ぶ線分 OS が直径 OQ と角度θ( 2 2 π _θ π − < < )をなす瞬 間に，音源 S から生じた音を観測者 O が観測する場合，観測者 O の観測した音の振動 数 f はθの関数として表せるだろう． (1) 角度θを用いて音源 S の速度の SO

 方向成分を求めよ． (2) 音のドップラー効果を考え，角度θの関数として観測者 O の観測する振動数 f を 求めよ． (3) θが 2 π ，および 2 π − に近づく場合の観測者 O の観測する振動数 f をそれぞれ答 えよ． (4) 振動数 f と角度θの関係を 2 2 π _θ π − < < の範囲で図示せよ．ただし，縦軸を f ， 横軸をθとし，重要と思しきグラフの性質に関しては定性的，定量的に示すこと． v _S O Q θ r 0 f

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03

コ ン デ ン サ と 抵 抗 の ス イ ッ チ 回 路 図のように静電容量がそれぞれ2[µF]，1 [µF]のコンデン サC および₁ C ，抵抗値がそれぞれ2 6[ ]Ω ，4[ ]Ω ，2[ ]Ω の抵 抗R ，₁ R および2 R ，内部抵抗の無視できる起電力が3 12[ ]V の直流電源 E ，およびスイッチ S が配置された回路を考え る．はじめ， 2 つのコンデンサの両極に電気量は蓄えられ ておらず，スイッチ S は開いている．今，スイッチ S を閉 じると回路には電流が流れ始めた． (1) S を閉じた瞬間の，抵抗R ，1 R および2 R を流れる電流の大きさをそれぞれ求め3 よ． (2) S を閉じて十分時間が経過したとき，抵抗R ，1 R および2 R を流れる電流の大き3 さをそれぞれ求めよ． (3) S を閉じて十分時間が経過するあいだにR を通過した電気量の大きさを求めよ．1 1 R 2 R R3 2 C 1 C S E

04

円 錐 ば ね 振 り 子 フックの法則を満たす自然長

_ℓ

のばねの一端に大きさの無視で きる質量 m の小球をつなげ，他端を天井に取り付ける．図１のよ うに，ばねが鉛直を保つように静かに放すと，ばねは 5

ℓ

_だけ自然 長から伸びて静止した．続いて図２のように，小球をある水平面で 等速円運動するように，ある角速度ωを与えた．このときばねは伸 び縮みせず，直線を保ち円錐面を掃過する．この図２の 状態について，次の問いに答えよ．ただし，重力加速度 を g とし，ばねの重さ，空気抵抗は無視できるものとす る． (1) 自然長からのばねの伸び x を求めよ． (2) ばねが掃過する円錐面の軸と母線のなす角をθとし， cosθの値を求めよ．

ℓ

5

ℓ

(自然長) 図１ (のび) m 天 井 図２ m ω 天 丼 母線 軸

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２ 球 衝 突 ， 単 振 動 と 再 衝 突 壁に一端を固定したばねの他端に質量 M の小球 B をとりつけ，なめらかな水平面に静かにおくと，ば ねは水平面に平行となり自然長を保った．この小球 B に対し，質量の小球 A を速さv0 で衝突させると小球 B は一定の方向に単振動を始めた．小球 A および B の運動は同一 線上で起こるものとし，ばねは質量の無視できるフックの法則に従うばねであるとす る．小球 A , B 間の衝突におけるはね返り係数を e とし，小球 A , B の大きさは無視で きるものとする． (1) 最初の衝突において，A が逆向きにはね返るとき，m の満たすべき条件を与えよ． (2) (1)の条件を満たし，さらに 2 回目の衝突が起こるとき，m の満たすべき条件を与 えよ． k _M m B A 0 v なめらかな水平面

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浮 力 に よ る 運 動 と エ ネ ル ギ ー 断面積 S ,長さ_ℓの密度が均一な柱を，密度 p の液体に静かに沈 め放したところ，図１のように柱は鉛直を保ち静止した．この 柱を液面から深さ_ℓだけ沈め静かに放したところ(図２)，柱は鉛 直を保ったままの状態で速さ v で液面を飛び出した(図３)．この 速さ v を求める方法を以下の問いに沿って考える．ただし，柱が 液面から受ける影響，液体や大気から受ける抵抗力は無視でき るものとし，柱の運動は鉛直方向のみであり，重力加速度は g とする． (1) 柱の密度 p′ を求めよ． (2) 図２から図３に至る過程で，柱に働く重力のなす仕事W1 を求めよ． (3) 柱が液面を通過する際，浮力の大きさが変化することに留意し，図２から図３に 至る過程で柱に働く浮力のなす仕事W2を求めよ． (4) 図２から図３に至る過程で柱におけるエネルギーと仕事の関係を示し，速さ v を 求めよ． 3 5ℓ ℓ S ρ 柱 液体 図１ 液面 ℓ 柱 液面 図２ v 柱 液面 図３

