同期機の界磁制御による母線電圧の変動 補償について
1九州工業大学第2部電気工学科高田茂夫
太 田 栄 二 上 田 隆 三
ACompensating Method of Voltage Dip of Power System by Optimal Controlling Field Excitation of Synchronous Machines．
Shigeo TAKATA
Eiji OTA Ryuzo UEDA
There are two types of voltage dip on the power system． One is caused by active load change， the other is by reactive load change．
To suppressing the voltage dip， many researches have been made up to date．
In this paper， to compensate the voltage dip caused by reactive load change， the field excitation of two synchronous machines are used， where time optimal control methods of field excitations have been made by means of maximum principle ．
Moreover， for the analysis of synchnonous machines and system， two reaction method is applied．
〔まえがき〕 ズ・ θ、 為 e久
鯖変化による母線電圧の変動補償については ξ1ら 6
遮し三R錫麹璽竃灘㌶撚ξ 勾｛3ε肌
或いは無効分負荷変動によるかによって補償の方
法も異なることは当然であるが・有効分負荷変動 第 1図 によるものは一般に同期機の蓄勢力の変化を伴な
うため同期機の動揺を引起こし，系統の安定度に 〔1−1〕 （系統） 系統は第1図に示すもので 多大の影響を与えるため，これについては現在ま α点は負荷及び同期機（1）が接続された変動母線，
で幾多の研究が発表されている。このような有効 ε点は限界母線でここに同期機（2）が接続されてい 分変化に対する励磁方法については別に譲りここ るものとする。負荷変化はリアクタンスκ・の投 では無効分変動の補償のために2台の同期機を用 入による。
いた場合の界磁制御について最大原理（1）を適用し 〔1−2〕 （仮定） 解析に際しては次の仮定を て最小時間制御を行う方法について報告する。同 する。
期機及び系統の解析には2軸法を採用する。 （1）系統は3相平衡している。
（2）同期機に対して （i）制動巻線をもたない
1．系統及び仮定 ものとし，（ii）電機子抵抗， （iii）変圧
（3）讃露：㍊：㌶寡鐘驚：三゜ △輪・一輪鋤）篭鵠鵠1漂±（ρ）｝〔劫
（4）負荷変化は3相対称的に発生する。 ｛κ。＋κ、d（ρ）｝＋x。κ、∂（ρ）〕 ⑮ 〔H−4〕同期機（1）の励磁変化△ε∫碗による限
L 系統方程式 界母線電圧の変動分（△〃，、）
（同期機（1）について） （同期機（1）について）
εαq＝G1（ρ）θ川一κ1d（ρ） 担 （1） △θαq1＝G1（ρ）△θ∫d1一κ1d（カ）△ 141 ⑯
（負荷について） εαq＝κα 砿 （2） （負荷について） △θαq1＝κα△碗1 ⑰
（線路（1）について） 砺q一θcσ＝磁bd （3） （線路（1）について） △2αロー△θcα1＝Xb△㌦1⑱
（同期機（2）について） （同期機i（2）について）△θ，q、・＝一κ2￠（ρ）△ 2d、⑲ θcq＝G2（ρ）召パ2一κ2ば（ヵX2α （4） （線路（2）について） △θ碑1＝X8△ 8d 1 ⑳
（線路（2）について） θ斑一輪＝κ孟4 （5） （電流について） ムゴ1白＝△鋤1十垣醐
（電流について） i1 ヱ＝ゴ碗十碗 △碗1＝△碗1−△鋤1 ⑳ 伝二桓一㍍ （6） これから
ここでG・（カ）一鴛⊇エ・ 蜘一万師）漂鵠㌶誌ω｝〔κ、
G・（ρ）惜誌百 〔 ㍍鐘；蒜㌶）； による：
（ク）一一繁誌冗 前と同様に芒騨働分⇔
x・・（♪）一κ・・」考li2π￡。＋、（・）△疏・・一蹴慧｛㌶ii鵠殼鵠留
ニニ㌻竺㌘難態♪一。，㍍一。 潔㍍活諏てρ）］ ㈱
夕∫ 〔皿一6〕各変動分電圧の演算子表示
として・E・＝E・＝E・より ここで⑮，⑳②o式を鯉すると
輪＝飢砺＝恥d＋° 玩＝㍍＝ G8） △緬r（ρ）一一ψ多i場禦碑。
