拘束を受けるロボットの力・位置ハイブリッド適応制御

Title

拘束を受けるロボットの力・位置ハイブリッド適応制御( 本

_{文(Fulltext) )}

Author(s)

川崎, 晴久; 大岡, 泰仁

Citation

[ロボティクスシンポジア = Robotics symposia] vol.[第2回]

_p.[35]-[39]

Issue Date

1997

Rights

The Japan Society of Mechanical Engineers (一般社団法人日本

_{機械学会)}

Version

著者最終稿 (author final version) postprint

URL

http://hdl.handle.net/20.500.12099/44356

拘束を受けるロボットの力・位置ハイブリッド適応制御

Adaptive Force-Position Control for Constrained Robot Manipulators

正 川崎晴久(岐阜大) ○学 大岡泰仁(岐阜大)

Haruhisa KAWASAKI, Gifu University, 1-1, Yanagido, Gifu-si, Gifu

Yasuhito OOOKA, Gifu University

This paper presents an adaptive force-position control in task coordinates for constrained robot manipulators. In general, the constraints can be represented separately by the subset of generalized coordinates in task space. This controller works on a concept of orthogonalization between force and motion in the subspaces derived form constraints. The integral gains of force error can be selected independently in each subspace. The friction force at contact point is also compensated adaptively. The globally asymptotic convergence for both force and motion tracking errors is guaranteed by the Lyapunov-Like Lemma. The implementation method of the controller in joint space is given. Computer simulation results for a three D.O.F robot are shown to demonstrate the effectiveness of proposed method.

Key Words : robot, manipulator, adaptive control, force and position control

1. はじめに ロボットの手先が環境から拘束を受けるとき，手先の位 置と接触力を同時に制御することが要求される．この制御 として，位置・力ハイブリッド制御(1),(2)_{やインピーダンス} 制御(3)_{が研究されてきた．ハイブリッド制御は，タスク空} 間での各動作軸毎に力と位置の選択のため選択行列を使用 する．手先が拘束されるロボットについて，拘束を規定す る変数を除いた低次元モデルを用いて，フィードバックに よる安定化(4)_{，インピーダンス制御}(5)_{，適応制御}(6),(7)_が示さ れている．しかし，一般に，低次元化するプロセスは複雑 であり，拘束条件が変わるごとに低次元モデルの独立変数 も変化するため，実時間での低次元化は困難が伴う． ロボットモデルの同定は一般に容易でなく，手先効果器 の負荷変動を考慮すると適応制御が望ましい．拘束のない 運動におけるモデルベースド適応制御の性能の良さは，理 論的(8)_{かつ実験的}(9)_{にも示されている．低次元モデルによ} らない拘束を受けるロボットの適応制御(10)-(14)_{は，制御器を} 構成しやすい．しかし，Slotine らの方法(10)_{は軌道追従を実} 現しているだけである．有本ら(11)_{，Liu ら}(12)_{の方法は，関} 節空間での直交化原理に基づく位置・力ハイブリッド適応 制御である．このため，タスク空間で与えられる拘束を関 節空間に変換する必要がある．Siciliano(13)_{と Lozano ら}(14) は，タスク空間での適応制御を示しているが，前者は力と 並進運動に限定されており，後者は拘束面で作用する摩擦 が考慮されていない． 本論文は，タスク空間での摩擦を考慮した力・位置ハイ ブリッド適応制御を示す．従来のハイブリッド制御は，タ スク空間での各軸ごとの直交補空間の概念を使用していた が，提案する方法は拘束条件より，タスク空間を部分空間 に分割し，各部分空間毎に力と速度の直交補空間の概念を 適 用 す る こ と を 特 徴 と し て い る ． 本 制 御 法 の 安 定 性 を Lyapunov-Like Lemma(15)で示すとともに，その効率的な計 算法を示す．また，計算機シミュレーションによりその有 効性を示す． 2. タスク座標における適応制御 2･1 運動方程式 手先が環境の拘束による力を受ける とき，マニピュレータの運動方程式は

( )

qq+C

( )

q qq+g

( )

q =

τ

_F +

τ

M~ && ~ ,& & ~ (1)

