モーメント分配法による非矩形ラーメンの解法: University of the Ryukyus Repository

Title

モーメント分配法による非矩形ラーメンの解法

Author(s)

具志, 幸昌

Citation

琉球大学理工学部紀要. 工学篇 = Bulletin of Science &

Engineering Division, University of the Ryukyus.

Engineering(2): 27-51

Issue Date

1969-04

URL

http://hdl.handle.net/20.500.12000/23810

27

モ ー メ ン ト 分 配 法 に よ る

非 矩 形 ラ ー メ ン の 解 法

具

志

辛

目

A Method.ofAnalysisfor Non-rectangular Rigid Framesby MeansofM omentDistribution

Yukimasa GUSHt

SynopSS

This method isakindofmoment distributim methods. Inananalysisofa non-rectangularrigidfram ebytheordinarymethodofmoment distribution, there mustbeneededtoprovidetemporary support reactionsandenforcingdisplacement forces.Butinthismethod,noneoftheseforcesareneeded.

Thismethodinvolvestwomain pr∝esseswhicharecalled ttdistributionpr∝ess'' and ttallotment･pr∝essII respectively,theformerislltilizedin ordinarymethodof momentdistriblltionwhicl一Satisfiestllemomentequationsatjoints,Wllilethelatter isanew conceptwhichsatisfiesshearequationsoftheslope-deflection method. The ttallotmentpr∝essM isthe pr∝ess enforcingakindoAfdeformationofframes inwhichonlyoneindependentmemberrotationangle∝cures,whiletheothersare keptzeroalldeveryJointrotation isfixed.Endmomentsin thisprocessnecessarily satisfy corresponding shear equation ofthe slope deflection method･ Theseend moments can be calclllated from the storey moments muliplied by ttallotments coefficient

s

.

"

The storey momentsisthe min･LlSlSigned workdonebythe loads

applied on theframesin theshear eruation,which isvirtlユalwork equationof load･and･end-moment system ofthe frame when only one independentmember rotationanglecan∝cILlreanditsvalueisunitq･uantitybuttheothersarezero. The ttallotmentcoefficient'' istheratio ofthe allotmentmoment(end moment) tothestorey momentwhe_Ionlyoneindependentmemberrotation occureandthe othersandalljointrotationarekeptzero.

A

memberoftherigidframecan have severalallotmqntC｡efficientSeachofwhichoorreSpOnds eachindependentmember

rotationaEgle.

Thismethodconsistsin altertiveappl

i

ca

t

ionofdistributionpr∝essandallotment process.Thenmomentequationsaridshearequationsintheslopedefle=ti･3n method areiteralyandone byone satisfied approximately.So afterseveralapplications, wecangetexactsolution.

l

受付 :1968年10月31日 ★ 琉球大学理工学部土木工学科

28 モーメント分配法による非矩形ラーメンの解法

Ⅰ.

まえが き たわみ角法 で ラー メンを解 くには節点方程式 と努力方程式 を作 り,それ を連立 させ て とけ ば よい .即 ち両者 をみたす端 モーメン ト分布 をみつ けるこ とである.筆者 はモー メン ト分配 法 の藷 プ ロセス を 考 えてみ て,節点の 回転 同定 を 解除す る分配 ･到達 の 操作 は節点方程式 を,また分担 の操作 〔雀述) は勢力方程式 を夫 々満足 させ るこ とに対応 してい ることに注 目 し,これ を利用 して,分配 ･到達 の操作 と分担 の操作 とを交互 に くり返す こ とによって,順 次節点方複式 と努力手 軽式 とを満足 させ てい き,ついに精解 に到達 しよ うと考えた･節点方 巷式 と労力方程式 とを端 モー メン ト表示す る と,未知量 (端 モー メン ト) の数 は条件式 の数 (節点方程式 と努力方程式 との数 の和) よ り多 く,節点 ･努力両方程式 を同時 に満足す る端 モーメ ン ト分布 をみつけた として も一般 には問題 の解 とは云 えない.求 め られた端 モー メン ト分布 はたわみ角法 の基本式 を満足 しては じめて解 となる.所 が分配 ･到達 と分担の操作 の り返 しに よって努力お よび節点方程式 を満足す る解 はまさにその様 な解 なのである. 号の考 えた方法 はモー メ ン ト分配法 の諸 プ ロセス をたわみ角法 との関連 において解釈 し, ･ J メンを とこ うとしてい るのである.方法 の具体的 な点では等脚矩形 ラー メンでは従来 か け) ら存在 す る二見教授 の方法 (以後二見法 と呼ぶ)その ものである. しか し二見法 は非矩形 ラー メンにはそのままでは適用 で きない . そ う云 うわけで この小文 の方法 (以後本法 と呼 ぶ) は二見法 のモー メン ト分配法 の諸操作 を新解釈 し,非矩形 ラー メンに適用 できる様 に拡 (2),(3),(4) 張 した ものである と云 ってよい. 最近 よ く使 われ ているKani法 とは諸 プ ロセスでは非等脚 矩形 ラーメ ンを含 む矩形 ラー メンで殆 ん ど同 じである. そのわけはKani法 は等脚矩形 ラー メンでは前述 の二見法 に全 く一致 してい るか らで ある. 更 に非矩形 ラーメン (いわゆる異 形 ラー メン或 は不規則 ラー メ･ン或 は斜材 を有す る ラー メン) では,独立部材角 との関連 にお いてのべ られてない ので,一一独立部材角 が

2

以上 ある とき,その解法 はは っき りしてない. 従 って本法 は非矩形 ラー メンに適用 され る ときその特色 が発揮 され る.従来 か らある通常 の (5日 6) 千- メン ト分配法 とは,節点変位 がある とき仮設的 な変位力や抑制力 を考える必要 がな く, 従 ってモー メン ト分配法 を (n

+

1)回 (nは独立部材角数)適用 し,最後 は n元連立方程 式 をとき,解 を重 ね合 わせ る操作 を しないですむ と云 う点で異 なる.特 に通常のモーメン ト 分配法 では不規則 ラー メンでの抑制力 ,変位力 の計算 は面倒 であ り, この点で も本法 は有利 (7) である.通常 のモーメ ン ト分配法 の改良法 である松本 氏の方法 が公刊 され てい るが,この方 法 は非常 に便利 であるが本法 とは異 なる.勿論本法 も二見法やkani法 と同 じく途 中での計算 まちがい等 は 自動的 に修正 され る し, さ らに利点 として,途 中で どこまで正解 に近ずいてい るか近似 の程度 を計算 できるこ とを指摘 してお く.

