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1

第 8 章 ：フィードバック制御系の設計法

学習目標

：

8.1 設計手順と性能評価

キーワード

：

設計手順，性能評価

一般的な制御系設計における手順と制御系

の性能評価について学ぶ．

2

第 8 章 ：フィードバック制御系の設計法

学習目標

：

8.2 PID 補償による制御系設計

キーワード

：

P（比例），I（積分），D（微分）

PID 補償の有効性について理解し，

その設計手順を習得する．

3

8.3 位相進み‐遅れ補償による制御系設計

キーワード

：

位相遅れ補償，位相進み補償

第 8 章 ：フィードバック制御系の設計法

学習目標

： ループ整形の考え方を用いて, 位相遅れ補償，

位相進み補償による制御系設計を習得する．

4

8. フィードバック制御系の設計法

8.1 設計手順と性能評価

制御系の設計手順

レギュレータ問題（定置制御） ：一定の値に保持（制） サーボ問題（追従制御） ：目標値に良好に追従 （御） 人工衛星の姿勢制御など 航空機の自動操縦など 5 ［ステップ１］ 制御対象の数学的 モデルを求める. ［ステップ２］ 制御目的から, 性能仕様を決める. ［ステップ３］ 性能仕様を満たすように, コントローラを設計する. ［ステップ４］ シミュレーションにより, 設計された制御系を評価する. 必要なら ば以上のステップを繰り返し設計をやり直す. ［ステップ５］ コントローラを実装し, ハードウェアを用いてテストする.

制御系の設計手順

現実の世界 紙の上の世界 制御目的 性能仕様 実装 モデリング 数学的 モデル コントローラ 設計 コントローラ 実現 制御対象 6 （ 広い意味では ） • センサ・アクチュエータの選択・配置 • 制御量・操作量の決定 • 動作環境・拘束条件の分析… など 光センサ タッチセンサ ＬＥＧＯ

7

制御系の性能評価

定常特性（§4.2 ） : s e 定常位置偏差 ) 0 ( 1 1 L es + = : p K 位置偏差定数 Kp=L(0) 表4.1 制御系の型と定常偏差 制御系の型 0 型 1 型 2 型 1 ) (t= r r(t)=t () 2/2 t t r = p K + 1 1 v K 1 a K 1 ∞ ∞ 0 0 0 ∞ 図4.4 定常位置偏差 s e t 0 5 10 15 0 5 . 0 1 5 . 1 ) (t y ) ( ) ( ) (s PsKs L = ) (s K u 0 = d y ) (s P + r + e − 定常特性 過渡特性 8 過渡特性 速応性 減衰特性 時間応答 周波数応答 r T 立上り時間 max A オーバーシュート d T 遅れ時間 s T 整定時間 p T 行過ぎ時間 減衰比 r T max A p T d T s T % 2 ± 図3.10 過渡応答と諸特性値 t 1 . 0 5 . 0 9 . 01 ) (t y

制御系の性能評価

定常特性 過渡特性 に基づく性能評価 時間応答に基づく性能評価（§3.4 ） 9 2次系 Im Re

×

×

ωn n ω − −ζωn θ 2 1 ζ ωn − 0 図3.8 2次系の極の位置 2 2 2 2 n n n s s P ω ζωω + + = ζ：減衰係数（2次系） 図3.7 2次系のステップ応答ωnt 1 . 0 = ζ 1 = ζ 0 5 10 15 0 5 . 0 1 5 . 1 ) (ty 過渡特性 時間応答 周波数応答

制御系の性能評価

定常特性 過渡特性 に基づく性能評価 時間応答に基づく性能評価（§3.3 ） 速応性 減衰特性 n

ω

：自然角周波数 10

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

Im

Re

図3.9 極の位置とインパルス応答 過渡特性 時間応答 周波数応答

制御系の性能評価

定常特性 過渡特性 に基づく性能評価 時間応答に基づく性能評価（続き）（§3.4 ） 速応性 減衰特性 11 時間応答 周波数応答

制御系の性能評価

定常特性 過渡特性 伝達関数に基づく性能評価 閉ループ 開ループ 閉ループ伝達関数に基づく性能評価 感度関数S についても：Mr(<2) 図8.1 閉ループゲイン特性 の場合 | ) ( |T jω 0 | ) 0 ( |T = 1 bw ω dB 3 r ω r M ) (s K P(s) + − r y 共振周波数