と表される．ここで，_q,q&,q&&∈Rn_{はそれぞれ関節変位，速} 度，加速度であり，M~∈Rn×nはマニピュレータの慣性行列， n n R × ∈ C~ は遠心力やコリオリ力の項，_g~_∈Rn_{は重力項，} n R ∈

τ

は関節トルク，

τ

_F n R ∈ は環境から手先に及ぼされる 干渉力である． タスク空間での手先の位置・姿勢をr∈Rmとし，その 1 階，2 階微分r&,r&&∈Rmと関節変数との関係が

( )

q r

r= ，r& =J

( )

qq&，r&&=J

( )

qq&&+J&

( )

qq& (2) と表されるとする．ここで，J

( )

q =

∂

r

∂

q∈Rm×nはマニピ 著者最終原稿 日本機会学会第2回ロボティクスシンポジア講演予稿集 pp.35稿39, 1997 掲載

ュレータのヤコビ行列である．手先に作用するタスク空間で 表した干渉力F∈Rmと関節空間で表した干渉力

τ

_F の間に は

( )

q F JT F =

τ

(3) の関係が成り立つ．以下，本論文においてマニピュレータは 冗長でない，すなわち n = m と仮定する．このとき，タスク 空間でのマニピュレータの運動方程式は

( )

₊

( )

₊

( )

_{= +} −T

τ

J F r g r r r C r r

M && ,& & (4)

と表される．ここで 1 ~ ₋ − =J MJ M T (5) g J g= −T~ (6)

(

− ~₋

)

−1 = J C MJ J C T & (7) である．干渉力は拘束面の抗力方向の力と接線方向の力に分 割して t n F F F= + (8) と表せる．ここで，F_nは抗力であり，タスク空間における 拘束力である．F_tは拘束面に対し接線方向の力で，拘束面 で生ずる摩擦力である．ここで摩擦力の大きさは，拘束面の 形状および手先速度に依存し

(

r r

)

D F_t =−

μ

, ,& (9) と表せる場合を取り上げる．ここで，

_μ

nμ

R

∈

は未知の摩擦 係数であり，D

(

μ

,r,r&

)

は

μ

に対し線形な既知の形状関数で ある．したがって，摩擦力は

( )

rr

μ

Y F_t

=

−

_ft ,& (10) と表すこともできる．ここで，

( )

n nμ ft

R

×

∈

r r Y ,& は

μ

を含ま ない．なお，関節部に生じる摩擦も同様に表せることを指摘 しておく． 式(4)の運動方程式には，次の性質がある． 性質 1：行列M

( )

r は対称正値である． 性質 2：行列C~を適当に定義すると，M&

−

2Cは歪対称と なる． 性質 3：マニピュレータのダイナミクスは適当に選んだ 動力学パラメータに関し線形である．すなわち

( )

rr_r C

( )

rrr_r g

( )

r Y

(

r rr_r r_r

)

σ

M &&

+

,& &

+

=

,&,& ,&& (11)

と表せる．ここで， p

R

∈

σ

はパラメータベクト ル， n p

R

×

∈

Y はパラメータを含まない係数行列 である． 2･2 部分空間の直交化 手先の拘束が

( )

r

=

0

ϕ

(12) と表せるとする．ここで，

ϕ

( )

r ∈Rkは連続で 2 階微分可能 とする．このとき，抗力は

λ

ϕ T n

J

F

=

(13) と表せる．ここで， k

R

∈

λ

は拘束面から定められるラグラ ンジュ乗数であり， n k R × ∈ = r J

∂

ϕ

∂

ϕ (14) である．式(12)の時間微分は

( )

0 = =J r r & ϕ

ϕ

t d d (15) であるから，両辺に

_λ

T_を掛けて 0 = r F_nT& (16) を得る．この式は，接触点での抗力と速度が直交しているこ とを意味している． 一般に，一般化変数は手先の拘束に関与しない変数と関 与する変数に分けられる．さらに，拘束に関与する変数は， 変数の部分集合ごとに拘束の要素を分離して表せることが ある．そこで簡単化のため，拘束に関与する変数を 2 つの集 合に分け，これを使い拘束を表す．すなわち一般化変数が， 手 先 の 拘 束 に 関 与 す る 二 つ の 部 分 ベ ク ト ル 1 1 n R ∈ r ， 2 2 n R ∈ r と拘束に関与しない部分ベクトル 3 3 n R ∈ r から構 成され