I

. 解法原理 モー メン ト分 配法 の節点固定 の解除つ ま り分 配 ･到達 の操作 は節点方程式 をその節点で満 足 させ ることに対応 しているこ とは 自明である.ただ しこの場合その節点 に隣接 す る節点は 固定 してお くので,他節点では節点方程式 の釣合 が乱 され る し,その節点 で も隣接節点のた わみ角 を零 としているので,近似的 に節点方程式 を満足 させ る操作 に対応 している と云 った 方 が よいか も知れ ない.勿論労力方程式 は分配 ･到達 の操作 に よって乱 され る.

琉球大学理工学部紀要 (工学篇) 29 分担 の操作 とは二見教授 の著書 か らとって名付 けた ものであ る. この操作 は節点 の回転 を とめたまま,勢力方 程式 を満足す る様 に対応 す る独 立部材角 が別 々 に生 ず る変形 を順 次 ラー (8) メ ンに強制す るこ とを云 うので あ る.勢力方程式 は既 に指摘 され てい る様 に各独 立部材角 に 対応 して一 つづっ作 られ ,各独 立部材角 が単位量生 ず る様 な仮想変位 に対 す る,荷重一端 モ ー メ ン トよ りなる釣合力糸 の仮想仕 事 で あ る.分 担 の操 作 を行 えば努力方程式 は一応 満足 さ れ るが,その際節点 の回転 を抑制 してい るので,近似 的 に勢力方程式 を満足 させ る操作 と云 った方 が よい か も知れ ない. 分担 の換作 の際 ,節 点 には回転抑 制 モー メ ン トが生 じ,節点 方程式 は乱 され る. この節 点固定 モー メ ン トは分担 モー メ ン トと呼 び.荷重項や到達 モー メ ン トと区別す る.分担 モー メン トは次 の様 に して求 める.勢力方程式 は前 述 の如 く荷重一端 モー メン ト系 の仮想仕事式 であ るので , この中荷 重 のなす仕 事 に負号 をつ けた もの を層 モー メ ン トと呼ぶ . この層 モー メン トに分 担係数 を乗 ずれ ば よい .分 担係数 は単位量 の層 モー メ ン トに対応す る分担 モー メン トの大 きさ (た だ し無名数) ,或 は節点 の回転 を抑 制 した ま ま,あ る独 立部材角 のみ が生 ず る様 ラー メ ンに変形 を強制 した とき,層 モー メ ン トに対 す る 各分担 モー メン トの割合 を云 う. これ はたわみ角法 の基 本式 において ,

9-0,C-

0とお いた もの を努力方程式 に代入 し,得 た Fの値 を元 の基本式 (p- 0

,C-

0とおいた もの) に代入 して求 め られ る. この分 担係数 は各独 立部材角毎 に計算 され る もので あ り,非短 形 ラ ー メンでは

1

つ の部材 が幾 つかの分担係数 をもち,負号 とな る こ ともあ る. 上 述 の様 に分配 ･到達及 び分 配 の操作 がたわみ角法 の節 点方程式 ,努力方 程式 を夫 々満足 す るもので あるので, この操 作 を交替 に順 次 く り返 してい き,精 解 に到達 しよ うと云 うので あ る. 解 法順 序 としては次 の様 に なる. 1)剛比 .荷 重項 の算定 ,独 立部材角 の選定 と各部材 の部材角 の独立 部材角 に よる表示 . 2)たわみ角法 の基本式 の作製 . 3)分配率 ,到達率 ,分 担係数 の計算 . 端 モーメ ン ト表示 の勢力方程式 の作製 . 4) 次 にモー メ ン ト分 配法 の演 算 に入 ってい くわ けだが,努力方 程式 を満足 させ るこ と か ら始 め るか,節点方程式 を満足 させ る こ とか ら始 め るかは,時 と場合 (主 として荷重 のか か り方) に よる.今 まず ,後者 か ら始 め るこ とにす る.各節 点毎 に荷重項 の和 を計算 し,節 点回転 固定 モー メ ン トを算出 し,次 に分 配 ･到達 の操作 を行 って,節点方程式 を満足せ しめ る. この場合 ,各節点毎 に順 次行 な う. 5), 4) の操 作 に よって勢力方 程式 は乱 され る し,更 に荷重 に よる層 モー メ ン トの影響 分 も考 えて,努力方程式 が満足 され る様 に分担 の操 作 を行 な う. これ は 4) の操 作 に よって 生 じた分 配 ･到達 モー メ ン トや荷 重項 を使 って層 モ ーメ ン トと比較 し,各 勢力方程式毎 に必 要 な追加層 モー メ ン ト (正又 は負 の場合 があ る) を計算 し,元 か らの層 モー メ ン トと加 え合 わせ た薪 層 モ- メ ン トを算出 し, この新 層 モー メ ン トに対 し分 担 モー メ ン トを分担係数 を使 って計算す る･ これ に よ って勢力方 程式 は満 足 され るが1,分 担 の操作 は各部材 の両端 の回転 を抑制 してい るので,分 担 モー メ ン トは節 点 の新 しい固定 モー メ ン トとな り節 点方 程式 は乱 され てい るこ とにな る. 6), 5)の操作 で加 わ った分埴 モー メン ト及 び 4)の操作 での到達 モーメ ン トの残 りの

