画像再構成１

(1)

1 X線イメージング技術の歴史

1900 1920 1940 1960 1970 1980 1990 2000 断層再構成の数学的理論を確立 Radon, 1917 X線ビームスキャンによる投影・再構成法発表 Cormack, 1963 CT実用機 Hounsfield 1973 ヘリカルCT 1985 MDCT登場 1995 2010 CRの登場 1985頃 FPDの登場 1999頃 MDCT多列化 256列以上蛍光板等の開発・改良 X線の発見 Roentgen, 1895 イメージインテンシファイヤの登場 1952

(2)

2 Ｘ線の発生装置

フィラメント

高圧電源

25～150kV

陰極

ターゲット

実焦点

陽板

熱電子

フィルタ

射出窓

主線

利用線錘

管球容器遮蔽

実効焦点

フィラメント電源

陰極のフィラメント（タングステン）は加熱され、フィラメント表面に熱電子（自由電子）が発生。次に高圧により熱電子は電気的に加速され、陽極のターゲットに衝突。このときに制動放射（制動X線）が起きてX線が発生する。

(3)

診断用X線管のスペクトルの概形

ターゲット：W（17°）フィルタ：Al-2ｍｍ X 線の強度 100ｋVp 80ｋVp 60ｋVp 20 40 60 80 100 〔keV〕診断用X線管のスペクトル特性Ｘ線制動放射線管電圧がターゲット原子の内殻電子のエネルギー準位よりも高いときは、発生した制動放射Ｘ線はこれらの電子と光電効果を起こす。ターゲットに入射した電子もまた、内殻電子を電離する。この空席に外殻電子が遷移し、そのエネルギー準位の差が光子エネルギーとして放出される。これを特性Ｘ線という。

(4)

4 Ｘ線の検出

入力蛍光面出力蛍光面光電陰極陽極集束電極 X線高圧電源可視光像集束電極光電子光電子蛍光体層 X線蛍光体支持体支持体乳剤 X線_フィルム乳剤発光発光 X線蛍光体層蛍光を用いたX線強度の記録イメージインテンシファイヤの構造 X線蛍光体として酸硫化ガドリニウム・テルビウム（Gd₂O₂S:Tb）など。緑色の発光スペクトル。

(5)

ヘリカルCTとコーンビームCT

(a)

(b)

点線源の軌跡

２次元検出器

１次元検出器

点線源の軌跡

(6)

6 X線減弱の指数関数則に基づくＸ線の透過

µ

d

0

I

1

d

₂ 1

µ

0

I

2

µ

入射X線強度

線減弱係数

μの

一様物体

透過X線強度

異なる線減弱係数

をもつ物体

d

e

I

=

₀ −µ 2 2 1 1 2 2 1 1 0 0 d d d d

e

I

e

I

µ µ µ µ − − − −

=

⋅

=

(7)

X線減弱の指数関数則に基づくＸ線の透過

0

I

入射X線強度 _{透過X線強度} より細分化していけば・・・

∫

⇒

∑

=

⋅

=

− ∆ − ∆ − ∆ − ∆ − dx x

e

I

e

I

e

I

i i N ) ( 0 0 0 2 1 µ µ µ µ µ

_

∆

N

µ

1

µ

連続系で書けば線減弱係数の経路積分

∫

=

I

e

−

x

dx

I

₀

µ

(

)

(8)

8 Ｘ線CTのための線源－ディテクタ配置（原理的説明）

X線源

ディテクタ

物体

(9)

一様でない吸収係数分布をもつ物体に対する投影

)

,

(

x

y

µ

0

I

s

)

(s

I

0

I

s

l

]

)

,

(

exp[

)

(

=

₀

−

∫

s l

x

y

dt

I

s

I

µ

x

y

s

t

投影方向ｔに沿った線積分検出器の配列方向

(10)

10 強度データから投影データへの変換

)

,

(

x

y

µ

0

I

s

)

(s

I

0

I

s

)

(s

p

∫

=

−

=

l

x

y

dt

I

s

I

s

p

)

,

(

]

/

)

(

log[

)

(

₀

µ

強度データ

投影データ

]

