x=4 y=3
2x+y=16 x+y=9 x=5
y=4
x=7 y=2
x=9 y=-2
2x+y=11
x+y=7
㋑ ある遊園地には，チケットが 枚で乗れる乗り物と，チケットが 枚で乗れる乗り物があります。
Q 2 1
(1) この遊園地で，チケット 枚の乗り物に 回，チケット 枚の乗り物に 回乗ったとして，使っ2 x 1 y たチケットの枚数の合計を式で表しましょう。
(2) (1)の式を成り立たせる ， の値の組を次の表にまとめましょう。x y
のように， 種類の文字をふくむ 次方程式を 元 次方程式という。これに対して，
2x+y=11 2 1 2 1
のように， 種類だけの文字をふくむ 次方程式を 元 次方程式という。
3x+5=8 1 1 1 1
また， 元 次方程式を成り立たせる ， の値の組を， 元 次方程式の解という。2 1 x y 2 1
問１ 遊園地の乗り物に合計 回乗ったとすると， と の関係を式に表しましょう。また，その式を7 x y 成り立たせる ， の値の組を次の表にまとめましょう。x y
問２ Qと問１の つの式を同時に成り立たせる ， の値の組を，2 x y 表から求めましょう。
つの 元 次方程式を 組と考えたものを連立方程式または
2 2 1 1
連立 元 次方程式といい，右のように表す。2 1
連立方程式で， つの方程式を同時に成り立たせる ， の値の組を，連立方程式の解といい，解を2 x y 求めることを，連立方程式を解くという。
上の連立方程式の解は， である。
問３ 次の㋐～㋒の中で， の解はどれでしょうか。
㋐ ㋑ ㋒
( )
2x+y=11 x+y=7
11 9 7 5 3 1
7 6 5 4 3 2 1 0
x=4 y=3
①
② 3x+y=750 x+y=350
左辺 右辺
y x
ある店でハンバーガー 個とジュース 個を買うと 円，ハンバーガー 個とジュース 個を買う
Q 3 1 750 1 1
と350円です。ハンバーガー 個とジュース 個の値段は，それぞれいくらでしょうか。求め方を1 1 説明しましょう。
ハンバーガー 個とジュース 個3 1 750円から，ハンバーガー 個とジュース 個1 1 350円をとると，
ハンバーガー 個2 400円が残る。これで，ハンバーガー1個が200円だとわかる。
ハンバーガー 個とジュース 個が1 1 350円で，ハンバーガー 個が1 200円だから，ジュース 個は1 円だとわかる。
150
ハンバーガー 個1 200円，ジュース 個1 150円
問１ 次の にあてはまるものを書き入れましょう。
は，次の連立方程式を解くことによって，答えを求めることができる。
Q
この連立方程式は，①，②の どうし， どう しをそれぞれひくと の項が消え， つの文字1 だけを ふくむ 元 次方程式を導くことができる。1 1
問２ x=200を①に代入して の値を求めましょう。また，y x=200を②に代入して の値を求め，y つの結果を比べましょう。
2
3*200+y=750 200+y=350
① ②
y=750-600 y=350-200
同じになる。
y=150 y=150
問３ 同じ店で，ホットドッグ 個とアイスクリーム 個を買うと2 3 720円，ホットドッグ 個とアイスク2 リーム 個を買うと1 480円でした。ホットドッグ 個とアイスクリーム 個の値段は，それぞれい1 1 くらでしょうか。連立方程式をつくってそれを解き，答えを求めましょう。
1 x y=120 2x+120=480
ホットドッグ 個の値段を 円，アイス を②に代入すると，
1 y x=180
クリーム 個の値段を 円とすると，
したがって，
①から②をひくと，2y=240 答 ホットドッグ 個1 180円，
アイスクリーム 個 円
y=120 1 120
3x+y=750
①
-) x+y=350
②
2x =400 x =200
2x+3y=720 ① 2x+y=480 ②
x=180 y=120
2x+y=13 ① x-y=5 ②
x=
y=
3x-y=2 x+y=6
x+4y=9 x+y=3
3x-2y=-13 -3x+4y=23
2x-y=-4 x-y=-1
左辺 右辺 加える
6 6
1 1
6 加減法
問１ 次の にあてはまるものを書き入れましょう。
を解きましょう。
①，②の どうし， どうしをそれぞれ と，
を①に代入すると，
x=
2* +y=13 y= 答
文字 をふくむ連立方程式から， をふくまない つの方程式をつくることを， を消去するという。y y 1 y
問２ 次の連立方程式を解きましょう。
(1) (2)
(3) (4)
+
3x 18 6 2x+y=13
①
) x-y= 5
②
= x =
答
上の式を①，下の式を②として①と② を加えると，
4x=8 x=2