〔ト3〕 T入による購線の蛭動分△＿ω一A、鵠辮碧・△⌒
㍗1盤捻㌶濃頸：常器△輪司、（ρ）−A、禦鵠』・＠θ
E。q。とすると各部の電源を零として負荷に直列 さらに励磁装置に1次遅れを考えると
篇㌫芸霊鴛：（篭れ㌔・冷畑但し・一吉（…時定獅
（負荷について） △ε囎＝κ。ムゴ疏一E。￠。1 ＠9 であるから㈲および⑳は
㈱（・）について）△ん・一△輪一κ ｱ⑪ ツ・ω諏（潔蒜鵠捲）△剛㈱
（同期機（2）について）△ε，Q＝一κ2d（♪）△Z2d ⑫
（紬（2）について）△ ｱ・一嵐・． 63 ツ・（♪）−A・ ・（（芸綴1芸の△μ・…eg
（電流について） △Zμ＝△砺十△2城
△ が輪一△ 、d ⑭ となる・
これから
熟㌶：諜霊墓㌔：濠！三，1⊂・。一，…」，1乃：：1°
（一ツo）を出力y、及びツ，で追跡する問題と考 （2）y・に関しては
㌘㌫難驚㌶出加及ノ P：：∴悲：螂． 鋤
〔i元謙鷺を2個の出働、とy、1…、3L・。−1』3、⊆、，
との和で追跡する場合には結合系の問題となるた （3）y2に関しては
めに・到達点における端子条件が一意的碇まら 巳，、一… l！・，、／l〃，、／
il竃灘き難璽霧ll l：：Lに」 ll：：㍑：1・一
皿・ 同期機界磁の最小時間制御 三。、1 0 1 0／
ここで制御の問題としては0賦で示す電圧変動 ：。2L。。、…．
Z。、／r〃。、＼〕
i i
Zo，＋1乃 1・E閲
用いると原点到達の問題に帰することができる。 誤差関数は②，㈱，陶を合成して次のように表わ 誤差関数の合成（＊）2を行なうために⑭式のツ・ される。
の分母子に＠＋・）繰じて㈱・0賦のy・・ツ・ ∵1・、・川⇒
分母に揃えて各式を整理すると目標及び出力は次 ｛． i ｛ i
のよう醸わされる．但しここで騨のためケこ jκ・i＝i°°1∵・i
E。，。、，△ ，，，、・，△輌・をそれぞれE。，・・、， ⊇1−・。一・、一α，川x、1
㌘篭㍊㌶望き 」ll：1：：1：：圏 6、
y、一 月O：誕篇鮮旦μ、 〃。3ん、3∂肉
y・一 戟{：㍊i織㌣μ・ 鰺・但瓦。一砺，，ん。、一δ。2』，
但し定数は次に示すものである。 属2＝b。、＿編。α、＿乃。、α、
b・3−−A・L・ b・3＝O b23＝0 カ。3−b。。一力。。。。−1，。、α、一ん。2。2 b・・＝−A・（cLo十ルro）b・2−A・ ・L・ カ、。一ゐ、3カ、、−b、2一力、。α2 b22＝A・ ・L・ カ、2＝b、、一乃、。。、一〃、、。2
b・・＝−4・（6Mo十2Vo）b・・＝ノ1・ C馳 乃、3−b、。一乃、。α。一力、、α、一〃、2。2 b・・一ん CM・ 乃，。＝b23丘，、一わ22一ぬ、。α2
b・・一一A・・N・b・・−A・ ・A・b・・＝A・ ・N・ 〃、2＝b，、一〃，。α、一乃、、。2
・・＝6＋E α・−cF＋E 4・＝6F O1） カ23−b、。一力，。α。一〃、、。一1・22α2 ㈱ しかしながら⑳式は伝達関数に零点を含むため強 〔皿＿2〕界磁電圧の最小時間制御
制項の微分が現われるので・アナログ計算機によ （状態方程式）ここで制御系の状態方程式とし るシュミレーショソが困難になるので （附録一 てθ式を採用する。
2）に示すような変数及び定数の変換を行なう 元、＝x，＋乃。、E。＋ヵ、、μ、＋ヵ、、μ、
と・ 元2＝κ3＋乃02EO＋カ12Z61＋乃22％2
（1）y・に関しては ≡＿。。κ、一。、X，＿α、κ，＋輪E。
（＊、・：附録1参照 （＊）2：附録2参照 ＋カ13μ1＋彪3Z 2 （37）
（端子条件）⑳式を状態方程式とみれば原点到達 ． ∂π
であるが，状態方程式として6力式を用いるため， ψ3＝一万、＝一ψ2＋α2ψ3 ⑭ 端子条件は（附録一2）の（a−2−24）， （a （操作量）操作量％、，〃2に対して
一2−25）式によって次のようになる。 1％11≦［1、，1μ2［≦1σ21 ㈲ （1）初期条件；τ＝0においては の制限を考えると，∬関数を最大にするための κ、（0）＝0，κ2（0）＝0，κ3（0）＝0 ㈱ 操作量は，
（2）終端条件；τ＝τ、においては μ、＝U、sg％＠、2γ2＋拓3ψ3）
κ、σ、）＝一妬。E。一力、。μ、一ん、。％、 ％、＝U、Sgη＠22Ψ，＋乃23酊3） ㈹ x2ぴ1）＝一妬1Eo一砺1μ、一ち1μ2 となるから，制御はBang・Bang制御となる。
κ3（7、）＝一編2E。一拓2％r乃22％2 69） 〔皿一3〕1台の同期機界磁だけの最適制御 故に制御の方法は6力式で表わされる系の状態を最 この場合は系統は〔皿一2〕の場合と全く同じ 小時間で，原点から㈲式で示される点に移す問題 であるが，同期機S・1 4・1の界磁制御を考え，同 となる。終端点はこれからわかるように砺，μ2 期機S・ルf・2は無制御（定励磁）とする。また検 の組合せで定まるが，この場合の操作量は後で示 討の対象点は前と同様に限界母線電圧とすると，
