ラカ トシュ理論 の数学的問題解決論への援 用

数 学 教 育 研 究 ,第

号 ,上 越 教 育 大 学

年

ラカ トシュ理論 の数学的問題解決論への援 用

1.は じめに

ラカ トシュの理論は､近年､数学教育の中に 取 り入れ られてきている｡それは､｢証明 と論 駁｣法

や､数学の擬似経験的

性格の主張

,

に応 じた ものであ り､数学の授業への探 求 ･観察の導入 (

､非形式的数学 へ の注 目

､知識 の可謬性 と 知識の社会的構成への着 目

) ､問 題 のオープ ン性 の重視

､ 証 明 の社会 的側面 へ の着 目

Hanna,1991

) ､そ して授業 にお ける議論 の重 視

a

等の形を とって いる｡ ま た､可謬性 や社会 的構成 に基づ く数学の知識 に対す る見方を生徒 に獲得 させ ることを 目指 す考え もあ る

確 か に

の記述 は対話 の形 を しているが､それは ｢合理的に再構成 された ｣ 歴史を反映 した ものであ り

､そのように 合理的に再構成 された知識の成長 はポパ ーの 第三世界で生ず るもの とされている

,

｡ したが って､その対話 の形式か

らす ぐに､社会 的相互作用や議論 の重要性 を 導 くことは難 しい｡この対話は ､｢ 【 人間の]活 動か らの 自律性を もった

数学の発展 を示す ものであ る

また､

はラカ トシュー派を 演樺 的発見 とい うアイデ アで特 徴づ けたが ､

が

でデータの観察の後 に

に ｢混沌か ら秩序を ̀ 帰納す る'ことは で きな い｣ と言 わせ て い る ことを考 え る と､

観察か らの単純 な帰納を ラカ トシュが考えて いたかは疑 問である｡彼 が擬似経験 的 と云 う

布川 和彦

ときには､知識体 系の 中での真偽 の ｢流れ ｣ を考えて い る｡即 ち､擬似経験 的 とは､ある 陳述が偽 であるとされ た ときには､その陳述 の元 にな っていた命題 も偽 とす ることであ り

､これは通常の意味での 経験的な理論 に も非経験 的な理論 に もな りう る ものであ る

｡ したが って､数学の擬 似経験 的性格 とい うラカ トシュの主張か らす ぐに､探求 ･観察の導入 を帰結す ることも難 し い｡

さらに ｢思考実験｣ につ いて も､例えばオ イ ラーの定理 に対す るコー シーの証明を ｢思 考実験 ｣ と呼んでい る

ことか らす ると､いわ ゆる実験､観察 と同 じ に論ず ることはで きな い｡

そこで本稿では､従来 の考え方 を一時棚上 げ し､ ラカ トシュの もう一つの重要なアイデ アと思われ る

参照)｢研究プ ロ グラム｣の､数学 的問題解決論へ の援用を試 み る｡ これ は､ ラカ トシュ理論 と数学教育学

との関わ りにつ いての再考 で もあ る｡

2.

｢証 明と論集 交｣法 と研 究プ ログラム ラカ トシュの数学 に直接 関わ る仕事 とい う とやは り ｢証明 と論駁｣法であると思われ る｡

そ こで､本稿 で援 用す る ｢研究 プ ログラム ｣ と ｢証明 と論駁｣法 との関連を見てお くこと にす る

Lakatos(1976)

は､ポパ ー (

の推測 と

反駁を数学 に も応用 し､数学の知識の合理 的

発展の様相を言 己述 しよ うと した試み と考え ら

れ る

｡その基本 的なアイデアは､対話形

式で書かれた本文 よ りも､む しろ付録の中で

明確 に述べ られている

｡それは､

陳述についての反例が現れた ときに､陳述に 付随 してい る証明を分析す ることで､そこで 暗黙に仮定 されてい るものを別挟す る作業 と

も見え る3｡

こうした ｢証明 と論駁 ｣ 法の捉え方は､ポ パー

の推測 と論駁の過程 と対応がつき やすい｡即 ち､ある時点での陳述 とそれに対 す る証明を一つのポパーの推測 と考え4､これ を反例等によ り検証 し､検証に耐え られなかっ た場合 は､それを考慮す ることでよ りよい推 測､あるいはその証明‑ と移行す るのである｡

