/ / / ダ 有限要素法 対す 成法 評価

ア ダ ^{プ テ} ィ ブ 有 限 要 素 法 ^に 対 す ^{る メ ッ シ}

^ュ

^生 成 法 ^の 評 価

E

v a

l

u a

t i

o n o

f M

e s

h G

^{e n e r a}

t i

o n

S t

r a

t

e

g

^{l e S O n}

A d

a

p t i

v e

F i

n

i t

e

E l

e m e n

t M

^e

^t h

o

d

大 森 克 史 篠 原 信 夫

^*

K

at^{s u s}

h i O H M O R I

^{a n}

d N

o

b

u o

S H I N O H A R A

oh m o ri @ edu t. oy ^{a m a‑u .a c}J P

n sin oh a r a^‑tk_y@ u min.a c.｣ p

A b^{str a ct}

ln もh e 丘ni te ele m e nt a n aly^sis fo r phy^sic al _phe n o m e n a_,itis im p^{o r}ta nt to u s e the 五nite ele m e nt m e sh s o a s to c ap t^{u r e s o m e} fe atu r e s of the m r e a 5 0 nabl_y･ R^{e c e nt}l_y'the adap tiv e finite ele m e nt m eth^od ba s ed o n a

p ^{o s}te rio ri e r r o r e stim ato ri^{s w} o rthy ^of ^{at te nt}io n fr o m b oth m athe m at ic al a nd c o m p^utatio n al p oints ofvie w ･ In this p^ap^{e r w e c o n s}ide r the p^{e r}fo r m a n c e of s o m e str ategi^{e sfo r the adap tiv e m e sh‑r e点n em e nt of tria ngulatio n s} iⅢt h is m et hod^.

1 は じ め に

有限要 素解 析に おける メ ッシ ^ュ に^ついて, メモリ等 限り あ る^{コ ン ピ ュ ー} タ資 源^の有 効 利 用 や, よ り精 度^の高い計 算 を行う た め.

一 様に細か く要 素 分 割を行 う^{ので は}な く, 与 えられた問題に適 合 させ る よう なメッシ ュの作 成, 例^えば 物^理量の変化 が激 ^しい部 分に節 点 を 集 中させ る よう な^アダ プテ ィブ有 限要 素法^の研 究 が盛^{ん に}行われて^いる^. しか し,

物理 量分布^の予測に よ るも^のや, 領 域^の形 状^にのみ適 合^し たメ ッシ ュ分割 など, 解 析 者^の経 験に 左右 さ れ^{た り}, 必ず^し も 問題に適 合しな^い方 法が 主 に扱われ^{て いる.} 本 研 究^{で は},

有 限 要 素解^の事 後誤 差 評 価^の研 究

[

⁷

]

^{を ふ ま え, Pois s o n 方}

程 式に^つい て V e rfiirth が 示 し た指 標

[

¹

]

^{を 用い ること に よ}

り事 後^誤差評 価^{に よ るア} ダプ ティブ有 限 要 素メッシ ュ の自 動 作 成, 及^{び メ} ッシ ^ュ を 作 成 す^る際^に用^いたいく^つかの要 素分 割 法^の評 価を行 ^{っ た.}

2

モ

デ ^ル 問 題

o を R ²の連 結 有 界 多 角 形 領 域^{と し}, その境 界をrとす る^. 0 の開 部 分 集 合^{L J と その}境 界7 ^:‑ ∂L J に^つい て通常^の

Lebe sg^{u e} 空

軌

S^obole v 空 間^L2

(

^{L J}

)

,L²

(

7

)

^{,H l}

(

^{L J}

)

^{を定 義}

し, ノ ル ムをそれぞれ

II

^･

Il

^o,2 ;^{L J,}

‖

^･

l L

^{o,2; ↑,}

=

^･

Il

^l,2;^山とするI ' 東 京 大 学 大 学 院 医 学 系 研 究 科

医 学 博^士課 程 社 会 医 学 専 攻(^{医 療}情報 経済学)

本 研 究で は,fl にお ける^{D irich leし N e u m a n n} 混 合 型 境 界 条 件 を持^つ Pois s o n 方 程 式を考え る^.

i一l iー_!

.

o n r_上)^.

o n r_N .