すようにBang・Bang制御で与えられるので， 系統方程式は〔皿一2〕の場合のμ∫Ω＝0とす 4通りの組合せの中で定常励磁の範囲によって決 ればよい。
定する。 （状態方程式）㈱式でμ2＝0とすると
（評価関数）評価軸としてκ。を導入すると評価 κ・：＝κ・＋カ・・E・＋拓・％・
関数は次のように表わされる。 κ2＝κ3＋拓2E。＋砺2μ、
ノー㍑扁 ⑩（煮論κ1一α1晦一α2κ3＋カ゜3輌3％1㊨
なパこで最小時間問題であるから （・）初期条件； 一・において
κ・＝1 ω κ、（0）−0，κ、（0）−0，κ、（0）＝0 ㈹
となり・これを状態方程式として6力式に追加して （2）終端条件；∫＝z1において 考えなければならない。 X、＠、）＝＿乃。。E。＿拓。〃、
（ハルミトン関数）ここで状態変数κ（のに対し X2ぴ、）＝＿乃。、E。＿海、、〃、
て補助変数ψ（τ） ： ｛ψo（7）・Ψ・（彦）・ψ・（り・ψ・ κ，（ω一一海。2E。一〃、2μ1 働
（の｝を導入するとハルミトン関数∬は （評価関数）評価軸κ。を導入すると評価関数
ヨ コ ヨ
H＝Σ似批＝乎㌔＋Σ助筑＝哲。＋H ⑰ ノは
ゴニ ゼニユ
故に ノー∫：扁 ⑨
H＝一α・ψ3κ・＋（ψ1一α1ψ 3）κ2 で表わされ，最小時間問題であるから
＋（ψ2一α2γ3）κ・＋海・・E・ψ・＋乃・・E・ψ・ 元。−1 ㈲ ＋12・3E・Ψ3＋＠・2ψ2＋拓3ψ3）μ・ となる。故に状態方程式は㈲式に⑪式を追加して ＋（カ22α2＋乃23Ψ3）μ・ ⑬ 考えれ↓まよい。
（随伴方程式）補助変数酊（の：伊・ぴ）・ψ2（の・ （・・ミルトン関数）補助変数Ψ（の：｛Ψ。（の，Ψ、
ψ3（の｝に対する方程式は⑬式から次のようにな び），●2（の，ψ3（τ）｝を導入すると，ハミルトン る。 関数」酊は
ψ・一一認一・・亜・ H一ψ。＋π一ψ。＋左嬬 働
2＝1 ψ2＝＿旦亘＝＿ψ、＋α、ψ、 故に
∂尤・ ∬＝一・。ψ、κ、＋（ぽ1一α1ψ3）κ2
＋（Ψ2一α2Ψ3）X2＋カ。、E。ψ、＋ 。2E。ψ2 このときの電圧の回復に要する時間は ＋ち3E。哲3＋（拓2ψ2＋拓3ψ3）〃、 ㈱ （b）；（S．〜14．1のみの場合）約393〃2s
（随伴方程式）（40式と同様に表わされる。 （c）；（S．．M．2のみの場合）約265〃zs
（操作量）操作量％、に対して1％∂≦［1、の条件 （d）；（2台の場合） 約140〃2s
を考えると∬関数を最大にするためには であるから最適制御を行った場合の電圧の回復時 μ・＝σ・sg〃＠・2ψ2＋砺3ψ3） ⑭ 間は＆11イ1だけの場合は（b）より長く，2台の場
で表わされる。 合は（b）と（d）の間の時間であることが推測される。
〔】y−2〕2台の同期機の界磁電圧の最適制御 肌 アナログ計算機による検討 （系統定数）
次のV章の模型系統による実験に対する同期機 α・＝659・8 α・＝286・1 α2＝31・07 の最適操作量を決定するため，アナログ計算機に 力・・＝−0・0430疏・＝0 彪・＝0 よるシュミレーションを行う。 カo・＝−0・0085 拓・＝0 彪・＝0 この場合の定数は全て実験系統の諸定数から導 妬2＝0・1024 拓2＝3・127 乃22＝9・313
出したものである。 カ03＝−1・3670 ・3＝−53・72彪3＝−256・9㈲
〔W−1〕目標関数y。（負荷変化による電圧変 （状態方程式）
動）および出力関数y、，y2（励磁変化による電 κ、＝κ2−0．0085E。
圧変動） κ2＝κ3＋0．1024Eo＋3．127μ、＋9．313％2 最適制御を検討する前にE・＝1の場合の出力 二3＝−659．8κ、−286．1κ、−31．07κ3
y・（Z）およびμ・＝＋1の場合の出力夕・（の・％2 ＿1．367E。＿53．72μ、＿256．9％， ⑯
＝＋1の場合の出力y2（の・％・＋％・＝1＋1＝ （随伴方程式）
2の場合の出加・ω＋y・ωを求めると第2図 壷、−659．8ψ、
（a）（b）（c）（d）の様になる。 ・
ψ2＝一ワρ1十286．1ψ3
ψ3＝一ψ2十31．07ψ3 （5？）
（操作量）（［％、1≦1，1％2」≦1とする）
zz 2＝sgπ（9．313ψ2−256．9ψ3） （5鋤 （初期条件） （∠＝0において）
κ、（0）＝0，κ2（0）＝0，κ3（0）＝0 ㈲ （終端条件） ぴ＝ちにおいて）
κ1（τ1）＝0．043 κ2（Z1）＝0．0085