Lakatos

(

のタイ トル が､数学 にお ける

｢推測 と論駁｣ではな く､｢証明 と論駁｣であ ることに注意すれば

､ ここで生 ず るのはあ くまで も ｢ 証明｣と ｢ 論駁｣の弁証 法である｡ 自然科学 において大胆な推測を提 出す ることが知識の成長の出発点 となるよ う に､数学において もと りあえず何 らかの証明 を出 してみることが知識の成長の出発 とな る と考え られ る

,p･ 41) ｡その過 程で証明分析を行 うことで

が生 まれ､知識 の成長が もた らされ

ることもある｡

この際､内容の豊か さを保 ったままの証明 は､常に隠された可能性を含み､完結 しないこ とにな る

.つ ま り､

｢ 数学の証明は何を証明 しているのか

とい う疑問が現れ､少な くとも､証明によ り 確実な真実が得 られないことになる｡これが､

数学の可謬性 の実態であろ う し､ と同時 に､

｢ 証明と論駁｣法が用い られ うる一つの前提で もあると考え られ る｡

そのように捉え ると､一連の ｢証明と論駁 ｣ の過程で現れ る陳述や改訂 され る証明の流れ を一つの理論の変遷 と見 ると､研究プ ログラ ムの理論 と対応づけることかできよう

実際､

Yuxin(1990)

は

の数学的発見 の論理 と

の研究 プログラム との対応関係を兄 いだ し､数学的発見の論理 を､証明分析を肯定的発見法 とす る研究プ ロ

グラムとみな している

｡このとき､モ ンスター排除は､二つ の研究 コ ミュニテ ィの 境 目が比較的明 らかにな ってい る状態 とすれ ば

の中で も､い くつかの研究 プ ログラムの競合が生 じていた と見 ることも出来 よ う｡

以上のよ うに ｢証明 と論駁｣法 と研究 プ ロ グラムが関係づ け られ るとす ると､研究 プ ロ グラムの数学的問題解決論への援用を試み る ことは､｢証明と論駁｣法 と数学教育学 との関 わ りを考え ることに もつながると思われ る｡

3.

問題場面の構造 と研究 プ ログラム 研究 プ ログラムについては､ ラカ トシュ自 身は数学の知識の文脈 では論 じていない｡ し か し､彼が数学への適用を考えていたとす る 見解 もあ り

､実際に数学 の研究 プ ログラムを構成 しようとす る研究 も 見 られ る

｡そこ でまず､研究 プログラムの議論を数学 に適用 す ることには､何 らかの可能性があると言え よ う｡

しか し､ ラカ トシュのよ うな科学哲学の成 果を個人の話 に適用 してよいのか､ とい う疑 問が出て くる｡ この点 につ いては､研究 プ ロ グラムはクー ン

のパ ラダイムに比べ個 人 的な ものであ るとの見方 も あ る

,

1992,p･159)

｡また

によれば､

子 どもの コ ンセプ シ ョンについての研究の一 つの源泉は､科学哲学における成果であ り､そ れ との類推 によ り子 どもの概念獲得が論 じら れ るのである｡ こうした状況を考え ると､ラ カ トシュの理論を､個人的な問題解決の場に 適用す ることもあなが ち間違い とは言えない であろう｡ さ らにラカ トシュが ｢方法論｣ と い う言葉で示す ものが

の ｢発見法｣と 同義である

な らば､それを個人的 な場 に適用す ること も可能 であ ろ う｡実 際､

Lakatos(1976)

の例 も､一つ の証 明問題 の解 決過程 とも見れ る｡

ただ し､ラカ トシュの議論には､数学の知識

‑24 ‑

の発展の不連続性 と同時 に､連続性 とい う面 も反映 されている (

)ので､

段階的な解決過程 よ りも､連続性を反映 した 解決過程 の方か適用 しやす い と考え られ る｡

そ こで､問題場面の構造 の変化を視点 とす る 解決過程 と､研究プ ログラムの対応を考えて みる｡

Lakatos(1978a)

によれば､研究 プ ログラム は､次の

つの要素を含んでいる;( i )堅い核;

(ii)

肯定的発見法

さらに､堅い核を守るため に補助仮説の防御帯がある

) ｡ こ のとき､単純な反証主義 と異な り､反例が示 さ れたか らと言 って､す ぐにその研究 プ ログラ ムを放棄す る必要はない ｡例外を と りあえず そのままに してお くことも許 され る

0 研究プ ログラムにおいては､他のよ り豊かな プログラムによ り置き換え られるときに､当 該のプ ログラムは排除 され る

｡つ ま り､後の豊か さによ り最初の核や発見法が排 除され ることにな り､ ここに疑似経験 的性格 を見 ることがで きる｡

3.