30 モーメント分配法による非矩形ラーメンの解法 分 が節 点 の新 しい回転 固定 モー メン トで あ り, これ に荷 重項 に よる固定 モー メ ン トとを合 わ せ て,等 大逆 向 きのモーメ ン トを加 えて節点方 程式 を満足 させ る.つ ま り分配 ･到達 の操作 を行 な う. 7), 6) の操作 に よ り生 じた分 配 ･到達 モー メ ン トに よ って労力方程式 の釣合 が乱 され るので,新 しく必 要 な追加層 モー メ ン トを労力方 程式 を使 って と云 うよ り,その層 モー メ ン トを使 ってチ ェ ック し,前 回5) の層 モー メ ン トに加 えて新 しく層 モー メ ン トを作 り上 げ, これ を使 って分 担 が操作 を行 な うと勢力方 程式 が満足 され る. 8) 以下 6), 7) の操作 を くり返 し,分配 ･到達 の操作 を行 な って も努力方程式 が乱 され ないで満足 され てい る状健 までつづ けれ ば よい . ヒンジ を有す る部材 の取救 いは通 常 のモー メ ン ト分配法や たわみ角法 に準 じて行 なえば よ く,層 モー メ ン トの計算法 な どもい ろい ろあ るが,具体的 な運 用法 は例題 に よ って納得 して ほ しい . 丑. 例題 例

l Fi

g.1

の如 き塔 状 ラー メ ンに水 平荷 重 が作 用 した ときの曲 げモー メ ン ト図 を求 め よ

.0

の中の数値 は剛 比 で あ る. Fig. 1 Fjg･2 解 (1)対称 ラーメ ン逆対称荷重 なので

,Fi

g･2

の如 く半分 について考 えれば よい . この とき梁部 の長 さは半分 にな るので剛 比 は2倍 とな る.

(2)

独 立部材角 は

2

つ あ り

,1,2

層 の柱 の 部材角 をRl,R2, とし,独 立部材角 に とる.適合 条件式 (文献5)291貢) 或 は置換 トラス法 (文献 8)65頁) に よ り,他 の部材 の部材 角 を表示す る と次 の様

さ

きな る･

1

RAB = R

l,

RBC=R2

,

RBE'= す Rl, R｡｡･ニー‡ (Rl.R2) (3) たわみ角法 の基本式 ･ cD-

X(

34

｡

一

g

/-

W

X)

McB-4(2￠C + PB + F2) MBC -4(2PB+ Pc + g2)

モーメント分配法による非矩形ラーメンの解法

･BE

-

X

(

(

3

9

8

-F

x )

･B

A

-

4

/

(

(

3

9

8

.

Fl

) )

(4) 分配率 , 到達率 , 分 担係数 C点 4 . 15

×

冥-

3

5

1

4 × 4

A

= 些 =

6

1

0.262 ･5

×

言 × 芸

- 芸

幸 0･131 従 ってB端 への到達率 は0.131 B点 4 ×

i

+ 10

×音+

4'- 等 4 X ; -

;

- ･276

2

4 × 言 ×

2T

5- 品

≒ o･207 旦 × 14 0

× 孟 -

芸 ≒ o･517 従 ってC端 - の到達率 は 0.138

CB

柱 の

C

端 -の分配率

C

I)柱 の

C

端 -の分配率

EC

柱 の

B

端- の分配率

BA

柱 の

B

端 - の分配率

BE

梁 の

B

端 - の分配率 31 節点の回転 を生 じない様 に して,独立部材角Rlだけ生ず る様 に した時 の各部材 の節 点 固 定 モーメ ン ト (分担 モ ーメ ン ト) はたわみ角法 の基本式 よ り,

l

MF

B

A

- 2

g

l

,

ME

E

- 筈

仁h

l

巨一言

g l ･

t

ME

D

-

引-;

l

巨弓 F

l

これ をRl- 1, R2- 0の ときの勢力方程式 ①

MB

A･1

･ MBE(- 封

.Mc

D

に代入す る (但 し右辺 は

1

とす る)

2

g

1

-i

-

ト

音

591

1

3

= -17.5×12ニー210

l

二

･･･J

y

5

一2

-一3

これ を㈹式 に代入 して独立部材角Rが生ず る とき,つ ま り努力方程式① に対す る分担係 数 は 次 の様 になる.

32 _{琉球大学理工学部紀要 (工学精)} AB材 の B端

2･

昔

-

芸 ≒ o･636 BE材 の B端 - 与 ･ 蒜 - 一 品 幸 1 0･397 cD材 の C端 - 喜 ･ 昔 - 一 昔 幸 一 0,795 同様 に して独立部材角

R2

が生 ず る ときの分担係数 は,まずたわみ角法 の基本式 か ら ･D, M忘C- MFcD- 4g 2, M

E

F

-引弓

g

2

)-一言

g 2 これ を対応 す る勢力方程式 ･ (M BC ･ M

c

B

) 1 ･ M c

十 封ニー

5 × 12

-

- 60 に代入 し, F2- 6/53 を得 る.従 って,

B

C材 の

B

,C

端 4 ･

蓋 -書

手 0 ･453 5 6 15 . CD材 の C端

一一

･ 一 - 一 一 ニ ー 0.283

2

53 53 一 な る分担係数 を得 る.以上 で準備 は終 りで ある. (5) 計 算 計算 はTable.1に示す .説 明 を次 に述べ る. (説 明) ⊂第

1

サイ クル⊃ この場合部材途 中に荷重 が作用せず,従 って荷重項 に よる節点固 定 モーメ ン トはない.従 って分担 の操作 か ら始 める.努力方程式(丑⑦ を くらべ る と, Rlに 対応す る① の方 が層 モーメ ン トが大 きいので,まず① が満足す る様 に分担 の操作 を行 う. -2100

x

0.636

=-

1336 -2100× (-0.795)

-+

1670 -2100 × (-0.379)

-+

833 次 に① に よる分担 モーメ ン トを考慮 の上 ,労力方程式⑧ が満足 され る様 に分担 の操作 を行 う. ･670

×仁 封

ニ ー 557 従 って⑧ が満足 され る様 に加 え るべ き層 モーメ ン トは-43だけであ る. -43 × 0.453- - 20 -43 × (-0.283)

-+

12

モーメント分配による非缶形ラー'メンの解法 33 分 担 モー メ ン トは節点固定 モー メ ン トであ るか ら,各節 点毎 に総 計 し, これ と等 大逆 向 き のモー メ ン トを加 えて,いわ ゆ る節 点 の解放 を行 う.即 ち分 配 ･到達 の操作 を行 う. C節点 1670- 20+ 12- 1662 - 1662 × 0.131- - 218

B

節点へ の

C.