ω

_r 速応性 バンド幅 : bw ω 2 1 倍 dB 3 − 減衰特性 ピークゲイン : r M Mr=1.1~1.5(Mr=1.3) 12 時間応答 周波数応答

制御系の性能評価

定常特性 過渡特性 閉ループ_{伝達関数に基づく性能評価} 開ループ 開ループ伝達関数に基づく性能評価 Re 1 − O P G Im GM 1 PM 安定余裕 ［ゲイン余裕 / 位相余裕］ ［ゲイン/位相］交差周波数 （速応性）：ゲイン交差周波数 gc ω ω ≤gc ωbw ) 90 PM ( ≤ ° （減衰特性）：位相余裕PM ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ≥ − r M 2 1 sin 2 PM 1 経験的指針 追従制御 ： 定置制御 ： , 60 ~ 40 PM= °GM=10dB~20dB , 20 PM≥ ° GM=3dB~10dB 2次系の場合 ： PM≈100×ζ

13

ボード線図での読み取り

ゲイン交差周波数

_ω

_gcで （a） 安定 （b） 安定限界 （c） 不安定 ω ω ω ω ω ω 0 dB 0 dB 0 dB o 180 − ₋₁₈₀o ₋₁₈₀o gc ω ωgc pc ω pc gc ω ω = pc ω 位相 _位相 位相 ゲイン ゲイン ゲイン GM PM Im Re O Im Re Im Re 1 1 − 1 − 1 1 − 1 − 1 1 − 1 − O O P P G G を読み取る． PM （a） 位相が₋₁₈₀oより進む 安定限界 不安定

⇒

安定

⇒

⇒

（b） 位相が₋₁₈₀oちょうど （c） 位相が₋₁₈₀oより遅れる 14 （a） ゲインが0dB より低い 安定限界 不安定

⇒

⇒

⇒

安定 （b） ゲインが dB ちょうど （c） ゲインが dB より高い （a） 安定 （b） 安定限界 （c） 不安定 ω ω ω ω ω ω 0 dB 0 dB 0 dB o 180 − ₋₁₈₀o ₋₁₈₀o gc ω ωgc pc ω pc gc ω ω = pc ω 位相 _位相 位相 ゲイン ゲイン ゲイン GM PM Im Re O Im Re Im Re 1 1 − 1 − 1 1 − 1 − 1 1 − 1 − O O P P G G 位相交差周波数

_ω

_pcで GMを読み取る． 0 0 15 41 . 1 = pc ω

［ 例 6.6 ］

) 2 )( 1 ( ) ( + + = s s s K s L

（虚軸上に極がある場合）

) 3 (K= 20 0 60 − 20 − 40 − 1 10− 0 10 1 10 1 10− ₁₀0 ₁₀1 100 − 140 − 260 − 180 − 220 − 97 . 0 = gc ω 41 . 1 = pc ω ω o 6dB) GM(≅ ) 20 PM(_≅ o ゲイン［ dB ］ ［rad/s ］ 位相［ ］ ω［rad/s ］ 41 . 1 ≅ pc ω 6dB GM≅ 97 . 0 ≅ gc ω o 20 PM≅ ゲイン交差周波数 位相余裕 位相交差周波数 ゲイン余裕 16

制御系の性能評価

LTIview

ボード線図 ナイキスト線図（ベクトル軌跡） ステップ応答 閉ループゲイン特性 極・零点配置 17

8.2 PID補償による制御系設計

（偏差の） 比例（Proportional） 微分（Derivative） 積分（Integral） PID制御 図8.2 PID 補償 比例 積分 微分 制御対象 + + + + − PID 補償 r e u y

P 補償

コントローラ KP(s)=KP 比例ゲイン （ 定数 ） ・定常位置偏差を（必ずしも） 0 にできない （ 積分器が必要 ：型 ） ・ゲインの増大 不安定になり得る 18

PI 補償

コントローラ s K K s K I P PI( )= + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = s T K I P 1 1 I P I K K T = （積分時間） “偏差が残っている限り, これが 積分されて操作量に反映される”

定常特性の改善

低周波：−20dB/dec, ゲイン大,

ω

→0で

∞

I T 1 dB/dec, 20 − ) (jω KPI ∠ | ) ( | log 20 KPI jω P K log 20 ω ゲイン 位相 図8.3 PI 補償のボード線図 0 90 − ] dB [ ] s / rad [ I T 1 ω [rad/s] o o