(

_{T T T}

)

T 3 2 1 ,r ,r r r= (17) と表せるとし，拘束は各部分空間毎に一つ，つまり

( )

( )

_{( )}

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 2 2 1 1 r r r

ϕ

ϕ

ϕ

(18) であるとする．ただし， n₁+n₂+n₃=n，

ϕ

_i

( )

r_i ∈R1(i=1,2)，

2

=

k

である．ここでは，拘束が二つの変数集合に分けて表 せるとしたが，それ以上に分けられる場合にも以下の議論は 同様に成り立つ． 式(18)を式(14)に代入すると

(

, ,0

)

2 1 ϕ ϕ ϕ J J J =BlockDiag (19) i i n i i_∈R× = 1 r J

∂

ϕ

∂

ϕ (20) となる．ここで，BlockDiag はブロック対角行列を表す．式 (17),(19)を式(15)に代入して 0 = i ir J_ϕ & (i=1,2) (21) を得る．ここで，

(

T T T

)

T 3 2 1,

λ

,

λ

λ

λ

= ，

(

T T T

)

T n f1 ,f2,f3 F = とお くと i T i

J

ϕ_i

λ

f

=

(i=1,2)，f₃=0 (22) であるから 0 = i T i r f & (i=1,2) (23) を得る．ただし，

λ

_iはスカラ， ni i∈R f である．式(23)は， 拘束により規定される部分空間において力と速度が直交し ていることを表している．さらに，これらの式はマニピュレ ータの手先の運動が

( ) ( )

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = = = = Ω , : 0, _i 0 (i 1,2) i i i i r r r r r & &

∂

ϕ

∂

ϕ

(24) で表される多様体Ωに制限されることを意味する． 抗 力f_iは そ の 大 き さ と 単 位 方 向 ベ ク ト ル を そ れ ぞ れ

i i f = f ， _{i i i} T

(

T

)

12 i i i ϕ ϕ ϕ

J

J

J

f

f

n

=

=

(i=1,2)とおくと

u

C

F

n

=

F (25) と表すことができる．ここで

(

T T

)

T n R ∈ = n n 0 u ₁, ₂, (26)

(

)

n n F BlockDiag f f R × ∈ = 1E1, 2E2,E3 C (27) であり， ni ni i R × ∈ E (i=1,2)は単位行列である．また， i =1 T in n の両辺を時間微分すると 0 = i T in n & (i=1,2) (28) を得る．力の各部分空間毎の直交射影は

(

T T

)

n n R BlockDiag − − ∈ × = E1 n1n1,E2 n2n2,E3 Q (29) と表すことができ，明らかに 0 = = uQ F Q n ，Qr& =r& (30) となる． 2･3 力／位置適応制御 以下では，次のことを仮定する． （A1）q,q&,Fは測定できる． （A2）拘束

ϕ

( )

r は既知であり，

ϕ

( )

r,J_ϕ,∂J_ϕ ∂rが連続 かつ有界である． （A3）手先の環境との接触は，タスクの実行中は常に保た れる． （A4）ヤコビ行列J

( )

r は正則である． （A5）タスク空間での目標位置，速度，加速度はそれぞれ d d d r r r ,& ,&& と表され，目標力F_dは

(

_T

)

T d T d d f1 n1,f2 n2,0 F = (31) であるとする．ここで， f_idは拘束

ϕ

_i=0により生 ずる抗力の大きさの目標値である．これらの目標は， 時間連続で有界とし，物理的に矛盾が生じないよう に設定される． 手先に作用する干渉力 F の測定により，抗力と接線力で ある摩擦力は F Q F_t = (32)

(

E Q

)

F Fn= n− (33) により求めることができる．ここで，手先位置誤差を r r e= d − (34) とし，力誤差を n d F F F= − Δ (35) と表す．この力誤差は u C F= ΔF Δ (36) と表せる．ここで

(

)

n n F BlockDiag f f R × Δ = Δ1E1,Δ2E2,E3 ∈ C (37) i id i f f f = − Δ (i=1,2) (38) である．いま，手先参照速度を

(

+ _ρ

)