1

問題解決における核

Lakatos(1978a)

によれば､研究 プ ログラム の核 はそのプ ログラムに携わる研究者 にとっ ての大前提であ り､反駁不可能な ものである

とされている｡ この核を否定す るよ うな考え 方を避 けることが､研究 プ ログラムの否定 的 発見法を生みだ し､ また､一見す ると核の否 定を もた らすよ うな考えは､防御帯の ｢補助 仮説

によ り防がれ る｡例えば､ニ ュー トン のプログラムでは､力学の三法則 と重力法則 が この核 に含まれ る｡初期の段階で仮 にこの 核 に対す る反証事例があ ったと して も､核を 放棄す る必要はな く､徐 々に反証事例を験証 事例に変えてい くこともあるとされ る

0

問題解決を考えた とき､その核 と して最初 に思いつ くのは､問題の内容を説明す る問題 文である｡ しか し

に示 さ れてい るよ うな問題文解釈の多義性を考えて みると､単純に問題文を安定 した核 と して捉

え難い｡ また特 に､問題場面の構造の変化 と して解決過程を捉えることは､問題場面 に対 す る理解の変化 と して解決を捉え ることであ る｡ したがって､核 とみなされ るものは､変化 してい く問題場面の構造 の中で､中核 とな っ て保存 されてい くものでなければな らない｡

そ う した ものの存在 は､Nu

(

で事例 と して取 り上 げ られ てい る生徒

の 解決において示唆 され る｡この生徒は､｢電話 線の問題｣( 三輪,

に対 して､様々な電話 線 の結び方の図をかいてお り､それぞれ に対 して異なる答えを与えている｡その うちの二 つを図 1に示す｡

二 1 9 本

図 1

図か らわかるよ うに､結局 は枝分かれのよ

うに線を結んでいる｡つ ま り､｢ 枝分かれ した

線の先 にそれぞれの家がついている｣ とい う

アイデアでは一貫 している｡ このアイデアを

中心 と した問題場面の構造 が構成 されたとき

に､｢い くつかの枝分かれ した線を辿 らねばな

らないので､1本の電話線 という問題の条件に

合わない｣ と反論す ることは可能である｡ し

か しそれに対 して､｢ 小 さい枝 の集 ま りであっ

て も､全体 と しては 1本である

と して再反

論す ることができる｡ これは､中心的なアイ

デアを守 るために､問題文 中の ｢1 本ずつの

電話線 ｣ とい う概念の解釈 の方‑批判を向け

たのであ り､その概念 についての補助仮説を

加えることで､ このアイデアを守 ることがで

きる可能性を示 している｡さらに､｢ 枝の結節

部で混線 して しま う｣ と して反論す ること も できるが､それ に対 して も､｢ 線 やデータに分 配 に関わ る工夫が してあ る｣ と して､やは り 再反論が可能であ る｡

布川

の示す例で は､ 中心 的なアイ デアを守 るため に､問題文 中に与え られた条 件す ら､補助仮 説の 中‑ と移行 させ られてい る｡解決者 は､｢問題場面が平行線の関係を基 に してで きてい る ｣ とい うアイデアを持 って いたが､途 中で､平行線 の関係を使 お うとす るとある三角形の面積が 1とい う問題文 中の 条件が崩れ て しま う状況 に直面 した｡ この と き､否定 の矛先 は平行線 に基づ くアイデアの 方 には向け られず､問題文 中の条件の方‑ 向 け られ た｡すなわ ち､与え られた条件を一 時 保留 し､平行線 に基づ くアイデアを優先 させ､