0.

M.

- 1662 × 0.738- - 1227

CD

,材

C

端 の

D.

M.

B節点 - 1336- 20+ 833- 218 - - 741 741× 0.131- 97

C

節 点- の

C.

0.

M.

(実 は計算 ミス) 741× 0.207- 153

AB

材

B

端 の

D.

M

741× 0.517- 383

BE

材

B

端 の

D.

M

⊂第2サイ クルコ 第1サイ クル の終 りの操 作 で節点方程式 は満足 され たが,新 たに加 わ った到達 ･分 配 モー メ ン トに よって勢力方程式 が満足 され な くな ってい る.そ こで分担 の 操作 を行 う.努力方程式 の左辺 ,つ ま り層 モー メ ン トの過不足 を しらべ る. 勢力方程式① - 1336+ 153+ (833+383) 仁 封 + ･ 巨 670 + 12- 1227)

仁 封

ニ ー 1639 - - 461不足 - 2100- 461- - 2561 新 層 モー メン ト この意味 は層 モー メ ン ト -2100 にな る様 にす るには,分配 ･到達 の操作 を考 え る と, 12561の層 モー メ ン トが必 要 だろ う と云 うこ とであ る. - 2561 × 0.636- - 1629 M 上うAへ の分 担 モーメ ン ト - 2561× (-0.397)- + 1016 M BE'- の分担 モー メ ン ト - 2561× (-0.795)- + 2036 M cl)'- の分担 モー メ ン7 勇力方程式(勤 - 20 × 2 + (- 218 + 97) × 3 + (2036+12-1227) 仁 ‡ ト ー677 77 多 い - 43+ 77- + 34 勢力方程式⑦ を満足 させ るには,分配 ･到達 を考 え て,+34の層 モー メ ン トを加 えれ ば よい , 34 × 0.453- + 15 M BCの分担 モーメ ン ト 34× (- 0.283) ニ ー 10

Mc

D'

の分 担 モーメ ン ト 今度 は分担 の操作 に よって節点 にあ らた に固定 モー メ ン トが加 わ った事 と,前 の第

1

サイ クル の到達 モー メ ン トの残 りとを考 えて,分配 ･到達 を行 い節 点方程式 を満足 させ る. C節点 15+ 97+ 2016- 10- 2138

34 琉球大学理工学部紀要 (工学篇) - 2138 × 0.131- -280 - 2138X0.738= - 1580 MBC へ のC.0,M. McE'へ のD.M. B節 点 - 1629+ 15- 280+ 1016- -878 878 × 0.138- 121 878 × 0.517- 454 878X 0.207- 180 McB- のC.0.M. M8E'- のD.M. MBA- のD.M. (第3サ イ ク /レ⊃ 以下説明文 は省略 して計算 のみ を示す . - 方程式 ① - 1629+ 182

.(

1

0

1

6

+4

5

4

)

×

仁

封

十

･

(2036- 10- 1580

j仁 封

ニ ー 1693 - 137の不足 - 2561- 137

--

2698 - 2698 × 0.636

--

1716 - 2698X (-0.397)- + 1072 - 2698× (-0.795)- + 2147 努力方程式 ⑧ 15 × 2 + (- 280+ 121)×3+ (2147- 10

-1

5

8

0

)

ニ ー 633 - 33 多 い 34+ 33

=

77 77 × 0.453- 35 77× (- 0.283)

ニ

ー 22 C節 点 35+ 121- 2147- 22- 2281 - 2281× 0.131

--

299 - 2281 × 0.738- - 1684 B節 点 - 1716+ 15- 299+ 1072

--

928･ 928 × 0.138- 128 928 × 0.517- 480 928 × 0.207- 192

⊂

第

4サ イ ク ル⊃ 努 力方程式 ①

モーメン ト分配法による非楚形 ラーメンの解法

- 1

7

1

6

+

1

9

2

+

(

1

0

7

2

+4

8

0

+

(

2

1

4

7- 2

2

-1

6

8

4

)

仁封+

仁封--

2

0

5

9

1 41

不足

- 2

6

9

8- 41- - 2

7

3

9

- 2

7

3

9× 0.

6

3

6

- - 1

7

4

3

- 2

7

3

9× (-0.

3

9

7

)- 1

0

88

- 2

7

3

9

×

(

-0.

7

9

5)- 21

80 射力方程式 @

3

5× 2 + (-2

99+ 12

8

)×3+

(2

1

8

0-

2

2- 1

6

8

4

)

ニ

ー 6

0

1

1

多い

7

7+

1-7

8

7

8× 0.

4

5

3- 3

5

7

8

× (

- 0.

2

8

3)ニ

ー 2

2

C#& 3

5+

1

2

8

+

21

8

0-

2

2= 2

3

21

- 2

3

21× 0.

1

3

1- - 3

0

4

- 2

3

21× 0.

7

3

8- - 1

7

1

4

B節点

- 1

7

4

3+

35-

3

0

4

+

108

8- - 9

2

4

9

2

4X 0.

1

3

8= 1

2

8

9

2

4× 0.

51

7≡ 4

7

8

9

2

4× 0.

2

0

7- 1

91

⊂第

5

サイ クル⊃ 第

4

サイ クノは でで十 - あ る と 考 え る

が

(

品

× 1

0

0

幸2%

の ごさ い う少 し や ってみ ることにす る. 好力方程式 ①

- 1

7

3

4+

1

91

+

(

1

0

8

8+4

7

8

)

+

(

21

80 -

2

2- 1

7

1

4

)

-

2

7

3

9- 9 - - 2

7

38

- 2

7

3

8× 0.

6

3

6

-

- 1

7

4

9

仁

封

♯

ニ ー 2

0

91 - 9

不足 35

3

6

_{琉球大学理工学部紀要 (工学篇)}

-■

2

7

3

8

× (

-0.

3

9

7

) - 21

8

6

- 2

7

3

8

× (

-0.

7

9

5

) - 1

0

9

2

勢力方程式 ⑧ 3

5

× 2

+ (-304+12

8

)

×3+ (

21

86 -

2

2- 1

7

1

4

)

-

一 例)

8

7

8+ 8 - 8

6

8

6× 0.