19 s e P

［ 例 8.1 ］

) 10 )( 1 ( 10 ) ( + + = s s s P 制御対象

P 補償

, 10 = P K P P PK L = ) 10 )( 1 ( 100 + + = s s 図8.4 開ループゲイン とステップ応答 定常偏差 ＝ 0 （ しかし応答は遅い） 低周波ゲインが大きい 交差周波数が低い

PI 補償

s s s K_PI= +1=1+1 PI PI PK L = ) 10 ( 10 + = s s 1 = P K 1 = I K PI 0 1 6 . 0 8 . 0 2 . 0 4 . 0 0 1 2 3 4 5 ) (t y t[s] ゲイン ［ dB ］ 0 20 40 ω 10−2 0 10 102 ] s / rad [ 20 − P PI 0 . 1 = gc ω 20

PD 補償

コントローラ

s

K

K

s

K

PD

(

)

=

P

+

D

)

1

(

T

s

K

P

+

D

=

P D D

K

K

T

=

（微分時間）

過渡特性の改善

“ 偏差が増加（減少）しつつ あるとき, その先を見越して 操作量を大きく（小さく）する ” ［注］ 理想的な微分器は実現困難 ) 20 3 (− ≤N≤

s

N

T

s

T

K

K

D D P PD

)

/

(

1

)

1

(

'

+

+

=

) (jω KPD ∠ P NK log 20 P K log 20 D T 1 NT_D PD K PD K 図8.5 PD 補償のボード線図 0o 90 + o | ) ( | log 20 KPD jω ゲイン 位相 dB/dec 20 + ω [rad/s] ω [rad/s] ] dB [ PD K′ PD K′ 21

PID 補償

コントローラ s K s K K s K D I P PID( )= + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + = Ts s T K D I P 1 1 定常特性と過渡特性を改善 P D D K K T = （微分時間） I P I K K T = （積分時間） ) (jω KPID ∠ | ) ( | log 20 K_PID jω ゲイン 位相 図8.6 PID 補償のボード線図 D T 1 NTD 0 90 + 90 − ] dB [ dB/dec 20 + dB/dec 20 − o o o ω [rad/s] ω[rad/s] 22 PID 5 . 2 = gc ω

［ 例 8.2 ］

) 10 )( 1 ( 10 ) ( + + = s s s P 制御対象 s K s K K s K D I P PID()= + + コントローラ s s s 1)( 10) ( 4 1 + + = s PK LPID PID 5 . 2 = = P PI 図8.7 開ループゲインと ステップ応答 PI P 定常特性：_L(0)=∞ 過渡特性（速応性）： gc

ω

ゲイン交差周波数 低周波ゲインが大きい PI 補償と比べて高い , 75 . 2 = P K KI=2.5,KD=0.25 PID ゲイン ［ dB ］ 0 60 − 20 40 ω 10−2 100 102 ] s / rad [ 40 − 20 − 0 1 6 . 0 8 . 0 2 . 0 4 . 0 0 1 2 3 4 5 ) (t y t[s] 23 ゲイン ［ dB ］ 0 60 − 20 40 ω 10−2 100 102 ] s / rad [ 40 − 20 − ω 10−2 100 102 ] s / rad [ 位相 ［° ］ 90 180 − 90 − 0

［ 例 8.2 ］（続き）

位相余裕 PM 定常特性： ∞ = ) 0 ( L 過渡特性（速応性）： gc

ω

ゲイン交差周波数 低周波ゲインが大きい 減衰特性： PI P PID 5 . 2 = gc ω gc

ω

を大きくする PM を十分に確保する 24

PID チューニング （調整）

Ziegler and Nichols （1942）

（1）限界感度法 限界ゲインKu, 限界周期Pu 表 8.1 限界感度法 コントローラ P PI PID D T P K TI u K 5 . 0 u K 45 . 0 u K 6 . 0 0.5P_u 2 . 1 u P 8 u P 1 = K 17 = K 11 = K t 0 2 4 6 8 2 − 0 1 − 1 4 3 2 図 7.2 （b） 閉ループ系のステップ応答 4 2 4 1 5 1 ) ( ~ 2_{+ +} ⋅ + = s s s s P u P 限界ゲイン:Ku ) (t y

25

（2）

ステップ応答法

プロセス応答曲線 “1次遅れ+むだ時間” で近似 Ls e Ts K s P − + = 1 ) ( （定位プロセス） Ls

e

s

R

s

P

cf

:

(

)