κ3（τ1）＝−6．282（％1＝−1， μ2＝十1） （60 x3（τ、）についこは到達時の操作量の符号によっ て4通りの値が得られるが，定常状態で0≦μ、
≦1 0≦％2≦1の範囲を仮定すると㈹式の値 をとる。
（最終定常励磁）⑩式の値を維持するための定常 励磁は⑯式において左辺を零とおいてκ、，κ2，
κ3に⑩式の値を代入して求めると次のようにな る。
第2図 ％1＝0．236 ％2＝0．554 61）
（最適軌道および操作量）アナログ計算機の計算 〔ly−3〕1台の同期機界磁の最適制御
結果は次の通りである。 ここで同期機＆M．2は定励磁のままとして同 第3図は位相面軌道で（a）はκ、〜κ2，（b）はκ、〜 期機S．M．1の界磁電圧の最小時間制御を考え κ3，第4図は時間軸に対する軌道および操作量で る。
ある。 （系統定数）㈲式と同じである。
「 1一丁一 ］ 1 〜 l I ・
→占・
一ピ
十吟 ≡i．己÷÷一＋「⊥操÷ 云一一659．8。、−286．、。、−3、．。7石
・仁一㌘ご誌r一一☆ヰニ泊 ＿1．367E。−53．72％1 働
一㌔ 黶凾窒｢斗∵÷主丁三二 （随伴方程式）蹴と肌である．
＿LL L⊥、＿L4⊥＿LLL⊥二」二 （状態方程式）⑯式で％2＝0とおいて
⊥ピニL⊥1．∴一一L・＿ κ・一κ・一・…85E・
・一一∴4・：二二．；＿ユー1一 え，一。，＋・．・024E。＋3．・27 1
一； 一」…
一†
÷一 w醒二一字一→ヰ＋」←二汁 （操作量） （1鋤≦1）
一一 一 1 「− 1−「…−i−
一，＿∴一一一山一∵ ％・＝s冨 （3・127ロ・−53・72ψ・） ㈹
一ぶ：…桔一一「一＋吉・一． （初期条件）㈲式と肌である・
第3図 κ3＠1）＝−2．194（％1＝0．669） 60
0浪∫
ズ，
嚇
1
． x3ぴ1）の決定について， 2台の同期機を用いた 場合はμ、，μ2がそれぞれBang・Bang操作量で 与えられたのに対して，1台の場合は妬＝±1 とすることはできない。これは働式においてκ、
およびκ3を同時に零として，しかもその後にお いて （定常状態） もこの条件を維持するために
ト レ
いい @∴・．じ‥㌫1∴け二
∴一三
； l l l l l 、 二『一サ▲寸 r†⇒一…一斗一］＋rrコ
＿＿ @一 ＿−L．．＿⊥⊥．LL ．＿1 ．1 1 ｝ い 1 ↓ 1
−一 @一一一一↓㌧一一」⊥弓 一「……ユ †ト→一二！
一←一…一一…，一＋一＋「一一一・一十十「
一「→ l l ・ ｝ ， l l r
｛ l l ） l i
1 111〜 、illl
「 −1∵一 十『←「←一一「「−1−一†1ニー
第 4 図 第 5 図
65 μ、およびκ3は一定値に定まる。
（最終定常励磁）上記の理由から最終定常励磁 μ、は次の値に決定する。
〃1＝0．669 ⑯9
（最適軌道および操作量）アナログ計算機の計算 結果は次の通りである。第5図は位相面軌道，第
6図は時間軸に対するものである。
V．模型系統による実験
実験装置は第7図に示すものである。 同期機 S．M．1は2．2師γ， S．M．2は1正Pの3相誘導 電動機の回転子を新しく凸極形にしこ4極に巻線 を施した3相同期機であり，励磁装置にはそれぞ れアンプリダインを使用し，アンプリダインの励 磁巻線には時間設定回路から操作量を印加してい る。系統および機器定数は第1表に示すものであ る。
〔V−1〕負荷変化および励磁変化による限界母 線電圧の変動測定
第 6 図 ここで系統定数および機器定数の測定の適正さ
第 7 図
第 1表 定励磁（1棚）を与えておいて負荷輪を投入し
線路∫oリアクタンス（κb）
線路ノ∫oリアクタンス（x8）
負荷 リアクタンス（κの
直軸リアクタンス 電機子抵抗 界磁開路時定数 界磁閉路時定数
2・2爆i避妄
アンプリダ アソプリダ
イソ（1） イン（3）
たときの限界母線の電圧変動（yo）を調べると第 8図（a）に示すようになる。
（b）；S．M．1だけに，さらに（＋1ρのの励磁 を増したときの母線電圧の変化（ツ1一夕o）を第8
図（b）に示す。
rc）；S．ルf．2だけに，さらに（＋1カのの励磁 を増したときの電圧変化（y2一夕o）を第8図（c）
に示す。
（d）；最後にS．．M．1および＆ルf．2 ともに，
更に（＋1カのの励磁を増したときの電圧変化
（y1七y2−5／0）を第8図（d）に示す。
以上の結果はアナログ計算機の結果とかなりよ く一致していることから定数測定は適性と認めら れる。なおこの記録は 1サイクル平均値検出回 路（4） を使用してその出力をビジグラフで示した
ものであり，半サイクル毎の平均値の変化を示し
ている。
