線形代数 II 演習
2012年9月5日
学籍番号 氏名
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例題
1-1.[連立一次方程式の復習]次の連立一次方程式を行列式を使って解け。
(1)
3x+ 9y= 2 4x+ 2y= 1
(2)
5x−y= 8 6x+ 2y = 1
次の連立一次方程式を解け。
(3)
2x+ 3y+z = 1 x−y+z = 2 3x+y−2z =−4
(4)
3x+ 6y−6z= 6 4x+ 8y−3z= 13 x+ 2y−z = 3
1
例題
1-2.[写像,全射, 単射]
(1)
実数全体に対して逆数を取る操作は写像となるか？
(2)
自然数
n∈Nに対して
n2 ∈Nを対応させる写像は単射になるか全射になるか?
また整数
nの場合はどうか？
行列
Aに対してベクトル
x∈Knに
Aを左から掛ける操作
x7→Ax∈Knを
fA(x) = Axと書くことにする。
(3) A= (
1 2 2 1
)
とする。f
Aは単射かどうか、また、全射かどうか？
(4) A= (
1 2 2 4
)
とする。f
Aは単射かどうか、また、全射かどうか？
2
線形代数 II 演習
2012年9月5日
学籍番号 氏名
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問題
1-1.[基本変形と行列式・平行四辺形の面積](1)
複素数成分の横ベクトルを
a1 = (a11, a12),a2 = (a21, a12)と定義する。このとき、
2×2
行列を
A= (a1 a2
)
のようにおくと、det
(ka1 a2
) , det
( a2 a1
) , det
( a1 a2+ka1
)
は
det(A)
を用いてどのように表せるか。（k は任意の複素数）
(2) det (
a1 a1
)
= 0
を証明せよ。
(3) a1, a2
を実ベクトルとする。このとき、
|det(A)|は
a1と
a2で作られる平面上の 平行四辺形の面積であることを
(1)を用いて証明せよ。
(4) (1,1),(3,10),(0,8)
を頂点とする三角形の面積を求めよ。
3
問題
1-2.[写像と連立方程式](1) 1
から
nまでの自然数の集合
{1,2,· · · , n}からそれ自身への写像はいくあるか？
また全単射なものはいくつあるか？
(2) A
を
m×n行列とする。連立一次方程式
Ax=bに
(i)
解が存在しない
(ii)解が一意的に存在する
(iii)解が無数に存在する
のそれぞれの場合が例題
1-2の写像
fAのどのような状況（全射、単射など）に対応 するのか調べよ。
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