=

− （無定位プロセス） 減衰比： 4 1 （ひとつの性能仕様） システム同定, 適応制御へ ) (t y 0 t K 図 8.8 プロセス反応曲線 L T T K 傾き R T K = コントローラ P PI PID D T P K TI 表 8.2 ステップ応答法 RL 1 RL 9 . 0 RL 2 . 1 2L 3 . 0 L L 5 . 0 ] [s 26

［ 例 ］ 限界感度法

) (s K P(s) + − r y 3 ) 1 ( 1 ) ( + = s s P 1 ) ( u Ku=− Pω O _Re 1 1 − 1 − 安定限界のとき， を通過 3 ) 1 ( + − = u u j K ω ) 0 , 1 (− ［step1］限界ゲインK_uの設定 ⇔ , 8 = u K 63 . 3 2 ≈ = u u P ω π 限界周期 限界ゲイン 3 = u ω ) 3 ( ) 1 3 ( 2 2 u u u u j K = ω − − ω −ω ] s [ 0 5 10 15 20 t 1 0 u P 27 表 8.1 限界感度法 コントローラ P PI PID D T P K TI u K 5 . 0 u K 45 . 0 u K 6 . 0 0.5Pu 2 . 1 u P 8 u P 8 = u K 63 . 3 ≈ u P 限界周期 限界ゲイン ［step2］PIDゲインの設定 0 5 10 15 20 t[s] 0 1 8 . 4 6 . 0 × = = u P K K 81 . 1 5 . 0 × ≈ = u I P T 45 . 0 8 / ≈ = u D P T s K s K K s K D I P PID()= + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + = Ts s T K D I P 1 1 28 ゲイン ［ dB ］ 0 100 − 50 ω 10−2 0 10 102 ] s / rad [ 50 − ω 10−2 0 10 102 ] s / rad [ 位相 ［° ］ 180 − 90 − 135 − o 3 . 30 PM= ［step3］性能評価 4 . 1 = gc ω 位相余裕 PM 定常特性： ∞ = ) 0 ( L 過渡特性（速応性）： gc

ω

ゲイン交差周波数 低周波ゲインが大きい 減衰特性： gc

ω

を大きくする PM を十分に確保する 29

位相遅れ補償

［注］

位相遅れ：（安定性の劣化の原因）

折点角周波数

1T

を適切に

1 ) 1 ( ) ( + + = Ts Ts K s K α α _(α>1)

コントローラ

α

log

20

+

, ) 0 ( K K =

α

定常特性の改善

]

dB

[

K K(∞)= ) (jω K ∠ ) ( log 20 K jω α log 20 K α log 20 K log 20 T α 1 1T 図8.10 位相遅れ補償のボード線図 ] dB [ dec / dB 20 − ゲイン 位相 0 90 − ω [rad/s] o o ω [rad/s] 30 ω[rad/s] 0 ] [o 180 − ゲイン 位相 ] dB [ gc ω

31 以上で設計パラメータ が定められたので, 位相 遅れ補償を構成する. 低周波ゲインが 上がることを考慮し_, 定常特性に関する仕様を満たすようにパラメータ の値を定める_. 位相遅れにより安定性が劣化しないように_{, 折点角周波数} をゲイン交差周波数より_{1dec 程度下になるように} 選ぶ. もうひとつの折点角周波数を と定める_. ［ステップ1］の を用いて開ループ伝達関数のボード 線図を描き, その低周波ゲインを評価する. 位相余裕やゲイン交差周波数に着目し, 望ましい 過渡応答特性が得られるようにゲイン補償 を決める. α log 20 +

α

K

［ステップ1］

位相遅れ補償の設計手順

［ステップ2］

_K

［ステップ3］ [dB] ［ステップ4］ T 1 =

ω

) /( 1

α

T

ω

= ［ステップ5］ K,α,T 32 図8.11 位相遅れ補償と開ループ特性 ゲイン ［dB ］ 位相 ［ ］ o 40 20 20 − 0 90 − 120 − 150 − 180 − ] s / rad [ ω 102 − 101− 100 101 制御対象 ) 10 )( 1 ( 10 ) ( + + = s s s s P

［ 例 8.3 ］

性能仕様 速度偏差定数（定常特性）Kv≥10 位相余裕（減衰特性）PM_{≥ 40°} P _=0.8 gc ω o 47 PM=

1

=

K

位相余裕やゲイン交差周波数に着目し, 望ましい 過渡応答特性が得られるようにゲイン補償

K

を決める. ［ステップ1］ OK

8

.