を調べる意味で，アナログ計算機による検討によ 〔V−2〕界磁の最適制御による実験 る結果と比較するために予備的な測定を行う。 〔V−2−1〕2台の同期機による場合
（a）；まず同期機S．1兄1および＆ルf・2ともに 第9図に示すような，予めアナログ計算機で求
1．・・輻ω ．．i トー一・3 m5ニー一「←・ 当 一一 @・ ．・ 佑 ＋1 1
ロも ユカ
，、、 一 ．・． 一∫
にい j，＿⑥一 †一一一…砺一一トク幣L
●
・一一一『 一 μ2 †ヱ
一 gー≒一⊥・触一 ゜w
−z
− 一一一一一
，：ビ．・∵ 1
めた操作量μ、およびμ，を設定回路で作って
（c） ㌔旬一葛。（め
おいて負荷κ。の投入と同時に陶，砺をアンプ
ー｝二 一…一＿一一 リダイソ1およびアンプリダイン2の励磁巻線に
｝ 〆 之戸卜α，螂 加える。この結果は第10図に示す。実際には設定 時間は若干計算値と異っているが，大体満足すべ ゆ ヨ・時似）−7・の きものと考えられる。
1已畔／ 〔1こ：認元㌶灘彊㌘＆M1
ワピ 1；一 にだけ第・・図のような計算機から求めた操帽を
F＿。z螂 ㍉．． アンプリダイン1の励磁巻線に印加する。
この結果は第12図に示す。これも前のように時
第 8 図 間設定を幾分変化させたが結果は計算値とかなり
67
ミ ロ も ト ハ
1 ． ・ ； ： ； ・ 1
一一 @ 一一‥‥一一一二二二＝＝・ニー｛一←一一一一「』一｛一［
＿＿＿一一一一． 。一 ヨ
ーP『一 ｝ ． 1
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一⌒一「一一⊥一一一⊥一⊥一〕一；≡→＋誓山「ら・； u｛・ ， ，，、i− ：ピ：L』已］≡L
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α2｛・・「 一・
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i。。1，、日ll；1い・1
第 10 図
ナ〆
一∠
侵 ク 解析は誤差関数に基づいたもので行い，それに 基づいて模型実験を行った。最大原理に基づく最 適制御は2点境界値問題の解法を必要とし，ここ 第11図 で応用したような速い過渡現象に対する制御は：オ
、
■■r印一∨ロ■一 ＿ 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一一 一 一 一 r一レ《■■司命一一頃■・弾■
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・ ・ ： ・， α67
》》●一一 一 一一 一 一 一一 一 一 一 一 一一 一 一 一 一一一 一 一＿
∴一・ k一αノs・。→・ 一 ．；、、
第 12 図
へ4・・†→ド｝〔
ンライン計算機によることもかなり難かしく，実 く参考文献〉
際問題としては負荷変動に対して予め段階的に切 （1）P・ntiryagin：The Mathematical Theory・f 換時刻の設定を行う設定値制御をとることが必要 OPtimal P「°cesses
と思われる．本研究に関して終始御瀧くを （2）誌蕊；，隠隠雷E漂Z、lfv。、
頂いた九州大学辻節三教授に厚く御礼申上げます 48（1929） V・152（1933）
（3）Athans：Optimal Control， Mcgraw−Hill 〔a・1・1〕負荷ならびに励磁変化による電圧変動本文 （4）高田外：一サイクル応答検出回路，計測自動制御 の⑭，㈱，⑳式を変形して次のように表わす。
学会論文集第4巻・第3号・PP P19〜224（1968） 炉一A・ （力繊゜＋晶）E…
＜：、号：限＿圧 …（AI B1カ＋α＋ρ石）』… （a−…）
烏・限界母繍圧 ・・一（・42 、B2ρ＋α＋カ＋b）☆△・・…
εα： 変動母線電圧 〔a・1・2〕制御系のブロック線図
E・：同期調相機（1）（S・ル7・1）の無負荷誘起起電力 制御系としては（a．1．1）式のツ、およびy、で示 E2：同期調相機（2）（5・ルf・2）の無負荷誘起起電力 される出力でγ。で表わされる目標を追跡する問題と考 ・： （S・ル「・1）の電流 える。そこで出力y、，y、をブロック図に示すと（付図
ゴ・：（S・M・2）の電流 1）のように表わされる結合系となる。
α： 負荷電流
i・・線路（1）（鋤の電流 幽軸 ＾・ オ・。泊 ゴ、・線路（2）（x、）の電流 F姻Q＋9
κM：（S．ルf．1）直軸リアクタンス
幻d（ρ）：（S．M 1）オペレーシ。ナル直軸リアクタ ンス
κ1α： （S』グ．1）横軸リアクタソス
γ、： （S．M．1）電機子抵抗 ム吋いw