)

,

(

exp[

)

(

=

₀

−

∫

l

x

y

dt

I

s

I

µ

(11)

11 中央断面定理

x

y

)

,

(

x

y

µ

t

s

)

(s

p

_θ

s

ξ

u

v

)

,

( v

u

M

θ

２次元フーリエ変換

１次元フーリエ変換

(12)

12 中央断面定理

x y ) , (x y

µ

t s ) (s p_θ s

ξ

u v ) , ( vu M

θ

２次元フーリエ変換

１次元フーリエ

変換

θ

cos

sin

cos

y

x

t

y

x

s

+

−

=

+

=

座標変換 ∫

=

t

s

dt

s

p

θ

(

)

µ

(

,

)

投影方向θにおける、 ある検出器位置sでの投影データ

dxdy

y

x

j

y

x

dsdt

s

j

s

t

ds

s

j

s

p

)]

sin

cos

(

2 [

exp

)

,

(

)

2 exp(

)

,

(

)

2 exp(

)

(

)

(

θ

πξ

µ

πξ

µ

πξ

ξ

_θ θ

+

−

=

−

=

−

=

∫∫ ∫∫ ∫ その１次元フーリエ変換は，一方、

µ

(x, y) の２次元フーリエ変換は ∫∫

−

+

=

x

y

j

ux

vy

dxdy

v

u

M

)]

(

2 exp[

)

,

(

)

,

(

π

µ

θ

η

θ

ξ

θ

η

θ

ξ

cos

sin

cos

+

=

−

=

v

u

dxdy

y

x

j

y

x

M

)]

)

cos

sin

(

)

sin

cos

((

2 exp[

)

,

(

)

,

(

θ

η

θ

ξ

θ

η

θ

ξ

π

µ

η

ξ

+

−

=

_∫∫

dxdy

y

x

j

y

x

M

)]

sin

cos

(

2 [

exp

)

,

(

)

,

(

₀

θ

ξ

θ

ξ

π

µ

η

ξ

_η

+

−

=

∫∫

=

ξ、ηで表せば、 η=0の線上に着目すると、

(13)

13 画像再構成

１．フィルタ補正逆投影法

２．逐次近似による方法

(14)

14 点物体の投影データと単純逆投影

逆投影

点物体

投影データ

撮影

再構成

…

（計算機内の処理）再構成画像用の2次元配列実際の投影のジオメトリを計算機内で再現し，投影データを再構成用の配列に逆投影していく（投影データを，経路の沿って加算していく）．

(15)

15

サイノグラム・単純逆投影法

サイノグラム (sinogram) 単純逆投影法 (backprojection) s s θ s θ Field of view (FOV) 点物体の場合： s s 1/rのぼけが生じる

(16)

16

単純逆投影像のスペクトル

単純逆投影法 (backprojection)

s

1/rのぼけが生じる２次元フーリエ空間での処理：

)

(r

b

πρ

=

)

(

ρ

Q

ρ

/

1 }

/

1 {

2

r

=

FT

ここで以下の性質を用いた

r

/

1

0 ρ

ρ

/

1

0

フーリエ空間では

πρ

/

)

(

)}

(

{

)

(

ρ

FT

₂

b

r

M

ρ

B

=

フィルタをとし、

)

(

/

)

(

)

(

)

(

ρ

B

ρ

M

ρ

M

ρ

Q

=

πρ

⋅

πρ

=

により、所望の画像の２次元フーリエ変換が得られる。

ρ

0 πρ

=

)

(

ρ

Q

単純逆投影で得られる像

(17)

17

フィルタ補正逆投影法

s １．s方向にハイパスフィルタをコンボリューション s フィルタ補正逆投影法 (Filtered Backprojection) 各投影データに対して２．逆投影 s s ぼけは生じないバックプロジェクション＋フィルタリングはともに線形演算。順番を入れ替えて、フィルタリング＋バックプロジェクション同じことができる。

ρ

0 πρ

=

)

(

ρ

Q

投影データにハイパスフィルタHPF を行ってから、逆投影を行う。実際には、実空間でコンボリューション処理により、 HPFを実施。