後で与え られた条件 を満 たす よ うに微調整 を す るとい う決定を してい る

ここで も､平行線 を基 に した中心 的なアイ デアは､思考を進 め る中で問題文 中の条件 と 抵触す る場面 と出会っているに も関わ らず､放 棄 されていな い｡ む しろ問題文 中の条件の側 に対 して､｢ 後 で微調整で復活で きる｣とい っ た補助仮説が加え られてい るのであ る｡

ここで見たよ うな､問題場面の構成 に当たっ ての中心 的なアイデアは､第一の事例のよ う に､それが標準的な もの と違 うに しろ､他 の 部分 ( 例えばある概念の解釈)を調節す ること で､反論か ら防御す ることが可能 であ る｡ ま た第二の事例が示す よ うに､実際 に解決者 は､

そ うしたアイデアを守 るため に､問題文 中の 条件 さえ調節の対象 と して しま う｡以上 の議 論か ら､解決者の構成す る問題場面の構造 に つ いて､あ る種の防御帯 で守 られ た中心 的な 核 が存在す ると､考え ることがで きる｡

3.2.

問題解決 における肯定 的発見法

研究 プログ ラムにお ける肯定 的発見法 は､

長期間にわたる研究 の順序や方針を示す部分 とされ る｡ その方針 に従 い､研究者 は 自分 な りのモデルを構築す るが､その際､実際のデー

タや反証事例を無視す ることも許 されてい る

.

ここで も

1

で考えた二つ の事例を まず 考えてみよ う｡｢電話線の問題｣についての生 徒 D の場合 ､い くつ もの線 の結 び方を考えて いたが､ この とき ｢ 枝分かれ した線 の先 に家 があ る｣ とい うアイデアが あれ ば､枝分 かれ の仕方を様 々に変えてい くことで､多様 な結 び方を生み出 してい くことができる｡また ｢ 枝 分 かれ｣ とい うアイデアは､線 の本数の数え 方を も示唆す るで あろう

つ ま り

1

で考 え た中心 的アイデアを核 とす る問題場面の構 造 は､思考 の順序 や方針を持 っている｡

また布川

の事例 にお ける解決者 の 場合 は､平行線 の関係 に基づ く､問題場面の 構造 の大局 的再構成 が生 じた とされ て い る｡

つ ま り､問題場面の内的特徴 であ った平行線 の関係 を､逆 に問題場面 の構造 の構成 の基本 的アイデア と して位置づ けてい こ うと したの である｡ その際 に､平行線 の関係 を問題場面 のできるだけ多 くの箇所‑ 当てはめてい こう とす る傾 向が示 されてい る｡ これ は､平行線 の関係 を問題場面 にできるだけ広 く適用 して い くことが､問題場面を理解 してい くための 一つの方針を示 していた と解釈す ることがで きる｡言 い替え るな らば､平行線 に基づ くア イデアを中心的な もの とす る問題場面の構造 は､思考 の順序 や方針を持 ってお り､その意 味で､肯定 的発見法を含む ものであ った と考 え られ る｡

肯定的発見法 に従いモデルを構築 していき､

データや反 証事例を無視す ること も許 され る とい うことは､説明できない事柄があ って も､

と りあえず 予定 された手順 に従 い作業を進め ることを意味 しよ う

しか も､こうした事例 は研究 プ ログラムによ り予期 されてい るとさ れ る｡実 は こう した側面は､問題場面の先取 り的構造 ( N

に関わ って､数 学 的問題解決の場 において も生 じている

Nunokawa(1993b)

が事例 と してあげ る､円

‑26‑

の動点に関わ る問題 に対す る解決 においては､

解 決者 は､ ある交点 の軌跡が 円であ ることを 証明す るに当た り､交点 の ところにで きる角 を新たな要素 と して間腐場面の構造 に導入 し､

｢問題場 面はスライ ドす る円周角か らできてい る｣ とい うアイデアを持つ よ うにな る

この とき､ スライ ドしてい く角の大 きさを調べ る ために､ この角 と他 の角 との大 きさの関係 を 調べて い くことが､肯定的発見法 とな ってい く｡ この作業の途 中で､動点

