離散多変量解析の理論とその応用に関する研究 学位論文内容の要旨

学 位 論 文 題 名

博 士 （ 工 学 ） 種 市 信 裕

離散多変量解析の理論とその応用に関する研究

学位論文内容の要旨

  統苫1．的jfト 測の川！論の樅Iやをなす推定における最允推定法、検定における尤度比検定は、確，

率分mf川の擬hiItぬ化であるKullba,ck・Lciblerのダイバージェンスに，たづきt灘築されていると考 え る こ と が で き る 。っ まり 、巌 允推 定 法に おい ては 典の モ デル と観 測値 のKullba.ck一Leiblcr の ダ イ バ ー シ ェ ン スを 最小 とす る他 を 推定 量（ 最九 推定 量 ）と し、 允度 比 検定 にお いて は、 貞     ′

のモデル（帰jIlL反説）と観測値との差興をKullbacニk‑J丿ciblcrのダイバーージェンスをJHいて測 り、その人きさの)tカ囁仮説の・j ・での分布によって検定をirなっている。このKulll)ac:k一Lciblcr のダイバージェンスをハ］いその同所化によってiサ数に依行する4i{f17t{分‑fiiのf斗数空fill］にFisher の情報行列により1Jーマン計暈二を導入する ことによ。て、統ヨ1．的荊 ￡測の理論へ幾何学にアプ ロ ー チ す る 丿J． 法 がRa0に よ っ て 提 ‖Hさ れ近 年め ざま し い発 展を とげ て いる 。こ れに 対し て Kullback―Lcil）lc'i．以外のダイバージェンスを統計「r、j推測に導入する研究が行なわれている。

代表 的 なも のと して ． 】 ダ イバ ージェンス 及びバワーダイバージェンス があげられる。J―ダ イバージェンスはBiii．1）caとR,a,oによってエント口ビー関数の,Jcnscn‑cliffCl．(ill(:Cに´i曇づく 維謇 分 イl′ の擬Fい 矧tとして提案され、エント 口ビーJ矧数に、n〓1の場合 としてSha川］on1ーエ ント 口 ビー 、n〓2の 場 合と してGiiii―indexを 禽むHa,vr（la,‑Cllai．v轟t， によ るnエント口 ビー をIT亅 いる こと に よっ て次 数nのJ一 ダ イバ ージ ェン スと し てj｜ と 体的 に表 現さ れるもので ある 。 さら に、Blル1）caとRaoは、 この 次 数nの.T，ダ イバ ーーシェンスのJ｜iJ所化により、確 率分伽のけ数卆｜ 川にぼエシト口ビ一言t．量とぃうりーマンjl゛；f！．を導入している。しかし、従 来 の 研 究 に お い て はI丁 ダ イ バ ー ジ ェ ン ス に拙 づくJ！ ，体 的な 統 計的 推測 は、RM、N a,yak等     丶

の 研 究 が あ る に す ぎ な い 。 さ ら に 尤 度 比検 定 、殿 允推 定に 代表 さ れるKullbac:k・Leil)lerの ダ イ バ ー シ ェ ン ス に嚴 づく 統計 的推 測 方法 とJ‥ダ イバ ージ ェン ス に魅 づく 統言l・ 的方 法と の 比 較 研 究 は ほ と ん ど行 なわ れて いな い 。一 方パ ワー ダイ バ ‥ジ ェン スはCrc,s,sicとR,ea（1に よ っ て 提 案 さ れ たKullback−Leiblcrダ イ バ ー ジ ェ ン ス をa‑lの 場 合 と し て 合 む 径 数0に 依存 す るダ イバ ージ ェ ンス の族 であ る。 こ のダ イバ ージ ェン ス の族 から f尚築 され る検定統計 量 はJダ イ バ ー シ ェ ン ス と 興 な り 大 標 本 に お い て は す ぺ て の(に つ い て 同 等 な 統 言tI量 と な り、漸近「カ倹i｜丿丿はすぺて等しいとi゛Fn｜6される。さらに、小傑本での適合度検定における検 出丿 亅 の比i陵も彼ら によって｜J「究されている 。しかし、応川において巌 も重要な分割表におけ る−・様  (ト及び独1アrl：の検定における小標本での検f｜1丿丿に1矧するj研究は行なわれていない。