0

≈

gc

ω

°

= 47

PM

ゲイン交差周波数 位相余裕 ° ≥ 40 PM を満たす

]

rad/sec

[

33

)

10

)(

1

(

10

+

+

=

=

′

s

s

s

PK

L

) 1 (K= 図8.11 位相遅れ補償と開ループ特性 ゲイン ［dB ］ 位相 ［ ］ o 40 20 20 − 0 90 − 120 − 150 − 180 − ] s / rad [ ω 102 − 100 101 P _=0.8 gc ω 1 − 10 o 47 PM= ' L ［ステップ1］の を用いて開ループ伝達関数のボード 線図を描き, その低周波ゲインを評価する. ［ステップ2］

_K

開ループ伝達関数 ) ( ' lim ' 0sL s K s v= _→ 1 ) 10 )( 1 ( 10 lim 0 + + = = _→ s s s 速度偏差定数 性能仕様は K_v≥10 低周波ゲイン10倍以上必要 34 ゲイン 位相 ) (jω K ∠ ) ( log 20 Kjω α log 20 K α log 20 K log 20 T α 1 1T ] dB [ dec / dB 20 − 0 90 − ω[rad/s] o o ω[rad/s] α log 20 ] dB [ 低周波ゲインが 上がることを考慮し_, 定常特性に関する仕様を満たすようにパラメータ の値を定める_. α log 20 +

α

［ステップ3］ [dB]

 

10

=

α

低周波ゲイン10倍で 10 = v K 速度偏差定数 ゲイン ［dB ］ 位相 ［ ］ o 40 20 20 − 0 90 − 120 − 150 − 180 − ] s / rad [ ω 102 − 100 101 P _=0.8 gc ω 1 − 10 o 47 PM= ' L 35 T / 1 T α / 1 位相遅れにより安定性が劣化しないように_{, 折点角周波数} をゲイン交差周波数より_{1dec 程度下になるように} 選ぶ. もうひとつの折点角周波数を と定める_. ［ステップ4］ T 1 =

ω

) /( 1

α

T

ω

= gc ω ω[rad/s] 0 ] [o 180 − ゲイン 位相 ] dB [ T / 1 T α / 1 10 = T (

ω

=0.1)と選べば，ゲイン交差周波数

ω

gcより十分に小さい． , 01 . 0 1 = T α T1 =0.1 折点角周波数 ゲイン ［dB ］ 位相 ［ ］ o 40 20 20 − 0 90 − 120 − 150 − 180 − ] s / rad [ ω 102 − 100 101 P _=0.8 gc ω 1− 10 o 47 PM= ' L 36 T / 1 T α / 1 1 10 10 ) 1 10 ( 10 1 ) ( + ⋅ + ⋅ = s s s K 01 . 0 1 . 0 + + = s s 位相遅れ補償 8 . 0 = gc ω o 40 PM≥ ゲイン交差周波数 位相余裕 以上で設計パラメータ が定められたので, 位相 遅れ補償を構成する. ［ステップ5］ K,α,T 1 ) 1 ( ) ( + + = Ts Ts K s K α α 10 = T , 10 = α , 1 = K L o 7 . 40 PM= ゲイン ［dB ］ 位相 ［ ］ o 40 20 20 − 0 90 − 120 − 150 − 180 − ] s / rad [ ω 102 − 100 101 P _=0.8 gc ω 1− 10 o 47 PM= ' L

37

)

(

)

(

)

(

s

P

s

K

s

L

=

10 1 . 0 1 ) ( lim 0 = = = _→ sLs K s v

°

≥ 40

PM

ωgc≈0.8 OK OK ステップ応答, ランプ応答 OK 性能仕様 速度偏差定数（定常特性）Kv≥10 位相余裕（減衰特性）PM≥40

［CHECK］

) 10 )( 1 )( 01 . 0 ( ) 1 . 0 ( 10 + + + + = s s s s s ステップ応答 ランプ応答 ) (t y ) (t y 5 . 1 1 0 0 10 20 30 5 . 0 t[s] 20 10 0 0 10 t[s] 20 38 ) (jω K ∠ ) ( log 20 K jω ) / log( 20 K α K log 20 ) / log( 20 K α max ω max φ T 1 1αT ] dB [ ゲイン 位相 ω [rad/s] 0 90 o o 図8.13 位相進み補償 のボード線図 dec / dB 20 +