− _βΔ

η

=Qr C e C r&_r &_d (39) と定義する．ただし

(

)

nn

R

BlockDiag

∈

×

=

_{1 1}

,

_{2 2}

,

_ρ3 ρ

ρ

E

ρ

E

C

C

(40)

(

)

n n R BlockDiag ∈ × = 1

E

1

,

2

E

2

,

E

3

C

β

β

β

(41)

u

C

_η

η

= Δ Δ (42)

( )

t

( )

n n t R d f d f BlockDiag × Δ ⎟∈ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{Δ Δ} =

∫

∫

_{2 3} 0 2 1 0 1

E

,

E

,

E

C

_η

τ

τ

τ

τ

(43) であり，

ρ

_i,

β

_i >0(i=1,2)はスカラ定数， 3 3 3 n n R × ∈ ρ

C

は正 定行列である．さらに，手先速度と参照速度との残差を r

r

r

s

=& −& (44) と定義する．式(30),(39)を式(44)に代入すると，残差は位置／ 速度誤差空間のベクトル

s

t =

Qs

と力誤差積分空間のベクト ル

_s

_n =

(

_E

−

_Q

)

_s

に分割して

_s

=

_s

_t+

_s

_nと表すことができ，そ れらは

(

e

C

e

)

Q

s

t =− &+ ρ (45)

η

βΔ = C s_n (46) となる．明らかに

s

T_n

s

_t=0であり，位置・速度空間のベクト ルと力誤差積分空間のベクトルは直交している．さらに言う と，拘束

ϕ

_i=0によって生じる力誤差積分の部分空間とそれ に対応する位置・速度誤差の部分空間も直交している．この 構成が本制御の特徴であり，以下に示すように拘束に対応す る部分空間毎に力ゲインの設定を可能としている． いま，制御則・適応則をそれぞれ

(

)

( )

(

)

η

μ

σ

τ

ςΔ − − − + = C F Ks r r Y r r r r Y J d ft r r T _ˆ , ˆ , ,

,& & && &

(47)

(

r rr r

)

s YT & &_r &&_r

& _{, , ,} ˆ=−Γ

σ

(48)

( )

rrs Y & & _, ˆ=−Γ_ft T_ft

μ

(49) とする適応制御を考察する．ここで，

_σ

_ˆ∈Rp ,

μ

ˆ∈R2はパラ メータ推定ベクトル， n n R × ∈ > 0 K はフィードバックゲイン 行 列 ，_{Γ 0> ∈R}p×n ,Γ_ft >0∈R2×2は 適 応 ゲ イ ン 行 列 ， n n R × ∈ ς C は力誤差積分ゲイン行列で

(

1E1, 2E2,E3

)

C_ς =BlockDiag

ς

ς

(50) と表される．ここで，

ς

_i>0(i=1,2)である．この適応制御器 は，関節角度，関節速度，干渉力のみを測定することにより 実現でき，次の定理が成り立つ． [定理] 式(4)で表される手先が拘束されるマニピュレー タを考える．式(47)の制御則と式(48),(49)の適応則により，閉 ループシステムは

(

r

( ) ( )

0 r,&0

)

∈Ωを満たす任意の初期条件に 対し，t→∞のときr→r_dかつF→F_dとなるという意味 で大域的に漸近安定である． [証明] 大域的一様漸近安定牲はリアプノフ直接法を拡 張した Lyapunov-like Lemma(15)_{により次のように証明する．} 初めに，リアプノフ関数の候補として非負値スカラ関数を

( )

(

)

η

η

μ

μ

σ

σ

βΔ Δ + Δ Γ Δ + Δ Γ Δ + = − − C Ms s T ft T T T t V 1 1 2 1 (51)

と定義する．ここで，Δ ,

σ

Δ

μ

はパラメータ推定誤差ベクト ルであり

と表される．V t

( )

を時間微分すると

( )

η

η

μ

μ

σ

σ

β & & & & & & Δ Δ + Δ Γ Δ + Δ Γ Δ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ = − − C s M s M s T ft T T T t V 1 1 2 1 (53) となる．ここで，&C u C u_Δη = _ΔF =ΔFであるから

Δ

η

&

=

Δ

F

+

C

_Δη

u

&

(54) が成り立ち，式(4),(8),(10),(11),(52)および適応則から，

(

)

( )

