電磁気学 Ⅱ
Electromagnetics Ⅱ
山田 博仁
電気双極子による電磁波の放射
7/11
講義分遅延ポテンシャ
空間領域 V の中の電荷分布 ρe(x’, t’)ルまたは電流分布 ie(x’, t’) が、時間的に 激しく変動すると、周りの空間に電磁波が放射される。
) 2 ) (
, ( ) 4
,
( 0
V 3 e
' t' x' x'
d
t x x
x i
A
その時、領域 V から離れた点 x での遅延ポテンシャルは、
) 1 ) (
, ( 4
) 1 ,
( 3
0
V
e
' t' x' x'
d
t x x
x
で表された。
ここで、 (3) c
t R c
t '
t'
x x
ただし、電荷や電流分布が存在しない場所は真空としている。
そこで、式 (1) および式 (2) の右辺の積分を実行すれば、電磁ポテンシャルが しかし、多くの場合、この積分を解析的に実行することはできない。求まる。
そこで、静電場の時と同様に、電荷や電流が分布している領域に比べて、観 測点が十分に遠くにあると仮定した遠方解を求めることにする。
O
r R = | x - x’|
x’V ρe(x’, t’)
ie(x’, t’)
ϕ(x, t) A(x, t) x
⇒ 電気双極子近似
電磁ポテンシャルの電気双極子近
図に示す様に、電荷分布の存在する領域が、原点 似 O を中心とする半径 a の球内に限られているとし、観測点 x の原点 O からの距離 r = |x| が r≫a の条件を満たしていると考えて、式 (1) の被積分関数を x’/r のベキに 展開する。
O
ϕ(x)
r R = | x - x’|
x’
a このとき、 x
) 4 ' (
1 '
'
2 2 2
2
' r r r
R x x
x x x x
x 従って、
) 5 ' (
1 1 1
1
2
' r r
R
x x x
x と近似できる。
静電場の場合と違って、距離 R は電荷分布 ρe(x’, t’) の 中の t’ にも含まれるので、これを展開して、
) 6 ' (
) , ) (
, (
, ' '
, 1 ,
0 0 0
0
cr t
t t '
'
t cr r '
c r t c '
t R '
e e
e e
e
x x x x
x x x
x x x
x
) 7
0 (
c t r t
ただしここで、 と置いた。
補
)
式(4),
式(5)
の 導出2 1 2 2
2 2 ' '
1 '
'
2
' r r r r r
R x x x
x x x x
x
と置き、マクローリン展開すると、
2 1
' 2
' 1 2
'
r r
r
f xr x x x
(3) 3
2 )
2 ( )
1
( '
) 0 ' (
) 0 ' (
) 0 ( )
0 ' (
f r f r
f r r f
f x x x x
1 ) 0
(
f
r r
r r
r
f r '
2 2 '
' 1 2
2 1
' 2
1 2 )
1
( x x x x x x
(3) 3
2 )
2
( '
) 0 ' (
) 0 ' (
2 2 1 1 '
f r f r
r r
f xr x x x x
より、
' 1 r
x より、
' 2
r
x 以上の高次の項を無視すると、 2 ' ' 1
r
f xr x x
となる。
となる。
式 (5) も同様に、 x << 1 の時、f (x)
1 x
1
x
xx
f ( ) 1 1 1
のマクローリン展開の高次の項を無視
すると、 となる。
電磁ポテンシャルの電気双極子近
式 (7) の t0 は、原点 O から発信された電磁波が時刻 似 t に観測点 x に到 達するために、原点 O を出発しなければならない時刻を表している。
式 (5) および式 (6) を式 (1) に代入し、 a/r に関して 1 次までを考慮し、それ 以上を無視すると、
) 8 ) (
, ( 4
1
) , 4 (
) 1 , 1 (
4 1
' )
, ) (
, ( 1 1
4 1
) , ( 4
) 1 , (
3 0
0 2
0
3 3 0
0 3
0 0
0 0 2 0
3 0
3 0
V
e
V e
V e
V
e e
V
e
x' t d
t ' x'
cr
x' d t x' r '
x' d t r x'
cr t
t t '
r ' ' x' r
d
' t' x' x'
d t
x x
x x
x x x x
x x x x x
と書かれる。
電磁ポテンシャルの電気双極子近
ここで、右辺第 1 項の 似
) 9 ( )
,
( 3
V e
e x' t d x'
Q
は、領域 V 内に存在する全電荷量を表しており、伝導電流が V 内のみに存 在することから、 V の内外への電流の出入が無いため、時間 t に依存しない 一定値となる。
次に、右辺第 2 項の
) 10 ( )
, ( )
(t
V x'e x' t d3x' pは、広義の電気双極子モーメントである。
また、右辺第 3 項では