4

5

3- 3

9

8

6

× (

-0.

2

83)

= - 2

4

C

#&

3

9+ 1

2

8+21

8

6-

2

4I 2

3

2

9

- 23

2

9× 0.

1

31ニ ー 3

0

5

- 2

3

2

9+ 0.

7

3

8= - 1

7

2

0

B

hh

3

9- 1

7

4

9- 3

0

5+ 1

0

9

2= A 9

2

3

9

2

3× 0.

1

3

8- 1

2

7

9

2

3

x 0.

2

0

7= 1

91

9

2

3× 0.

51

7- 4

7

7

⊂第6サイ クル⊃ 勢力方毎式 ①

- 1

7

4

9+ 1

91+

(

1

0

9

2+4

7

7

)

仁 封

+

(2180

-2

4-1

7

20)

(

一宮)

-

2

0

9

7

- 2

7

4

8- 3

-

- 2

7

51

- 2

7

51X 0.

6

3

6

= -

1

7

5

0

- 2

7

5

1

× (

-0.

3

9

7

)- + 1

0

9

3

- 2

7

51

× (

-0.

7

9

5

)- + 2

1

9

0

粛力方巷式 ⑧

3

9

x

2+ (- 3

0

5+ 1

2

7

)×3+ (

21

9

0-

2

4-

1

7

20)

三 一

6

0

5

8

6+

5

=

91

C

点

4

1+ 1

2

7+ 21

9

0- 2

6- 2

3

3

2

- 2

3

3

2 × 0.

1

31= - 3

0

5

ト音だ

B点 モーメント分配法による非楚形ラーメンの解法 -2332× 0.738 - - 1722 - 1750

+

41- 305

+

1093

=-

921 921× 0.138- 127 921× 0.207

=

191 921× 0.517- 476 37 以上で十分収束 してい ると思われ るので計算 を打切 る.あ とは到達モーメン トの

2

倍 の分 配モーメン トを計算 し,各部材端 ごとに, (分担モーメン ト)

+

(到達モーメン り

+

(分 配モーメン り -端モーメン トを計算す る.

Ta

bl

e.

1の通 りになる.それ よ ?曲げモーメン ト分布 を計算すれば Fig.3の通 ?となる. Fig.3 単位 tm

儀2

山型 ラーメン(Fig.4)の曲げモーメン ト図 を求 め上. ton P,-1c Flg. 4 簾. (1) このラーメンはたわみ角法で とくと

9-3,V=2 計5

個 の未知Jtとなる. 独立琳材角のえ らび方は敷通 りもあるが,ここでは成可 く

1

つの部材が分担係款 を

2

つ もつ ことを少 くす るた桝 こ,また

2

つ もって も正負反対の符号 をもたない様 にす るため

,AB

材 及 び

B

C材の称材角 を夫々

Rl

,R

2, として独立部材角 とす る. これで他部材 の軟材角 を表 示すると次の棟になる.

RA

B

- Rl

,

RJ

I

C=

R2.

R

c

J

)--

R

2 -

RDE

=

Rl

+

R2

(2) たわみ角法の墓本式

MA

J

1

- 2

(P

J

I+

Fl) M8A

- 2 (2

VB

+

Vl)

38 _{琉球大学理=学部紀要 (工学篇)}

MBC≡

=3 (2gJ

l+ Pc+

g2)

,

McJ

l- 3 (2Pc+

9B

+

g2)

Mc

D-3 (2Vc+ PD-

F2)

,

MDC= 3 (2pJ

}+ Pc

一 g2

)

MDE-2 (2FD+ ￠1-

g2)

,

ME

D- 2

r

PD+ ￠l十 g2

)

(3) 勢力方程式 ①

MAJ

l+ MJ

i

A+ MDE+ ME

D- Plh - P2h

-

- 1

8

tm ⑧

(

MBC･Mc8

)

- (

Mc

D･

MDC)･

(M

DE.ME

D)-一昔 p2- - 3

t

-(4) 分配率 ,到達率

B

節点

2

+

3- 5

2

弓イ

- o･

4

BA

材 の

B

端への

D･

F･

3 × ‡ - 0･6

BC

材の

B

韓への

D･

F･

従 ってA端-の到達率 は

0.

2

0

,C端-の到達率

ほ 0.

3

0

C節点 明 らかに分配率 は

0.

5

づ?,到達率 はB,D端

- 0.

2

5

づつ. (6) 分担係欺 例

1

と同 じ様 に して求 める. 勢力方程式① に対 して (たわみ角法基本式で p

-0

,

92

=0

とした ものを代入)

(2gl+ 2Fl

)+ (2gl+ 2

Vl)

=

l

l

V

l

-

･

テ

₈

AB

材

D

E

材

共

に(

冗)

･ 2 - 冥

- o･

25

労力方奄式⑧ に対 して

(3g2+ 3F2

)+

(

-1) (

-

3V2- 3

VZ)

+ (2V2

+2

gl)

-1

1

V 2

=福

BC

材 に対 して

CD

材 に対 して (y 6)

･

(

/6

)

3

= 0

.

1

87

5

(- 3)

ニ

ー 0.

1

87

5

DE

材 に対 して (最 上

2

-0

1

1

2

5

(6) 計 算

モ-メント分配法による非類形ラーメンの解法 39 Table.2に示す通 り.説 明 を述べ る. (説 明) ⊂第

1

サイ ク ル⊃ 部材 の途 中に荷重 がないので,努力方程式 を満足 させ ること か ら,つま り分担 の操作 か ら始 める.DE材で分担係数 がかち合 うため,努力方程式① に対 し -1800,⑦ に対 し -300の層 モーメ ン トを割 当てて分担 の操作 を したのでは,両方共 同 時 に満足 されないか ら,次 の様 な細工 をす る. (この様 な ことをしないで ,例

1

の如 く勢力 方程式① をまず満足 させ,次 に⑧ を満足 させ る様分担 の操作 を して も,途 中の経過 や解 の収 束 に さ程 の影響 はない.) 今努力方程式① を満足 させ る分担 の操作でのAB材 の分担 モー メ ン トをⅩ1, 勢力方程式⑦ を満足 させ る分担 でのCD材 の両端 の分担 モーメ ン トをyとす ると, これ よ り