た だ し_, r ^‑ I^I_D U r_N ,r_D n rN ^‑ 0 であり, rD はr に対 し て閉^で, 正の長 さ を 持^{つと す る. こ こ で,}f ^{∈ L2}

(

o

)

^{,9 ∈}

L²

(

^rN

)

^{を仮 定 する.}

空 間^{X を}次^の ように定 義 する^.

x :^‑

(

^{v ∈ H l(o}

⁾ (

^{v ‑ o o n rD}

)

こ こで問 題

(

^E

)

^{に対 する弱 形 式は次の様に書け る･}

(

^Ⅲ

)

た だ し

Find ^･u,∈ X ^{s u c}h that^.

a

(

^.u,u

)

^{‑ < F,′t, > ∀,u ∈ X .}

a

(

^{u ,v}

)

⁼

/

^{n ∇u ･ ∇･u dx .}

･ F,v , ^‑

/

n

f ^{vdL, +}

/

r)v

g ^′Uds･

(

^Ⅲ

)

^{は一 意 解を持つ ･}

3 有 限 要 素 法

Th

(

^{h > 0}

)

^{を 0 の三角 形 分 割と}す^{る. こ こ}で Th の要 素 Ti は閉三角形 であ り_, その数^{を N}T とす^る. 分 割^は次^{の 1}

)

か ら3

)

^の条 件を満^たす^.

N T

1

)

^{自は 自 エ}

リ

^{Ti と分 割 され る･}

i=1

2

)

要 素^の内 点 集 合は int Ti n int T j ^‑ ￠

(

ⁱ

≠

j

)

^を満

た して いる.

3

)

^{Tin T}j

(

ⁱ

≠

3

)

' ^は空 集 合^か, 共 通^{の 1} 頂 点^か, 共 通^{の 1} 辺であ る^.

以下, 三角 形 分 割^の族 Th は 正則^と仮 定 する^, 即ち, 佳 意^の 要 素^T ∈ Th の任 意^の角0 に対^し, 0 ≧⁰. > 0 を満たす 定 数β｡ が存 在 する^.

問題

(

^Ⅲ

)

^{につ いて, 三角 形 一 次要素を用いる有 限 要 素 近} 似を行 う^, 上記^の定 義を前提 と し, 次^の有 限 要 素 空 間^を定 義 する.

X _h :^‑

(

^{vh ∈ C}

(

^良

) I

^vh

^I

^{T ∈P l}

⁽

^T

⁾

^{∀T ∈Th,}

vh ^‑ O o n r_D

)

こ の とき_,

(

^Ⅲ

)

^に対^{す る}近 似 問 題^は次^のよう^に表 され る^.

(

^rib

〈 )

^{F inda}

⁽

^{uu hh,∈Vh}

⁾

^{X h S‑u<chFt,hv hat> ∀vh ∈ Xh,}

近似^{問 題}

(

^Ⅲh

)

^の解^は存 在^し,

一 意^{であ る}

(【

⁸

】

^等

⁾

^･

4 誤 差 の 指標

近似 問題

(

^Ⅲh

)

^{の有限 要素解 uh の事 後誤差 評 価を得る た}

め に は_, 有 限 要 素 解^の他, 与 え ら れ たデ ^ー タ

(

^{メ ッシ ュデ ー}

タ や境 界 条 件 等

)

^{よ り}計 算 され る 正確な 誤差^の指 標が 必要 である^.

4^.1

記 号

^の

定 義

T ∈Th に対して, E を T の 1 つの辺 とする^･

l

^T

[

^{,hT,h E}

を そ れ ぞ れ T の面積, T の最 長^辺の長さ,E ^の長 さと す る^. ま た_, n E をE と直 交^{す る}単位^{ベ クトルと し}, 辺 E を横 切

る値^の差

[

p

]

^{E : ‑}

t

*

. や

(

^{I + tn E}

)

‑

t

王 忠

^p

⁽

^{I ‑ tn E}

⁾

∀

x ∈ E

を定 義 す^る. 各 要 素^T ∈Th に対^して, その要 素^の辺の集 合^{を f}

(

^T

)

^{と し}, 三角 形 分割 Th の辺全 体^の集 合

fh ^‥‑

U

^f

⁽

^T

⁾

T ∈7Th

を定 義 す^{る. ま た},fh を次^のよう^に分割 する^. fh ^‑ fh,ロリfh,D Ufh,N

た だ し

Ch,D ^:‑

(

^{E ∈Ch}

l

^{E ⊂ rD}

⁾

f_h

,N ^:‑

(

^{E ∈fh}

l

^{E ⊂rN}

⁾

す な^わち_,f_h

,D,f_h

,N は そ れぞれ D irichlet境 界, Neu m an n

境 界^上の辺の集 合^である^.