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荷 電 粒 子 速 度 選 択 装 置 図のように，間隔 2d で平行に設置した一辺の長 さ L の 2 枚の正方形極板 A ， B のすぐ脇にイオン 源を配置し，イオン源を出射した質量 m ，電気量 q の荷電粒子が極板中央に極板と平行に入射するよ う調整した．極板間には電圧をかけ，極板 A から B の向きに大きさ E の一様な電場を かけることができる．また，極板間には図の紙面奥向き(入射方向および電場と垂直) に磁束密度の大きさ B の一様な磁場をかけることができる．極板 B は接地されており， 極板に衝突した荷電粒子は極板に吸収され，接地点を通り排出されるものとする．イ オン源から飛び出す荷電粒子の速さ v にはばらつきがあるので，この装置に電場や磁 場をかけることでふるいにかけたい．荷電粒子に働く重力の影響は無視する． (1) 磁場をかけず，電場のみをかける場合，荷電粒子が極板に吸収されることなく極 板間を通り抜けるための v の条件を求めよ． (2) 今度は電場をかけず，磁場のみをかける場合，荷電粒子が極板に吸収されること なく極板間を通り抜けるための v の条件を求めよ． (3) 前問までの条件は L が d に比べ十分に大きい場合，成立させることが難しくなる． そこで電場と磁場を両方かけたところ，ある一定の速さv =vpをもつ荷電粒子の みが極板間を通り抜けた．vpを求めよ．またv> vpおよびv< vpの荷電粒子は A ， B どちらの極板に吸収されたと考えられるか．理由とともに述べよ． イオン源 v q m d d A B 0 ε _B E L

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ば ね の つ い た ピ ス ト ン と 熱 機 関 大気圧P0，室温一定の環境下で，図のように 断面積 S のシリンダに，室温と等しい温度で圧 力P0，体積 aS の単原子分子理想気体を，なめ らかに動くことのできる軽いピストンで封入 する．ピストンには，ばね定数 k の軽いばねが ついており，その先には小球とそれを抑えるふたが配置されている．ふたは空気をよ く通し，ふたとピストンの間の空気は外部と自由に行き来できる．はじめ，ばねは自 然長で小球と接している．また，ふたは動かないように支えられている．このときの 気体の状態を状態 A とする．状態 A からゆっくりと気体を加熱すると，気体はばねを 静かに押し縮め，ピストンが ℓ だけ進んだところでシリンダの内側に用意された固定 具に接触し静止した．ここで加熱をやめ，ふたを瞬時に開放すると，ピストンは固定 具に接触したまま，小球はシリンダを飛び出し，ばねは自然長に戻った．このときの 気体の状態を状態 B とする．状態 B からいくらか時間が経過すると気体の温度は下が り，ピストンが固定具をゆっくりと離れはじめた．このときの気体の状態を状態 C と する．状態 C の後，しばらくすると気体は放熱を終え，状態 A に戻った． (1) 状態 A から状態 B の過程において，ばねの縮みが x であるときの気体の圧力 P を 求めよ．また，この過程を，横軸に体積 V ，縦軸に圧力 P を選びグラフで示せ． (2) 状態 A から状態 B の過程において，気体が外部にした仕事WABを求めよ． (3) 状態 A から状態 B の過程において，気体に与えた熱 を求めよ． 0 P 0 P 大気圧 k ℓ 0 T 気温 ふた 小球 固定具 S ピストン a 0 T