2

Ⅹ+

2

(

Ⅹ+

y)-a

6

y

+ 2

(

Ⅹ+

y)

-b

4

Ⅹ

- (12

b. a)･

与

I a

,bは層 モーメ ン ト

/

(丑の層 モーメ ン ト 8y - ‡ (8b-4a) ⑦ の層 モーメ ン ト となる. aニー1800, bニー300 を上式 に代入す る と 4Ⅹニー1972, 8y-686 となる. この層 モ- メン トを使 って分担 の操作 をす る と勢力方程式①⑧ は同時 に満足 され る. 勢力方程式① に対 して - 1972× 0.25幸 1 493 AB,DE材 の分担 モー メン ト 勢力方程式② に対 して 686× 0.125≒ 86 ED材 の分担 モーメ ン ト 686×0.1875≒ 129

BC,CE

(但 し負)材 の分担 モーメ ン ト 次 に節点方程式 を満足 させ る分配 ･到達 の操作 をす る.前 の分担 の操作で生 じた分担 モー メ ン トは固定 モーメン トで,節点 の釣合 を乱 してい るか ら,等大逆 向きのモーメ ン トを加 え てバ ランス させ る. B節点 -493+ 129- - 364 364× 0.2≒ 73 A- のC.0.M. 364×0.3≒ 109 C- のC.0.M. D節点 -493- 129

+

86- - 536 536×0.2- 107

E

- のC.0.M. 536×0.3≒ 161 C- のC.0.M. C節点 109

+

161- 270 - 270× 0.25幸一68 B,D- のC.0.M.

40 琉球大学理工学部紀要 (工学篇) ⊂第 2サ イ クルコ 細 かい説 明 は省略 す る. 勢力方程式 ① (73+ 107) × 3 + 172- 712 - 1972+ 712- - 1260

, -

540不足 労力方程式 ⑨ ⊂(109-68)- (161-68)+107コ ×3-165 686+ 165- 851 - 986+ 851

-

- 135 -165不足 4Ⅹ -8y -1 7 1 7 (- 12× 165-540) 幸 一360 (- 8 × 165+ 4

×5

4

0

)-+1

2

0

- (1972+ 360)ニ ー2332 686+ 120- 806 -2332×0.25- - 583 AB,DE材 へ の分担 モー メ ン ト 806×0.125- 101 DE材 - の分 担 モーメ ン ト 806×0.1875- 152 BC,CD (但 し負)材 の分担 モー メ ン ト 次 は分配 ･到達 の操作 B節点 -583+ 152- 68 - - 499 499× 0.2≒ 100 499×0.3≒ 150 D節点 -583+ 102- 152- 68

-

- 803 803×0.2≒ 140 803×0.3≒ 210 C節点 150+ 210- 360 - 360×0.25幸 一90 ⊂第 3サ イ クル〕 分担 の操作 , 努 力方 程式 ① (100+ 140) ×3+ 204- 924 -2332+ 924- - 1408

,-

392不足 努力方程式 ② ⊂(150- 90)- (210- 90)+ 140⊃ × 3 -240 -583× 2 + 806+ 240- - 120 -180不足 4Ⅹ

-与(

-

12× 180- 392)ニ ー 365 8y - 与 (- 8 × 180+ 4 ×392)- 18 - 2382- 365- - 2697

,

806+ 18- 824

モーメン ト分配法による非整形 ラーメンの解法 1 2697x0.25- - 674

,

824X0.125- + 103

,

824×0.1875- + 155 分配 ･到達 の操作 B点 -674- 90+ 155- - 609 609x0.2- 163, 609×0.3- 183 D点 - 674- 90- 155+ 103- - 816 816×0.2- 0.163, 816×0.3- 245 41 ヽ■ -A.︰ I L l .-ト ■一 -C点 183

+

2

4

5

-

4

2

8

-428

×【

冥1

- 1 107 ⊂第4サ イ ク

/

レ

⊃

分担 の操作 (122+163)×3+206-1061 -2697+1061-1636 ⊂(183-107)- (245-107)⊃ ×3-303 303+824-1127 -674×2.-1127--221 -79不足 4Ⅹ-+ (-12×791164)--159

8y

- -i-- (-8×7

9

･4 × 1

6

4)-4 -2697-159--2856, 824+4-828 -2856×0.25--714 828×0.125-104 828×0.1875-155 分配 ･到達 の操作 B節点 -714-107+155--666 666×0.2-133 666×0.3=200 C節点 200+262-462 -462×0.25-116 D節点 -714-155-107+104--872 872×0.2-174, 872×0.3-262 〔第5サ イ クル⊃ 分担 の操作 (133+174)×3+208-1129 -2856十1129--1727 -73不足 〔(200-116)- (262-116)+1

7

4⊃ ×3-336 828+336-1164 -1428+1164--264 -36不足

4

Ⅹ- 十 ( - 36× 12-73) 幸一72 -164不足

42 _{琉球大学理工学部紀要 (工学篇)} 8y

-

+ (

-

8×36+4×73)≒1 -2856-72--2928

,

-2928×0.25--732 828+1-829, 829xO.125-104 829×0.1875-155 分配 ･到達 の操作 B節点 -732-116+155--693 693×0,2-139

,

693×0.3=208 D節点 エ732-116-155+104--899 899×0.2-180

,

899×0.3-270 C節点 208+270-478 -478×0.25--120

(第

6サ イ クル⊃ 分担 の操作 (139+180)×3+208-1165 -2928十1165--1763 -37不足 ⊂(208-120)- (270-120)+180⊃ ×3-354 -732×2+354+829--281 -19不足 この時点で勢力方複式 に対す る近似 の程度 を しらべ てみ ると, 醐 方程式 ① に対 して

1

品

-XIOO≒2･05% の ごさ 如 方程式 ⑧ に対 して 芯 ×100幸6･33% の ごさ とな る. -12×19-37 7 ニー38 -8×19+4×37 -2928-38--2966 829-1-828 -2966×0.25--742 828×0.125-104 828×0.1875-154 分配 ･到達 の操作 B節点 -742-120+155--707 707×0,2=141 707×0.3-212 D節点 -742-120-155+104--903 903×0.2=181 903×0.3-271 C#,6 212+271-483 -483xO.25--121