と定点

の位置 関係 が､ それ まで考 えていた場合 と逆 転 した ときにどうな るか､ とい うことが問題

と して生 じて きてい る｡

最初 の うちは､ この新 しい場合 に も同 じア イデアを適用 しよ うと考 えているが､その ま まの形 での適用が不可能 であ ることが示 され て くる｡この時点では､この新たな場合 は､そ れ以前 の 中心 的アイデアの反証事例の よ うに 見 え る｡実際､ この解決者 は ｢一般 的 にや ら ない と駄 目なのかな ｣ と して､それ以前の成 果を全 て捨てかねないような発言を している｡

しか し結局 は､解決者 は新 たな場合を考え直 す方 向へ と､移行 してい る｡最後 は､新 たな 場合 に交点の ところにで きる角を前半 の場合 の角 に加 え ると常 に

にな ることを示 し､

新 たな場合 の交点 の ところの角 も一定 の大 き さであ ると結論 してい る｡

この過程 の中で､別の場合 があ ることは 自 然 に兄いだされてきてい るが､最初の うちは､

それが前半 の場合 と全 く同 じよ うに考 え られ ると､暗黙の うちに仮定 されている｡つ ま り､

問題場面全体 が動点の位 置 によ らない均質 な もの と して仮定 されてお り､ その意味で単純 な形での先取 り的構造が構成 されていた｡解 決の分析 の過程で､新 たな場合 は最初 ､反証 事例 と して現れ るが､最後 には中心 的 アイデ アの枠組 みの中に位 置づ け られた とい う意味 で､験 証事例へ と転換 され た と言え よ う｡単 純 な形 で先取 り的構造が構成 されていた とい うことは､複雑 な場合分 けや微妙な吟味か ら

解決者を一時的に救 うことにな り､ 中心的ア イデアによ り示唆 され る肯定的発見法の実行 を促 した と考え られ る｡

先取 り的構造に見 られ る嘆昧さは､数学者の 論理的根拠 についての唆味さを

が示す ことに成功 した とす る

の見解 とも合致す る｡また新たな可能性を､自

らの枠組みへ取 り込む ことは

のモ ンスター調整

を も思わせ る｡つ ま

り､論理 的唆味 さ故 に現れ る新たな可能性が 一見反証事例であ るよ うに見えて も､ 自分の 考えをす ぐに放棄す る必 要 はな く､適 当な処 置によ り同 じ事例を 自分 の考えの験証事例へ 転換す ることもで きる､ とい うことである｡

以上 よ り､肯定 的発見法 とそれ に関わ る反 証事例 につ いて も､数学 的問題解決 における 活動 において､その対応物 を兄 いだす ことが 出来 た｡

3.3.

問題解決 における 目標

Giuies(1992)

は､研究 プ ログラムの重要な 要素 と して､肯定 的発見法 と目標 を あげてい る｡例えば フ レーゲ の研究 プ ログラムでは､

目標 は､算術が論理学 に帰着できることを示 す ことであ り､肯定 的発見法 は､算術の定理 を一般 的な論理規則 だけで証 明 してみること だ とされている｡この例か らも分か るよ うに､

目標 は､研究 プ ログラムが肯定的発見法 に従 うことで達成 しよ うとす ることを指 している｡

布川

の分析 は､布川

の示

した五角形の問題 に対す る解決 につ いて､ そ

の 目標を考え る際の ヒン トを与えている｡ こ

の解決においては､上 で述べ たよ うに､平行

線 の関係 に基づ いて大局 的再構成 が生 じてい

た｡ この とき､大局 的再構成が生 じなか った

と考え られ る解決 との比較 によ り､次のよ う

な特徴が兄 いだ され た｡す なわ ち､大局 的再

構成か生 じた解決では､｢問題文 に言及 されて

いない新たな要素の付加 によ り構造を変えて

い くことよ りも､む しろ字義的に構成 した問

題場面の構造 につ いて､ その要素 に新たな意

味づけを与えることで､大局 的再構成 が生 じ ていた

0

この事例での肯定 的発見法 は､平行線の関 係 をで きるだけ広 く適用 してい くことであ っ た｡ しか し､布川

の結果か ら分か る よ うに､新たに要素を加えて平行 関係 を作 り 出 してい くことは､ この肯定 的発見法 に従 っ た活動の中では 目指 されていなか ったのであ る｡ ここで 目指 されていたのは､最初 に字義 的に構成 された問題場面 の構造 について､ そ れを平行線 の関係 を用いて､意味づ け しなお してい くことであ った｡つ ま り､平行線 の関 係の適用 は､何 らかの 目指す方 向性を もって 行われていたと考 え ることができる