さ ら に, T ∈ Th と 辺 を 共有 する 三角 形要素全 体の領 域

L JT を次^{の よ}う^に定 義 す^る.

u T ^‥エ

リ

^T'

E(^T)^nf(^T') ≠￠

F i g^･4.1 u T

4 .2

残 差 事 後誤 ^差 指 標

問題

(

^E

)

^の条件^の元 で, 次^{の 2 つの}評価^が成^{り 立つ･}

Pr o p^{o s}itio n 4^.1^.

u,uh を そ れ ぞ れ

(

^rI

)

,

(

^rib

)

^の解^とす^{る と き}, 任 意^{の w ∈} X につい て次^の評 価^が成^立する^. た だ し_, Co は 0 と r_D にのみ依 存する 正定 数^であ る^.

sup

(

^{< F}, w > ^‑ a

(

^uh, W

))

w ∈X ,fl^u)l^l,2 ; ∩^‑1

≦

ll

^{u ‑ u h}

lf

^l,2;n

≦

(

^{1 + C}

昌 )

^{s up}

(

^{< F, w > ‑ a}

(

^uh,W

))

w ∈X,H^w"1,2;n ^‑1

Pr o o

f

^.

)

^{u ∈ X} ,uh ∈ X h を そ れ ぞ れ

(

^Ⅲ

)

,

(

^{r i}b

)

^の解^とす

る と, 次 式^が成^{り 立つ,}

∇

(

^{u ‑} u h

)

^{･∇w d3: ‑ < F}, w > ^‑ a

(

^uh,W

)

∀

w ∈ x ^.

こ こ で_, S^ch w ar z の不等^{式 よ り}

∇v ^, ∇^w dx <

̲

H

^∇v

[l

^o,2;0 ^･

ll

^∇w

I ^I

^{o,2 ;0}

≦

‖州

¹,2 ;0 ^･

ll

^w

lt

^l,2_;0 であ る か ら_,

w6 X .,,

S

IF

w ^{,2 ; n =1}

/

0

∇^{v .} ∇w d^x ≦

ll

^v

‖

1,印

が成り 立^つ.

一 方Poin c a r6^‑Friedrich ^の不等 式^{よ り}

tl

^v

ll f

_,2_;0 ≦

‖

^v

L[ Z

,2 ;0 +

"

^∇v

il

^o,2;f2

≦

(

^{1 + C}

&) ^Il

^∇v

^[l

^o,紳

‑

(

^{1 ･ C}

&) /

^{o ∇v ･ ∇v dx}

であ り_, こ こ で w ^{= ‑}

｣ ｣

‑ と取る と

=

^v

lr

^l,2;n

‖

^v

II

^l,2;0 ≦

(

^{1 . C}

&) /

^{o ∇v ･∇w dx}

を得る^{, v} ∈X よ り w ∈ X ,

H

^w

ll

^l,2;n ^‑ 1 なの で

･

^v

I[

¹,2^･,0 ≦

(

^{1 I C}

a)

w｡ x ,..

s

lだ

w ^{.2 ; n = 1}

/

0

∇v ^I∇w dx

が成り 立^つ. ⊂コ

P r op^{o s}itio n 4.2.

uh を

(

^Ⅲh

)

^の解^とす^{る と き}, 任 意^{の w ∈X につ い て}次

の評 価^が成^立す^{る. た だ し}, Cl は Th の最小角^の大 きさの み に依 存 する 正定 数^である^.

