象の数学」に関して
著者 山田 弘明, 山下 陽介, 小野 裕明
雑誌名 日本歯科大学紀要. 一般教育系
巻 43
ページ 17‑25
発行年 2014‑03‑20
URL http://doi.org/10.14983/00000680
Creative Commons : 表示 ‑ 非営利 ‑ 改変禁止 http://creativecommons.org/licenses/by‑nc‑nd/3.0/deed.ja
アンケートを通してみる学生の状況
「自然現象の数学」に関して
新潟大学工学部 山田弘明 新潟生命歯学部 山下陽介 新潟生命歯学部 小野裕明
年 月 日受理
前稿に続き、一年生向け講義「自然現象の数学」で学生に対して約 年間に渡り実施した数学などについ てや、講義内容に関するアンケートおよび学生のレポート内容を整理し、そこからわかる学生の数学や講 義内容に対するイメージや状況を紹介することが本稿の主な目的である。
はじめに
年度より日本歯科大学新潟生命歯学部の一 年生向け講義「自然現象の数学」を担当している
。前稿で、この講義に関して、約 年間に渡 り実施した数学などの自然科学系科目についてや、
講義内容に関するアンケートを整理し、そこから わかる学生の数学や講義内容に対するイメージや 状況を紹介した 。（以下では、アンケート と して引用する。）本稿では、引き続き、一般的な数 学や科学に関するアンケート結果に加え、課題や 具体的講義内容に関わるアンケートなどの結果を 紹介する。
そのうちの一つは、アンケート と同時にとっ た、学生の数学者・科学者や法則や定理の知識に ついてである 節 。また、概数の見積もりに対
する回答などの結果についても示す 節 。さら に、夏季休業中の課題で比較的自由に選べる題材 に関する集計結果と興味深い課題例を示す 節 。 これらを通して、数学や科学に対しての認識や感 覚を知ることができる。最後の節では、アンケー トとは直接関係ないが、数学の在り方や物事との 関わり合いについて議論する。
知っている科学者・数学者と法 則・定理
まず、アンケート と同様に入学直後の最初 の講義で質問した「知っている科学者・数学者」
と「知っている定理・法則」を挙げよ、の回答結 3
果を表 と表 に示す 。出現頻度の多い上位 位辺りまでは、年度に依らず殆ど変らない。日本 人で初のノーベル賞受賞者 物理学賞 の湯川秀樹 が 年度、 年度には現れず、 年度に 比較的上位に現れているのは、テレビドラマなど の影響かもしれない。また、法則や定理も登場頻 度の多いものは共通している。特に、数学では図 形に関する定理がほとんどであり、かつては数学 の教科書には無かったメネラウスの定理やチェバ の定理が上位に来ている。もともと、これらの定 理は三角形の面積を求める公式や相似の概念だけ で証明できるため、その名前を用いずとも、実質 的に関連する問題は中学校入試から大学入試まで 広く登場する 。 年の学習指導要領の改訂で、
主に高校１年生で習う「数学 」の平面幾何でこ れらの定理が 再 登場して以来、問題解法のテク ニックとして重要視されていることが、特に記憶 に残っている理由なのだろう。また、「知っている」
ということの意味も、 名前のみを知っている、
定理の中身を知っている、 証明すること ができる、の最低 通りの解釈が考えられる。ア ンケートの回答でも、「中身は忘れました」といっ た添え書きがされていることも少なくない。より 詳しく調査する必要があるだろう。さらに、数学 の三角形の問題として親しんできたという意味の みならず、「図形の重心」などの物理的意味という 身近なものにつながっていることを期待したいも のである。また、自然科学系では、ヘスの法則な ども含めて、質量保存則やエネルギー保存則など
「保存量」に関する法則が目立つ。
概数の評価
入学直後の講義で行う「オーダー評価」の講義 では、大まかに数量を見積もることの重要さを強 調している。これは、社会生活における様々な科 学的数量感覚の大切さとも直結しており、物理学
アンケートの後に、法則、原理、定理、公理、定義などの 違いを説明している。