εパ、：（S．ハ4．1）界磁電圧 付 図一1 κα∫ぬ：（5・ルf・1）電機i子巻線と界磁巻線間の相互リ 〔a・1・3〕状態方程式および目標値 アクタンス （付図一1）において
η白： （S．ル7．1）界磁巻線抵抗 ッ1、＋y12＝罪1，ッ21＋ッ22＝κ3
τ ・…：（S．ハZ．1）界磁開路時定数 工、＋。、一。，△。∫炉。、，△〃∫、、一、、、（・．1．2）
π2・パ （S・ルf・2）直軸リアクタンス とすると状態方程式は次のようになる。
…（ρ）・（S・M2）オペレーシ・ナ・レ直軸リアクタ @ρ・＋。、＋（。＋。）ρ。、＋。，。、−A1。、＋A、。2 ンス
ρ2κ3十（b十のρκ3十bcκ3＝B1κ1十B2μ2 （a−1−3）
κ24： （5・1 4・2）横軸リアクタンス （目標値）目標値をR（τ）とすると次のようになる。
γ2： （S．M．2）電機子抵抗 R（り＝＿ッ。（τ）
θ…：（5・M・2）界磁電圧 一P＋Q。 ・＋S，一・・ （。．1．4）
： Y：∵⌒と界＝間の相互 但し，r㌢＋誓），Q−A。（ η0膓o一），
η吻： （5．ルf．2）界磁巻線抵抗 ηo
㍗、、。，（S．ルf．2）界醐縦磁 S＝−A・万
。、・ 線路（2）リアク〃ス 〔a°1 4〕界磁電圧の最適制御
κ、： 線路（1）リアクタンス 目標関数が時間関数となるため非自律系と考えられ κ．： 負荷リアクタンス る。ここで評価軸鋤および時間軸κ5を追加して（a 添字4：各量の直軸成分 一1−3）式を基準形に書改めると次の様に表わされる。
添字4：各量の横軸成分 （状態方程式）
カ： 微分演算子 κo＝1 元1＝κ2
附録1結合系としての考察 元、一一（。＋；）炉。。。、＋A、。、＋A、。、
無効分負荷変化による電圧変動を2台の同期機界磁電 x3＝陶
圧の制御によって補償する場合，誤差関数を合成しない κ4＝一（b十c）ち一bぴ3＋81μ1＋B2μ2
で追跡問題とする場合を検討する。 パ＝1 （a・1・5）
ψ1㌫燃竺㌫㌶㌶㍊芦 一（；1㍑篇漂㌫▲
になる。 （a・1−】3）
H一ψ。紐＋自滅τ のように与えられるので
1−0
（θ・8・ α4S）＝0 （a・1・14）
跡 の条件から次の関係が与えられる。
π＝一αεψ2κ1十｛ψ1−（α十C）ψ2｝κ2−bcψ4κ3 十｛ψ3−（b十〇）ψ4｝X4十ψ5十（ノ11ψ2十81ψ4）Z61 十（／12ψ2十B2ψ4）％2 （a−1・6）
（随伴方程式）補助変数ψ（りに関する方程式は次のよ うになる。
∂H ψ・＝一 ﾝ。，＝⑭・
6・一一震一一ψ・＋（・＋・）ψ・
∂H
θ3 」 ﾆ4 θ5
θ1 0 0 1 θ2 1 0 1 θ3 0 1 0
θ・＋θ・＋（αQθ一αエ5＋bS⑫セ5）θ5＝0
θ2十θ4−（α2Qθ α」τ5＋b2Sθ迦5）05＝＝0（a・1−15）
θ1，θ2，θ3，θ4，05の間に（a−1 ・15）式の関係が満足されればよ いので5個の成分のうち3個は任 意に定められる。そこで接平面上 の3個のベクトルθ1，θ2，θ3が 独立になるように上記の表のよう ψ・＝一 v＝6cψ・ に成分を定める・即ち
φ・蠕一一ψ・＋（ θ1＝〔一（αQθ αω5＋bSθ一肋5），6＋ε）ψ4 （α2Qε一α逮5＋b2Sθ一b虚5），0，0，1〕
6，一一ロー0 （。．、．7） 、θ2＝〔一（・Q・ ・＋bS・一弛・＋1）・
∂κ・ （α2Qε 伽5＋b2Sρ一b⑳5），1，0，1〕
（操作量）1μ・i≦σ・，1〃2｛≦σ2の制限のもとでH関数 θ3＝〔0，＿1，0，1，0〕 （a−1．16）
を最大にするための操作量は次式で与えられるから 故に（ψ（τ、）．θ（Z、））＝0から Bang−Bang制御である。 横断条件は次のように求められる。
μ1ニσ1∫9η（∠41ψ2十B1ψ4）≡…σ1sgηΨ1 ψ1（ 1）＝ψ3（τ1）
μ2＝σ2s9η（ノ12ψ2十B2ψ4）≡σ2 sgηΨ2 （a・1・8） ψ2（τ1）＝ψ4（τ1）
（切換時刻）μ1およびμ2に対する切換時刻τ81，τ・2 ψ5＠）＝αQ￠一・・ε、｛ψ、＠）＿αψ2（，1）｝
は次式で与えられる。 ＋bSθ一δ 、｛ψ1（τ、）−bψ2（ 1）｝ （a．1−17）
Ψ、（z81）＝ノ1、ψ2（τ、1）＋B、ψ4（τ、、）＝0 （変数と端子条件）
Ψ2＠、1）＝．A2ψ2（ 、、）＋B2ψ4（τ・・）・＝0 （a・1・9） 以上の過程から未知数の数と端子条件の数を比較して
（到達点における横断条件）到達点における状態変数に みる。
対する条件は （1）未知数 状態変数：κo・κ5 6個 κ＝κ、＋κ3＝P＋Qε一α㌔＋5θ一b㌔ 補助変数：ψo，ψ5 6個 二＝尤2＋x4＝＿α＠一αエ5＿bSθ一bエ5 （a−1．10） 時刻：τ・1，τ・2，ち 3個