⊂

第

7サ イ クル⊃ 分担 の操作 (141+181) ×3+208-1174

,

-2966+1174--1792

-8

不足 ⊂(212+121)- (271-121)+181コ ×3-366 4

=

† = 1

モーメント分配法による非矩形ラーメンの解法 -742×2+366+828--290

,

-

10不足 ー12×10-8 ニー18

,

ー10×8+4×8

ニー7

-2966-18--2984, 828-7-821 -2984×0.25--746

,

821×0.125-103 821×0.1875-154 分配 ･到達 の操作 B節点 -176-121+154--713 713×0.2-143

,

713×0.3-214 D節点 -746-121-154+103--918 918×0.2-1

8

4,

918×0.3-275 C節点 275+214-489 489×0.25-122 ⊂第 8サ イ クル⊃ 分担の操作 (143+187)x3+206-1187

,

-2984+1187--1797

-3

不足 ⊂(-214+122)- (275-122)+184⊃ ×3-369 -746×2+369+821-302 +2余計

÷

(2×12-3)-3

,

8×2+4×3-4 43 -2984-3--2987

,

821+4-825 -2987×0.25--747

,

825×0.125-103 825×0.1875-155 分配 ･到達 の操作 B節点 -747-122+155--714 714×0.2-143

,

714×0.3-214 D節点 -747-122-155+103--921 921×0.2-184

,

921×0.3-276

C

節点 214+276-490 -490×0.25--123 以上 で十分 なので計算 を打切 る.各部材端 で端 モーメ ン トを計算す る.念 のため努力方複 式 のチ ェックを行 うと,次の様 にな る. 努力方程式(訓 こ対 して, -604-461-276-460--1801→1800 0.k. 460+123- (-274-125)-276-460--302-→300 0.k. 曲げモーメ ン ト図 を求 めればFig.5の様 になる.

4

4

_{琉球大学理工学部紀要 (工学常)}

1

.

2

4

Fi

g.5

単位 tm 例

3 Fi

g.6

の ラー メ ンの

M

- 図 を求 め よ. 解 (1)この ラー メンはたわみ角法 で とい て も未知量 は3なので,本法 で とい て もあま り利 点 はない.独 立部 材角 は1個 で これ をEB材 に とる.独 立部材角 と他 の部 材角 と の 関 係 は

Fi

g.7

を参 考 に して,次 の様 にな る

Fi

g.7

モーメント分配法による非整形ラーメンの手法

RBE-R

l,

R且

A-1

jG

L -

菩 L ,

Rc

F-R

l,

45

RBC

-

-溝 岨

し--

÷ R

l

･

,

Rc

D-÷ Rl

(2) 端 モーメ ン ト表示の勢力方程式 は従 って次の掛 こな る.

÷ MB

A+MBE+ (

MBC･Mc

B)

(-÷ )

･Mc

F

+

÷ Mc

D

･署

-o

(3)荷重領 c

B

A

ニ

ー

㌍ 旦

ニ

ー

聖 二

,

-CBC- cc

8-

等 2(1･58)2

-

意 qc2

,

(

冥

6

)qC-1

0

0

0

とお くと, C

8

A

-+4000 ,

CB

C-3

0

0

0,

cc

8-+3

0

0

0

層 モーメン ト 一半 ニー

8

0

0

0

(4) 到達率 ,分配率 ,分担係数 たわみ角法 の基本式 をかき下す と,

M8

C-2 (29

8+

P

c

-

%g

)

十CBC

MB

A

-

-

2

2

- (3PB･ i-g)･cB

A

MBE

-

÷

(3肘

F) 従 って分配率 ,到達率 は

B

節点

3+3+4-1

0

宜 -o･

3

0

BE

材 の

B

端-の

D･

F･

同 じく

BA

材 の

B

端-の

D.

F.

も

0.

3,BC

材 の

B

端-の

D.

F.

は

0.

4

,従 って

BC

材 の

C

端-の

C.

0.

∫

.

は

0.

2

とな る

.C

節点 は これ と対称的 なので省略す る. 分担係数

÷

〔÷ 野

〕×2相

･2.2(

-

÷F

)

･2(-÷ )-1

F

-

1

8

/7

7

BA

材の分担係数 (1

㌢;

7

)

･(悠)

-o･

1

1

6

9

BE

材の分担係数

(

1

% 7

) ･(1)-0･

2

3

3

8

BC

材の分担係数 (1

% 7

)･2

(一% )ニー

0･

3

1

1

7

46 琉球大学理工学部紀要 (工学常)

CD,CF

材 については同 じだか ら省略 . (5) 計 算 Table.3 に示す様 に各端モーメン トの所 に ⊂ コ の中に分担係数 , ( )の中は上は分 配率,下 は到達率 を記入す る.次 に荷重項 をかきこむ.以下分配 ･到達 ,分担の操作 に入い る.以下の計算では分担の操作 からは じめている. 説 明 ⊂第

1

サイケル⊃ 分担 : -8000×0.1169--935 -8000×0.2338--1870 -8000× (-0.3117)-2494 分配 ･到達 : B節点 -935+4000-1870-3000+2494-+689 -689×0.2--138

,

-689×0.3--207 C節点 +2494-138-1870-935+3000=+2551 -2551×0.2--510

,

-2551×0.3--765 ⊂第

2

サイクル⊃ 分担 -206-206×÷ . (-510-138)×3(-

÷

)--765-765

×(1

_/

₂

₎

-161+4000

×

=-161

(1

/

2

)

-+1

8

3

9

-8000+1839--6161

,

-1839不足 -9839×0.1169--1150

,

-9839×0.2338--2300 -9389× (-0.3117)-+3036 (+3067の計算 まちがい) 分配 ･到達 : B節点 -1150+4000-2300-3000+3036 -510=+76 76×0.2--15

,

76×0.3--23

C

節点 +3036+3000-15-2300-1150-+2571 -2571×0.2--514

,

-2571×0.3--771 第3サイクル以下は省略す る.Table.3で第3サイクルのC節点での分配 ･到達の所で も うー度記入 まちがいをしてい る.結局第5サイクルで終了 させてある.結果 はTable.3と

Fi

g.8

に示 してある.