を②に代入すると，
x=2
2+y=6 x=2
y=4 y=4 答
上の式を①，下の式を②として①から
②をひくと，
3y=6 y=2
を②に代入すると，
y=2
x+2=3 x=1
x=1 y=2
答
上の式を①，下の式を②として①と② を加えると，
2y=10 y=5
を①に代入すると，
x=5
3x-2*5=-13 x=-1 x=-1 y=5
答
上の式を①，下の式を②として①から
②をひくと，
x=-3
を②に代入すると，
x=-3
-3-y=-1 x=-3
y=-2 y=-2
x+3y=700 ① 2x+y=600 ②
x=
y=
2x-3y=12 3x+y=7
3x-4y=10 5x-8y=22
-2x+3y=-9 4x-5y=15
160 160
220
220 160
答 問１ 次の にあてはまるものを書き入れましょう。
を解きましょう。
を②に代入すると，
y=
2x+ =600 x= 答
問２ 問１の連立方程式を， を消去して解きましょう。y
x=220 y=160
問３ 次の連立方程式を解きましょう。
(1) (2)
(3)
2 -
5y 800 160
* 2x+6y=1400
①
) 2x+ y= 600
②
= y=
②*3から①をひくと，
5x=110 x=220
を②に代入すると，
x=220
2*220+y=600 y=160
答
上の式を①，下の式を②として①と
②*3を加えると，
11x=33 x=3
を②に代入すると，
x=3
3*3+y=7 x=3
y=-2 y=-2
答
上の式を①，下の式を②として①*2か ら②をひくと，
x=-2
を①に代入すると，
x=-2
3*(-2)-4y=10 x=-2 y=-4 y=-4
答
上の式を①，下の式を②として①*2と
②を加えると，
y=-3
を②に代入すると，
y=-3
4x-5*(-3)=15 x=0 x=0 y=-3
2x-3y=-7 ① 3x+2y=-4 ②
* 4x-6y=-14
①
* ) 9x+6y=-12
②
=
x =
x=
y=
2x+3y=8 3x-4y=-5
3x-2y=13 4x+5y=2
7x-3y=-5 6x-5y=3
4x+8y=7 6x+5y=7 2
3 +
13x -26 -2
-2 -2
1
-2 1
答 問１ 次の にあてはまるものを書き入れましょう。
を解きましょう。
を②に代入すると，
x=
3*( )+2y=-4 y= 答
問２ 問１の連立方程式を， を消去して解きましょう。x
x=-2 y=1
問３ 次の連立方程式を解きましょう。
(1) (2)
(3) (4)
どちらかの文字の係数の絶対値をそろえ， つの式の左辺どうし，右辺どうしを加えたりひいたりす2 ることによって，その文字を消去する連立方程式の解き方を加減法という。
①*3から②*2をひくと，
-13y=-13 y=1
を①に代入すると，
y=1
2x-3*1=-7 x=-2
答
上の式を①，下の式を②として①*3か ら②*2をひくと，
17y=34 y=2
を①に代入すると，
y=2
2x+3*2=8 x=1
x=1 y=2 答
上の式を①，下の式を②として①*4か ら②*3をひくと，
-23y=46 y=-2
を①に代入すると，
y=-2
3x-2*(-2)=13 x=3 x=3 y=-2
答
上の式を①，下の式を②として①*5か ら②*3をひくと，
17x=-34 x=-2
を①に代入すると，
x=-2
7*(-2)-3y=-5 x=-2 y=-3 y=-3
答 12
12 34
34 12 上の式を①，下の式を②として①*3から②
をひくと，
*2 14y=7
y=-1 2
を①に代入すると，
y=
4x+8* =7 x=
x= y=
y=x-1 ① x+2y=7 ②
x=
y=
x=3y+1 x+2y=11
x-2y=9 y=x-3
y=7x-2 y=4x+1
x-3y=5 2x+y=3 x-1
3x 9 3 3
3-1 2
3 2 代入法
問１ 次の にあてはまるものを書き入れましょう。
を解きましょう。
①を②に代入すると，
x+2( )=7 x+2x-2=7
= x=
を①に代入すると，
x=
y= 答
=
問２ 次の連立方程式を解きましょう。
(1) (2)
(3) (4)
一方の式を他方の式に代入することによって， つの文字を消去する連立方程式の解き方を代入法と1 いう。
答
上の式を①，下の式を②として①を② に代入する。
3y+1+2y=11 y=2 を①に代入すると，
y=2
x=3*2+1 x=7
=7 y=2 答
上の式を①，下の式を②として②を① に代入する。
x-2(x-3)=9 x=-3 を②に代入すると，
x=-3
y=-3-3 x=-3
=-6 y=-6
答
上の式を①，下の式を②として①を② に代入する。