メネラウスは 世紀のギリシャの数学者、チェバは 世 紀のイタリアの数学者であり、生存期間は 年以上離れて いる。
ではフェルミ推定とも呼ばれている。フェルミは、
「シカゴ市内にピアノ調律師は何人いるか」を問う たようである 。
例えば、身近なものごとへの注意深さを促すた め、講義中には、「茶碗一杯、おにぎり一個はコメ おおよそ何粒か？」「一年間に食べるコメの量は？」
「海岸線から水平線までの距離は？」「新潟から外国 が見えるか？」などを考察している。また、「コッ プ一杯の水を海に捨て、世界中の海水とよくかき 混ぜて、もう一度コップ一杯の海水を汲み取る。最 初にコップに入っていた水分子のうち、何個の分 子が後に汲んだコップのなかに入るか」なども用 いている 。
また、テストでも比較的簡単なステップで考察 できる次のような概数を見積もる問いを出したこ とがある。
日本全国にある床屋 美容店 理容店 さんの 数（一般には、床屋は理容店のみを指す言葉で ある
日本全国にある畳屋さんの数
日本全国にある小学校、中学校、高等学校の 合計教員数
ためしに、上記 の教員数に対する回答を整 理したものが、図 である。ここでは、一番大き な値の回答を１番目、二番目に大きな回答の値を 番目という順に並べて表示している。これをラ ンク サイズ関係式、または、ジッププロット
という 。当然、グラフは単調減少になる。
これが、いわゆるジップの法則に従っているかど うか調べてみた結果が、図 である。ジップの法 則に従っているならば、 をサイズ、 をランク として、
と逆ベキ関数で減衰するので、両対数プロットで 直線になる。図 をみると の教員数の場合に 関しては、両端の極端な値は除いたとしても 、逆 ベキ関数ではなく、指数関数的に減衰しているこ とがわかる。同じグラフでプロットしてある床屋
この手の問題を作成することは容易である。
おおよそ、数千個の水分子が戻ってくる。
そもそも、畳屋の数が国民の数より多いものや、床屋さん が全国で 件程度という不注意な回答も多く存在する。
さんの数に関するのデータでも類似の傾向があり 興味深いが理由はよくわからない。
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5
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Number of teachers
70 60 50 40 30 20
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Rank
(a)
図 教員数を多い順に並べたもの ランク サイ ズ関係 。
リポート課題
課題のテーマ
例年、夏期の宿題として、次のような自由に調 べ研究するリポートを課し、独創的なものほど高 い評価をしている。
課題 自分が興味を持つ自然現象、社会現象を 調べ、片対数グラフや両対数グラフなどを用い てその法則性を考察せよ。 注意：必ず参考にし た文献等を明記し、自分で考察したことと区別 できるように表現すること。また、手書きで作 成し提出すること。
課題 興味がある数の概数を評価せよ。
年度によって、課題 のみの場合と課題 と 課題 の両方を課している場合がある。課題 はベキ関数、指数関数や対数関数の講義を行い、
それらの必然性や有用性を認識してもらうことが 目的である。課題 は、前節の概数の評価を自
102 103 104 105 106 107 108
Number of teachers
70 60 50 40 30 20
10 Rank
teachers tokoya tatamiya
(b)
102 103 104 105 106 107 108
Number of teachers
1 2 3 4 5 6 7 810 2 3 4 5 6 7
Rank
teachers tokoya tatamiya
(a)
図 教師数 、床屋 、畳屋 の数を多 い順に並べたもの ランク サイズ関係 。 両片 対数表示、 片対数表示。
分の興味ある対象で行ってもらうためのものとも いえる。