−163‑

  

本 論 文は こ れ ら ，］ ダ イ バ ージ ェ ン ス 及び パ ワ ー ダイ バ ージ ェンス にゴにづ く多項 は集団 に お ける統 計的jf￡測をI川離化しその評価1jを与えることを｜亅1′nとする。ホ論文は以下の7やより

f

海成される。

  

第1牽では、ホ研究の背景及び本論文のt捧成を示す。

  

第

2

牽では 、次数

H

のt―， ダイバ ージェ ンスに ョieづく 多項分

m

のfサ数 卆f；tjの 幾何学的f海造 に つ い て 論 じ 、 こ の 結 果 次 数

n

の

J

― ダ イ バ ー ジ ェ ン ス の 同 所 化 に よ っ て り ーマ ン 計 量 を導 入 した71瑣 分イIiの

f4

数空‖ ‖があ るn次元 ユーク リッド 空「嚠の超[ll｜面として共仆的に表現さ れ ること が示さ れた。 このこ とにより

J

―ダイバージェンスを川いて統t；1．的推i糾を行なう．I｜ での川！ #Jic:j艀造がI川確とな。た。

  

第

3

章 で は、

2

章 で 与 え られ た

f

拵 造 を 踏 まえ て 、 多 項！ ひ 災1捌の 適合度 におけ る単純 仮説及 び 複合仮 説倹定 という 具体的 な『1 rij題 に対し て、次 数nの.J…ダイバージェン又に魅づく検定，

統計量を・り．え帰無仮説及び同所対立仮説のもとでの漸近分イlゴを導ii IHした。さらに、これらの 統言1．量と対数允度比統riI 量との漸近的検出/jの比較を行ない対，ザ仮説のんlf｜Jによって対数尤 度 比 統 計 量よ り 倹

fn

丿 丿 の 商 い検 定 統 計 量を 与 え る

(v

の 値 が仔征 するこ とをカ ；した 。一方推

    

、゛  、  ニ

定F‖越において、次数fvの. ‑―ダイバーンエノスに）Iヒづく米エ‖パラメータの才ff三定量をP．察し その推定吊，の漸近分布を導H．llした。また、第2章で論じられた幾何学「I′、Jt雛辻によってこの推 定量のj畊釈をオJ'なった。

  

第

4

章 で は 、 複 数 の 多 項

U

集

1

！ ‖ の 一 様 性 検 定 に 対 し て 、 次 数

ry

の 般 化さ れ た

J

− ダ イ バ ージェ ンスに 魅づく 統計昂 ：を与え 、帰無 仮説及 び周J幵 対立仮 説のも とでの

ij

斬近分布を導山 し た 。 こ の統計 量にI如 して対 数允度 比統計 量との 漸近的 検1m丿丿 の比I陂 を行な い、対 ザ仮説の 方 向によ って允 度比続

i1

．量よ り検H1丿丿の高い検定統オ1．毓をり，えるfvの他が行征することを 示 し た 。 さ ら に 、 こ の 検 定 ん 式 の 多 元 配 胤 「

11

題 へ の 桝 、 張 を

i

′ な っ た 。

  

第

5

章では 、複数の多項f沚集団の一様´I/ト検定にヌ丶亅．して、パワーダイバージェンスに暴づ く 統 計 量 の同 所 的 で ない （ 矧 定 され た ） 対 立仮 説 の も とで の 分 布 の近 似 を 統 言I．講 の漸 近正 規 ´ ド ト に慕 づ く ガ 法・ 及 び 統 計量 の展 開式に おける2次までの 項に魅 づく方 法で行 なうこ とに よって、統言｜．j置の倹｜‖ブ丿近似を与えた。これらの検fn丿丿近似と、碓率モデルからの直接計算 に よ っ て 得 ら れ た 倹

Ht

カ と の 比 恢 を 行 な っ た 結 果 、展 開 式 に おけ る

2

次 ま で の項 に 基 づ く近 似 は 小 標 本 に お い て も 良 い近 似 と な って い る こ とが ポ さ れ た。 さ ら に 、こ の 近 似 を川 い て バ ワ ーダイ バ‥ジ ェンス に基づ く2つの 母集団の一様´[/l検定統il．景の倹iI1丿丿比較を行ない、対 立仮説に対する各統計量の選択基鶴Eを考察した。