) 11 ) (
) ( , ) (
,
( 3 3
dt t x' d
d t x' dt '
x' d t d
t ' x'
V e
V
e p
x
x
である。式 (9), (10), (11) を用いると式 (8) は、
) 12 ) (
( 4
1 )
( 4
1 4
) 1 ,
( 2 0
0 3
0 0
0
cr
t r
t r
t Qe x p x p
x
と表される。 ここで、p(t) dp(t) dt である。
大田さんの教科書 p.21 、式 (2.38) 参照
電磁ポテンシャルの電気双極子近
このように近似されたスカラー・ポテンシャルを、電気双極子近似におけるス似
カラー・ポテンシャルという。
次に、式 (2) のベクトル・ポテンシャルは R を r に置き換えることにより、
) 13 ) (
( ) 4
, 1 (
) 4 ,
( 0 0 3 0 0
r x' t
d t r x'
t V e
i p x
A
と近似される。 ⇒ この式の導出は、各自でやってみて下さい。
このような電磁ポテンシャルに対する近似式 (12), (13) を用いて、
式 (12) の右辺第 1 項は、点電荷 Qe のつくる静電場を与えるだけであるから
、以下ではこの項からの寄与は考慮する必要はない。まず、
を求めるために第 2 項を x について微分すると、
) 14 ) (
) ( 3 (
) (
) ( )
1 ( )
( )
(
3 0 5 0
3 0
0 3 3 0
3 0 3
0
r
t cr
t x r
x r
t p
t r t x
r x x
r t r
t x
x x p
x p
p x x
x p p
p x
となる。
) , ( ) grad
, ) (
,
( t
t
t A x t x
x
E
および B(x,t) rot A(x,t) より電磁場 E(x, t) および B(x, t) が求まる。
) , ( grad x t
電磁ポテンシャルの電気双極子近 似
次に式 (12) の右辺第 3 項を x について微分すると、
) 15 )) (
( (
)) ( 3 (
) ( )
grad 3( 0 30 5 0 4 0
cr t r
t r
t r
t p x x p x x p
p
x
となるから、
従って式 (14) から、
である。
) 16 ) (
) ( 2 (
) (
) 1 (
) 1 (
) ( )
(
2 0 4 0
2 0
2 0 0 2
2 0 2
0
cr t cr
t x r
x c cr
t p
x t cr
r t x
c x cr
t cr
t x
x x p
x p
x p x
x p p
p x
) 17 )) (
( (
)) ( 2 (
) ( )
grad (2 0 20 4 0 2 3 0
r c
t cr
t cr
t cr
t p x x p x x p
p
x
また式 (13) より、
) 18 ( )
1 ( 4 )
/ ) (
1 ( ) 4
1 ( 4 )
, (
0 0
0 0
0 0
0 t
r t
c r t t
t t r
t r t
t p p p
x A
電磁ポテンシャルの電気双極子近
そこで式 (15), (17), (18) を以下の式に代入すると 電場 似 E(x, t) は、
) 19 (
)) ( (
) ( ))
( (
3 ) ( ))
( (
3 ) ( 4
1
) , ( ) grad
, ) (
, (
3 2
0 2
0 4
0 2
0 5
0 3
0 0
r c
t r
c t cr
t cr
t r
t r
t t t
t t
p x x p
p x x p
p x x p
x x x A
E
で与えられる。
一方、磁場 B(x, t) は次のように計算される。
) 20 ) (
( )
( ) 4
, ( rot )
,
( 0 3 0 2 0
cr
t r
t t
t x p x p
x A x
B
⇒ この式の導出も、各自でやってみて下さい。
電磁ポテンシャルの電気双極子近 似
) 21 )) (
( (
3 ) ( 4
) 1 ,
( 30 5 0
0 )
0
(
r
t r
t p t x x p
x
E
) 23 )) (
( (
3 ) ( 4
) 1 ,
( 20 4 0
0 )
1
(
cr
t cr
t p t x x p
x
E
) 25 )) (
( (
) ( 4
) 1 ,
( 20 2 3 0
0 )
2
(
c r
t r
c
t p t x x p
x
E
) 22 ( 0
) ,
)(
0
( x t
B
) 24 ) (
( ) 4
,
( 0 03
) 1
(
r
t p t x
x
B
) 26 ) (
( ) 4
,
( 0 2 0
) 2
(
cr
t x p t
x
B
電気双極子近似における電磁場式 (19), (20) とを、 および に比例 する部分に分割し、それぞれの部分の電磁場を E(0) と B(0), E(1) と B(1) およ び E(2) と B(2) で表すと、それらは次式のように書き表される。
