多粒径成分を含む骨材粒子の充填密度について

【論　 文】

UDC ：69T

．

322 ：666

．

972

．

12 ；620

．

193

　 　 日本 建 築学 会 構造系論 文 報 告 集 第423号

・

1991年5月 Journal　of 　Struct

．

　Censtr

，

　Engng

，

　AIJ

、

　No

．

423

，

　May

，

1991

　　　　　

多粒 径 成 分

を

含

む

骨 材 粒 子

の

_{充 填 密 度}

に

つ

い

で

COMPACTED

　

BULK

　

DENSITY

σ

F

　

AGGREGATE

　

WITH

　

RANDOMSHAPE

　 　　　 　

AND

　

WIDELY

　

RANGED

　

PARTICLE

　

SIZE

　

DISTRIBUTION

大 井 孝 和

＊

Takakazu

　

OOi

　

Anew 　concept

、

of　mathematical 　model 　on　the　compacted 　bulk　density _（solid　volume 　ratio _）of aggregate 

is

_proposedtoinvestigate　the　complex 　nature 　of 　_{packing　particles}　with

_．

randon 　shape and _widerange _grading

．



The

_{model 　expressed 　as 　a 　second 　order 　polynomial　of　the　sieve}

_．

_residuals （volume 　content 　ratio　

for

　each　particle　size ）can 　

be

　

det6rmined

　mathematicaLly 　

from

　the　constit _μ

．

tive　combinations 　of　the　models 　

for

　two　_particle　size　mixing

_，

　whQse 　coemcients 　arb　

derived

　

from

three



basic

　par母_皿eters 　representing 　special 　characteristics 　of　_{particles　packing}

．

　

Properti

_自s　of

these　three　parameters　are　studied 　through 　the　derived　values 　from　experimenf と

l

　resuLts

_，

　and　their

influences

　on 　the　

behavior

’

of 　the　model （grading　of 　the　closest 　_packing　etc

．

_）are 　

discussed

　

in

detai1

．

　　　　　　　

・

　　　　　　

，

　

Key

ωOizlS ；ag97・egate

，

　aggregate 　grading

，

　solid・_uolume ・_ratio

，

_sieve　analysis

_，

　closest　

Pack

　ing

，　mix 　

Pro

｝ 　 　 　 ortion 　　 　　 　　 骨 材

，

骨 材 粒 度

，

実 績 率

，

ふ る い分 け試 験， 最密 充 填

，

調 合

1．

序 　 論 　 骨 材 粒 子の_{最 密 充 填}はコ ン クリ

ー

ト調 合 理 論 を構 成 す る原則の ひ とつ で あ り

，

この原 則の重 要 性は超 高 強 度 耐 久性コ ン ク リ

ー

トの製 造に関する技 術 開 発におい て再び 認 識さ れ るであ ろう。 本 研 究は

，

不 規 則な形 状 を持つ 粒 子で構成さ れ

，

多

．

くの粒 径 成 分を含む粒 状 物 質の充 填に つ いて

，

最も単 純 化さ れた

q

とつ の数 式モ デル を介 し て 考 察し ようとするもの である

。

．

　 粒状 物質の充填に関して は

，

関 連 する多くの分 野で研 究 成果の膨 大_な蓄 積 が あり

，

そ れ ら を ま と めた資 料 も多 い1J

−

3）

_。

コ ン ク リ

ー

ト工学の_{分 野}に限っ て み て も

，

骨 材 の最 良の粒 度 分 布 を得る た めの研究は

，

既 に 百年の 歴史 を有 し て い る とい わ れ

，

白 山に よる文 献4L5 ｝_{に は}

，

最密 充填に関 し て連続 粒 度と不 連 続 粒 度の優 位性を め ぐる_問 題

，

コ ンク リ

ー

ト調 合 決 定にお ける理 論 的な方 法と半 経 験 的な方法の それぞれの発 展

，

ある い は ま た

，

各国の規 準の_{背 景}を な す諸理論な ど が興 味 深く述べ ら れ て い る

。

特に

，

そ れ らの文 献で詳 し

．

く紹 介さ れた フ ラン ス にお け る

Caquot，

　

Faury

ら の コ ンク リ

ー

ト調 合理論は

，

米国 にお け る伝 統 的な半 経 験 的 調 合 決 定 法6窒 と もに_， 骨材 粒 子の 密 実な充 填 をきわめて重 視す る もので あ る1）

_。

ま た最 近で は

，

骨材 2粒 径 成分の混 合 理 論 か ら 出 発 す る Powers の方 法8｝

・

D ） を前田10｝_が 追 試し

．

てい る

。

　骨材粒 子の集 合に対 して

，

その特 性 を統 計 的な指 標 を 用い て表現した研 究 もある

。

沓 沢はtl ）

，

粒子形 状のパ _ラ メ

ー

タ と して Waddel

・

Krumbein

_φ

定 義に よ るス フ

t

リ シ チ

ー

蛾 と円 摩 度Rx を用い

，

粒 度のパ ラメ

ー

タに は メ ジア ン径 M，

，

分 級 係 数 S

。

の ほ か

，

粒 度 分 布に関 す る標 準 偏 差 σ。 を 定 義して， 選 別し た川 砂 利お

よ

び 砕 石 の実 績 率と各パ_ラメ

ー

タとの関 係 を調べ _た

。

　 後 藤ら は更に組 織 的な研 究を行い1

．

z

．

｝

・

13 ）

，

　

JIS

ふ るい で 分 級し た骨 材 粒 子の個 数

，

．

長 さ

，

．

表 面 積

，

体 積

，

粗 粒 率 な どに_関す る統計量

，

す な わ ち

，

平 均 値

，

標 準 偏 差

，

ゆ がみ度

，

尖 度 を計 算して_， それ ら が 骨材の_{実 績 率}に及ぼ す影 響を調べ

，

_{粗 粒 率}に関する_{標 準偏}差

SD

と ゆ が み度

S

を用い て

，

細 粗 骨 材の混 合によ る実 績率の_増分を表し た

。

　