これ に よ り､研究 プ ログラムの一つの要素 と しての 目標 も､数学的問題解決の中に対応物を兄 い だす ことが出来 ると言えよ う｡

3

. 4.問題場面の構造 と研究 プ ログラム 以上見 てきたよ うに､問題場面の構造 に基 づ く解決には､研究 プ ログ ラムの基本 的要素 の対応物を兄いだす ことができる｡つま り､問 題場面に対 して､解決者 が 自分な りの構造を 与えなが ら､問題場面を 自分 にとって意味の あるものに してい くとい う過程 は､一つの小 さな研究プ ログラム ー 核 とな る考え､肯定的 発見法そ してそれに応 じた 目標を持 った‑ で あると言え よう｡

4.

競合す る解決か らの選択

研究プログラムの考えに立つ と､前進的問題 移行を示す ものが成功であ り､退行的問題移行 を示す ものが失敗 とい うことになる

,

1978a,pp33‑34)

｡ したが って､問題場面 の構 造 とそれ に基づ く解決を研究 プ ログラムとの 類推で考え､い くつかの解決か ら ｢よい｣ も のを選ぶ とすれば､ その構造や解決 に関す る 前進 的問題移行を考えねばな らない｡

ラカ トシュが経験 的方法 の必要性を論 じた

の もこの レベルでの話であ った

｡つ ま り､それは､ある 研究 プ ログラムが新 たな事実を生み出す手助

け とな るか に関わ る問題であ った｡ ただ し数 学 においては､ この豊か さの問題 は､事象 の 予想 とその検証 とい う形態 だけではな く､新 たな問題 を提 出す るとい う形態で も起 こるこ とがで き､経験 的な確証 は必ず しも必要ない とされ る

0

ここで､元の問題 に対す る問題場面の構造 や解決か ら生ず る産物 と して､少 な くと も以 下 のよ うな二つが考え られ る｡

第‑ は､問題 の発展 的な扱 いの 中で生ず る 問題である｡ これ に関 して､藤井

の結 論 の一つ に注 目 したい｡彼 は､元 の問題 のあ る特徴 を捉えてい るか どうか と､生徒 によ り 作成 され た問題 との関係を調べ､｢原題の理解

と作 られ た問題 との間に関連があ ること｣が 示 唆 され た と してい る

｡ これは､ どの よ うな問題場面の構造 が構成 され たかが､問 題 を発展 的に作 る際に影響 してい る もの と解 釈できる｡また､上述の生徒 Dが取 り組んだ

｢電話線の問題｣であれば､家の軒数を変え る ことで簡単 に新 たな問題 が得 られ る｡ この と き､ これ ら新 たに作 られ る問題 に対 し､元の 問題の解決に基づ いて､｢これ と同 じに考えれ ば大体 こん な感 じにな るはず ｣ とその解決の 予測をす ることが 出来 よ う

その予測が どの 程度可能 か､ またそれが後 にな って どの程度 確 認 され るか､ とい うことが､前進 的問題移 行 の指標 と考え られ る｡ これ に対 し､例えば

｢ 電話線の問題｣で

軒の家を

軒ずつ

組 に分 け､ 同 じ組の

軒 どう しのみを線 で結ん だ と考 えてみ る｡ こう した問題場面の構造 に つ いて も､それが問題文 と矛盾 しないよ うな 解痕は可能である

｡ し か し､家 の軒数 が奇数 にな った場合 には､家 の組分 けが難 しくな り､ア ド･ホ ックな仮定 を導入せ ざるを得 な くな ろ う

｡ この点で､2 軒ずつ に分 ける問題場面 の構造 とそれ に基づ

く解決は､退行 的な様相を示す と考え られ る｡

二番 目と しては､解決の 中で必要 とされ る 考 え 自身が､新 たな問題 と して現れ る場合 で

‑28‑

ある｡例えば､三輪

で報告 されている 中学校

年 の授業

)では､｢電話 線 の 問題

を考 え る中で､新 たに初項 1 ､公 差 1の等差数列 の和 を求め るとい う問題が生 じてい る｡ これ は一つの前進 的問題移行 と考 え ることができ る｡ この和が どの よ うな場合 に求め られ るかば､｢電話線 の問題｣に対 して