として2個だけしか与えられず不足の分はいわゆる横 操作量：μ1・μ2 2個 断条件として随伴系の終端条件の形で与えられる。ここ 未知数の合計 17個 で5次元空間においてψ（のが次式で決定される3次元 （3）端子条件 ＝0でκ（0）＝0 6個
議灘鎌㌻＿ iiiii二舐；｝3個
鷲㍍㌶隠㌶をθ・但・・ ii≡ii▲3個
（ψ・θ）＝0 （a・1・12） 吻αxH＝一ψ0 1個
マニホルドSの法線ベクトルを9例4Sとすると f＝桓で助＝0 1個
4s− i：：蕊：蕊：ll隠驚：鷲 鳳2で：二綱、1個
：；㌶㌧婿 施 一ん宅鵠＝：）晦 ⑳
以上の結果から明らかなように未知変数の数と端子条 ここで⑳式の符号をかえて㈱⑳式と同分母に書き改める 件の数は合致しているから，形の上では解けたと考えら と次の様に表わされる。
れるが・これを醐的に解くことは困難である・即撮 y・−6°舞；i鑑1》宰去b°°E・ （a−2−・）
大原理の宿命ともいえる2点境界値問題の解法は，問題
ヵ・灘鵬合には一イブリ・ド型のような計算機の助け y・−b 事豊；鑑1織b1°・・ （a−2−2）
二齢驚輩ξ響㌔：議魏票㍊ b・耀：＝櫟，（a−2−3）
数の場合には・一般に行われるようなアナログ計算機に ここで（a−2−1），（a．2．2），（a．2−3）式は何れ よる逆時間解法を行なおうとするときに・状態変数の初 も伝達関数に零点を含むために強制力の微分を含むので 期値（逆時間での）の振り分け・例えばκ・σ・）＋π3（τ・） 計算機での取扱いが不便であるからこれを取除くために
＝R＠・）・κ2＠・）＋κ4（ 1）＝R（τ1）の関係から冗・・x2・ 以下の変換を行った後に合成関数をつくる。（a−2−1）
克3・κ4の初期値の選定は甚だ困難である。 式で変数ツ。に対してz。を考えて 201＝ツ0一力ooEo
附録2．誤差関数の合成 202＝yo＿妬。E。＿ヵ。、E。
203＝ツo一乃ooE一力01．Eo一力02Eo （a−2−4）
1個の制御出力で1個の目標関数を追跡する場合は到
達点では両者の値購しくなるため1こ，アナ。グ計餓 噺とぷと
にょって逆時間解法を徹う場合には詣‖御出力に対する ：・・＝2・・＋ん・・E・
初期値の決定に対しての困難はないが出力関数が2個以 2°2＝z°3＋妬2Eo
上になると合成出力で目標を追うことになるので結合系 z・3＝一α・20rα120rα2zo3∪・3Eo（a 2 5）
となり，到達点では目標値を2個以上の出力の初期値に ここで後の計算に便利なように形を整えると
振曝㌶言繍㌶壁こ脇とi：：1∴ll：：〕＋1：：臨
㍑巖元㌶嶽鷺：：㌶1灘：墓 三・2−・・一・・一・・1…！ん・31
と考えることができる。 （a−2−6）
この事柄を最適制御の問題の逆時間解法の立場から見 のように表わされる。但しここで定数については次の関 ると，結合系として取扱う場合には状態方程式の初期値 係で表わされる。
の設定が困難である反面随伴方程式の初期条件は横断条 妬。＝b。3 件が適用されるためにその設定は容易となる。誤差関数 Z2。、＝b。2一妬。α2 を合成して取扱うときは前述のように状態方程式の初期 疏2＝b。、一〃。。α一妬、α2
値は零であるからその設定には問題はないが随伴系の初 ん03＝6。。一ヵ。oαo一乃。、α、＿ヵ。2α2 （a，2．7）
期値に対する横断条件は1個も与えられないので・その 出力関数についても同様に次のように変数の置き換えを 設定は高次の場合はかなり困難である。 行う。即ちy、に対してz1を考えて
この様に見ると両者ともに一長一短があるので具体的 2、、＝ッ、＿拓。μ、
な系について適当な方法をとる事になると思われる。こ 2、、＝元一ぬ、o元、＿ん，似、
こでは本論文で取扱う系について誤差関数を合成する過 z、，＝元＿乃、。∴、＿〃1、Zrヵ、2μ、 （a．2．8）
程を述べる。 ここで 目標関数は次式で表わされる。 拓。＝b、、
・・ 一一A・当‡裂響E・ 但・ 乃・・−b・ 』
制御出力はそれぞれ次式の様に表わされる。 12＝bl一砺゜α一拓1α2
L、ρ・＋吻＋Nl カ・3−b・・一 ・…一力・・α・一 ・2・・ （a−2−9）
ツ1 ＝∠41 ε（ア干Eρ＋F）研めμ1 ⑳ とすると
ii；㍑二｛ii；E （端子条件）
（i）初期条件；z＝oにおいては夕1，夕2については
μ1 ． ．・
γ1＝0 ッ1＝二〇 y1：＝0
γ2−〇 ニソ2−O y2−0 （a−2・17）
（a・2−10） また目標関数ツoについては（a・2・1）式から 同様にγ2に対してZ2を考えて γ0＝b。3Eo