7x-2=4x+1 x=1
を①に代入すると，
x=1
y=7*1-2 x=1
=5 y=5 答
上の式を①，下の式を②として①を と変形し，②に代入する。
x=3y+5
2(3y+5)+y=3 y=-1 を②に代入すると，
y=-1
2x+(-1)=3 x=2
=2 y=-1
x
3x+y=7 x+2y=9
x+3y=3 x=-y+2 答
答
答
次の連立方程式を，加減法と代入法の つの方法で解き，その解を比べましょう。どちらの解き方
Q 2
の方がよいと思いますか。
加減法 代入法
①から②*2をひくと， ②をx=y-2と変形して，①に代入する。
5y=0 2(y-2)+3y=4
y=0 5y=0
y=0を②に代入すると， y=0
を②に代入すると，
x-0=2 x=2 y=0
x=2 y=0 x-0=2 x=2
x=2 y=0
どちらで解いても解は同じになる。
， ， 。
(例)この問題は 代入法で解くには式を変形しなければいけないので 加減法の方が解きやすい 問題によって，やりやすい方法はちがう。
問２ 次の連立方程式を，適当な方法で解きましょう。
(1) (2)
上の式を①，下の式を②として①*2か ら②をひくと，
5x=5 x=1
を①に代入すると，
x=1
3*1+y=7 x=1
y=4 y=4
連立方程式は，加減法で解いても，代入法で解いてもよい。
2x+3y=4 ① x-y=2 ②
答
上の式を①，下の式を②として②を① に代入すると，
-y+2+3y=3 y=-12 1を②に代入すると，
y=-2
1 3
x=--+22 x=-2
3 1
=-2 y=-2
2(x-y)-x=8 5x-(3x-y)=1
3(x+2y)=2(x-3) y=4-x
3x+2y=6
③
* ) 2x+2y=8
②
x =
x=
y=
1 1 -x+-y=12 3 ① x+y=4 ②
0.2x+0.3y=0.5 x+5y=-1
8x-3y=9 1 y --x+-=26 2 2 -
-2
-2 -2
6
-2 6 いろいろな連立方程式
問１ 次の連立方程式を解きましょう。
(1) (2)
x-2y=8 x+6y=-6
式を整理すると， 式を整理すると，
2x+y=1 y=4-x
x=2 x=6
解を求めると， 解を求めると，
y=-3 y=-2
問２ 次の にあてはまるものを書き入れましょう。
を解きましょう。
①*6 3x+2y=6 ③
を②に代入すると，
x=
+y=4 答
y=
文字の係数を整数にするために，下の式の両辺を10倍にする。
問３ 次の連立方程式を解くには，
x+y=6 どんなくふうをすればよいで
5x+2y=15 しょうか。また，その方法で
x=1 解を求めましょう。 解を求めると，
y=5 x+y=6
0.5x+0.2y=1.5
問４ 次の連立方程式を，係数を整数に直してから解きましょう。
(1) (2)
2x+3y=5 8x-3y=9
x+5y=-1 -x+3y=12
x=4 x=3
解を求めると， 解を求めると，
y=-1 y=5
A B= A C=
A B= B C=
A C= B C=
連立方程式2x+3y=x+y=2のような，A B C= = の形の連立方程式は，次の㋐，㋑，㋒のうちの どれかの組み合わせをつくって解く。
㋐ ㋑ ㋒
問１ 上の連立方程式2x+3y=x+y=2を，㋐，㋑，㋒の形に直して解きましょう。
㋐ ㋑
2x+3y=x+y 2x+3y=x+y
2x+3y=2 x+y=2
整理すると， 整理すると，
x+2y=0 x+2y=0
2x+3y=2 x+y=2
x=4 x=4
解を求めると， 解を求めると，
y=-2 y=-2
㋒
2x+3y=2 x+y=2
x=4 解を求めると，
y=-2
問２ 次の連立方程式を解きましょう。
2x-y=-3x+y=1 3x+2y=5+3y=2x+11
(1) (2)
2x-y=1 3x+2y=5+3y
-3x+y=1 3x+2y=2x+11
解を求めると， x=-2 整理すると，
y=-5 3x-y=5
x+2y=11
x=3 解を求めると，
y=4
x=7 y=2
x=2 y=7
x=6 y=5
x=8 y=3
x-3y=4 x+3y=10
2x+5y=-8 4x+3y=12
2x-3y=7 3x+2y=4
2x+y=-9 x=3y-1
㋒，㋓ ㋐，㋓
㋓
１ 2 1元 次方程式x+y=11…①，x-y=5…②について，下の(1)，(2)にあてはまるものを，次の
㋐～㋓の中から選びましょう。
㋐ ㋑ ㋒ ㋓
(1) ①，②の解はそれぞれどれでしょうか。
① ( ) ② ( )
(2) ①，②を連立方程式と考えたとき，その解はどれでしょうか。
( )
２ 次の連立方程式を解きましょう。
(1) (2)
x=7 x=6
y=1 y=-4
(3) (4)
x=2 x=-4
y=-1 y=-1
