4-3. 正規行列

１２月２７日講義参考資料

注意：

• このノートはホームページ

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/ shimizu/LectLB2017.html

（google検索：「清水達郎」＋「RIMS」＋「線形代数」）から

ダウンロードできます．ただし講義の内容と一致するとは限 りません．

• 左に太線を引いてあるところは必ずしも理解する必要はあり ません．

4-2. 対角化と三角化（つづき）

三角化

定理4.12. 任意の正方行列A∈M_n(C)に対し，ユニタリー行列U があり，

U⁻¹AU は上三角行列となる．

定理4.12の証明. 行列のサイズに関する数学的帰納法で示す．n= 1では明らか．一般のnを考える．Aの固有多項式複素係数多項式 なので，解を持つ．したがって固有値は必ず存在する．A∈M_n(C) の固有値λと固有ベクトルxをひとつとる：

Ax=λx.

ただしxは正規化して∥x∥= 1としておく．xを延長してC^nの正 規直交基底

x, x2, x3, . . . , xn

をとり，ユニタリー行列Uを，

U := (x, x2, . . . , xn) と定める．このとき,

U⁻¹AU =U^∗AU

=





 x^T x₂^T

... xnT





A(x, x₂, . . . , x_n)

=







x^TA x^TA · · · x^TA x2TA x2TA · · · x2TA

... ... . .. ... x_n^TA x_n^TA · · · x_n^TA





(x, x2, . . . , xn)

=







x^TAx x^TAx2 · · · x^TAxn

x2TAx x2TAx2 · · · x2TAxn

... ... . .. ... x_n^TAx x_n^TAx₂ · · · x_n^TAx_n







=







λx^Tx x^TAx2 · · · x^TAxn

λx2Tx x2TAx2 · · · x2TAxn

... ... . .. ... λxnTx xnTAx2 · · · xnTAxn







=







λ(x, x) x^TAx₂ · · · x^TAx_n λ(x2, x) x2TAx2 · · · x2TAxn

... ... . .. ... λ(x_n, x) x_n^TAx₂ · · · x_n^TAx_n







=







λ x^TAx2 · · · x^TAxn

0 x2TAx2 · · · x2TAxn

... ... . .. ... 0 xnTAx2 · · · xnTAxn







n−1行n−1列正方行列A0を最後の行列の右下部分とする：

A0:=





x₂^TAx₂ · · · x₂^TAx_n ... . .. ... xnTAx2 · · · xnTAxn



∈Mn−1(C)

帰納法の仮定から，あるユニタリー行列U0があって B:=U₀⁻¹A0U0

は上三角行列となる．

U1:=

( 1 0 0 U

)

∈Mn(C)

とおくと，

(U U1)^∗A(U U1) =U₁^∗(U^∗AU)U1

=U₁^∗







λ x^TAx2 · · · x^TAxn

0 x2TAx2 · · · x2TAxn

... ... . .. ... 0 xnTAx2 · · · xnTAxn





U1

=

( λ ∗ 0 B

) .

よってAはユニタリー行列U U1によって上三角化される．

この証明は実際に上三角化するアルゴリズムを与えている：

例. A=







0 1 0

1 0 0

2 0 −1





^{を上三角化せよ．}

命題 4.13. 実正方行列A ∈Mn(R)の固有値がすべて実数ならば，

直交行列によって上三角化できる．

Proof. R^{nの正規直交基底}x1, . . . , xnに対してP = (x1, . . . , xn)は 直交行列であることと，定理4.12の証明において，固有値が実数あ れば帰納法が実数の範囲で進行することからわかる．

次の命題が言っているのは，固有値は相似で不変な情報である，と いうことである．

命題 4.14. A∈M_n(C)とB ∈M_n(C)が相似^*1なら，Aの固有多 項式p_A(x)とB の固有多項式p_B(x)は一致する．特に固有値は一 致する．

Proof. 正 則 行 列 P に よ っ て B = P⁻¹AP と 書 け る ．pB(x) = p_P−1AP(x) = det(xIn −P⁻¹AP) = det(P⁻¹(xIn − A)P) = detP⁻¹det(xIn−A) detP = detP⁻¹detP(pA(x)) =pA(x).

4-3. 正規行列

定義 4.15. 正方行列A∈Mn(C)がA^∗A=AA^∗を満たすとき，A を正規行列という．

定理4.16. 正規行列はユニタリー行列によって対角化可能である．

Proof. 定理4.12により，Aはユニタリー行列によって三角化でき

る．すなわち，あるユニタリー行列UがあってU^∗AUは上三角行列 になる．B= (bij) :=U^∗AU とおく．bij = 0 ifi > j である．

BB^∗= (U^∗AU)(U^∗AU)^∗=U^∗AU U^∗A^∗U =U^∗AA^∗U, B^∗B= (U^∗AU)^∗(U^∗AU) =U^∗A^∗U U^∗AU =U^∗A^∗AU であり，Aは正規行列であるので，

BB^∗=B^∗B.

BB^∗の(1,1)成分は

b11b11+· · ·+b1nb1n=|b11|²+· · ·+|b1n|² であり，B^∗Bのii成分は

b11b11+· · ·+bn1bn1=|b11|² である．これらが等しいのだから，

b₁₂=b₁₃=· · ·=b_1n = 0.