位相進み補償

  α α φ + − = 1 1 sin max max max sin 1 sin 1 φ φ α + − = ⇒ 位相が最も進む角周波数 T α ωmax= 1 位相進みの最大値 1 1 ) ( + + = Ts Ts K s K

α

(

α

<

1

)

コントローラ T T ω α 1 1 < < 過渡特性の改善, 安定化 位相進み ［注］ 高周波ゲイン→大 ノイズ増幅 ロバスト安定性の劣化 8章演習問題［4］ 39

ベクトル軌跡で見る位相進み補償

制御対象P(s) , ˆ _PK L= K:ゲイン補償 2 = K 3 = K 10 = K 1 − Im Re 1 = K K → 大 位相進み補償 位相余裕を増加させる 位相進み補償 Lˆ 1 − Im Re ゲイン補償のみ 1 = K 40 ω[rad/s] 0 ] [o 180 − ゲイン 位相 ] dB [ gc ω ωgc PM 41 与えられた位相余裕 PM とこの PM との差 が, 必要な位相進み量となる. ［ステップ1］の を用いて開ループ伝達関数 のボード線図を描き, その位相余裕 PM を評価する. 速応性や定常特性に対する仕様が満たされるように, ゲイン補償 の値を決める. これに適当な（例えば 以上の）余裕を考慮し, （ 以上）と定める. K ) ( ) ( ˆ _{s KPs} L = K PM PM ˆ_{= −}

φ

+

=

φ

φ

ˆ

max ° 5

°

5

位相進み補償の設計手順

α

max max sin 1 sin 1 φ φ α= ₊− ［ステップ1］ ［ステップ2］ _〈 〈 〈 ［ステップ3］ から, パラメータ の値を決める_. 42 以上で設計パラメータ が定められたので, 位相進み補償では最も位相が進む角周波数で, ゲインが1 _α 倍に上がる. そこで が （ ）である角周波 数を, 補償後の新しいゲイン交差周波数

ω

_maxとおく. α ) ( ˆ_jω L T K,α, から, パラメータ の値を決める.   , / 1 T=

ω

max

α

T このとき位相進み補償の折点角周波数は, となる. T α ω 1 max= ［ステップ4］ ［ステップ5］ ［ステップ6］   α log 20 = [dB]

α

ω

α

) / /( 1 T = max 1 1 ) ( + + = Ts Ts K s K α から, 位相進み補償を構成する.

43 図8.14 開ループ特性 ゲイン ［dB ］ 位相 ［ ］ o 40 20 20 − 0 90 − 120 − 150 − 180 − ] s / rad [ ω 40 − 101− 100 101 P Lˆ

［ 例 8.4 ］

制御対象 ) 10 )( 1 ( 10 ) ( + + = s s s s P 性能仕様 ゲイン交差周波数（速応性） 位相余裕（減衰特性） 2 ≥ gc ω ° ≈ 40 PM 速応性や定常特性に対する仕様が満たされるように, ゲイン補償K の値を決める. ［ステップ1］ ) 10 )( 1 ( 50 ) ( ˆ + + = s s s s L 5 = K ゲイン補償 開ループ伝達関数 OK 2 1 . 2 ˆ_{gc= >}

ω

ゲイン交差周波数 2 ≥ gc ω を満たす 1 . 2 ˆ_gc= ω o 6 . 13 PM= 44 性能仕様は PM_{≈ 40°} o 6 . 13 PM= PM PM ˆ_{= −}

φ

（必要な位相進み量） ° = − =40 13.6 26.4 ° + =ˆ 10 max φ φ （マージン） ° =36.4 与えられた位相余裕 PM とこの PM との差 が, 必要な位相進み量となる. ［ステップ1］の を用いて開ループ伝達関数 のボード線図を描き, その位相余裕 PM を評価する. これに適当な（例えば 以上の）余裕を考慮し, （ 以上）と定める. ) ( ) ( ˆ_{s KPs} L = K PM PM ˆ_{= −} φ

+

=

φ

φ

ˆ

max ° 5

°

5

［ステップ2］ _〈 〈 〈 位相余裕 図8.14 開ループ特性 ゲイン ［dB ］ 位相 ［ ］ o 40 20 20 − 0 90 − 120 − 150 − 180 − ] s / rad [ ω 40 − 101 − 100 101 P Lˆ ωˆ_gc=2.1 o 6 . 13 PM= 45 255 . 0 =

α

max max sin 1 sin 1 φ φ α + − =

α

max max sin 1 sin 1 φ φ α= ₊− ［ステップ3］ から, パラメータ の値を決める_. ° =36.4 max φ 1 1 ) ( + + = Ts Ts K s K