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う な り と 定 常 波 の 関 係 図のように音源F が一定の振動数_S f の音を0 発しながら，反射壁に向かって一定の速さ v で 進んでいる．空気中の音速は場所によらず V と し，風は吹いていないものとする．また，F とS 反射壁の距離は十分にあり，F の反射壁への衝突は残念ながら考えないものとする．S Ⅰ F から反射壁に向かう入射音と，反射壁からS F に向かう反射音の干渉により，S FS と反射壁の間には定常波が生じる．F はこの定常波の腹と節を通過するにあたり，S 音の強弱を周期的に観測する． (1) ドップラー効果を考慮し，生じる定常波の波長λを求めよ． (2) F が定常波の腹を観測する周期S T を求めよ． 1 Ⅱ 前問で求めた音の強弱は，F が振動数の異なる直接音と反射音を同時に観測した_S ことによる，うなりであるとも解釈できる． (1) F が観測する反射音の振動数 f を求めよ． _S (2) F が観測するうなりの周期S T2を求め，T と一致することを確かめよ． 1 Ⅲ 音波はその伝播に伴い減衰することを考慮し，F が観測する音波の，変位の時間S 的変化の図として最も適切な図を以下から選べ． 1 2 3 4 5 6 v ♪ f0 音源 反射壁 S F

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コ ン デ ン サ と 抵 抗 の ス イ ッ チ 回 路 抵抗値がそれぞれ，R ，R ，2R ，R の抵抗R ，1 R ，2 R ，3 4 R と，起電力 E の電池および，容量が C のコンデンサ， スイッチ S で図のような回路を作成した．抵抗はすべてオ ームの法則に従う抵抗であり，電池やコンデンサの内部抵 抗およびスイッチでの接触抵抗は無視できる．E , C , R の うち必要なものを用いて以下の問いに答えよ． (1) スイッチ S を閉じた瞬間の S を流れる電流I を求めよ. 1 (2) スイッチ S を閉じて十分に時間が経過したとき,コンデンサに蓄えられた静電エ ネルギー U を求めよ. (3) 次にスイッチ S を開いた.この瞬間のR を流れる電流1 I を求めよ. 2 (4) スイッチ S を開き,R を流れる電流が1 2 2 I _{となるまでに回路で失われたエネルギ} ー W を求めよ. (5) スイッチ S を開いてから十分に時間が経過するまでに,抵抗R ，1 R ，2 R で失わ3 れたエネルギーQ ，1 Q ，2 Q をそれぞれ求めよ． 3 1 R 2 R R₃ 4 R E C S

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フ レ ネ ル の バ イ (複 )プ リ ズ ム 図１のように屈折率 n 頂角αの三角プリズムに単色光 を入射する．一度目の屈折における入射角をθ1，屈折角 をφ₁，二度目の屈折における入射角をφ₂，屈折角をθ₂と する．β はふれの角や偏角と呼ばれ，プリズム透過前後 での光の進行方向の変化を表す指標である．ここでθ1， 1 φ ，θ₂，φ₂は十分に小さく，これらの角には z が十分に 小さい時の近似式 sin z≐ が利用できる． z (1) 図１よりαとβ を，θ₁，φ₁，θ₂，φ₂のうち必要なものを用いてそれぞれ表せ． (2) 屈折の法則より， n を用いてθ₁とφ₁，およびθ₂とφ₂の関係をそれぞれ示せ． (3) 前問までの条件から，このプリズムのふれの角βを屈折率 n と頂角αのみで表せ． 図２のように断面が二等辺三角形をなす頂角αの小さいプ リズムにおいては，平行光が入射すると(3)で求めたふれの角 の分だけ異なる方向からの平行光かのように振る舞う．図３ のようにこの頂角αの小さいプリズムを上下逆さまに接続し た光学器を考える．これをバイプリズムという．このバイプ リズムを図４のように配置した干渉装置について考える．波 長λの平行光はスリットS0で回折し，バイプリ ズムで屈折され，スクリーン上に干渉縞を作る． スリット板とバイプリズムの距離 ℓ は波長λに くらべて十分に大きいので，バイプリズムへの 入射光は平行光とみなせる． α β 1 θ θ2 2 φ 1 φ n 図１ β α 図２ α 図３ α 0 S スクリーン バイプリズム 平行光 L 図４ ℓ

(4) スリットS₀からバイプリズムを通過した光はスリット板上の別の 2 つのスリッ トからの光かのようにみなすことができる．この見かけの 2 つのスリット間隔 d

をバイプリズムの屈折率 n ，頂角α_{および ℓ を用いて表せ．}

(5) d に比べてスリット板とスクリーンの距離 L は十分に大きいので，干渉縞はスク

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01

answer (1) 動滑車 D の力のつり合いより 2T ． (2) 動滑車 D に対して，おもり A の上昇 加速度とおもり B の下降加速度は等 しいのでα γ_{− =} β γ_{+ ．} (3) おもり A ： mα ₌ T ₋mg おもり B ： 2mβ ₌ 2mg₋T おもり C ： 3mγ ₌ 3mg ₋2T (4) 7 17g α = ， 5 17g β = ， 1 17 g γ = ．