  

第

6

章 で は、 分 割 表 の独 立

1

生 検 定に 対 し て 、パ ワ ー ダ イバー ジェン スに魅 づく統 計量の同 所 的 で な い（IA定された ）対立 仮説の もとで の分枷 の近似 を統言

t

・恥の 漸近iに 胤性に 基づく方 法 及 び 統 計置 の 展

f

； ‖ 式に お け る

2

次 ま での 項 に 基 づく ん 法で 行なう ことによ って、 統計量 の 検

in

力近似 をづ えた。 これら の検出 丿丿近 似と、モ ンテカ ル口シ ミュレ ーショ ンによる検出丿J と の 比 牧 を行な ったを 【｀釆 、展B‖ 武の2次 までの 項に基 づく近 似は小 標本にお いても 良い近 似 と な っ て いる こ と が 示さ れ た 。 さら に、 バワー ダイバー ジェン スに从 づく統 計鷲の 倹Ill｜力 比 較を行ない統il．St選択の指針を示した。

  

第

7

． 帝 で は 、 イ 〈 ｜ 圻 究 で 得 ら れ た 結 果 を ま と め 、 今 後 の 課 題 を 検 討 し た 。

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学位論文審査の要旨

学 位 論 文 題 名

離散多変量解析の理論とその応用に関する研究

  統 計 的 推n！tゼI！ 論 の 推 定 に お け る 最 尤 推 定 法 、 検 定 に お け る 允 度 比 検 定 は 、 碓‑譬 分 布 問 の 擬 距 離 で あ るI<ii川mrkI． 丿eil)lcrの ダ イ バ ー ジ ェ ン ス に 薙 づ き1博 築 さ れ て い る と 考 え る こ とがで きる 。さら に近′ ・Ilこ 、Iくillll）ac:k Leil)lcr以外のダイバージェンスを統計的甜f三測に導 入 す る 研 究 が 行 な わ れ て い る 。 代 表 的 な も の と し てC．R．Rn.oと ，1．Biii‥ ）eaに よ り 提 案 さ れ たJー ， ダ イ バ ー ジ ェ ン ス 及 びN． CressieとT.R．C．R,ca（lに よ り 提 案 さ れ た パ ワ ー ダ イ バ ー ジ ェ ン ス な ど が 挙 げ ら れ る 。 し か し 、 従 来 の 研 究 に お い て は 、LL:)li上 重 要 な 統 計 モ デ ルに対 する 統言f n´、J打「 ！測、 さら には検 定にお ける検 出カに 代表 されるjfr三 測方法の良さの評 価 はほと んど 行なわ れてい ない状 況であ る。

    本 論 文 は こ れ ら ，1ダ イ バ ー ジ ェ ン ス 及 び ノ く ワ ー ダ イ バ ー ジ ェ ン ス に 越 づ く 多 項 母 集 同 に おける 統計 的推測 方式を 展H‖し、 さらに その評 価を 行なっ ている 。

  第 一章 では、 本j研究の 背景お よび本 論文 の構成 を示し ている 。

  第 二 章 で は 、 次 数( . }iの ．Jダ イ バ ー ジ ェ ン ス に 基 づ く 多 項 分 布 のfサ 数 空 間 に お け る 幾 何 学 的 構 造 に つ い て 論 じ 、 こ の 結 果 次 数nの ，1 ー ダ イ バ ー ジ ェ ン ス の 局 所 化 に よ っ て り ー マ ン 計 量 を 導 入 し た7＾ 項 分 布 の 母 数 空 剛 が 、7＾ 次 元 ユ ー ク リ ッ ド 空 間 の あ る 超 川J面 と し て 具 体 的 に 表 現 さ れ る こ と を 示 し て い る 。 こ の こ と に よ り ， 卜 ダ イ ノ く ー ジ ェ ン ス をJuい て 統 計的推 測を 行なう うえで の距離 キ捧造 を明 らかに してい る。