筆 者らは先に ］4 ）

_，

_{ふ る} い分 け た骨 材 3粒 径 成 分の混合 につ い て_， 3 次ま でのすべ_ての_項を含む多 項 式に よ る回 帰分析 を 行い

，

粒径比_が実績率に及ぼす 影 響 を調べ _た

。

ま た

_，

統計的 検 定の結果

，

こ の 回帰 式に お け る 3次の_項 の_係数がいずれ も有意で な かっ たことか ら，

次

の実 験で は15） 回帰式の次 数を

2

次まで と し

，

7粒 径 成 分 を 含み

，

連続 粒 度を な す混 合 骨 材の実 験 結果か ら， その回帰式の 幸 _{愛 知 工 業 大 学 工 学 部 建 築工学 科 　教 授}

・

_工博 P ・・f

・

・

D・_pt

・

・fA・ch ・t・ct・ ・alE・gi・ee「i・gFacu］ty ・f　E・gin・r・i・g

Aichi　Institute　of　Techn6Logy

，

　Dr

．

　

Eng．

極値と して

，

不 連 続 粒 度と な る最 密 充 嗔の解 を得た

。

こ れ が以下に述べ _{る数 式}モ デルの原 型である。

2．

数 式モデル の概 要 　 こ こでい う数 式モ デル と は

，

細 骨材

，

粗 骨 材およびセ メ ン トを混 合し た場合の よ うに

，

広い粒 径 範 囲 を持つ粒

・

状 物 質の充 填につ い て_，

JIS

ふ るい で分 級し たときの_各 粒径成 分の含 有比率 X，と充 填 密 度

Z

（実 績 率 ）の関 係 を次 式の よ う なZ次 多 項 式で表 現す る もの である

。

　 　 　 n　 　n 　 　　 Z

＝

Z

］Σ

A

丿

X

，

X

丿

…・

・

…・

……・

・

…・

…………

（1 ） 　 　 　 i

＝

1j

＝

t ここ に

，

Z ；混 合 骨 材の実 績 率

，

　A

，

_J ；

．

係 数

，

　X_，

，

_濁 ；各 粒 径 成 分の絶 対 容 積による含 有 比 率

，

す な わち

，

連続 する n粒 径 成分 がある と き

，

i

＝

1

，

　n　ノ

＝

らn であ る

。

ま た Xlを最 大 粒 径 成 分とする。 た だ し

，

各粒径成 分の絶対容積の和が 1に なる とい う制 約か ら

，

こ こでは Xiをimplicitに含ま れ る変数と し

，

上 式で は形 式的に i

，

jが 1のと きX

‘

，

　XJを1と す る

。

　（

1

｝式の_{係 数 ん丿}は， 式の性質上

，．

各単

一

粒 径成分 お よ び2粒 径 成 分 混合の各組み合わ せにお ける_{充填 特性} か ら決 定で き る

。

こ の こ とを， 簡単な 3粒 径 成 分 混 合の 場 合に例 をとりつ つ _示そ うIG ）

。

まず

，

3粒 径 成 分の混 合 に対し

，

（

1

）式は （2）式のよ うに

．

書 ける

。

　 　 　

Z

＝

＝

_{11u 十}！

4nX

：十

A

］zX3 十AnXl 十

、

4，3X ，X， 　 　 　 　 　十

A3eX

葦

・

・

t−・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（2） 　次に

_，

3粒 径 成 分か ら1成分 を 取 り除くことで

，

（2） 式は 2粒 径 成 分混合の充 填 特 性を表す

3

個の式に_{分 解}さ れ る

。

すな わ ち_， 　 　　

Z

，2

；A1

，十

A

，2×2十

A

，，

Xl ………・

・

…tttt

（

3

） 　 　　

Zi3

＝

A ，

，

十

A ，

_3Xs 十

A33XS・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　_（4_） 　 　　

Zz3；

（

A

，■十

An

十ん2）十（

− An

十

An − 2An

十

A2s

）

Xa

　 　　　 　 十く

Azz

十

A33− A23

）

X

；

・

・

・

・

・

…

　

tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（5） 　いま

，一

般 的に n 粒 径 成 分が ある と き， i番 目の粒径 成分 （粗 粒）とノ番目の_{粒 径 成 分}を混 合し た ときの充 填を （

1

）式のモ デル を用いて次の ように書き表そう

。

　 　 　ZSJ； BO_‘ ∫

一

トBliiX」十正畫2“

XS ・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

tt・

・

・

…

　（6） 　上式に お い て_， Xi

＝

0の と き の Z‘，

＝BOw

は ‘番目の 粒 径 成分の実 績 率

Z

‘

，

ま た

，X

∫

＝

1と おい て得 ら れ る

Zu ＝BOw

＋

B1

，」＋

B2

‘」は

j

番 目の粒 径 成分の 実 績 率

・

Z

，で ある

。

図

一1

に （6）式の グラ フを示す。 　 （

3

）

〜

（

5

）式 をn 粒径 成 分 混 合の場 合に拡 張すれ ば

，

上の _（

6

_）式と （1 ）式の係 数の関 係は次の ようにな る

。

i＝

1の とき

，

BOw

＝：

An 　　 　　　 　

Blu ＝

Al∫ 　

一・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

tt・

・

・

・

・

…

　

一・

・

…

　〔7 ） 　　 　　　 　

B2u ＝

んノ

i

≧

2

の と き

，BO

，，

＝

All十Au 十Ait

　　 　　　 　

B1

‘∫竺

一

141‘十

、

4】丿

一

2！1‘i十

、

4‘，　

・

…

（8） 　 　 　 　

B2

∫丿

＝Aii

十ん丿

一

Aw あるいは

，

　 　A

，

1；

BO ，

j＝

BO ．

　 　