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answer (1) ₋vsinθ (2) ₀ sin V f f V v θ = − (3) ₀ 2 lim V f f f V v π θ + → = = − 0 2 lim V f f f V v π θ − →− = = + (4) ( , ) 2 f₋ − π ( , ) 2 f₊ π 0 f 0 f θ

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answer (1) R を流れる電流：₁ 2[ ]A 2 R を流れる電流：0[ ]A 3 R を流れる電流：6[ ]A (2) R を流れる電流：₁ 0[ ]A 2 R を流れる電流：2[ ]A 3 R を流れる電流：2[ ]A (3) 充電前， 2 つのコンデンサの電気量 は共に [ ]0 C ．充電後，コンデンサC ，1 2 C の電気量はそれぞれ [µF] [ ]V [µC] 2 ⋅12 = 24 [µF] [ ]V [µC] 1 ⋅4 = 4 で，2 つのコンデンサは抵抗R 側が共1 に負極であるから，抵抗R には右に合₁ 計24[µC]+4[µC] =28[µC]の電気量が 通過したことになる．

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answer (1) 静止状態でのつり合いからばね定 数は 5mg

ℓ

．向心方向の運動方程式よ り 2 5 ( )sin mg sin m

ℓ

+x θ ω⋅ = x θ

ℓ

2 2 2 5 x g ω ω ⇔ = − ℓ ℓ (2) 鉛直方向の力のつり合いより 5 cos mg x θ ₌ mg

ℓ

2 2 5 cos 5 g ω θ −_ω ⇔ = ℓ ℓ

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answer (1) 衝突後の小球 A のはね返る速さを v ， 小球 B の速さを V とすると，衝突時の 運動量保存則よりmv_{0 =} MV ₋mv． また，はね返り係数が e であることか らev_{0 =} V _{+ ．以上連立して} v 0 eM m v v M m − = + ， 0 (1 e m) V v M m + = + を得る．v >0より m _< eM． (2) 小球 B の単振動の振幅 A は

0 (1 ) M e m M A V v k M m k + = = × + 小球 B の単振動の周期を T とすると ばねが最も伸びるまでの時間t₁は 1 3 3 3 2 4 4 2 M M t T k k π π ⋅ = = = この時間で，小球 A が B の単振動領域 を離脱しなければよい． 1 3 ( ) 2 1 3 e A vt m M e π π > ⇔ > + +

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answer (1) 柱の静止時の力のつり合いより 3 3 5 5 S g S g ρ_{′ =} ρ _ _{ ⇔} ρ_′= ρ    ℓ ℓ (2) 2 1 3 6 2 5 5 W = − ρS g

ℓ

×

ℓ

= − ρS g

ℓ

(3) 2 2 2 2 1 3 2 2 W ₌ ρS

_ℓ

g₊ ρS

_ℓ

g ₌ ρS g

_ℓ

(4) 柱のエネルギーと仕事の関係は 2 1 2 1 3 2 5 ρS v W W  _  _{ = +}  _  ℓ 以上より v₌ gℓ

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answer り抜ける．よって， 2 1 2 qE L d m v  _  _ > _{ } よ り， 2 qE v L md > ． (2) 荷電粒子の運動 は反時計回りの等 速円運動．半径を r とすれば運動方程 式は 2 v m qvB r = また，図の幾何条 件より_{d r r}2 _L2 > − − ．以上 r を消 去して， 2 2 ( ) 2 qB L d v md + > ． (3) 荷電粒子が電場と磁場から受ける 力がつりあえば，等速直線運動で極板 間を通り抜けることができる． p p E qE qv B v B = ⇔ = p v> v の場合は電場からよりも磁場 から受ける力が大きくなるので，荷電 粒子は極板 A の方向に曲がる．v < vp の場合は電場からよりも磁場から受 ける力が小さくなるので，荷電粒子は 極板 B の方向に曲がる．よって d L A r

3 P V 0 k P S + ℓ 0 P Sa _{S a +}( _ℓ) 0 (2) 求める仕事は前問のグラフの面積 だから， AB 0 0 2 0 1 ( ) 2 1 2 k W P P S S P S k = + + = +

ℓ

ℓ

ℓ

ℓ

(3) この過程での内部エネルギーの変 化を求めると

(

)