(

)

η

μ

σ

ςΔ − Δ − + − Δ + Δ = C F s K C r r Y r r r r Y s

M& ,&,&_r, &&_{r ft} ,&

(55) を得る．これらの関係式と性質 2 および適応則，行列 Q と F Δ C および Q とCΔF が可換，QΔF=0,QΔ

η

=0の関係式 から

( )

t

=

−

s

T

Ks

−

Δ

η

T

C

_ς

C

_β

Δ

η

V&

(56) を得る．行列 K とC_ςC_βは正値であるからV t&

( )

は非負値で あ る ． こ れ よ り ，V t

( )

は 有 界 で あ る ． し た が っ て ，

η

μ

σ

Δ

Δ

Δ

, , , s は有界である． 仮定 A5 と式(30)よりQe& =e&であり，Q とC_ρは可換であ る．したがって，式(45)の解は，

Q

2

=

Q

を用いると

( )

(

(

)

)

( )

(

)

(

)

(

)

∫

− − + − + − = t d t t t 0 exp 0 exp

τ

τ

ρ ρ Qs C Q e C Q Q E e (57) となる．s は有界，仮定 A2 より Q は有界，C_ρ>0であるか ら，e が有界，さらに

e

&

も有界となる．また，仮定 A5 より， d d r

r ,& は有界であるから，r,r&,r&_rは有界である．これより， ft Y g C M, , , は有界である． 次に，s_&,

η

_&が有界であることを示す．式(54)の両辺に Q を かけて，

Q

u

& =

u

&

の関係を用いると，

η

η

&

&

=

C

−_Δ

Q

Δ

u

1 ，

Δ

_F

=

(

_E

−

_Q

)

Δ

η&

(58) を得る．さらに，式(46)の両辺を微分して，

(

E

−

Q

)

s

&

−

Q

&

s

=

C

_β

Δ

η

&

(59)

を得る．また，

(

)

_β

η

ρ

&

&

&

&&

&&

=

r

+

C

e

+

Q

e

−

C

Δ

r

r d (60) であるから，

(

)

(

(

)

)

(

)

η

σ

σ

β ρ

&

&

&

&&

&

&

&&

&

&

Δ

−

−

Δ

+

+

=

Δ

C

M

M

e

Q

e

C

r

r

r

r

Y

r

r

r

r

Y

ˆ

,

,

,

,

,

,

r r r d (61) の関係式を得る．ただし，

M

ˆ

は

σˆ

を用いて M を計算した推 定値である．ここで， 2 2 1 0 0 0 0 × ∈ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = n R n n N (62) を定義し，式(55)に左から

(

₋

)

−1 M Q E NT をかけ，式(61), (58), (59) を 順 次 代 入 し ， さ ら に

N

T

Q

=

0

，

NN

T

=

E

−

Q

， s Q Q Q C_β Δ

η

&

=−

&

の関係を用いて整理すると，

{

NTM−1M

ˆ

C_βN+NTM−1N

}

NTΔ

η

&

=A (63) となる．ただし，

(

)

(

)

{

( )

(

)

}

(

M MQ E

)

QS N C s K C r r Y e Q e C r r r r Y M N A & & & & && & & − + Δ − + − Δ + Δ + + = − − ˆ , , , , 1 1 T ft d r T

η

μ

σ

ς ρ (64) である．行列 N は有界であり，n&iはJϕ_i とr&iの関数である から有界である．したがって，

_Q

&

も有界である．これより 行列 A は，仮定 A5 より有界である．一方，式(63)左辺の

η&

Δ T

N

の係数行列は，

β

_i(i=1,2)が十分小さいとき，Δ

σ

が 有界であるから

_N

T

_M

−1

_M

ˆ

_C

_β

_N

_{は零行列に収束するので，主} に

N

T

M

−1

N

となる．ここで，

N

T

M

−1

N

は付録に示すよう に正則である．したがって， TΔ

η&

N

は有界である．さらに

(

)

2 2 1, f R f Δ T∈ Δ = Δ

f

を定義すると

_N

TΔ

_η&

=

_N

TΔ

_F

=Δ

_f

_，

f

N

F

= Δ Δ T _{を得る．したがって，} F Δ とΔfが有界といえ， 式(54)よりΔ

η

&が有界，式(60)より

r

&&rが有界と導ける．よっ て，式(55)より

s

&

も有界である． 一方，式(56)より

( )