A

，」

＝Blu

　 　／4〃

＝B2u

　 　Aw

＝

B21 ‘十B2w

− B2w

（ただし

，

ぢ

毳

2_，n

−

1

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



9・

_{（9 ）} 　　　 　　　 　　　 　　 丿

＝

2， n　

i

〈ノ） これより

，

2粒 径 成 分 混 合の モデル であ る （6 ）式の係 数を決 定すれ ば

，

（1）式の係数

A

‘，は （

9

）式の 関 係 に よっ て直ちに定ま る こ と が分か る。 な お

，2

粒 径 成 分 混 合モ デル の 係数の_決定につ い て は後 述す る

。

　さて_， 混 合骨材の最密 充填粒 度とそ の実 績 率Zmax は explicit に含 まれ る変数

X

∫， （

i＝2，

　n）で （1 ｝

．

式 を偏 微 分し て

，

0とお いた n

−

1個の式 を連 立さ せて解くこ とに より

，

ひとつ の極 値 （最 大 値 ）とし て求 め ら れ る。 変 数

X

‘がいずれもその定 義 範 囲 内にある解 を 得る た め に は， 負値と なっ た粒 径 成 分の含 有 量 X を強 制 的に 0 と置い て _， 順 次 極 値の 計算を すれ ばよ い。 （な ぜ な ら

，

上に凸 な 2次 曲 面と な る関 数の_{極 大 値}が ある変 数の定義 域の外にあ るとき， 関数の最大 値は その変数の定 義 域の 端にあるか ら）

。

　こ こ で再び 3粒 径 成 分 混 合の場 合 を例にと ろ う。 （2） 式を

X

，と

X3

で偏 微 分して

，

そ れ ぞ れ を0 と置け ば

，

　 　 　21422×2十 〆L23」（

h＝一

／LI2 　　　 　　　 　　　 　　 　　　

…………・

・

………

（

10

） 　 　 　渦跼

X2

十

2A33

×3

＝一

！ 3 　こ れ を解い て_， 最

，

X，お よ び Xl

＝

1

−

X厂 為 を 得る

。

もし

，

X2が負 値に なっ た と き は

，

（2）式で X2

＝

・

0とお い て

，X

，の極 値 を 求 めれ ばよいの である が

，

計 算 機プ ロ グラ ミングでは 次 式の よ うにす る と便 利であ る。 　 　 　1

・

X2

＋0

・

λ』

＝

0 　 　 　 　

…・

……・

…・

………

（1ユ＞ 　 　 　0

・

X2十2AzzX3

＝−

A13 こ の _解

，

X2

＝

O

，

　

X3＝−

AiS_／2　A_，3 は （4 ＞式で示さ れ る

Z13

の極 値と

一

致す る。 Zmax

　　 ’

　　’

Zi

、

_、

　、

　 、

　 、

　 　 、

　　 、

　　 、

　　　

xZj 　 　 　 　 　Xi

＝

1　 Xp　_Xt Xi

・

O 　 　 　 　 　xj

＝

O　　　　　　xj

＝

1 図

一

！ 2粒径成 分 混 合に対 する （6） 式の モ デル

3．

数 式モデルの基本的パ_ラメ

ー

タ 　

2

粒 径 成 分 混 合の 充 嗔 特 性を表 す （6） 式のモ デル に は 3個の係 数 β_砺

，

Blw _，　B2w が ある

。

こ れ らの_{係 数} は X 座 標の両 端に おける

Z

値 （

Z

，：粗 粒 成分の実 績 率

，

Z

」：細 粒 成 分の実 績 率 ）および曲 線の頂 点の座標 （X．

，

Z皿 x ）の 3点 を選んで， 次 式の よ うに決定す るこ と が で きる

。

　 　 　

B2w

＝

一

_（

2

　

Zmax− Zi− Z

_ノ｝

一

₁₂

一

　 　 　 　

一

2　　

Zmax− Zt

　

Zmax−−Z

し）

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（12）

　　　Blp

＝− B2i

」

一

（

Z

‘

− Z

ノ）

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（亅

3

） 　　 　

BOi

」〒

Z

ピ

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

．

ユ4） 　 実績 率　

Z

_，

，Z

_，か ら

Zm

。x へ の 増 分 （曲線の 盛り上が り） を評 価す る た め に は ；（

12

）式

右

辺第

i

項を指 標と する 表現と

，

第 2 項を指標と する表現が考えら れ る

。

実 際に 実 験デL タに_適用して調べ _{た と}ご _ろ

_，

_{後 者}の ほ

．

うが

Z

‘，

Z

，値の 大き さに よ る影 響を小さ くで き るこ と が分かっ た

。

Zp

を （15）式の

_ホ

うに定 義すれ ば

，

　Zmax は （16） 式のように_与え ら れ るa 　　 　

Z

ρ； 　（

Zmax− 2r

、）

Zmax− Z

」　

・

∴

・

・

一・

tttttt

・

・

…

　（ユ

5

｝ 　　 　

ZmaX

＝ （

Z

_‘十

Z

」）／2

−

←　（

Zi− ZJ

） 2 ／4十

Z

_ち

・

・

・

…

_（16 ） （ユ5 ＞式の_{根 号}の_中が非 負であ る た めに は

Zm

。x≧

Z

‘か

．

つ

_．

Zmax

_≧

Z

，で な け ればな ら ないが

，

実 際に は粒径比で 隣 接する 2粒 径 成 分の組み合わ せに おい ても

，

それ に よ る不 都

_合

は ほ と ん ど起こ らな

・

い_{。 実績 率 名} と

Z

∫が特 に大き く相 違す る場 合は， 単 純に曲 線が上記の

．

3

点を 通 るよ うに係 数 を 決めて い る

。

　 （12 ト （14）式を用いて_{， （6）式}の 2_{粒 径 成 分}混合モ デルが

一

応 確 定で き る

。

ここで

，

“_各

一

_￥

・

L _{粒 径成}分の_実 績 率

Z 、

i　

Z

，

”