< F_,w > ^{‑ a}

(

^uh, W

)

≦^Cl

ll

^w

Ll

^l,2 ;

〈

0

_去 ^{伽 l' Z}

^･2;T +

∑

^hE

^Il

^{9 ‑ n E ･ ∇uh}

^{[[ Z}

^,2;E

E ∈fh ,N

･

E E

S

^{,N hE}

^{.･ [}

^{n E ･∇uh}

^]

^E

^{･･ Z}

^,2;

)

^E

1′²

Prop^ositio n 4^.1, 4^.2 よ り次^の評 価を得る^･

ll

^{u ‑ uh}

II

^l,2 ;0 ≦^C

(

2

;

T ^{T^h}

^{i .,}

^I

^{.. Z}

^{･2 ;T} +

∑

^hE

^[l

^{9 ‑ nE ･ ∇uh}

^{fl 呂}

^{,2 ;E}

E ∈Eh ,N

･

E E

;

^{,N hE}

^･.[

^{n E ･∇uh}

^,

^E

^{,･ Z}

^{,2 ;}

)

^E

1′²

(

^4･1

)

ただ^し, C2 ^‑ Cl

(

^{1 + C}

昌 )

^.

Ve rftirth は_, 近 似 問題

(

^Ⅲh

)

^に対 す^{る 誤}差^の指 標^{と して},

個^{々 の}要 素^T ∈Th に対^{し て}残 差 事 後誤差 指 標りR,T を 次

の ように定 義した

【叶

(

1

叩^R,T :⁼ h

引 I

f^T

[I Z

,2^･_,T

+

妄 ^∑

^hE

^{IJ [}

^{n E .∇uh}

^]

^E

^{l 侶}

^,2;E

E ∈C(^T)^{nth,f }}

･

E ｡ f

;

( ^{nth,Nh E}

^.,

^{gE ‑ n E ･ ∇uh}

^{.1 3}

^{72 ;}

)

^{E 1′2}

た だ し

J

^{T :‑}

古 ^/

^T

^f

^{dx , gg ‥‑}

^左 上

^9ds

こ の 他^T は有 限 要 素 解^uh, メ ッシ ュデ ^{ー タ と}問題

岬)

^に

おい て与え ら れ たデ ^ー タ

f

^, 9 に よ ^って各 要 素ご と に計 算 すること が できる･ こ こ で, q^R,T の第¹項は 三角 形 要 素丁 自身に固 有^の値であ り, 第² 項は隣り合 う 要 素か らの寄 与,

第³ 項はNe u m a n n 境 界 条 件^{か らの}寄 与^{であ る.}

q^R,T を用^{い て},

(

^4･1

)

^式は次の

(

^4･2

)

^{式のように表 すこと}

が できる^.

(

^4.2

)

^{式よ り, 有 限 要 素 解uh の H l‑) ル ム誤差}

は_TIR,T に よ^っ てお さ え ら れ ること が わ か る^.

〈 主 ^税

^T

II

^{u ‑ uh}

ll

l,2;n ≦^C2

ヽT ∈Th

+

∑ ^{埠 ‖}

^{f ‑ JT}

^{= 岩}

^{,2 ;T}

T ∈ Th

+

∑

^hE

^II

^{g ‑ gE}

^{ll 呂}

^{,2 ;E}

E ∈Ctt.N

(

^4･2

)

^{式を含め,7}7^R,T の誤差^の指標と して の正当性は, 吹

の定理 で保 証 される.

T he o r e m 4.3.

(

^{Ve rfa rth}

[

¹

】 )

口 u, uh を そ れ ぞ れ

(

^Ⅲ

)

^,

(

^Ⅲh

)

^{の解とする とき, 全て の T ∈}

Th に^ついて, 次^の評 価が成立する^. た だ し, C,Q ^{は T}h の

最^′ト角^の大 き さ^のみ に依 存 す^{る 正}定数である^.

Il

^{u ‑ uh}

I]

¹,2;∩≦ e

( S

T ^Th

^撮

^r

+

∑ ^{埠 ‖}

^{f ‑ JT}

^{‖ 岩}

^{,, ;T}

T ∈^′れ.

+

∑

^{h E}

^ll

^{9 ‑ 9E}

略

^{2 ;E}

E ∈fh.N

1/²

77R,T ≦ Q

"

^{u ‑ uh}

略

^{2 ;u T}

+

∑ ^{埠 ll}

^{′ f ‑}

^f

^T,

^{‖ 岩}

^,,;T^I T^/⊂^w T

･

E ∈E

;

( ^nth,NhE

^.l

^{9 ‑}

^{I. g}

^{･2 ;}

〉

^E

1′²

｡

R e m a rk 4^.4 ^.