…一ツ・一煽・・ ；。＿＿。、ッ。＋b。3亘。＋b。2E。
・22一ツ・一 ・・〃・一 ・… ＿一。，b。3E。＋b。3￡。＋b。、E。
コリ ロロ コ
・23一ツ・一力・・…一乃・・…一乃22・・ （・・2・11） ；。＿＿。、；。一ω，。＋b。3ゼ。＋b。2ε＋b。、E。
ここで ＝。22b。3E。一。，b。3彦。一。、b。、E。一・、b。3E。
ぬ・・＝b23 @ ＋b。3元。＋b。，互。＋b。、E。 （。．2．・8）
カ21＝b22一ん20α2
また
乃22＝b2、一ん2。0、一力2・α2
κ1＝201十211十221 乃23＝b、。一乃、。α。一力，、α⊂力22α、 （a−2−12）
＝y。＋ツ、＋y、一乃。。E。一力・・〃・一丘2・μ2
とすると ＝bo3Eo＿編oEo＿妬0μ1＿ヵ20μ2 ／o 1 0 z21 ぬ21 Z21
の
Z22 0 0 1 222 十 乃22
〔…23［一・・一・・一…23乃23
（a−2−6），（a−2・］0），（a−2−13）を合成して誤差 ． ．．
徽を求める．ここで 二】・一 ・・〃一 ・・7・一ん・・〃・一乃・・24・
。、＿、。、＋。、、＋。21 ＝一妬・一妬・・＋…一乃・…（・−2−20）
κ、＝・。、＋Z、2＋Z22 κ・＝・・3＋Z・3＋2・3
コ ロ コ ロ
κ3＝zo3十z13十923 （a・2−14） ＝．夕o十y1十y2−1200Eo一力01Eo一ぬ02Eo−」210μ1
コ
また 一力、、μ、−」〜、2μ一乃、。μ，一力、・μ、一力22μ，
コ
κ、＝，。、＋。、、＋・，、 ＝・22b・・E・一α・b・・E・一α・b・3E・＋b・・E・
ロ の ほ
≡三。，＋三、2＋…22 −〃，・E・一・、6・3E・＋b・3E・一妬E・＋b・3E・
ら ロ コ
コ
κ3＝203十z13十z23 （a−2−15） ＿1200Eo＿〃10zz 1＿1211μ1＿1212μ1 の
コ とすると例えばκ1については 一ち0μ2一ち1μ2一妬2μ2
コ ゆ ロ
ズ、＝Z。、＋2、、＋2、、 ＝一乃・・μ・一力・・μ一力・2μ・一力・・Z・2
ロ コ コ
一夕。一力。。E。＋ツ・一力・・μ・＋y，一力、・μ、 三〃・・〃・一〃・・μ・ （・・2・21）
＝。。、∪。、臨＋z、2∪、、μ、＋z22＋ん、、μ、 故にτ＝0においては ＝ズ、＋乃。、E。＋ぬ、顕＋〃，、・2 ・・（0）＝一力・・〃・一 ・…
ロ
のように表わされるから 晦（0）＝一妬oμ一砺1〃一ちo％一力21μ2
●● ◆ ．魯
＝一ノ210祝1一乃20μ2 （a−2−19）
242 κ2＝ZO2＋Z12＋Z22
ロ
＝ツ。＋夕、＋ツ2−〃・・E・一ぬ・・E・
（a−2．・3） 一ぬ・・μ頑・殉ニカ・・〃・一ん・・〃・．
＝一α2bO3EO＋b。3EO＋bO2、EO一加・EO
ミ；罵翼［；雛 Eo
Z41
／〃・
κ，（．0）＝ヨ、。μ、一乃、・μ一力・2〃・一海・・μ・
一乃2エμ2一力22μ2 （a−2−22）
のように表わされる。
（ii）終端条件；誤差関数を考えているために ＝τ・に （a 2・・工6） おいては
ここでは状態方程式の右辺には強制項の微分は含まれて γo＋γ・＋ッ2＝0
いない。しかし変数の変換を行ったために端子条件も変 ッo＋y・＋γ2＝0
の コ ロ
っている。新しい状態方程式（a・2−16）式に対する端 ッ・＋夕、＋ッ2＝0
子条件を求める。 と考えられるから（a・2・4）， （a−2 8）， （a一
2−11）式から ε城一碗＝祝♪鋤一κb鋤
κ1（τ1）＝一（乃ooEo十力10z41十力20342） oμ・−ecq＝κbρら4十κ6㍑f正 （a．3・4）
コ
劣2（τ1）＝＿ぴooEo＋妬1Eo＋砺oz 1＋妬1μ1 4．同期機（2）について
袖、。∂，＋1、、、。、） ・ ・・＝ρG・（ρ）〆ゾ・・一｛ρ…（♪）＋・・｝↓ ・・＋・・磁 κ，（τ、）＝＿（カ。。S。袖。、左。＋〃。2E。＋〃、。ラ、＋ヵ、、、；1 ∠・・−G・（ρ）ピプ・・一｛ρκ・・＋・・｝〆2・−X・・ω〆・・
＋カ、2。、＋ぬ，。元、＋カ，、∴，＋カ22。、）（。．2．23） （a 3右5）
（但し はE2をQ軸とする。 のように求められる。
本論文における系の制御においては線形系の最小時間 そこで無限大母線電圧杉・・同期機（1）の誘起起電力E・・
制御となるために操値はB。ng．B。ng操作量であり， 同期機（・）の誘起起勧E・の間に（附図一2）の関係が 目標関数の強制入力E。は階段状入力であるため（a． あるものとすると
2−22）および（a・2・23）は更に簡単になる。即ち初
＼ 期点において〃・（0）＝μ2（0）＝0であり終端点におい 、