、

“

Zm 。

x の増 分の 指 標

Zp

”

お よび “ 頂 点の X 座標 Xρ

”

の 3 種類の_{特性 値群}を本数式モ デル の_基本 的パ _ラメ

ー

タと呼ぶ ことに し よ う

。

； 　 各パ ラ メ

ー

タの とるべ き値につ い て

，

矢 作 川 産お よ び 天 竜 川 産の 川 砂

・

川 砂 利を用い て行っ た筆 者らの実 験 デ

ー

ダ4）

・

15 ）

・

17 ） か ら調べ た結 果は次の と お りであ る

。

　

ま ず

，

単

一

粒 径 成 分の 実續 率

Z

‘ （気乾状態

，

ジッギ ン グ法お よび_{棒 突}き法併用， 以下 同様 ）と粒径 （mm ， ふ るい 目の寸 法の_中点で示す）の_{関 係 を 図}

一2

に示す

。

こ れ より

，

単

一

粒 径 成 分の実績 率

Z

‘は粒径と と もに減 少するこ と が わ か る。 こ の傾向は

，

主と して細粒と粗粒 の形状の違いと

，

粒子 間の摩 擦力などに打ち勝っ て充填 条 件を等しく_する ため に必

_要

な力の差に よっ セ生 じ た も の と思わ れ る。実際の問題に本モ デル を 応用す る 場合は， 係数決 定に際 し

，

パ ラ メt タ

Z

‘に そ れ ぞ れ適切 な条 件 の も とで測定さ れ た 実測 値を 用い るべ _きで あ ろ う

。

例え ば， 普通 ボル ト ラン ド セ メ ン トの実 績 率は

，

メ ス シリン

、

ダ

ー

の水 中で静か に沈 降させ た場 合0

．

38程 度

，

空気 中 の乾 燥 状 態で軽く盛り上げたとき 0

，

4程 度で あるが

，

水 で捏ねて ペ

ー

ス ト状にす れ ば0

．

56程度

，

高 性 能 減 水 剤 を加え

．

る と0

．

60以上に も な る。 　次に_， Zmax を評 価 するた めの指 標Zρ

．

と粒 径 比 （隣 接

．

す るふ るい 目の

・

log

　scale に よ る中 点に お い て最 大 粒 径 成分の粒

_犀

を 1と し

，

以 後 順に粒 径

_些

　1／2の ふ るい にと どま る成分の粒 径を粒径比 1／2Rの_指数

R

で表す

。

　R が 大ほ ど 粒径は小さい）の 関係を 図

一3

に示す

。

指 標

Z

ρ O

．

7 k

“

　

a．

6

，

哥 　O

．

5 蝋

0．

4

．

O

．

3 　 　 　 粒 径 区 分 151413121110987e54321 ゜ 駒 　

胃

し 馬

_．

　

’

　

．

毛 。 ・

糎

　

セ

　 　

癖

マ

な 准 硬 お 斡 羅 う

袰

蕋

！ な

薪

・

ミ

・ 　 ＝ 氣

愛

ミ 煢 　 　 　 ／ 一 ！ ’ ’

．

〆

ノ

ノ

ノ 20 の 係 5 国 ー 関 　

．

の

’

2 　 径 − 　 粒 3 　 と 伍 径 濫 　 　 率 80 粒 績 　 　 実 　 　 の 0 　 　 ふ 丿 　 　 　 る ノ 　 　 成 の 径 5e 粒 　 　

一

上 　 単 　 　 　 　 　

」

　 　 図 O

．

2 爵 O

．

且5 ゆ

支

゜

・

「

婁

。

．

。5

　

　

．

．

勇

津

｛

…

　　