p p
p,
電磁場の物理的意 味
電場 E(0)(x, t) は、電気双極子 p(t0) が観測点 x に作る電場
電場 E(1)(x, t) は、電荷分布の移動によって作られる電気双極子にもとづく電場
電場 E(2)(x, t) および磁場 B(2)(x, t) が、遠方まで伝搬可能な電磁波である。
ここで、これらの電磁場の物理的意味を考える。
磁場 B(1)(x, t) は
) 27 ) (
, ( ) 4
,
( 3
3 0 ) 0
1
(
V e
r x' d t
t i x' x
x
B
( 何故なら、教科書 p.23 における電気双極子の作る静電場の式
(2.45) から容易に類推可能 )
と書き直されるので、定常電流に対する Bio-Savart の法則の観測点を遠 方においたときの近似式に他ならない。
電磁場の物理的意
今、電気双極子 p(t) が角周波数 ω で振動しているとすると、それに伴っ味
て発生する電磁波の波長 λ は 2πc/ ω で与えられる。この時、式 (21) ～ (26) の電磁場は、各項の大きさを吟味するとだいたい次の程度の大きさを もつことが分かる。
r3 p
0 )
0
( 1
4 1
~
E
2 0
) 1 ( )
1
( 2
4 1
r cB p
~
~ E
静電磁場
誘導電磁場
r
cB 2 p
2
0 )
2 ( )
2
( 4
4 1
~
~
E 放射電磁場
今、 r≫λ の条件を満たしているとき、つまり、原点 O から観測点までの 距離 r が電磁波の波長 λ に比較して非常に大きいときを考える。このよ うな領域を波動域 (wave zone) といい、この領域でも残るのは放射電磁場だ けであることが分かる。
ヒント : |x| = r や μ0 = 1/ε0c2 の関係、 x と p のなす角 θ に対し
て、 sinθ や cosθ は、 0 ~ 1 の範囲にあることなどを用いている。
放射電磁場
波動域における電磁場の性質を調べる。波動域における電磁場は、
) 25 )) (
( (
) ( 4
) 1 ,
( 20 2 3 0
0 )
2
(
c r
t r
c
t p t x x p
x
E
) 26 ) (
( ) 4
,
( 0 2 0
) 2
(
cr
t x p t
x
B
) 28 ( )
, 1 (
) ,
( (2)
) 2
( t
t c e E x
x
B
式 (25’) を式 (26) に代入し、 x×x = 0 、また 00 = c-2 であることを考慮すると、
ここで、 e = x/r であり、これは図に示すように、原点 O から観測点 x に向く単位ベクトルを表している。従って、観測点 x における磁 場 B(2)(x, t) は電場 E(2)(x, t) および e に直交していることが分かる。
) (t0 p
O
x
B(2)(x, t) E(2)(x, t) e
θ )
25 ( )
, ( )) 4
( ) (
( 0 2 0 0c2r (2) t '
r
t t
x x p E x
p
式 (25) を書き直すと、
放射電磁場
) 29 ( )
( )
(x p x x p 2p
x r
であるから、式 (25), (26) より、
) 30 ( )
, ( )
, ( )
,
( (2) (2)
) 2
( x B x e
x B
x
E c t
t r c
t
が成立する。つまり、 E(2)(x, t) は B(2)(x, t) および e と直交している。即 ち、
E(2)(x, t), B(2)(x, t) および e は前のスライドの図にあるように互いに直交し
また、 ている。E(2)(x, t), と B(2)(x, t) によって作られるポインティング・ベクト ル S(x, t)= μ0-1E(2)(x, t) × B(2)(x, t) の方向は、 e の方向に一致しているか ら、 e の方向に電磁波は進行する。即ち、この電磁波は横波になってい る。また、これら電場と磁場の大きさの間には、 |E(2)(x, t)| = c|B(2)(x, t)| の関係 があり、式 (25), (26) で表される放射電磁場が自由空間を伝わる電磁波と 全く同じ性質を有することが分かる。
次に、p227 付録 A のベクトル公式 を用いると、A(BC) B(AC)C(AB)
放射電磁場
波動域おける電磁波が、観測点 x において e に垂直な単位面積の断面を 通って単位時間当たりに運ぶエネルギーを求める。 ( 単位時間当たりに運ぶ エネルギー = 電力 P のこと ) これを求めるには、ポインティング・ベク トル 1 ( , ) ( , ) (31)
) ,
( (2) (2)
0
t t
t E x B x
x
S
を求めればよい。
) 32 ( )
, ( )
) , ( (
) ,
( (2) (2)
0
t c t
t B x e B x
x
S