‑ +

とす る解答 を､ どの程 度 まで拡張できるか に影響 を与え ると考え ら れ る｡ しか し同 じ ｢電話線 の問題 ｣ であ って も､

で例 と して あげ られて いる生徒

のよ うな解決

の場合 は､い わ ゆる ｢植木算

か 問題 と して現れ る｡ この とき､生徒

年 においては

｢ 植木算 ｣は簡単す ぎるとい うことになれば､

これは前進 的問題移行 とは見 なせないであろ う｡その結果 と して､生徒 Bのよ うな問題場 面 の構造 やそれ に基づ く解決 は採用 されない 可能性が 出て くるのであ る｡

この よ うに､研究 プ ログラムの議論を問題 解決 に応用 した場合 ､い くつ かの問題場面の 構造 とそれ らに基づ く解決の選択 においては､

その構造や解決が新 たに生 み 出す ものを一つ の基準 とす ることが､ ラカ トシュ理 論か ら示 唆 され ることにな る｡

5.

問題解 決の一つの社会的側面

Lakatos(1976)

の記述形式か ら社会的相互作 用の重要性 を結論す ることには問題 はあると して も､ラカ トシュの理論に もう少 し違 った形 で社会 的側面を認め よ うとす る考え方 は存在 す る｡例えば

(

は

に見 られ る多様 な反駁‑ の反応の仕 方が､当 該の研究 コ ミュニテ ィの社会 的特性 に影響 さ れた もの と考えている

す なわ ち､反例‑の 許容度 は社会的要因によ り影響を受 けるので ある｡また

(

)は､研究 プ ログ ラムの核 の部分 を､｢コ ミュニ テ ィに よ り共 有 され た背景

であ り､メタ数学的な もの と考えてい る｡数学の内容 とは別 の この レベル の要素 には､

の

matical practice

を参照すれば､用い られる言 語､受 け入れ られ る問題 ､受 け入れ られ る推 論､数学 に対す る見方が含 まれ る｡ しか もそ れ らは歴史 的 ･社会的に変化 しうる ものであ ると

が考 えていた ことを想起 すれば､核 の部分 には社会 的要素が反映 され ると考え られ る｡実 際､

は､

数学では この レベルで革命が起 こると述べて いる｡つ ま り

で述べ た もの も含め､核に は様 々な大前提が含 まれ､ その中には社会的 側面を反映 した もの もあ ることになる8｡

では､ こうした意味での社会 的側面が､数 学的問題解決において も見 られ るか とい うこ

とにな る｡

一つ の現れ方 と しては､問題 の理解の仕方 や答え方 に対 して､問題文 には与え られてい ない形 での制約 が存在 している点があげ られ る｡問題文 だけの 自由な解釈によれば妥当と 思われ る問題の理解や考 え方が､正 しいと認 め られな い場合が ある｡ この ときには､何 ら かの意味で ｢ 数学 的に ｣ 問題を解 くことが求 め られてい ると考 え られ る

Reusser,1988)

｡ ま た

と

(

によれば､類似 の文章題 で あ って も､

算数の問題 と して 出題 され るか､ 日常的な文 脈 で出題 され るかで､子 ど もの答え方 に違い がある

つ ま り､数学を一緒 に学ぶ コ ミュニ テ ィの中で､問題 を ｢数学 的に｣解 くとい う ことにつ いての共有 され た (あ るいは共有 さ れ ることが期待 され る)理解があ り､それに よ って問題 の理解 や考 え方､ さ らには答え方 が影響を受 けてい るのであ る｡