AB B B A A 0 0 2 0 3 3 ( ) ∆ ∆ 2 2 3 ( ) 2 3 2 U nR T P V P V k P a S P aS S P S k a k = = −   _  _{ } = _ + _ + − _   = + + ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ よって熱力学第一法則より AB AB AB 2 0 ∆ 5 3 2 2 2 Q U W P S k a k = + = ℓ+ ℓ + ℓ (4) 定積過程であるから気体は仕事を せず，求める熱は内部エネルギーの変 化に等しいから， _BC 3 ( ) 2 Q _{= −} k a

_ℓ

₊

_ℓ

． (5) 熱力学第一法則より， CA 0 5 2 Q = − P S

ℓ

(6) 2 cycle AB BC CA 1 2 W ₌Q ₊Q ₊Q ₌ k

_ℓ

(7) cycle AB 5 0 3 4 3 4 W k e Q P S ka k a = = + + + ≐ ℓ ℓ ℓ ℓ

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answer Ⅰ(1) V ₋vの長さに _{f 個の波が入る0} から， 0 V v f λ − = ． (2) 定常波の腹の間隔は 2 λ であり，F_S は速さ v でそれを観測するから， 1 0 2 2 V v T v vf λ − = = Ⅱ(1) 反射音の振動数はドップラー効 果を考えれば， 0 V v f f V v + = − ． (2) F の聞く単位時間のうなりの回数S はf ₋ f₀であるから，求める周期_{T は 2} 2 1 0 0 1 2 V v T T f f vf − = = = − Ⅲ 2 理由）F は一定の速度で進んでいるのS で振動数に変化はない．よって 3， 6ではない．伝播における減衰より， 入射音より反射音の振幅は小さい． よって，打ち消し合いによるうなり の節は生じないので1，4ではない． 反射板に近づくほど反射音は減衰 せず返ってくるので次第に音は大 きくなる．よって5はおかしい．以 上より最も適切なのは2である．

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answer (1) S を閉じた瞬間，コンデ ンサでの端子間電圧は 0 だから，R ，₁ R ，2 R は3 並列とみなせる．回路の合 R R 2R R E 1 R 2 R 3 R 4 R

成抵抗値は 7 5 Rとなり， 1 5 7 E I R = ． (2) 十分時間が経つと，コ ンデンサに流入する電気 量は 0 だから，R ，2 R に3 電流は流れていない．よってR の電圧1 降下は 2 E ．これはコンデンサの端子 間電圧に等しいから 2 2 1 1 2 2 8 E U ₌ C_ _{ =} CE    (3) コ ン デ ン サ の 端 子 間 電 圧 は 開 く 直 前 と 変わらず 2 E ．R ，₁ R ，2 3 R の合成抵抗は5 3Rだから， 2 2 5 3 3 2 10 E E RI I R = ⇔ = (4) 電流が半分になるとすべての抵抗 での電圧降下も半分となる．ゆえにこ のとき，コンデンサの端子間電圧も半 分であるから，コンデンサに残った静 電エネルギーは 1 2 32CE ．よってこれ までに回路で失われたエネルギーは 2 2 1 3 W ₌ U ₋ CE ₌ CE

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answer (1) 図の幾何条件よりα φ φ= 1+ ．2 1 回目の屈折での光の進行方 向のふれは右回りにθ1−φ1． 同様に 2 回目の屈折での光の 進行方向のふれは右回りにθ2 −φ2．よ ってこのプリズム全体でのふれの角は 1 2 1 2 β =θ +θ −φ −φ ． (2) 2 度の屈折それぞれに対し屈折の法 則よりsinθ1 =nsinφ1，sinθ2 = nsinφ2． これを近似してθ1 =nφ1，θ2 = nφ2． (3) (1)，(2)の結果よりβ ₌(n₋1)α． (4) 図のように見かけのスリットが生 じる．よって ( ) tan 1 2 d n β β α = ℓ ≐ ℓ = − ℓ ( ) 2 1 d₌ n₋ α_{ℓ ．} 0 S ℓ β d 見かけのスリット バイプリズム (5) 見かけの 2 つのスリットから生じた 光の干渉を，ヤングの干渉実験と同様 に考える．スクリーン上に生じる m 次 α 1 2 φ +φ R R E 1 R 4 R R R 2R 1 R 2 R R3 C 2 E