２次元フーリエ変換
講義内容
講義内容
空間周波数の概念
２次元フーリエ変換
代表的な２次元フーリエ変換対
２次元離散フーリエ変換
フーリエ変換と逆変換
u
v
F.T.∫ ∫
−∞∞ ∞ ∞ − − + = f x y j ux vy dxdy v u F( , ) ( , )exp{ 2π ( )}連続系
連続系
離散系
離散系
∑∑
− = − = + − = 1 0 1 0 } / ) ( 2 exp{ ) , ( 1 ) , ( N x N y N vy ux j y x f N v u F πx
y
)
,
(
x
y
f
)
,
( v
u
F
I. F.T. ) , ( vu F ただし，ここで は絶対値を とって画像化∑∑
− = − = + = 1 0 1 0 } / ) ( 2 exp{ ) , ( 1 ) , ( N x N y N vy ux j v u F N y x f π順変換
順変換
逆変換
逆変換
２次元フーリエ変換の具体的なイメージ
∑∑
− = − =+
−
=
1 0 1 0}
/
)
(
2
exp{
)
,
(
1
)
,
(
N i N jN
vy
ux
j
y
x
f
N
v
u
F
π
}
/
)
(
2
exp{
−
j
π
ux
+
vy
N
)
,
(
x
y
f
対応する画素ごとに積をとって 最後に総和をとる． 対応する画素ごとに積をとって 最後に総和をとる．はどんなパターンか？
それでは
exp{
−
j
2
π
(
ux
+
vy
)
/
N
}
離散系での説明２次元フーリエ変換の具体的なイメージ
)
(
2
sin
)
(
2
cos
)}
(
2
exp{
−
j
π
ux
+
vy
=
π
ux
+
vy
−
j
π
ux
+
vy
に注目して考える． のうち，実部cos2π (ux + vy) を与える． この直線は なる． の直線は以下のように 1 2 cos ,... ,..., 2 , 1 , 0 = = + n n vy ux πx
y
u / 1 v / 1 v / 2 v / 3 『空間周波数』と呼ば れる． を与える． は空間的な波の周波数 ⇒ ) , (u v 方向の周波数成分 方向の周波数成分 y v x u : : 「間隔が大きい」 が小さい」 「 となる． で 軸上に注目すると）， （すなわち とおくと において， ⇔ =⇔ = = = = + u ux u u x ux x y n vy ux 1 ) cos( ,... / 2 , / 1 , 0 ... 2 , 1 , 0 0 ,... ,..., 2 , 1 , 0 u / 2空間周波数の例
) ( 2 cos π ux + vy ,... 2 , , 0 ,... 2 , 1 , 0 0 / D y x D D x vy ux + = + = ⇔ = x y 例１） D 2 ) 0 , / 1 ( ) , (u v = D D x y D ) 0 , / 2 ( ) , (u v = D 例２） ,... 2 / 3 , , 2 / , 0 ,... 2 , 1 , 0 0 / 2x D y x D D D vy ux + = + = ⇔ = D 2演習
) ( 2 cos π ux + vy x y u v D / 1 D A B 例題２ 上図A,B,Cの位置に対応する空間周波 数のパターン（余弦波）をスケッチ しなさい． 例題１ 下の図に対応する余弦関数を式で書き なさい．ただし黒い線は１の値をもち， 余弦関数の最大値を描いているものと する． 5 / D D / 1 D / 2 Cフーリエ変換演算のまとめ
One-comonent Imagex
y
u
v
x
y
0 1 2 3
0
1
2
3
u
v
x
y
x
y
x
y
∑∑
− = − =+
−
=
1 0 1 0}
/
)
(
2
exp{
)
,
(
1
)
,
(
N i N jN
vy
ux
j
y
x
f
N
v
u
F
π
フーリエの合成のデモ
順次，高周波数成分を 追加していく． Manhattan distanceで Dm=3のスペクトルu
v
u
v
F.T. F(u,v)フーリエの合成のデモ（つづき）
Dm=3まで Dm=10まで Dm=6まで u v u v u v u v２次元フーリエ変換
講義内容
講義内容
空間周波数の概念
２次元フーリエ変換
代表的な２次元フーリエ変換対
２次元離散フーリエ変換
代表的な２次元フーリエ変換対(1)
1 ) , ( ) , ( ) , (x y = x y ⇔ F u v = f δ x u ) , ( ) , (x y x y f = δ 1 ) , (u v = F ０の関数． で無限大になり，他で 0 , 0 : ) , (x y x = y = δ ２変数のデルタ関数： ０の関数． で無限大になり，他で b y a x b y a x − , − ): = , = ( δ y v代表的な２次元フーリエ変換対(2)
) ( sinc ) ( sinc ) , ( ) ( rect ) ( rect ) , (x y x y F u v u v f = ⇔ = x u y v x u 0 u 0 u − 0 0 v 0 v − v y u / 1 2/u v / 1 v / 2 v / 3 v / 4 )} , ( ) , ( { 2 1 ) , ( )] ( 2 cos[ ) , (x y u0x v0y F u v u u0 v v0 u u0 v v0 f = π + ⇔ = δ − − +δ + −代表的な２次元フーリエ変換対(３)
2 2 ) ( ) , ( r x y d r circ y x f = = + u v J1: ベッセル関数 x y d x u )] ( exp[ ] exp[ ) , ( 2 2 2 y x r y x f + − = − = π π y v 2 2 1 2 , ) ( ) , ( u v d d J d v u F = ρ = + ρ π ρ π π )] ( exp[ ] exp[ ) , ( 2 2 2 v u v u F + − = − = π πρ Gauss関数２次元フーリエ変換の計算例
－矩形1－
) ( sinc ) ( sinc ) , ( ) ( rect ) ( rect ) , ( F u v au bv b y a x y x f = ⇔ = 6 , 12 = = b a２次元フーリエ変換の計算例
－矩形1－
) ( sinc ) ( sinc ) , ( ) ( rect ) ( rect ) , ( F u v au bv b y a x y x f = ⇔ = 24 , 6 = = b a 24 , 6 = = b a 64 , 6 = = b a 64 , 6 = = b a２次元フーリエ変換の計算例
－円形1－
2 2 ) ( ) , ( r x y d r circ y x f = = + ( , ) 2 1( ), u2 v2 d d J d v u F = ρ = + ρ π ρ π π２次元フーリエ変換
講義内容
講義内容
空間周波数の概念
２次元フーリエ変換
代表的な２次元フーリエ変換対
２次元離散フーリエ変換
一般に，赤枠のように，原点が中央になるよう に配列し直して表示する方がわかりやすい． x y u u ２次元フーリエ変換 および振幅（絶対値） の対数変換表示 v v 2DＦＦＴの結果は図のように原 点を端として切り出されたスペク トルと解釈できる．
