入学試験問題

入学試験問題

2013 年 7 月 30 日（火）9:00〜12:00

注意事項：

1. 試験開始の合図があるまで，この問題冊子を開いてはならない．

2. 問題用紙は表紙を除いて4 枚 1 組である．試験開始後に各自確認すること．

乱丁，落丁，印刷不鮮明な箇所などがあれば，ただちに監督者に申し出る こと．

3. 問題は全部で 3題ある． 1 ,

2 ,

3 の 3 題すべてに解答すること． 4. 答案用紙は3 枚 1 組である．各自確認すること．ホッチキスを外してはな

らない．

5. 答案用紙は，1 枚目が 1 用，2 枚目が 2 用，3 枚目が 3 用となっ ている．間違えないこと．

6. すべての答案用紙の所定の欄に，受験番号と氏名を記入すること．

7. 答案用紙の裏面を使用してもよいが，その場合には答案用紙表面右下の四角 の中に×印を記入すること．

8.

3 では，選択した小問の番号を答案用紙表面上部の所定の欄に記入する こと．

9. 答案用紙のホッチキスがはずれた場合，あるいは計算用紙が足りなくなった 場合は，監督者に申し出ること．

10. 試験終了後に提出するものは，3 枚1 組の答案用紙である．この問題冊子と 計算用紙は持ち帰ってもよい．

記号について：

✡ ✠

1

f(t) = Z ∞

0

e^−txsinx

x dx (t≥0) で定める. 以下の問に答えよ．

(1) f(0) = Z ∞

0

sinx

x dx が収束することを,部分積分によって示せ.

(2) 任意のt >0に対して, |f(t)| ≤ 1

t が成り立つことを示せ.

(3) fは区間(0,∞)上で微分可能であることを示し,導関数f^′(t)を求めよ.

(4) (2)と(3)を用いて, t >0に対するf(t)を求めよ.

(5) lim

t→+0f(t) =f(0) が成り立つことを示せ. また,このことと(4)を用いて,f(0)の 値を求めよ.

ヒント： f(t)−f(0) = Z R

0

+ Z ∞

R

(e^−tx−1)sinx

x dx と分けて, (1)と同様 な部分積分によって,t ≥0に無関係なZ ∞

R

の評価を考えよ.

（2013 _年7 _月30 _日） （次ページあり）

✡ ✠

2

間W, および線型写像 f :V →V を考える. 以下の問に答えよ．

(1) {e1,· · · , em}をW の基底とする. これに適当な(n−m)個のV のベクトル ej

(m+ 1≤j ≤n)をつけ加えることによって,{e1,· · · , em, em+1,· · · , en}が V の 基底となるようにすることができる理由を述べよ.

(2) (1)のようにとったV の基底に関するf の表現行列をA = (aij)1≤i,j≤nとする.

f(W)⊂W となるためのaijに対する必要十分条件を, 理由とともに述べよ.

(3) f(W)⊂ W であって, かつf が逆変換f⁻¹をもつとき, f⁻¹(W) = W であるこ とを示せ.

✡ ✠

3

(1) R上の関数

f(x) =

( e^−1x (x >0)

0 (x≤ 0)

はC^∞級であることを示せ. また, fは実解析的か？ 理由とともに答えよ.

(2) z = 1で1位の極,z =−1で真性特異点をもち, C\ {±1}上では正則な複素関数 f(z)の例を一つ挙げ, それが実際にそうなっていることを説明せよ.

(3) µをRⁿ上のルベ一グ測度,{uk}をRⁿ上のルベ一グ可測関数列とする. 任意の δ > 0に対して lim

k→∞µ({x∈Rⁿ| |uk(x)| ≥δ}) = 0 が成り立つならば,適当な部 分列{u_k(j)}が存在して,Rⁿ上ほとんどいたるところで lim

j→∞u_k(j)(x) = 0 となる ことを示せ.

(4) n ≥ 2を整数, Aをn次の実対称行列とする. x : R → Rⁿに対する微分方程式 x^′(t) = Ax(t) のすべての解が lim

t→∞|x(t)|= 0 となるための必要十分条件は, A のすべての固有値が負であることを示せ. ただし, | · |はRⁿ のユ一クリッドノ ルムである.

(5) R²の部分集合A={(x, y)∈R²|x, y∈ Q} は弧状連結か？ 理由とともに答え よ. ヒント：AからRへの適当な連続関数を考えよ.

(6) 〜 (12) は次ページにある．

（2013 _年7 _月30 _日） （次ページあり）

✡ ✠

3

(6) 2次元球面S² ={(x₁, x₂, x₃)∈R³|

3

X

k=1

x²_k= 1} は単連結であることを示せ. 必 要ならば, S²上の連続な閉曲線を連続的に変形して, S²上で与えられた 1点を 通らないようにできることを用いてよい.

(7) 2次元ト一ラスT² =S¹×S¹と2次元球面S²は位相同型か？ 理由とともに答 えよ.

(8) 正四面体からすべての面をとり除くことによって,頂点と辺のみからなる図形が 得られる. この図形の第1ベッチ数を求めよ.

(9) F₃を位数3の有限体, GL₂(F₃)を各成分がF₃の元で行列式が0でない2行2列 の行列の全体とするとき,GL2(F3)の元の固有多項式となるような多項式をすべ て挙げよ.

(10) Gが (位数有限とは限らない) 群で, Hが有限個の元からなるGの空ではない部

分集合とする. 集合Hが (群Gの) 乗法に関して閉じていれば,HはGの部分 群であることを示せ.

(11) 多項式X⁴−2のQ上の最小分解体をLとするとき, Lの生成元とQ上の拡大次 数を求めよ. さらに, L/Qのガロア群Gの各元がLの生成元にどのように作用 するかを述べよ.

(12) Rの部分集合G= {x+y√

2| x²−2y² = ±1, x, y ∈ Z} が乗法について群をな