表 に、結果を整理した。課題として選んだ人 数の多いテーマのリポートは内容も安易なものが 多かった。
具体例 桃太郎と犬
現在までに、学生のリポートの中で一番印象に 残っているタイトルは、「桃太郎が鬼が島に向かう 途中で出会う犬の数」であった 。その一部を紹介 する。ここでは、数字の詳細は重要ではない。自 分で設定や仮定を考えて結果に達することが重要 である。この学生本人も気づいていないであろう が、これは、「われわれ人類が地球外文明と出会う 確率」を評価したドレイクの方程式の精神に通じ るものがある。（ドレイクの方程式に関しては付録 を参照されたい。）これになぞらえて、桃太郎の犬 の話を表現すれば、次の様になる。桃太郎が鬼が 島に向かう途中で出会う犬の数を とする。
日本の犬総数 鬼が島までの距離
日本の国土面積 陸と海の割合
桃太郎の視界による補正（だと思う）
この中で、鬼が島までの距離 以外はおおよそ の値は誰でも簡単に得ることができる。このリ ポートでは問題提起と の評価がユニークであ った。詳しいことは記さないが、おばあさんが桃 太郎に持たせた黍団子の量から、一日の移動距 離を とした。結局、それぞれの数値を、
とし、 という結果を得 た 。
この学生は、「数学が大嫌いだ」とリポートにも記してい た。
繰り返しになるが、つっこみどころは山ほどあるが、テー マや内容のユニークさで吹っ飛んでしまう。
おわりに
アンケート でも記したが、高等学校におけ る新科目の「数学活用」では、「数学基礎」の趣旨 を生かし、その内容を更に発展させた科目として 設けられた。数学と人間とのかかわりや、社会生 活において数学が果たしている役割について理解 させ、数学への興味や関心を高めるとともに、具 体的な事象への活用を通して数学的な見方や考え 方のよさを認識し数学を活用する態度を育てるこ とをねらいとする、と謳っている 。実際、本 講義の目的は、自然現象や日常生活と数学の「関 係」や「意味」にこだわりながら「数学」を見て いくことであり、通ずるものがある。
ここで、「自然現象の数学」を担当して感じる
「数学感」を和算やその歴史的経緯に触れながら記 しておくことにする 。
特に、注意すべき重要なことのひとつは、数学 は効率よくものごとを記述する単なる役に立つ計 算道具としての存在ではなく、より深く現象の本 質と深く関連して存在しているべきであるという 点である。
江戸時代の数学である和算は、微分法や積分法 に近いものまでも開発され、世界的にも高いレベ ルに達していた 。しかし、和算は、明治期に西洋 から輸入された数学（洋算）に比較的簡単にとっ て代わられ、今日に至っている。高度な技術に達 していた和算がどうして滅びてしまったのかに関 し、様々な研究がある。主に、和算は自然科学や 生産技術から孤立し遊離していたことが挙げられ ているが、これは、西洋の微積分が物理学の理論 や現象と関連して、微分方程式や変分法を生み出 したように、自然科学や生産技術と密接に結びつ いていたことに対比される 。
それに加え、和算家の哲学思想に対する教養の 低さも挙げられている 。鈴木大拙が、西田幾多 郎について書いた「西田の思いで」に次の表現が ある 。「 まず、物を客観的に見ることを学ば なくてはならぬ。これが日本人の性格の中に入っ
水原の山口和、六日町の佐藤雪山、など江戸時代、越後は 和算が盛んな数学の國でもあった。市町村合併前の新潟県水原 町は「算数の町」を標榜していた 。
本講義では、後期は微積分に関し教科書として を用 いている。
荻夕徂徠の酷評「数学も亦、不倭未だ之を学ばず。然れど も今の数学者流を観るに、種々の奇巧を設けて、以て其の精微 を誇る。その実、世に用無し。」は有名な話である。
てこないと、偉大な科学の殿堂は築き上げられぬ。
科学や数学の学修を、単なる実用面のみ見んとす る浅薄な考え方をやめて、学問の根底に徹する、甚 深で強大な知性の涵養を心懸くべきである。」（上 野氏の本 による。）
和算が滅びたように、技術にのみ走ると薄っぺ らくなり、本来結びつきの深い豊かな現象と数学 を切り離してはいけないということであろう。ま た、哲学がないものは衰退し滅びるということで もあろう。