α

図8.14 開ループ特性 ゲイン ［dB ］ 位相 ［ ］ o 40 20 20 − 0 90 − 120 − 150 − 180 − ] s / rad [ ω 40 − 101− 100 101 P Lˆ ωˆ_gc=2.1 o 6 . 13 PM= 46 0[dB] 2.1 ˆgc= ω 図8.14 開ループ特性 ゲイン ［dB ］ 位相 ［ ］ o 40 20 20 − 0 90 − 120 − 150 − 180 − ] s / rad [ ω 40 − 101 − 100 101 P Lˆ 505 . 0 ) ( ˆ max = α= ω j L に下がっている. （後で 0dB に上がる. ） 0 . 3 max=

ω

α log 20 α log 20 _[dB] ωmax=3.0 位相進み補償では最も位相が進む角周波数で, ゲインが1 α 倍に上がる. そこで が （ ）である角周波 数を, 補償後の新しいゲイン交差周波数

ω

max とおく. α ) ( ˆ_jω L ［ステップ4］   α log 20 = [dB] 1 . 2 ˆgc= ω o 6 . 13 PM= ω[rad/s] 0 ] [o 180 − ゲイ ン 位相 ] dB [ gc ω PM 47 T / 1 1/αT 図8.14 開ループ特性 ゲイン ［dB ］ 位相 ［ ］ o 40 20 20 − 0 90 − 120 − 150 − 180 − ] s / rad [ ω 40 − 101− 100 101 P 1 . 2 ˆgc= ω o 6 . 13 PM= Lˆ α log 20 T α ωmax= 1 , 52 . 1 1 = T α1 =T 5.94 折点角周波数 から, パラメータ の値を決める.   , / 1 T=

ω

_max

α

T このとき位相進み補償の折点角周波数は, となる. T α ω 1 max= ［ステップ5］

α

ω

α

) / /( 1 T = max max 1 ω α = ⇒ T 660 . 0 = T , 0 . 3 max=

ω

α

=0.255 48 T / 1 1/αT P L 図8.14 開ループ特性 ゲイン ［dB ］ 位相 ［ ］ o 40 20 20 − 0 90 − 120 − 150 − 180 − ] s / rad [ ω 40 − 101− 100 101 1 . 2 ˆ_gc= ω o 6 . 13 PM= Lˆ ωmax=3.0 o 38 PM= 1 66 . 0 255 . 0 1 66 . 0 5 ) ( + ⋅ + ⋅ = s s s K 94 . 5 ) 52 . 1 ( 6 . 19 + + = s s 位相進み補償 0 . 3 = gc ω o 38 PM= ゲイン交差周波数 位相余裕 以上で設計パラメータ K,α,T が定められたので, ［ステップ6］ 1 1 ) ( + + = Ts Ts K s K α から, 位相進み補償を構成する. 1 1 ) ( + + = Ts Ts K s K

α

660 . 0 = T , 255 . 0 = α , 5 = K

49 性能仕様 ゲイン交差周波数（速応性） 位相余裕（減衰特性） 2 ≥ gc

ω

° ≈ 40 PM

ステップ応答

OK

°

≅ 38

PM

OK

)

(

0

.

3

ω

max

ω

gc

=

 

=

OK

［CHECK］

0 2 4 5 . 0 1 5 . 1 0 ) (t y t[s] 50

位相進みｰ遅れ補償

位相進み 位相遅れ ) 1 , 1 (α1< α2> ［注］ 多段にしても良い 定常特性・過渡特性の改善 ［注］ 位相遅れ, 高周波ゲイン 1 1 1 1 1 T T <ω <α 位相進み： 2

log

20

α

+

[dB] K s K( )= 1 ) 1 ( 2 2 2 2 + + s T s T

α

α

1 1 2 1 1 + + s T s T

α

⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ゲイン 位相 図 8.16 位相進みｰ遅れ補償 のボード線図 ) (jω K ∠ | ) ( | log 20 K jω ω ] dB [ ) log( 20 α2K ) / log( 20 K α1 K log 20 o 90 o 0 o 90 − ) /( 1 α2T2 1 T/ 21 T/ 11/(α1T1) ] / rad [ s dec / dB 20 − +20dB/dec ω[rad/s] 51 ω[rad/s] 0 ] [o 180 − ゲイン 位相 ] dB [ gc ωωgc PM 52 2 L 2 L 1 L 1 L P P