！

_蛭

tr

髭

幾

欝

さ

　 　 　 　 　0 　 　 　 0　1　2　3　4　5　6 　 　 　 粒 径 比の指数 R　

．

図

一

3　増分の指 標Z

_ρ

と粒 径 比の指 数

．

R の関 係 1 爵 1　 0

．

5 箏

_、

怠

_●

…

・

蟻

．

鮮 　 　 　 　 　O 　 　 　 D　1　 2 　3　4　 5 　 6 　 　 　 粒 径 比の 指 数 R　 　 　

．

図

一

4　頂 点の 」じ座 標Xpと 粒径比の指 数R の関 係 の値は

R ・

＝

4 （粒 径 比 1／ユ6）あた りまで比 例 的に増 大し

，

．

それ以 後の増 大は緩 やか であ る

。

これ は

，

粗 粒の間 隙 を 充填すべ _き細粒の_粒径の_影響 （粒子干渉）を示す もの に 他な ら_ない

6

また，

R ＝

ユ

．

（粒 径 比 1／2）で は逆に比 例 的 傾 向より低い値になっ てい る が

，

そ の理由と して充 填 の_{幾 何 学 的 非 線 形 性}が考え ら れる

．

。 単

一

粒 径成分に も存 在する_{隣 接}する ふるい_目の範 囲で の_{粒 度}分 布の影響を消 去す れば

，

図

一

3の_傾向は他の

_粒

径比を持つ ふ るい の系 列に も適用で き る もの と 思わ れる

。

なお

，

既 報te ）で は図

一

₃の傾 向 を2本の直

_線

で近 似し た

。

こ れ は少しばか

．

り 大 胆な仮 定のよう

．

に思われ るが，

．

数 式モ デル の特 性を理 解するうえで 効果的で あっ た

。

なお

，

指 標 Z

。

の実 験 値 は 2粒 径 成 分 混 合の実績率の測 定デ

ー

タ をいっ た ん最 小 自 乘 法で 2次 式に近 似し

，

その

Zmax：

か ら計 算し た も の である

。

上の計 算で同 時に求め た頂 点の

X

座 標 鵜 と粒 径比

一 13 一

R

の関 係は図

一

4に示 す。

X

ρの値は，

2

粒 径成分の 混合 に お いて最 密 充 填とな る粒度の

X

，値 （細粒成分の含有 比 率〉で あ り

，

粒 径比の影 響を そ れほ ど受けず

，

ほ ぼ

0．

3

程 度であると 考えられて い る。 （

12

）

一

（

14

）式に よっ て （6）式の係 数 を決 定す る と き は

，X

ρの値を利用 し て い ない の で_， 得ら れ た曲 線の頂点の

X

座標は 必 ず し も

X

ρ とは

一

_致せず

_，

_{主と して実績率}

_Z

‘と

Z

丿椙 互の関 係か ら定まる

。

例えばZ‘

＝2

，の と き

，X

ρは常に 0

．

5 と な る

。

もし

，

Z‘

，

　Z，値へ の近 似 よ り も 頂 点の 座 標 （

Xp，

Zmax）へ _{の近 似}を_{優 先}す る と き は ， （

13

） （

14

）式の代 わ り に

，

下記の _（17 ）（

18

_）式 を用いて係 数

BltJ

お よ び

BO

“ を 計 算 す れ ば よい

。

　　 　

Bltj＝− 2B2

“

X

ρ

・

・

・

…

　

一・

・

t−tS−t・

・

・

・

・

・

・

…



一…

_《17） 　　 　

BO

‘，

＝Zmax− 131t

∫

X

ρ

一B2

“X5

−・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（18） 　な お

，

本 数 式モデル によっ て最 密 充 填 粒 度 を 推 定 する と き は

，

後述す る よ う にパ _ラメ

ー

タ

Xp

の影 響 がき わ め て_大きい の で

，

図

一

4に お ける Xρの実 験 値の傾 向を（

19

） 式の よ う に 近似し

，

（

17

）（18）式と ともに用い る。 　　 　 X

ρ

＝

（Xロ十 〇

．

3R ）ノ〔1十R ）

………・

……

（19 ） ここ に

，

R は粒径比の指 数

，

　X

，

は （ユ2）

一

〔14_）式によっ て係 数 を定め た （6）式の曲線の頂点の X 座標である

。

・

　こ こ で

，

2粒 径 成 分 混 合の充 嗔 特 性を表 すこれ らの基 本 的パ ラ メ

ー

タが

，

n 粒 径 成 分混合モ デル の_特性に及ぼ す影 響を調べ _{るた め}

，

_（12 ）（

17

_）（18 ）_{式と （9＞式を} 用い て _（

1

_）式の係 数を決定し， 最 密充填粒 度を求め る 計 算を実行してみ る

。

煩 雑さを避け る た め

，

計 算 条 件は で きる だ け単 純 化し

，

7粒径成 分混合， パ ラ メ

ー

タ

Z

、 は0

．

58

一

定

，

パ ラ メ

ー

タ

Z

。 と粒径 比の指数

R

の関係 は 2本の 直 線で近 似

，

比例 区間の _{傾 斜 （}

AZ

_ρ／

AR

_）

＝

0．

03

と 仮 定， 比 例 区 間の範 囲は限 界 粒 径 比

R

．までとす る

。

　図

一5

に は

，

パ ラメ

ー

タ X

，

をひと まず0

．

4に固 定し

，

限 界 粒 径 比

R

。を2か ら6の範 囲で変 化 させ た場 合の最 密 充 填 粒 度の変 化を示す。 得ら れ た結果 はいずれ も不 連 loo 　 80 §

》

₆₀ 覈　40 　 20 　 　 　 粒 径 区 分 7　 　 　6　 　 　5　 　 4　 　 　3　 　 　2　 　 　10 20

　 §

40

）

60 肆 80 　 　 　O　 lOO 　 　 　 O

．

150

．

30

．

61

，

22

_．

₅₅₁₀₂₀ 　 　 　 粒 径　 （ふ る い目）　（mn ） 図

一

5　7粒 径 成 分混合の最 密 充 填 粒 度に及ぼ す限 界 粒 径 比R

、

　 　 　の影 響

一

₁₄

一

100 L2 分 3 区 　 4 径 粒 　 567 　 　 　 　 　 　 　 80 　 　 　

§

）

碍 60 顛 40



　

2。 0 20

　§

40v 60肆 80 　 　 　0　 　100 　 　 　 0

。

150

．

30

．

61

唖

22

，

551020 　 　 　 粒 径 　 （ふ るい 目 ）　 （mm 》 図

一

6　7粒径成分 混合の_{最 密充填 粒度}に及ぼ すパ ラ メ

ー

タ

Xp

　 　 　の_影響 続 粒度に なっ てい る

。一

般に

，

n 粒 径 成 分 を 混 合 する場 合限界粒径比

Rc

が （n

−

1）以 上であれ ば最 密 充 填 粒 度 は最 大粒 径 成 分と最小 粒 径 成 分だ け を含む ように な り

，

（n

− 1

）

IRc

が整 数に な る場 合は， その 数 だ け粒 度に不 連 続な区 間 （ギャ ップ）が 生 じ る

。

（n

−

1）／

Rc

が整 数 にならない場 合は

，

最 密充填の_粒度分布は よ り複雑な規 則 性を示 す。 ま た

，

パ ラメ

ー

タ

Xp

の値 を粒 径 比に無 関 係に

一

定とし たと き は

，

最 密 充 填の粒 度 分 布が各 単

一

粒 径 成 分の実 績率

Z

‘の値に か か わ らず 同じとな り

，

Z‘の 値は そ の最 密 充 填 粒 度の実 績 率に の み影 響す る。 　図

一6

に は

，

限 界 粒 径比

R

。 を3と

6

に限定し

，

粒 径 比に_{無 関 係}に

一

定と し た パ ラ メ

ー

タ X_。の値を0

．

3

，

0

．

4

，

0

．

5と変 化させ たと きの最 密 充 填 粒 度を示 す。 こ の図は 多粒 径 成 分 を混 合し た と き の最 密 充 填 粒度とパ ラ メ

ー

タ Xρ （2粒 径 成 分の最 密 充 填 粒 度〉との基 本 的な関 係を 示 唆し てい る

。

　な お

，

増 分の パ ラメ

ー

タ

Zp

の比例区 間にお ける傾 斜

AZ

ρ／

AR

と 限 界 粒 径 比

R

。は

，

そ れ らの値が大きいとき， 粗 粒の 間 隙に より多くの細 粒が充 填さ れ ること を示す も の であるか ら

，

多粒径 成 分 混 合の実績率 を増 大さ せ る

。

　次に_， 粒子の形 状が多 粒 径 成分混 合 時の実 績

．

率Z に

．

及ぼ す影 響 をどう評 価す る か とい う問 題の た め に

，

沓 沢 に よ る次式tl）_{をこ こ で引用 し て お き たい}

_。

　　　