有 限 要 素 法で用^いら れ る 三角 形 分 割に^つ いて_, 極 端^に角 度^の大 きい角 を 持^つ鈍 角^三角 形 要 素 や, 極 端に短^い辺 を持

つ鋭 角^三角 形 要 素^が存 在 すること は好まれ な^い. こ のよう な^三角 形 要 素が存 在 する 目安^{の 1 つ と し て}, 三角 形 分 割^に お け る最小角^の大 きさ に注目す^{ること がで}き^{る. T he orem} 4,3 では_, 最^小角^の大 き さ^のみ に依 存 する定 数を 用^{い て}誤

差^の指 標が 上 下 か ら押^{え ら}れ^てい る^. □

5 有 限 要 素 ^メ

ッ

シ

ュ

の 作 成

5.1

事 後 誤 差 評 価

あ る 三角 形 分 割Th に お け る

(

^Ⅲh

)

^{の近似 解u h を得た と} き, 多くの問 題では厳 密 解を解 析 的に求め ること は難しい の で_, 近似 解u h の誤差を直接 計 算 すること はでき な^{い. そ}

こ で T he orem 4^.3 を ふ ま え, 77^{R T} を各 要 素^について計 算 す ること に よっ て近似 解^{の H l‑ ノ ル ム誤}差を 見積も る^こと を 考え る.

一 般に有^{限 要}素 法^{では メ}ッ シ ュを細か くする ほ ど 近 似 解^が厳 密 解^に近^づく^こと が保証され^{て い}る^. そ^{こ で}, 17R T の大き^い要 素が 近似 解^{の H l‑/ ル ム}誤差^が大き^い要 素

であ る と 見当を^つ け, そ^の要 素 付近の メ ッシ ュ を細か くす る^こと に よ り, 解に適 合し た有 限 要 素メ ッシ ュ を作 成 す^る

こと ができ, 近似 解^の精 度を 上げること が できる^.

5 .2

有 限 要 素

^メ ッ シ ュ

自 動 作 成

の

流 れ

メッシ ^ュ自 動 作 成1 ステッ プの流 れ

1･ 初 期メ ッシ ュ 7

?

^{を構 成 する, k ト0.}

2^･ 三角 形 分 割 T_h^k に お け る有 限 要 素 解 ^uh を得る^. 3^･ uh の_, 各 要 素^T ∈ T_h^k についての誤差^の指 標qR,T を

計 算 する^. 4^･ り^‥=

T m

E

顎

^{りR･T を計 算し,}

77R,T ≧K り

(

^{0 < K < 1}

) (

^5･1

)

を満たす 要 素を分 割^要素と して取 り 上げる^.

(

選 択 要 素と 呼 ぶこと に す る^.

)

5¹ 選 択 要 素が決 定_{し た Th}^k に対^して定_{め ら れ た}要 素 分 割 法を 用い てメ ッシ ュ 作 成を行^い, T_h^{k + 1} を得る･

6^.k ( k + 1^. 7^._go to2 ^.

初 期^{メッシュに}対し てこ の ^ステップを繰^{り 返}すこと に よ り_, 解^に適 合^{し た}有 限 要 素^{メッシ ュを}自動 的に作成^{して い}く^こ と ができる^.

5 ^.3 ア

ダ プ

テ ィ

ブ

メ ッシ ^ュ

分 割 ^法

5.3.1 基 本とな る 分 割

1 つの三角 形 要 素に対 する基 本 的 な 分 割 を 定義 す^る.

1^. r ed 分 割

3 辺の中 点^を結^ぶこと に よ り合同な^{4 つの三}角 形に分 割 する^.

2. bll l e 分 割

まず2 辺の中 点を結び_, その内の 1 辺

(

例^{え ば}, 長^い 方

)

^の中 点^{か ら}相 対 する頂 点 を 結^ぶこと に よ^って 3 分 割 す^る.

3, g^{r e e n} 分割

1 辺

(

^{例 え ばm ark 辺 や最 長辺}

)

^{の中 点と}, 相 対 す^る頂 点を結ぶこと に よ^っ て 2 分割 す^る.

十

‑ ^､

^÷ /

^{‑ gr e e n}

^丁

^{､ ､̲}

F_{i g}^.5^.1 基 本^となる分 割

5^.3^.2 lla mg^{l n} g ^{n o}de

三角 形 分 割 中^のある 要素^の頂 点が他^の三角 形の辺 上 に あ る と き_, こ の頂 点をh an gi ⁿg ^{n o}de

(

^{nonco nfo r min}g ^{n o}de

)

と して定 義 す^る.