南方熊楠に言わせると、物理学の対称は「物」
で、数学とは「事」の学である、という 。「小 生の事の学というは、心界と物界とが相接して、
日常あらわるることという事も、大要領だけは分 かり得べきものと思うなり、電気が光を放ち、光 が熱を与うるごときは、物ばかりの働きなり。今、
心がその欲望もて手を使い物を動かし、火をたい て体を煖むるがごときより、石を築いて長城とな し、木を削りて大堂を建つるがごときは、心界と物 界と雑りてはじめて生ずるはたらきなり。 」
これは明治 年に書かれたものなので、現在の 物理学でいう理論物理のあり方から翻訳すれば、
ここでの数学は「理論」を表現するものと見なす ことができる。
すなわち、ふつうは、「物」と「心」というよう に二つに分けるけれど、ちょうど間に両方が接し ている部分がある、それを「こと」という。そし て、数学はこの「こと」を扱う学問であるという わけである 。
ドレイクの方程式
銀河系に存在すべき、文明を持つ星の数 をド レイクの方程式で見積もろう。
ここで、各変数は、
数学者の山口昌哉も熊楠の表現を引用し、「心が含まれた 物、物が含まれた心、こそが数学が対象とするものだ」と言っ ている。
年間で作られる恒星の数 恒星が惑星を持つ確率
その惑星で生命を持つ惑星の数 それらで実際に生命を持つ確率 それらが知的生命体になる確率 それらが技術を持つ確率 その技術の寿命年 を表す。それぞれの数値を、
とすれば、おおよそ となる。これらは、
年のデータであり、現在はもう少し正確な数 値を入れておおよそ と評価されて いる。
年、ロンドン在住の大学院生バッカスは、
「何故自分には彼女がいないのか」という疑問に 対し、上記のドレイクの方程式を利用して、「彼女 とすべき女性に出会う確率」を計算した。これを、
バッカスの方程式という。その概要はこうである。
条件に合う女性の人数を とする。
ここで、各変数は、
英国総人口 女性の割合
ロンドンに住んでいる割合 才の割合
大卒の割合
容姿が好みである割合 を表す。それぞれの数値を、
と した。また、これらに加え、相手が自分を魅力的だ と感じる確率を 未婚の割合を 相性が合 う確率を とし、最終的に条件に合う女性がロン ドンに 人いるという結果を得た。ある晩ロンド ンのパブでその女性に出会う確率は
となる。現在の彼は、スペインの大学に職を得て、
結婚もしている。
謝辞
講義を聴講し、アンケートに回答してくれた学 生に感謝します。アンケート項目のいくつかは既
に講義の内容や進め方の改善に利用していますが、
さらにより魅力ある講義にしていきたいと思って います。また、本稿の掲載に関してご面倒をおか けした、本誌編集員の方々に感謝します。
参考文献
日本歯科大学新潟生命歯学部非常勤講師
「 自 然 現 象 の 数 学 」担 当 。
山田弘明、「自然現象の数学」準備中 山田弘明、大学の物理教育
山田弘明「アンケートを通してみる学生の状 況 「自然現象の数学」に関して」日本歯科大 学紀要 一般教育系 巻 （アンケー ト として引用している
細谷功「地頭力を鍛える 問題解決に活かす
「フェルミ推定」」東洋経済新報社
マンフレッド シュレーダー 竹迫 一雄 翻訳 「フラクタル・カオス・パワー則―はてな し世界からの覚え書」森北出版
数学活用［新課程用］啓林館
佐藤健一「和算を教え歩いた男 日本人と数 」 東洋書店
小倉 金之助「日本の数学」 岩波新書 高橋陽一郎「変化をとらえる」 東京図書
加藤典洋「日本の無思想」平凡社
上野 健爾 「数学フィールドワーク―調べて みよう、考えてみよう」 日本評論社
南方熊楠、「南方熊楠全集 第 巻 書簡 」 平凡社
表 質問「知っている科学者・数学者は？」への回答。複数回答を可能で訊いている。 内の数字は同 様な人物を挙げた人数を表す。上段の年度に付けた括弧内の数字は、その年度の１年生の人数を表す。
アインシュタイン アインシュタイン アインシュタイン
ニュートン ニュートン ワトソン
ワトソン ワトソン ニュートン
クリック クリック メンデル