*1A, Bが相似であるとは，ある正則行列P ∈Mn(C)があってP⁻¹AP =B を満たすことを言うのだった．このときA=P BP⁻¹であるから，AとBの 役割を入れ替えて定義しても同値である．

BB^∗の(2,2)成分は

b21b21+· · ·+b2nb2n=|b22|²+· · ·+|b2n|² であり，B^∗Bのii成分は

b12b12+· · ·+bn2bn2=|b12|²+|b22|²=|b22|² である．これらが等しいのだから，

b23=b24=· · ·=b2n = 0.

以下同様に(3,3)成分，(4,4)成分，· · · と順次確かめてば，すべて のi < jについてbij= 0がわかる．

この定理は逆も正しい：

定理 4.17. A∈Mn(C)がユニタリー行列によって対角化可能なら ば正規行列である．

Proof. 対角行列は正規行列であることを用いればよい．

ここまでをまとめると，

Aが正規行列 ⇔ ユニタリー行列によって対角化可能 補題4.18. 正方行列A∈Mn(C)について以下は同値である．

(1) Aはユニタリー行列によって対角化できる．

(2) Aの固有ベクトルからなるCⁿの正規直交基底が存在する．

証明のアイデア.

(1)⇒(2)U^∗AU が対角行列，U = (b1,· · ·, bn)のとき，b1, . . . , bn

はAの固有ベクトルからなる正規直交基底である．(前回示した定理 4.10も参照)

(2)⇒(1)B= (bij)ijを任意の対角行列とする．各biiは固有値であ り，biiに属する固有ベクトルとしてeiが取れる．したがって標準基 底はBの固有ベクトルからなるCⁿの正規直交基底である．ユニタ リー行列は内積を保つ．すなわち，正規直交基底を正規直交基底に 変換する．

以上をまとめると，

Aが正規行列 ⇔ ユニタリー行列によって対角化可能

⇔ 固有ベクトルからなる正規直交基底が取れる

Aが対角化可能 ⇔ 固有ベクトルからなる基底が取れる 例. 次の行列がユニタリー行列によって対角化可能か判定し，対角化 可能なら対角化せよ．

(1) (

0 1

−1 0

)

(2) (

1 1 0 2

)

定義 4.19. 正方行列A= (aij)i,j ∈Mn(K)(KはR^でもC^でもよ い)が対称行列であるとは,

A^T =A

を満たすときを言う．aij =aji（∀i, j）と言ってもよい．

定 義 4.20. 正 方 行 列 A = (aij)i,j ∈ Mn(K) (K = R,C) が 歪対称行列または交代行列であるとは,

A^T =−A

を満たすときを言う．aij =−aji（∀i, j）と言ってもよい．

交代行列の対角成分はすべて0である．

定義 4.21. 正方行列A= (a_ij)_i,j ∈M_n(C)がエルミート行列であ るとは,

A^∗=A

を満たすときを言う．a_ij =a_ji（∀i, j）と言ってもよい．

エルミート行列の対角成分はすべて実数である．

定義 4.22. 正方行列A= (aij)i,j ∈Mn(C)が歪エルミート行列で あるとは,

A^∗=−A

を満たすときを言う．aij =−aji（∀i, j）と言ってもよい．

歪エルミート行列の対角成分はすべて純虚数である．

実対称行列，エルミート行列，そして歪エルミート行列は正規行列 である(各自チェックせよ)．よって対角化できる．対角化しても固 有値は変わらないので，次がわかる：

補題4.23. (1) 実対称行列の固有値はすべて実数である．

(2) エルミート行列の固有値はすべて実数である．

(3) 歪エルミート行列の固有値はすべて純虚数である．

証明のアイデア. (1) Aは実行列であり対称行列なのでA^∗=A^T = A = A．よって A^∗A = AA^∗ であり，A は正規行列．したがっ てユニタリー行列 P があって B := P^∗AP は対角行列となる．

B^∗= (P^∗AP)^∗ =P^∗A^∗P =P^∗AP =BなのでBの対角成分は実 数である．

命題 4.24. A ∈ Mn(R)が実対称行列であるなら，ある直交行列 P ∈Mn(R)があってP^TAPは対角行列になる．

Proof. A の固有値はすべて実数なので命題 4.13により，ある直

交 行 列 P が あ っ て B = P^TAP は 上 三 角 行 列 に な る ．B^T = (P^TAP)^T =P^TA^TP =P^TAP =BよりBは対角行列．

ここまでの応用としてひとつ補題を示しておく．AとBが相似で あるとき，任意のkに対してA^kとB^kは相似である．

補題4.25. A∈Mn(C)に対し，ある正数kがあってA^k=Oであ るならば，Aの固有値は0のみである．(このように，何乗かして零 行列になる正方行列を冪零行列という．)

Proof. B =







λ1 ∗

. ..

0 λn





 ^をAと相似な上三角行列とする．

よってA の固有値は λ1, . . . , λn である（重複があるかもしれな

い）．A^k = OはB^k =







λ^k₁ ∗ . .. 0 λ^k₃





 ^{と相似であるが，零行}

列O と相似な行列はO のみなので，λ^k₁ = · · · =λ^k_n = 0. よって λ1=· · ·=λn= 0.

予習： Cayley-Hamilton ^の定理．