A

＝

60　iVWt

………・

…・

・

一

・

・

…・

……・

……一

《20） こ こ に

，

A ：_単

一

_粒径成 分の_実績率 （％）

，

　 Vx

，

　Rx ： それぞれ_， 個々 の_粒子の ス フェ リシ チ

ー

お よ び円 摩 度を粒 子 群に

．

つい て個 数で平 均したもの

。

　この_式は

，

粒子の形 状 を示すパ ラ メ

ー

タ が定量的に評 価さ れ た と き

，

単

一

粒 径 成 分の実 績 率 Zeに及ぼ す粒 形 の影響を 示 す もの である

。

　2粒 径 成 分を 混合す る場 合， 細粒の粒 形が非 常に良 好 で

，

そ の実繽 率

Z

，が粗粒の実績 率

Zt

よ りも高 けれ ば

，

．

（12 ）

〜

（14 ＞式で係 数を決 定す るモ デル の パ ラメ

ー

タ

X

。 はO

．

5

よ り大と なる

。

こ の傾 向は実 験で も認め ら れ る

。

（19） 式はき わ めて簡 素な式で

，

パ ラ メ

ー

タ

Xp

の挙 動

丶

につ い て実 験デ

ー

タ との幅 広い

一

致を 目指す もの では な

．

い が， （

12

）

一

（

14

）式の モデル に よ るパ ラメ

ー

タ

Xp

の 傾 向 を修 正し て表現 す る もの であ る

。

　これ らの こ とか ら

，

多粒 径成分 を 混 合 し た 場 合に お け る各粒径成分の_粒形の影 響は

，

本数式モ デル に おいて は

，

基 本

的

パ ラ メ

ー

’

タの う ち

，

パ ラ メ

ー

タ Z‘

，Z

，とパ ラ メ

ー

タ

X

。に よっ て考 慮 さ れて いる とい うこと ができ る

。

4．

実 験 デ

ー

タ によるモデル の検 討 　以 上の考 察に よ り

，

本 数 式モ デルの特 性に及 ぼ す各パ ラメ

ー

タの影 響が明ら かになっ たので， こ こ で い くつか の現 実 的なモデル を構 成し

，

実 験デ

ー

タの傾 向と 比較し て み よ う

。

検 討の た めに用い るデ

ー

タは既報］4 〕

・

15 ｝

・

ITI_の もの である

。

　 現 実 的なモ デル の パ ラメ

ー

タの う ち

，

各 単

一

粒 径 成 分 の実 績 率 Z‘に は

，

図

一

2に点 線で示し た よ うな実 測値

．

の傾 向 を 与え る

。Zmax

の増 分の指 標

Z

ρ につ いて

，

基 本 的に は

，

図T3 の実 測 値の各 粒 径 比ごとの平 均 を とるこ とにす る

。

採用 した

Z

_，の値を衾

一

1に示す

。

ま た

，

パ ラメ

ー

タ

Xp

の値は （19 ）式によ る もの と する

。

　実 験 デ

ー

タは

_，

既に述べ _{た よう}に矢 作 川 産 と天 竜 川 産 の粗 細骨材 を分 級し た 20　mm

−

O

，

15　mm の 7粒 径 成 分 につ い て_， い ろいろ な組み合わ せ に よる 5 シリ

ー

ズの混 合 実 験， 合 計

557

調 合の測 定 結果 を含んで いる。 　表

一2

に は_， 比 較の た めに実 験デ

ー

タ か ら最 小 自乗 法 で_求めた _（1）式の係 数 （統 計モデル ）と， 上記の 基 本 的パ

．

_ラメ

ー

タか ら誘 導して得た基 本モ デル の_係数を示 表

一

1　増 分の指 標 Z_ρの粒 径 比に対す る傾 向 指 標 Zp R

＝

1 R

；

2 R

＝

3 R

；

4 基 本モデル 修正モデル 0

．

0240

，

039O

，

0580

．

082O

．

0930

．

1ユ80

．

1220 」21 指 標 Zp R

＝

5 R

・

6 以 上

・

基 本モ

．

デ ル 修 正モデル O

，

1390

．

143O

．

1450

．

146 100 　 80

§

）

60 馴 40 　 20 　 　 　 粒 径 区 分 765432

_．

10 20

　 §

40

）

　 冊 60 留 80 　 0　 1bO 　 O

．

15　0

．

3　　0

．

6　　1

．

2　　2

．

5　　5　　　艮0　　　20 　 　 　 粒 径　（ふ るい 目 ）　（皿旧_） 図

一

7　現実的なモデルで推 定しtR 密 充填粒 度の比 較 す

。

　 　　 　 　　 　 　 　　 　 　　 　 　 　　

．

・

　 両 者の係 数 を

一

致 させ る ために最 も大き な影 響 を 持つ の は パ ラ メ

ー

タ

Z

。 と粒 径 比 R の関 係で あ る。 こ こ で

，

統 計モデル か ら 2粒 径 成 分 混 合 式を逆 算し て推 定し た増 分の指 標

Z

ρ を表 Ll _{に併 記し}

_，

_図

一

_{3に鎖 線で記 入する}

_。

この傾 向 を用い たモ デルを修 正モ デル と呼ぽう

。

表

一

2　現実 的なモデ ル に お け る （1）式の係数 係 　 数 統 計

　