メンデル アボガドロ クリック
エジソン フック シュライデン
シュライデン ピタゴラス シュワン
シュワン キュリー チェイス
ピタゴラス シュライデン アボガドロ
フック シュワン ハーシー
アベリー ダーウィン キュリー夫人
アボガドロ メンデル ダーウィン
ガリレオ ガリレオ フック
キュリー ソクラテス ロバート・フック
レントゲン ノーベル エジソン
田中耕一 エジソン ガリレオ
チェイス オーム ピタゴラス
野口英世 ゲーリュサック 湯川秀樹
ハーシー シャルル アベリー
フレミング ボイル オイラー
グリフィス オイラー グリフィス
ドルトン ケイリー シャルル
ノーベル ダ・ヴィンチ シュペーマン
ワット チェイス ドルトン
ウィーラー ハミルトン ファラデー
下村脩 ビードル ブラウン
シャルル フィボナッチ ボルタ
ダーウィン ブラウン レーヴェン・フック
ダヴィンチ フレミング 田中耕一
表 質問「知っている原理・法則・定理は？」への回答。複数回答を可能で訊いている。 内の数字 は同様なものを挙げた人数を表す。上段の年度に付けた括弧内の数字は、その年度の１年生の人数を表す。
優勢の法則、分離の法則、独立の法則はメンデルの法則として集計した。 とした部分は、回答が人名の みであったものをそのまま表示した。
三平方の定理 三平方の定理 三平方の定理
質量保存の法則 質量保存の法則 メネラウスの定理
メネラウスの定理 メネラウスの定理 メンデルの法則
チェバの定理 てこの原理 チェバの定理
余弦定理 オームの法則 正弦定理
フレミングの左手の法則 ケーリー・ハミルトンの定理 二項定理
正弦定理 ボイル・シャルルの法則 余弦定理
フェルマーの最終定理 メンデルの法則 オームの法則
ボイル・シャルルの法則 フレミングの法則 質量保存の法則
慣性の法則 はさみうちの原理 フレミングの法則
ドモルガンの定理 余弦定理 ケーリー・ハミルトンの定理
加法定理 アボガドロ ボイル・シャルルの法則
ケーリー・ハミルトンの定理 オイラー てこの原理
メンデルの法則 慣性の法則 慣性の法則
定比例の法則 接弦定理 ドモルガンの法則
熱力学保存則 相対性理論 ヘスの法則
てこの原理 中線連結定理 因数定理
アボガドロ数 正弦定理 中点連結定理
ニュートンの法則 ソクラテス 分離の法則
万有引力の法則 トレミーの定理 万有引力の法則
オームの法則 パスカル 加法定理
接弦定理 フェルマーの定理 熱力学保存の法則
相対性理論 ヘスの法則 フェルマーの最終定理
因数定理 ポアンカレ ヘンリーの法則
倍数比例の法則 方べきの法則 ロピタルの定理
右ねじの法則 右ねじの法則 右ねじの法則
運動の法則 力学的エネルギー保存則 全か無かの法則
表 学生が課題としたテーマ。 内の数字は同様なテーマで課題を行った人数を表す。ここでは、
年度と 年度でそれぞれ上位のテーマを中心に挙げてある。新潟では、 年 月に中越地震、
年 月に中越沖地震といずれもマグニチュード の大地震が起こっている。
課題 課題
点間の歩数など 出身地・新潟・日本の気候
血液 地震
地震 人口推移
テニスの打球 地球温暖化
制覇に必要な時間 少子高齢化
一年間の卵代 放射線
一生に蚊に刺される回数 オーロラ
一生に食べる米の量 酸性雨
一生に使う生理用品の金額 スマートフォンの普及率
恒星までの距離 運動について
コンピュータのメモリ数値 気温とビールの売り上げ相関
じゃんけん 降水確率
同じビデオをまた借りる確率 渦について 海外で日本人に会う確率 宇宙天気
ハツカネズミの増加数 食中毒
母が 年間に呑む日本酒の量 清涼飲料水の生産量 ババ抜きでの効率的なカンニング 台風
同じ誕生日・血液型・性別の人 いじめについて ダーツ コウモリの種別体重と寿命相関 太陽や地球の誕生する確率 穀物生産
髪の毛 ガソリン店頭価格推移
ゲームセンター経営の資金 価値関数とプロスペクト理論
一生に飲む水の量 雷
公平なケーキの分け方 過労死・過労自殺
サッカーの対戦 経済成長
新聞紙に使われる木材 高卒と大卒の就職率 世界の人口 高卒と大卒の年収格差
宝くじ 孤独死