［ 例 8.5 ］

ゲイン交差周波数：大 傾き：緩 位相余裕：十分 100 制御対象のモデル = ) (s P 01 . 0 04 . 0 01 . 0 2_{+ s+} s 低周波ゲイン：大 = ) (s K_PI PI PK L1= s s 0.1 100 + 位相遅れ（ PI 補償） 50 0 50 − 100 − 0 90 − 180 − 270 − ゲイン ［dB ］ 位相 ［ ］ o ] s / rad [ ω 2 10− ₁₀−1 ₁₀0 1 10 2 10 360 − = ) (s KL 52 . 7 ) 53 . 0 ( 3 . 14 + + s s 位相進み LL PK L2= = ) (s KLL ) 52 . 7 ( ) 53 . 0 )( 1 . 0 ( 1430 + + + s s s s 位相進み－遅れ補償 0 4 . 1 2 . 1 1 8 . 0 6 . 0 4 . 0 2 . 0 0 2 4 _t 6 8 10 53 ) 100 10 )( 52 . 7 ( ) 53 . 0 )( 1 . 0 ( 143000 2_{+ +} + + + = s s s s s s ロール・オフ フィルタ

PK

L

=

ロール・オフ特性

［ 例 8.5 ］

100 10 2_{+ s+} s = ) (s K KLL(s)× 10 0 2 4 6 8 10 0 5 . 0 1 5 . 1 ) (t y t[s] 1 L 1 L P P 100 50 0 50 − 100 − 0 90 − 180 − 270 − 360 − ゲイン ［dB ］ 位相 ［ ］ o ] s / rad [ ω 2 10− ₁₀−1 ₁₀0 ₁₀1 ₁₀2 2 L 2 L L L

付録

54 ω[rad/s] 0 ] [o 180 − ゲイン 位相 ] dB [ gc ω PM

55 01 . 0 04 . 0 01 . 0 ) ( ~ 2_{+ +} = s s s P 実際の制御対象： 振動モード a ） 位相進み－遅れ補償：K_LL b ） ロール・オフ特性を有する 位相進み－遅れ補償：K 2 2 2 15 15 01 . 0 2 15 + × × + ⋅ s s ) 52 . 7 ( ) 53 . 0 )( 1 . 0 ( 1430 + + + s s s s = ) (s KLL 100 10 10 2_{+ s+} s = ) (s K KLL(s)× 56 LL K P~ LL K P~ P~ 100 50 0 50 − 100 − 0 90 − 180 − 270 − 360 − ゲイ ン ［dB ］ 位相 ［ ］ o ] s / rad [ ω 2 10− ₁₀−1 ₁₀0 ₁₀1 ₁₀2 K P~ K P~ P~ 0 2 4 6 8 10 0 5 . 0 1 5 . 1 ) (t y t[s] 0 3 3 − 0 3 3 − P ~ LL K P~ K P~ 0 2 4 6 8 10 400 − 0 400 1600 t[s] 1 800 1200 ) (t u 1 1 − 57 01 . 0 04 . 0 01 . 0 ) ( ~ 2_{+ +} = s s s P 実際の制御対象： 振動モード a ） 位相進み－遅れ補償：K_LL 2 2 2 15 15 01 . 0 2 15 + × × + ⋅ s s ) 52 . 7 ( ) 53 . 0 )( 1 . 0 ( 1430 + + + s s s s = ) (s KLL c ） ノッチフィルタを備えた位相進み－遅れ補償： 2 2 2 2 15 15 1 . 0 2 15 15 03 . 0 2 ) ( + × × + + × × + ⋅ = s s s s K s KN LL 0[dB] ] s / rad [ ω 2 2 2 2 2 2 n n n n s s s s ω ζωω ω ζ + + + ′ + 58 LL K P~ LL K P~ P~ 100 50 0 50 − 100 − 0 90 − 180 − 270 − 360 − ゲイ ン ［dB ］ 位相 ［ ］ o ] s / rad [ ω 2 10− 1 10− 0 10 ₁₀1 ₁₀2 K P~ K P~ P~ N K P~ N K P~ 0 3 3 − 0 3 3 − P ~ LL K P~ K P~ 0 2 4 6 8 10 400 − 0 400 1600 t[s] 1 800 1200 ) (t u 0 2 4 6 8 10 0 5 . 0 1 5 . 1 ) (t y t[s] 1 N K P~ 1 −