　

　

　

モ

　

　

デ

　

　

丿レ

」

基 本モ デル 修 正モデル All D

．

62980

．

6720O

．

6730

A12 0

．

MIO0

，

0768O

．

1248

A13 0250 正 o

．

1671

　

・

O

　

，

　

2374

．

Al4 0

．

45250

，

25620

．

3260 A15 0

．

41530



，

_L

327互 o

．

3244 A16 D

．

46960

，

36590

．

3765 Al7 O

．

47540

．

．

3768o

．

3794 A22

一

〇

，

1474

一

〇

．

D960

・ ．

．

．

O

．

L560 A23　

−

A24

一

_D

_．

_3皇47

−

_O

_，

₃₁₃₄

一

_〇

_．

_23M

−

0

．

．

2354

一

_〇

_．

₃₂₇₇

，

−

0

．

2996 A25

一

〇

．

2238

一

〇

甲

2】14

一

_〇

．

L679 へ26

一

〇

，

2189

一

〇

．

1636

． 一

〇

．

2435 　　　A27F

一

〇

．

M67

・

0

．

1198

一

〇

．

1679 A33

一



〇



．

_’

3041

一

〇

．

2324

一

〇

．

3283

i

　　　　　A34

一

〇

．

6921

一

〇

．

5058

一

〇

．

6445 A35

一

〇

．

5486

一

〇

．

4886

一

〇

．

4849 A36

一

〇

．

3758

一

〇

．

4169

一

〇

．

4292 　　　　　　　A37

齟

一

〇

．

3750

一

〇

．

3254

一

〇

．

3736 A44

一

〇

．

5172

一

〇

．

3731

一

〇

。

．

4728 A45

．

O

．

8501

．

0

．

7659

一

〇

．

8021 A46

一

〇

．

7558

一

〇

．

6982

一

〇

．

7184 A47

一

〇

．

5279

一

〇

．

5B29 ：

．

0

，

5872

・

A55

一

〇

．

4848

一

〇

，

4899

一

〇

，

4859 A56

一

〇

ド

8879

．

−

o

．

95L7

一

〇

．

9040 A57

一

　

　

〇

．

　

7361

　

　

　

噛

一

〇

．

8404

一

〇

．

74喧9 A66

一

〇

．

5618 「0

．

5589

一

〇

．

5748

A67

一

D

．

9421

一

LO461

一

1

．

oo64

A77

一

〇

．

58？5

一

〇

．

5842

’

一

〇

．

5883 椎足 値の標 準 誤 差 o

．

0163o

．

0379o

，

D334 推 疋 値 の偏寄 り O

．

OOOO0

．

01B30

．

Dl20 最 露 充 堀の翼 績 率 0

．

755 o

，

743 0

．

752 loe 　 80

§

sv

　₆₀ 蛾 40 　 20 0 　 　 　 粒 径 区 分

・

151413121110987654321 1520800

■

31

，

25ZO 　 　（鯉） 　 粒 径 　 　 〔団m） 0 20

_（

　 § 40 6e 肆 　 鰹 SO IOO 図

一

₈基 本モデル に よ る多 粒 径 成 分_灘合 時の最 密 充 填 粒 度の推 　 　 　 定

一

₁₅

一

　図

一7

は

，

こ の各モ デル につ い て

，

7粒 径 成 分 混 合 実 験に対す る最密充 填粒度の計 算 結 果を比 較し た もの で あ る。 ま た

，

図

一8

に は こ の基 本モデルを用い て推 定 し た 11

，

13お よび

15

粒径 成 分 混 合の最 密 充 填 粒 度 を 示 す。

5．

結 　論 　広い粒 径範 囲 と不 規 則な形 状 を持つ 粒 状 物 質の充 填 特 性を調ぺ _{る た め}

，

_{粒 径 比}1_／2の系 列の ふ る い で分 級し た 各 粒 径成分の含 有 比 率と充 填 密 度 （実 績 率 ）の _関係 を 表 す （

1

）式の よ うな 2次 多 項 式によ る数 式モ デルを提案 し た

。

　

（1 ）式は そ の係 数の性 質に よ り

，

（7）（

8

）式の関 係 を用い て 2粒 径 成 分 混 合の _（

6

_）式の モ デル に 分解で き， また （9）式の関係を用い て （6 ）式の係 数か ら（

1

） 式の モ デルを再 構 成す ること ができ る

。

　

（

6

）式の 2粒 径 成 分 混 合モデル は

3

個の係数を有し， これ らの係 数は 3種 類の基 本 的パ ラ メ

ー

タによっ て決定 さ れ る。 実験デ

ー

タか ら求めた 3種 類の基 本 的パ ラ メ

ー

タ

Zs，

　

Zp

お よび

Xp

は

，

各 単

一

粒 径 成 分ま た は2粒 径 成 分の各 組み合わ せ の粒 径 比ご とに

，

それ ぞ れ 図

一

2

，

3

，

4 に示す よ うな傾 向を示し た

。

な お

，

粒 子 形 状の影 響は パ ラメ

ー

タZiお よ び

Xp

に よっ て間 接 的に評 価さ れ る

。

　本 研 究で は

，

これ らの基 本 的パ ラメ

ー

タの値が多 粒 径 成 分モデルの特性に及 ぼ す影 響 を調べ る こ と に よ り

，

そ の複 雑な充填特性の

一

端 を 明らか にする こと ができた。 また

，

最密 充 填 粒 度の推 定 結 果が容 易に得 られ るこ と は 本 数式モ デルの特 徴で あり

，

粒 子 充 填に関す る多くの問 題へ _{の応 用が期 待で き}る。 　 この_数式モデル を更に特 殊な条 件

，

例え ば加 圧さ れ た 状 態や 超微 粒 子を含む場 合

，

ある い は水 を 加えて の混 合 充 填な ど に適用す る場 合に も， 基 本 的パ ラメ

ー

_{タに それ} らの条 件 下で測定さ れ た値を与え る な ら ば

，

本モデル の 適 合 性は保たれ る もの と 予 想 して い る

。

　 コ ンク リ

ー

ト調 合理論へ の応 用に際して は

，

（1）式 の変 数 X‘を

，

粗骨材， 細 骨 材

，

セ メ ン トの ように あ る 範 囲の既 知の粒度分布をも っ た新しい変数に変換し なけ ればな ら ないが

，

これに対して数 学的な 困難は 認 め ら れ ない

。

参考文献 1_｝久 保 輝

一

郎ほ か編 ：粉 体

，

理論と応 用

，

改 訂二版

，

§2

_，

　 　§5

_，

§6

，

丸 善

，

1979

一

₁₆

一

2）　Allel1

，

　