ここでまた前のスライドで用いたベクトル公式を 用いて、 e と B(2) が直交していることに注意する
と、B(2) (B(2) e) B(2)(B(2) e)e(B(2) B(2)) e(B(2) B(2)) (33)
( , )
(34)) ,
( (2) 2
0
e x
B x
S c t
t
) 35 ( ))
( ) (
4 ) (
,
(x 20 2 e p 0 2e
S t
t cr
) (t0 p
O
x
B(2)(x, t) E(2)(x, t) e
θ 式 (30) より、
従って、
式 (26) を代入すると、
放射電磁場
( )
sin (36)) 4 ) (
, ( )
,
( 20 2 0 2 2
t
t cr t
S x S x e p
原点 O を中心とする半径 r の球面を通って、流出する 電磁波の電力 P は、全立体角に渡り S(x, t) を積分して
、
( )
(37)) 6 3 (
2 4 )
4 (
sin sin
2 ) ) (
4 ) (
, ( )
(
2 0 2 0
2 0 0
0 2 2
2 0 2 0
c t c t
d c t
d r t S t
P
p p
p x
原点 O を中心とする角 θ の方向の単位立体角内に放射される電磁波の電 力は、
( )
sin (38)) 4 ) (
, ) (
( 2 2
2 0 2 0
t
r c t d S
t
dP x p
ここで図のように の方向と e の方向のなす角を θ とすると、観測点 x において、単位時間に観測される 電磁波のエネルギー流の強さ ( 電磁波の電力 ) S(x, t) は、
p
) (t0 p
O
x
B(2)(x, t) E(2)(x, t) e
θ
双極子放射パター ン
( )
sin (38)) 4 ) (
, ) (
( 2 2
2 0 2 0
t
r c t d S
t
dP x p
) (t0
p O
dΩ S(x, t)
θ r
dθ e
放射される電磁波電力の方向分布は、図のように に直交する方向に強 く放射される 8 の字パターンとなる
p
p
p
θ
放射電力の強さ
双極子放射電力の方向分布
線状微小ダイポールアンテ
図に示すような長さ d の線状微小アンテナナ ( 電磁波の波長に比べてアン テナ素子の長さ d が十分に短い、従って素子全体に渡って流れる電流は 同相 ) から放射される電磁波の電力を計算する。アンテナの中央部分には 給電点があり、そこから周期的な電流を与えてアンテナを励振する。
0 2 d
2
d z
x
y e その電流が
) 39 ( 2 sin
1 )
,
( 0 t
d I z
t z
Ie
で表されるものとする。すると、
) 40 sin (
2 )
, (
0
d
I t z
t z
Ie
である。ただし、複号は z ＞ 0 のとき負、
z ＜ 0 のとき正である。
電荷保存則により、
) 41 sin (
2 )
, ( )
, (
0
d I t
z t z I t
t
z e
e
線状微小ダイポールアンテ
これを積分することにより、単位長さ当りの電荷密度は、ナ
) 42 ( 2 cos
) ,
( 0 t
d t I
e z
で与えられることが分かる。これから、アンテナの電気双極子モーメント p(t) は、
) 43 ( 2 cos
2 cos )
, ( )
( 0 0
2 2
0 2 0
2 I d t
zdz zdz
d t dz I
t z z t
p d
d d
d e
である。これから、
) 44 ( 2 cos
)
( 0
I d t
t
p
となる。これを式 (37) に代入することにより、放射される電磁波電力は、
) 45 ( 2 cos
) 6
( 2 2 0
2 0
0 I d t
t c
P
で与えられることになる。そこで、 (45) の振動の 1 周期 2π /ω に渡る平均 を求めると、
) 46 2 (
cos 12 2
2 6
2 0
0 0
2
0 0
2 2
2 0
0
c I d
t dt c I dP
となる。これがアンテナから放射される電磁波の平均電力である。
ダイポールアンテナの放射パタ ーン
ダイポールアンテナからの放射パターンは、素 子に垂直な方向で強度が最も強くなるような 8 の字パターン
線形ダイポールアンテナと θ の角度をなす方向に位置し、距離 r 離れた 所にある観測点 x において、アンテナのある方向に対して垂直な単位面積 に到達する電磁波電力は式 (38) より、
θ
x S(x, t) r
) 47 ( sin
64 cos
sin 2 cos
) 4 (
sin )
) ( 4 ) (
, (
2 2
2 2
2 2 2 0 0
2 2
2 2 0 2 2 0
2 2 2 0
2 0
cr t d I
d t I cr cr t t
S
p
x
θ
従って、電磁波電力は、アンテナからの距離の 2 乗に反比例して小さくなり、またアンテナに流れ る電流の 2 乗、周波数の 2 乗に比例する