第二の現れ方は､解決者 自身が解決において

期待 される困難性を考慮 し､それによ り自分の

解決を制御す ることである

0

期待 され る困難性が解 決 に影響を及ぼす こと

は実験的に も確かめ られている

が､困難性 に関わ る情報が外的に示 されない

場合であ って も､ 困難性 に応 じた制御が見 ら

れる｡この場合､自分の置かれた ｢ 数学的｣間

題解決の文脈 における､適度 な困難性 に対す る期待を感 じて解決を行 っていた と考えるこ とができる｡

社会的側面は､解決の選択 において も見 ら れ る｡選択における基準 は､論理 的に正 しい ことだけではない｡N

が示 し たよ うに､一般 に誤 りとされ る解決であ って

も､問題文中の概念の解釈によっては､その論 理的一貫性を確保で きるか らである｡.もし第 4 節で述べ たよ うに選択の基準 と して解決が 新たに生み出す ものを考え ると､ どのような 問題が興味ある もの と して受容 され るかが重 要な要因となる｡｢ 数学的に面 白い｣問題を生 み出す問題場面の構造や解決が選ばれ ること にな る｡先 に

が受容 され る問 題 も歴史的に変わ る もの と考 えていたことに 鑑みれば､ この選択 に も社会 的要因が関わ っ ていると言えよ う｡

そもそ も研究プログラムの選択において も､

論の一貫性は選択の候補者 となる条件 と して 必要であろうが､それが選択 の最終 的な基準 ではな く(

､何 らかの社 会的価値観が影響せ ざるを得 ない｡ これ は､

Anapolitanos(1989)

が ｢証明 と論駁｣法 に欠 けているとした､美的側面‑の注 目､研究の連 続性への噂好や､理論の持つ豊か さとい った 要因の入 る余地が与え られたとも考え られる｡

反面､森

が研究プログラムはポパ ーに は期待 に反す る不満な ものであ った と述べて いることや､ファイヤアーベ ン ト(

が研 究プ ログラムと自らのアナーキズムの近親性 を述べ ている

ことか ら伺われ るよ う に､研究 プ ログラムの議論では､合理性の側 面は弱め られていると言えよ う

｡ラカ トシュ にクー ンの影響を考慮す る見方

や競合す るプログラムの間に対話の構造かあ るとす る見方

も､プログラ ムの選択 における社会的要因の影響を示唆す る もの と考え られ る｡

研究 プ ログラムの選択 は､その核 や肯定的

発見法を与える大前提の選択であ り､したがっ て､ こうした大前提は社会的に選択 され るも のだとい うことになる｡本節前半の議論か ら すれ ば､その大前提が社会 的な制約 と して､

今度は解決に影響を与えているのである｡

6.

おわ りに

本稿では､数学的問題解決 とラカ トシュ理 論 との対応づけを､研究 プ ログラムの考えを 中心 に試みた｡そ こか ら得 られたあ る種の問 題解決観 は次 のよ うな ものであ った;中心 的 なアイデアに基づいて可能な限 り問題場面の 意味づ けを進 めてい く;仮 に途 中で うま くい かない部分が多少 あって も､そのアイデアを 放棄す る必要はな く､ うま くいかない部分 は 後で考え ることに して も差 し支えない;そ し てそこか ら得 られ る発展 的な問題 な ども考え ることで､ 自分の ｢プ ログラム｣の豊か さを ア ピールす る｡

多様 な解決の無秩序 な状態を避 け るには､

豊か さによる選択が行 われねばな らない｡ ラ カ トシュ自身は､ この選択があ くまで理性 に 基づいて行 われ うると考えたが､後の研究で はむ しろこの部分での社会的要因の影響が考 え られている｡そ して､算数 ･数学の授業 に おいて我 々が用いるの もまた､｢ 数学的｣とい う一つの社会的価値観である｡他 の社会の価 値観が我 々にとって 自明の ものではないよ う に､( 学校)数学のコ ミュニテ ィにこれか ら入 ろうとす る生徒 にとっては､｢数学的｣とい う 価値観 も必ず しも自明の ものではない｡ そ う した価値観 に支え られて問題解決の授業が行 われている可能性のあること も､ ラカ トシュ 理論およびその後継の研究 は示唆 しているの である｡

註及び引用文献

1 .本研究は､文部省の平成5 年度科学研究費補助 金

により一部支援されている.

2.

実際

は同じ箇所を引用 し､人間 の活動と数学を結び付けることについてのラカ ト シュの不徹底さを指摘 している｡

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