F_{i g}･512 h an g^{l n}g ^nod^e

5･3.3 r eg^ula r 分割 法

選 択 要 素に^つ いて r ed 分 割^{を ほ どこ}す^こと に よ り, メ ッ シ ^ュ作 成^を行 う^. 選択 要 素^が4 分 割さ れ る^ので細 分 化^ス テップ数^が少^ない反 面, hang iⁿg ^{n o}de も 多 く発 生する た め_, そ^の処 理 が難^{しい. h} ang iⁿg ^node の処 理 に よっ て様^々 な種 類が存 在 す^{る が,} 本 研 究で はred 分 割と_gr e e n 分 割^の み を 用い て bang iⁿg ^node を 処 理する方 法

【

²

】

^{を用いた.} 分 割の読 れ

1^. 選 択 要 素の処 理

選 択 要 素 を^{r e}d 分 割 する^. 2^･ ha ngi ⁿ g ^{n o}d e の処理

(

¹

)

^hang iⁿg ^{n o}d e が 2 個 以^上ある要 素 を^{r ed} 分 割 する

(

^{新た に b a n}giⁿg ^node が発^生する 可能 性が あ る

)

^.

hang iⁿ g ^{n o}de が 2 個以 上 あ る要 素がなくな る ま で 繰り 返 し行 う^.

(

²

) (

¹

)

^{の作 業が終了 し た}

乳

^{残っ た ha n}giⁿg ^{n o}de が1

個^の要 素を_gree n 分 割 する^.

要 素 分割を^{1 ス}テップ進ま せ た例を次の F i g^.5^.3 に 示す^.

F_{i g}.5.3 reg^ular 分 割 法^の要素 分 割 例

こ の方 法で は作 成さ れ る 三角 形 分 割^の最小角^の大 き さが 次 第に 小さくな^{っ て} し まう可能 性^がある. これ に対^し, 最 小角^の大き さを保 存し た reg^ular 分 割 法 も考 案^{さ れて いる}

【

^1,5

]

^.

5 .3.4 m a rked ed_ge 分 割 法

個^々の三角 形 要 素^の属性と して 1 ^つ の辺 を その要 素の

m a rk 辺 と して定^めてお き, 選択 要 素^の m ark 辺 に対^して

g^{r e e n} 分 割 を^ほ どこす^こと に よ り メッシ ^ュ作 成^を行う

【

³,4

]

^.

こ の方法^の特徴は分 割^{に よ り 生}成 する要素^の形^が判 断で き,

ど んなに メ ッシ ^ュ作成^{ス テ}ップ を重ね ても三角 形 分 割の最 小角^が保 存 され, いびつな 形^の要 素ができない こと である^. そ れ に対^し, 細 分化^ステ ップ数は多くなる^.

基 本 分 割

1^. m a rk 辺 に対し_{て g}r een 分 割 する.

2^･ 発 生 した 子要 素の m a rk 辺 と して_, 元^の親要素^{の m ark} 辺以 外^の 2 辺 を そ れ ぞ れ指 定する^.

m a rked ed g^e

F_{i g}^･5^.4 m arked ed_ge 分 割 法^の基 本 分 割

分 割^の流れ

1^. 選 択要 素の処 理

選 択 要 素に^つい て基 本 分 割^を行 う^.

2^. ba ngin g ^{n o}de の処理

(

¹

)

^{個 数に関係 なく ha n}giⁿg ^node がm ark 辺 以 外^の辺 上 に あ る ときは_, まず 基 本 分割を行^っ て子要 素^を作 り

(

子要 素^{の m} a rk 辺 上 に ba 皿giⁿg ^{n o}de が あ る状 態 にする

)

, さら に基 本 分割を行 う

(

^Fi g^.5^.5

)

^. 該当 す^る 要 素が なく なる まで繰^{り 返 し}行 う^.

(

²

)

^han由ⁿg ^{n o}de が1 個^{でかつ m ar}k 辺 上 に あ る要 素 に^つ い て

, 基 本 分 割を行 う^.

ha ngⁱⁿg ^{n o}de

F_{i g}･5･5 bang iⁿg ^{n o}de の処 理

(

右側^の要 素^{につい て}

)