(

&

η

_{ς β}

η

&

)

&&t =−

s

T

K

s

+Δ T

C

C

Δ V 2 (65)

である．よって，V&&

( )

t は有界となり，V&

( )

t は一様連続とな る．Lyapunov-Like Lemma(15)_から，t→ ∞_のときV&

( )

_t →_0と なる．したがって，t→ ∞のときs,Δ

η

→0となる．

_s

_nと

_s

_t は直交しているから,

s

_t →0となる．ゆえに，t→ ∞につれ て軌道誤差は

e

&+

C

ρ

Qe

=0のスライディング面に収束し， 式(57)よりt→ ∞のとき

Qe

→ 0

および

e

&→0となるとなる． これは，t→ ∞につれて

_{Q r}

→

_{Q r}

_d，

_r

_{& →}

_r

_&dとなることを 意 味 す る ． 一 方 ，

Δη

の 収 束 性 か らt→ ∞ に つ れ て Δfi→ 0(i=1,2)となり，これよりΔ

F

→ 0が導ける．これは， t→ ∞につれて

F

n→

F

dとなることを示している．このこ とは，仮定 A5 から力方向の変位も目標値に収束する，つま り

(

E

−

Q

)

r

→

(

E

−

Q

)

r

_dを意味し，ゆえに

r

→

r

dとなると いえる．以上より，t→ ∞につれて，力と位置・速度が目標 とするそれぞれの軌道に漸近的に収束する． □ なお，パラメータの推定値は，目標軌道が P.E.条件を満た せば真値に収束するといえる． 2･4 関節空間での計算 タスク空間での適応制御では

行列Y r r r r

(

,&, & ,&&r r

)

の計算が必要である．式(2)より，関節空 間の位置，速度，加速度はそれぞれ

( )

q

=

r

−1

q

，

q

_&=

J r

−1_&，

_&&

q

=

J

−1

(

_{&& & &}

r

−

Jq

)

(66) と表される．同様に関節空間での目標位置，速度，加速度も 計算できる．関節空間の残差ベクトル，参照ベクトルおよび 参照ベクトルの時間微分を

s

q =

J s

−1 _， & &

q_r =J r−1 _r，_&&q_r =J r−1_&&r+J r& &−1 _r (67) とする．これらの式を用いると，次の関係を導ける．

(

)

(

)

J Y r r r r

T ,&, & ,&&r r

Y q q q q

r r

~

,&, & ,&&

ここで，

Y q q q q

~

(

,& , & ,&&r r

)

は次の関係を満たすパラメータ係数 行列である．

( )

qq C

( )

q qq g

( )

q Y

(

q q q_r q_r

)

σ

M~ &&+~ ,& &+~ =~ ,&,& ,&& (69) このとき，制御則および適応則はそれぞれ

(

)

(

μ

η

)

σ

τ

ςΔ − − − Δ + = C F KJs Y J q q q q Y d q ft T r r ˆ ˆ , , , ~ && & & (70)

(

q q qr qr

)

sq

Y & & &&

& ~ _{, , ,} ˆ=−Γ

σ

(71)

となる．式(70),(71)はタスク空間での適応制御の構成におい て ， パ ラ メ ー タ 係 数 行 列 は Y

(

r,r&,r&_r,r&&_r

)

で な く

(

q qqr qr

)

Y~ ,&,& ,&& を用いて計算でき，文献[16]の効率的計算ア ルゴリズムが直接的に利用できることになる． 3. シミュレーション Fig.1 に示すように，3 関節マニピュレータの手先が円拘 束面に 1 点で接触しながら運動する系を考える．マニピュレ ー タ の 物 理 パ ラ メ ー タ を Table 1 に 示 す ． 接 触 点 を

(

)

T y x r r r , , _θ = r とすると，拘束面は 2 2 2 5 . 0 = + y x r r と表され， θ r は拘束面の法線方向に一致するものとする．また，接触点 における接触力・摩擦力はそれぞれ

(

) (

)

T y x T y x n = 2r

λ

,2r

λ

,0 ≡ F ,F ,0 F ，F_t =−

μ

(

r&_x,r&_y,0

)