  第 三 章 で は 、 多 項 は 集 団 の 適 合 度 に お け る 単 純 仮 説 及 び 複 合 仮 説 検 定 に 関 し て 、 次 数 Qの ． 丁 一 ダ イ ノ く ー ジ ェ ン ス に 基 づ く 検 定 統 計 量 を 与 え 、 帰 無 仮 説 及 び 局 所 対 立 仮 説 の も と で の 漸 近 分 布 を 導fJ．1し て い る 。 さ ら に 、 こ れ ら の 統 計 量 と 対 数 尤 度 比 統 計 量 と の 漸 近 的 検 出 カ の 比 較 を 行 な い 対 立 仮 説 の 方 向 に よ っ て 対 数 尤 度 比 続 言t 量 よ り 検 出 カ の 高 い 検 定 統 計 量 を 与 え るnの 値 が 存 在 す る こ と を 示 し て い る 。 一 方 、 推 定 問 題 に お い て 、 次 数n のt丁 ― ダ イ ノ ヾ ー ジ ェ ン ス に 基 づ く 未 知 パ ラ メ ー タ ー の 推 定 暈 二 を 考 察 し そ の 推 定 景 の 漸 近 分 布 を導出 して いる。

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治

勝

惇

義

藤

保

達

佐

新

伊

授

授

授

教

教

教

査

査

査

主

副

副

   第凶 章 では 、複 数の 多項 母集 団の 一様 性検 定に 関して、次数n の・一般化された, ー ダ イバ ージェンスをJT 亅いたと解釈されるデイスパージョン分析に基づく統計景を与え、帰無 仮説及び局所対立仮説のもとでの漸近分布を導f ：11 している。この統舌f ・量に関して対数尤度 比統計量との漸近的検l'11 カの比較を行ない、対立仮説の方向によって尤度比続言lI 景より検 出 カの 高 い検 定統 計昂 ：を与える( の値が存在することを示している。さらに、この検 定 方式の多元配置f 瑚題への拡張を行なっている。

   第 五章では、複数の多項母集団の一様性検定に関して、ノ くワーダイバージェンスに基 づく 統計量の局所的でない、ある固定された対立仮説のもと での分布の近似を統計量の漸 近 正規 性 に慕 づ〈 方法 及び 統計 量の 展開 式に おけ る2 次 まで の項 に基 づく ガ法で行な う ことによって、統計量の検出力近似を与えている。これらの検出丿丿近似と、珊！率モデルか ら 直接 計 算に よっ て得 られた検出カとの比較を行なった結 果、展開式における2 次まで の 項に 基づく近似は小標本においても良い近似とならているこ とが示されている。さらに、

こ の近 似 を用 いて パツ ーダイバージェンスに基づく2 つの母集団の一様性検定統計量の 検 出 力 比 較 を 行 な い 、 対 立 仮 説 に 対 す る 各 統 計 量 の 選 択 基 準 を 考 察 し て い る 。    第六 章 では 、分 割表 の独 立性 検定 に関 して 、パ ワーダイパージェンスに基づく統計 量 の ある 固 定さ れた 対立 仮説 のも とで の分 布の 近似 を統計量の漸近正規性に基づく方法 及 び統 計量の展閉式における2 次ま での項に基づく方法で行なうことによって、統言tI 暈の検 出力 近似を与えている。これらの検出力近似と、モンテカル ロシミュレーションによる検 出 カと の 比較 を行 なっ た結果、展開式の2 次までの項に基づく近似は小標本においても 良 い近 似となっていることが示されている。さらに、バワーダイバーシ」、ンスに魅づく統計 量の検出力比i 殴を行ない統計量選択の指針を示している。

   第七 ・ 章で は、 本{iW 究で得 られた結果をまとめ、今後の課題の検討を行なっている 。      これを要するに、諸蔚は、離散多変・量分布において代表的な多項分斫i に従う母集団に 関す る新たな推測方式及びその評価方式を展開し、統計情報 処理において有謚な新知見を 得た ものであり、デー夕解析学、情報処理学の発展に貢献す るところ人なるものがある。

     よって著者は、北海道大学博士（工学）の学位を授与さ れる資格あるものと認める。

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