モーメント分配法による非整形ラーメンの解法 47

Ⅳ.

他法 との比較 まえがきの所 ですで 暗大部分 のべ てあ るが以下箇条書 で記す . 1. たわみ角法 との比較 l)未知圭 の少 ない ラーメ ンで はたわみ角法 に比較 してみ て,あま り利点 はない . 2)未知量の多い ときは,たわみ角法 をイク ラチオ ン形式で とくの と比較 す ると,本 法 は Pや Fでな く端 モーメン トを直接取 り扱 ってい る点で,またそれ故途 中の過程での近似 の 程度 が判 り有利 である.

2.

通常のモーメン ト分配法 との比較 1)仮設的な変位力や抑制力の算定 は本法 には必 要がない. 2)到達 モーメン ト,分担 モーメ ン ト等 の計算 ま ちがい, 記入 まちがい等 に対 し, 自動 的 な調整機構 を本法 は もってい る. 3)本法 は独立部材角数 に対応 す る連立方程式 を とく必要 がない. 4)端数の切 りす て切 り上 げによる誤差 の累積 がない. 以上 が利点であ るが,欠点 としては分担係数 の算出 , 分担の操作 が通常のモー メ ン ト分配 法 よ り余 計であ る.

3. Ka

ni

法 との比較 1)努力方程式 を使 ってい るので,いつで も本法 は近似 の程度 が算出で きる. 2)本法 は独立部材角 との関連 で非短形 ラーメ ンを取扱 っているのに対 し,Km i法 はそ うでないので独 立部材角 が2以上の非短形 ラー メ ンに対す る解法 が明示 され てない.

†.

む す び たわみ角法や従来 のモーメン ト分配法 の約束や習保 をそのまま使 ってい るので ,そ こで使 われている種々の図表や,提案 され ている事項 がその まま本法 に適用 で きる.た とえば例題

48 _{琉球大学理工学部紀要 (工学掃)} 中 に示 した が ,一端 ヒンジ部 材 の取扱 い とか ,或 は層 モー メ ン ト,到達 モ ー メ ン ト等 の推定 法 とか,変 断 面部 材 の係 数表 とかで あ る. 謝辞 :たわ み角法 , モ ー メ ン ト分配 法 につ い て親 し く御 指導 を賜 わ りま した東京理 科 大学 教 授 二見秀雄 先 生 お よび ,東京 工業 大学 教授藤 本 盛 久先 生 に深 く感 謝 致 します . 引 用 文 # 1)二見秀雄 :構造力学,PP1239-271.実教出版.1950

2)Hirschfetd,K.:Baustatik,PP.651-697.Springer,1965

3)山崎徳也,大EF俊昭 :Kani拡張法による骨組構造物の解法,土木学会論文集第148号,P･1,1967年12月 4)奥村敬意,也 :多層ラーメンの数値解法,技報堂.1961

5)村上正,吉村虎蔵 こ一構造力学,P P.286-295,コロナ社,1958

6)Gere,J･M.:MomentDistribution,PP.125-183,D.VanNostrandCompany 7)松本崇 :異形ラーメンと固定モ-メン ト法,理工図書

モーメン ト分配法による非矩形 ラーメンの解法 Table.1,

l M

B

A ∼

M

B

E

'

･

･

軌 1

.

.

･

･7.

-

-:

∴て言

〔

-〕

〔

-

〕i 〔

-〕

( 1.-2100 -43 2.-2561 +34 3.-2698 +77 4.-2739 +78 5.-2748 十86 + 2332 + 2329 十 2321 + 2281 + 2138 + 1662 ⑥

M

｡

B 1 M

｡

D

･

49 -)(0.262) .453)(0.138)-0.-0.79285)(3)(-)0.738) -20 -218 +15 -280

+3

5

-2

9

9

+35 -304 (+477)】 +3

9

-305 -20

+

97 +15 +121 +35 +128 +35 十128 十39 +127 +2036 二担_｣ -1580) +2147 ± 旦_1-1684) +2180 -22 (-1714) 注 到達 モーメン トと分配 モーメン トとを区別す るために分配 モーメン トは ( )の中に記入 し てある.通常は分配 モーメン トの記入は必要ない (他端の到達 モーメン トの2倍だか ら)が. 一端 ヒンジ部材には必要 となるので記入 してある･㊨,⑥の上方に記入 してある数字は,各節 点の固定モー メン トの和である.

Table.2 A

㊥

芸 当 〔0.25〕

(

-)J

〔

〔

.2H,〕 〔-〕 (0.20)l〔- 〕

(

-)

(

(

n

j3

'i

J

〔

h LS,琵

執

品 ,5〕那

3

3

+129 - 68 +152 一

駅)

-: ∵: _":_ =

_

_1･_1_3i L 7_1 : -732 +1｡9il732 一--一 一【一. 742 +141

｢

742 -746 +14

3

十 746 -747

■

-

747 +143 i -747 +竺3FI747 .2

が

-604i -461 +155 -107 +155 -1

1

6 +155 -120 +155 -121 +154 -122 +155 -123 C D (0.50)

l

〔-〕 (0.50)

l

〔-〕 (0.60)圧0.25〕_(Q.4

9

) 〔0.125〕 (-

〕

[〔0.0.1252〕5](0.(20)-)

L

T

)

く

つ

+129 +1

0

9 +152 +150 +155 +183 +155 +2

(

刀

+155 +208 +155 +212 +154 +214 +155 +214 -129 +161 -152 +2

1

0

-155 +245 -155 +262 -129 - 68 -152 -

9

0

-155 -107 -155 -1

1

6 -155 +270;-155 -120 -155 +2

7

1

I-155 -121 -154 +275 -155 +276 -154 -122 一155 -123 藻 弟 汁 傭 漣

;

傭 碧 市 柵

(I

傭

津 )

モ ー メ ン ト 分 配 法 に よ る 非 類 形 ラ ー メ ン の 解 法 C 4 a t q t 2 L 51