T と表される．ここで，

λ

はラグランジュ乗数，摩擦係数 5 . 0 =

μ

とする．目標初期位置，目標最終位置はそれぞれ

(

)

T start = −0.2,0.458,

π

1.6 r ，r_end =

(

0.2,0.458,

π

2.7

)

T とする．しかし実際に実験を行う場合，設定した初期位置に 正確に手先を合わせることは難しい．そこで実際の初期位置 はr= r_start −

(

0.04,0.02,−

π

90

)

Tと設定する．軌道は，r_xを 5 次多項式で補間し生成する．ここで，初期速度，加速度は ともに 0 としている．また， 拘束面の法線方向の目標接触 力は，f_d =10+sin

( )

3

π

t [N]とし，初期接触力は 0 とする． さらに各制御パラメータは

(

)

K= diag 80 50 10, , 3 ，C_ρ =diag

(

50,50,30

)

9 9 5 10 2× − ∈ × = Γ E R ， 4 2 2 10− ∈ × = Γft E R

(

)

C_β = diag 7, 7, 1 ，C_ς = diag 01 01 1

(

. , . ,

)

とする．このときのシミュレーション結果を Fig.2, Fig.3 に示 す．Fig.2 は目標および実際の位置軌道を表し，Fig.3 は目標 および実際の接触力を表す．これらの結果からも明らかなよ うに，初期値誤差が大きいときも目標の位置軌道，接触力に 対し実際の軌道は十分追従している．これは制御目的が実現 されていることを示している． 4. 結言 本論文では，手先に拘束を受けるマニピュレータを対象 にタスク空間での力位置適応制御を提案した．適応制御器は， 拘束条件により力空間を部分分割し，各部分空間における力 と速度の直交化の原理に基づいている．本適応制御は，拘束 による低次元モデルを求める必要がなく，各部分空間毎に力 とフィードバックゲインが設定できる特徴があ x y L3 L2 L1 s3,x s2,x s1,x 0.5[m] rstart rend

Fig.1 Configuration of 3 D.O.F robot

Table 1 Physical parameters of the robot link i Li [m] si,x [m] mi [kg] Ii,zz [kgm2]

1 0.20 0.10 0.3 0.002 2 0.20 0.10 0.3 0.002 3 0.18 0.09 0.1 0.003 り，その漸近安定性が示された．さらに，計算機シミュレー ションにより本制御法の有効性を示した． 付録 行列_m∈Rn×n_{が対称正値のときH≡N}T_{mN>0である．} [証明] 明らかに，行列

(

₌

{ }

_∈

2×2

)

R

h

ij

H

は対称非負値で ある．行列m_ij

(

i,j=1,3

)

を，mの(i, j)部分行列とすると， 式(62)の行列Nの定義から

(

,

=

1

,

3

)

=

=

h

i

j

h

ij j T i ji ij

n

m

n

の関係がある．ここで，det

( )

H =0と仮定する．このとき， 22 11 12 h h h =± の関係がある．この関係を用いると

(

)

2 22 11 22 12 11 2h h h h h T_{mu= + + = ±} u となり，

h

₁₂

=

−

h

₁₁

h

₂₂ かつh₁₁=h₂₂のときはuTmuが零 となる．これは，行列mが正値であることに矛盾する．し たがって，det

( )

H ≠0でありH>0といえる． □ 参考文献

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r

y 1.0 1.5 2.0 2.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 time[s] rθ [rad] (3)

r

_θ

Fig.2 Responses of position

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[10] J.J.Slotine and W.Li, Adaptive Strategies in Constrained Manipulator, in Proc. IEEE Int. Conf. Robotics and Automation, pp. 595-600, 1987 -6.0 -3.0 0.0 3.0 6.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Time[s] Fx [N] desired simulated (1)

F

x 0.0 4.0 8.0 12.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Time[s] Fy [N] (2)

F

y 0.0 3.0 6.0 9.0 12.0 15.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Time[s] f [N] (3) f

Fig.3 Responses of normal contact force

[11] S.Arimoto, Y.H.Liu and T.Naniwa, Model Based Adaptive Hybrid Control for Geometrically Constrained Robots, Proc. IEEE ICRA, pp. 618-623, 1993

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