J．

　R

．

　L

．

：Sedimentary　Structures

，

　TheiT　Charac

−

　　ter　and 　Physical　Basis

，

　Developments　in　Sedimentology

　 　30

_，

§4

，

§5

，

Elsevier

，

1984 3｝ 例えば宇 梶 文 雄 ： フ ィル ダム技術 ノ

ー

ト

・

材料の基 本と 　 　実 際

，

§1

．

6

，

日 刊 工 業 新 聞社

，

1979 4）　白 山和 久 ：各国の コ ン クリ

ー

ト調 合法 （皿）

，

建 築 技 術

，

　 　No

．

58

，

　pp

．

67

−

73

，

　1956

．

3 5＞ 自 山和 久 ： フランス にお けるコ ン クリ

ー

トの 調 合 法 （1＞ 　 　（2）

，

セ メン トコ ン ク リ

ー

ト

，

No

．

161

，

pp

．

25

〜

31

，

1960

．

7

，

　 　No

_．

₁₆₂

_，

　pp

．

28

−

33

_，

　1960

．

8

6）　ACI　

Sta

皿

dard

　；Recommended　

Practice

　fer　SeLecting

　　 Properties　for　Concrete_（ACI　613

−

54）

。

近 藤 泰 夫 訳 ；米 　　国コ ンク リ

ー

ト協 会 標準　改 訂コ ン クリ

ー

ト配 合 設計 法

，

　 　国民科 学 社

，

付 録

，

pp

．

27

−

82

_，

1955

7）　Popovics

，

　S

．

：Concrete

−

Maki皿g　Mateiials

，

§12

，

§13

，

　 　McGraw

・

HilL

，

1979

8）　Powers

，

　T

．

　C

．

；Topics　in　Concrete　Tech皿ology L

　　 Geometric　Properties　of　Particles　and　Aggregates

，

　

J．

　of

　 　PCA 　R＆D　Lab

．

，

pp

．

2

〜

15

，

］964

．

1

g_）



Powers，　T

．

　C

、

：The　Properties　of　

Fresh　ConcTete

，

§1

，

　 　§6

_，

_John

　Wiley＆ Sons

，

1968

10） 前田孝

一

：T

．

C

．

　Powersの コ _ンク リ

ー

トの調 合 理論の実 　　験 的 検 討に関す る研究

，

llO9

，

日本 建 築 学 会 大会学術 講 　 　演梗 概 集　（関東 〉

，

　pp

．

217

−

218

，

　1988

．

10 1］） 沓沢　新：骨 材の粒 度と 形 状の パラメ

ー

タ と くに空 げ き 　　率との関 係 （1）（2

・

完 ）

，

セ メ ン トコ _ンク リ

ー

ト

，

　No

．

　179

．

　　pp

．

3

〜

ll

，

　1962

，

1

，

　No

．

180

，

　pp

．

8

−

15

，

1962

．

2 12） 後 藤 知 以 ：コ _ンク リ

ー

ト骨 材 粒 度の統計的記述

，

日本建 　 　築 学会論文 報 告 集

，

第274号

，

pp

．

1

−

8

，

1978

，

12 13｝ 後藤 知 以

，

金 野 時 見 ： コ ン ク リ

ー

ト骨 材の実 績 率の 推算 　　に関す る実験 的 研究 （第 1報

1

骨材の実績率に及 ぼ す粒 　　度の影 響

，

（第2報 ）細 骨材と粗骨 材の混 合実 績 率の推 算

，

　 　日本 建 築 学 会 論文報告 集

，

第280号

，

pp

．

1

−

9

，

1976

．

9

，

　 　 第284号

．

pp

．

］

−

8

，

1979

．

10 14） 大 井孝和

，

小池 狭 池 朗

，

加 藤 善之助 ：三粒 径 グル

ー

プか 　　 ら な る 骨材の充 嗔に つ い て

，

1055

，

日本 建 築 学会 大会学 　 　 術 講 演 梗 概 集 （北 海道 ｝

，

pp

．

109

−

110」 978

．

9 15） 大 井 孝 和

，

中 西

　

誠 ：7粒 径 成 分か らな る骨材の充嗔に 　　つ い て

，

1006

，

日本 建 築 学会 大 会 学 術講演梗 概 集 （関 東 ）

，

　 　pp

．

11

−

12

，

　1984

．

10 16）大 井 孝 和 ；_{骨 材}とセ メ ン トの混合に おける充 填 密 度の数

　　

式モ デル

，

1320

，

日 本 建 築 学会 大 会学 術講 演 梗概 集 （中 国 ）

，

　 　Vol

．

　A

，

　_pp

．

639

−

640

，

1990

、

10 17） 中西 誠1骨 材 粒 子 堆 積 構 造の_特性とまだ固ま ら ないコ 　　 ン クリ

ー

トお よび硬化コ ン クリ

ー

トの 諸 性 質 との 関係に 　　つ _いて

，

愛 知 工 業 大 学 大 学 院修士 論文

，

1985

．

3 （1990年8月IO 日原 稿 受 理

，

1991年 2月6日採用 決 定 ）