の問題を考えてみよう

赤阪正純

(httμ nupri web fc2.com)

点 と直線 の距離の公式

いきな りですが

,次

の問題を考えてみよう

例 題

点A(1,2)と 直線 ι

^:3″ +4γ

+4=0の 距 離 を求 め よ

考え方 数学 において 「距離」 とは最短距離 を意 味す るので,点 ^{と直線 の距離 とは},その点 か ら直線 へ下 ろ した垂線 の長 さの ことです   〔ンフ

^A7ム

よって,点 Aを通 り直線 ιに垂直 な直線 物 を考 え

,ι

と π の交点Hを求め ます AHの 長 さが求 め る 「距離」です

、こ「

^ltギ

あ

₂

絲 称

,毎

^tぼわかつた

0  ^点Aを通 り,直線 ιに垂直 な直線 を π と す る ιの傾 きが 一:な^{ので,れ の傾 きは}:で^あ

る.よって,π の方程式 は

υ‑2=:(″ ^{―‑1)    4″}

‑3υ

+2=0

次 に

,ι

と π の交点Hを求め る

{]::L:;:￨::: :::〔3

① × 3+② ^{× 4よ} り

,

25″

+20=0    =一

_÷

① × 4‑② × 3よ り

,

25υ

+10=O   

_υ

=―:

したがって

,H(―

:,一

:)で

^ある

AH2=(1+:)2+(2+:)2=Ψ =9

よ り ,AH=3.

よって

,求

める距離は

3で

ある

   ^タ

点 と直線 の距離 の公式

/

とて

tし

てt

斎

,な

伝式ι₇

や って ることは単純ですが,計算がややメ ン ドウ

点P(p,9)と 直線 ι

^:α

″十 ιυ

 tt 

ε=0

距離 は

と の

α

=

^{αp tt bg+ε}

^l

^{おはたにく}

να

2+ι

2

ムムム・‐

で表 され る

先ほ どの 例 題

￨こ

当てはめてみると

,

α =上

ザ 港 轟 毛 1生 =手 =3  _{″ 調ち}

と簡 単 に求 ま ります ね   証 明 も全 く同 じで す αキ

0か

つ ろキ 0と してゃ ってみましょう

① 直線 ιの傾 きは 一

=な

ので

,点 Pを

^{通 り}

^,

ιに垂直な直線 物 は υ

9==:(″

_―

_p)

b″ ― αυ

+α9‑ク

p=0

である   ιとπ の交点

Hを

求める

ι

2p̲α

_ι

_g―

_αο

″ =

α

2+ら

2

① ×ろ―② ×αより^,

(b2+α

^{2)t」 +ろ}

ο―′g+αbp=o

∴

 

υ

=

^α

29̲α_bp―

_ι

_c

α

2+′

交点

Hの

座標 は

b2っ ̲α _ゎ

9‑α

^ε

イ史争ソ_'J全式うヾ 務^3を,̲先

^:=

za2ょ

^〜

′′

矢ちが｀ゴ与ド浄ゎ

ι■

'Iナ

ど 色 マ3さいメ

arall η _fll L

′三く

̀〕

しι・

Tψ a

″

{う治わ状

^zt―

―

したじ

^t、

崎

{:∬[[:;‡

_:」

lfι

p=0 ,113

① ×α+② ×うより,

(α2+ゎ

2)″

+α。

+α

ら

g―

う2p=0

︐  

 

＜

て     Ｈ よつ

で

t■

〜 ^α

2̲卜

ι ^{2 ,} 

弊

)

赤阪正純

(h

^://1nu web fc2 com)

求める距離 グ は垂線AHの長 さなので,

(

ι^2少̲α_ゎ9‑α^ο

α

21ら

2

‑α

ι

9‑α

^ο―α2p

α

2+′

+( ^̲g)2

点 と直線 の距離の公式

先 ほ ど α:う な

ユみ ^ヽ︑_︲

′

／

α

2̲̀α

_ι

p一

bε

α

2+′

芽ち そヽ ヽ マ 常 1雪 卜し よ ぅ。

伊

ぅ たし■

も ,■

t(■

ヽ ヽ よ

=( +(で

_ア

=(α^2̲卜

′

)(9)2

̲(α^p十

^ろ

9+0)2

α

21ι

2

夕   ヽ２

︲ ノ

ケ

"り 考えち

^2‐

19_T

ノ

と

す

る

整理 て い ０

  引

↑  摯

十   十 れ   の 十   ヽ り 鋤  

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瀾

の

こ

Io―P L

l。

‑8■

憲

kき

ヽめに

ちん

=ず

― b(α

p十

_う

g+ε

α

2+′

α

(″0‑p)十

^b(υ O‑9)=― (α

p十

_う

9+ε⁾

見やすくするために

,″

0‑p=x,υ O‑9=y

とおくと

,

{'I軍^{:子 :L(αp十}

う

^{9+ι ) ￨:13}

この連立方程式を解けば,(фりしカン

^,ン

^1ミ 鶴い

^,ユ

3)

α

p+ι

9+c

v̀α

2+ι

2

■

「点 と直線 の距離の公式」は,高校数学全分野 を 通 して,Best3に入 る超 重要 公 式 です 必 ず覚 え て,いつで も使 える状態 に しておこう

笏 驚 くべ きことに,2013年の大阪大学_(文系)

で 「点 と直線 の距離の公式 を証明せ よ」 とい う問題 が出題 され ました.大半の受験生 に とって常識 であ るこの公式 も

,い

きな り「証明せ よ」と言われた ら,

戸惑 った受験生 も多か った ことで しょう

この公式 に限 らず,教科書 に載 つてい る定理や公 式は証明方法か らきちん と理解 しておいた方が良 さ そ うです

.  

夕 ι意 、1し^ミュ

^̲ヂ

Ｍ 耐 赫 ν

x=― ^{α (α p tt  ι}

^g+ε

),y=

よ っ て

,

お

^lt5く

ムリ ,1、 ・

=′  (̀塑

ちり^F::♭ま」^1)2+ι

^2(α

^p+♭9+ε

)2

α

p十

_う g tt  ο

したがって,ご = ^・¨

(※)

vα

2+ゎ

2

珍 注 なお,この公式は

,α

,わ の どち らか一方が

0の

場合 も成 り立 ってい ます

囲田 1  もう少 し上手に証明 してみよう

H(″0,υO)と します

^ホ,,一

要するに,7(″0‑p)2+(υ。^̲9)2を計算すれ

ばよいのだから

,最

初から″

_0‑pゃ

υ

O‑9を

ヵ 2

これを,式 ④ に代入すると,

とまとめ」に考えてみよう

まず ,Hは 直線 π 上にあるので υ o g=万

(■o―

p) /〆

よって

_,う(″0‑沙

)一 α

(υ

O― c)=0

また ,Hは 直線 ι上にもあるので

x2+y2= (α^2+ι

2)(弊

)2

̲(α   ^{沙十 わ}9+c)2

α2+ι

2

したがって

,α

=yx2+y2=

^α

^p+ιg+ε

なかセか上手ヽ やリカιす袂島

鵬 2.さ らに上手 く証明 してみよう の式 ③ で

,ιX―

α y=ょ _り ,X:y=

ので ,X=α た ,y=ι たとぉきます

′た+み ^2た

=̲(α

^p tt  ι

g+ο₎

た =中

よ っ て

,

α=7x2+y2

=y(α 2+′ _)た ²

=yα^2+ι

^2た

^￨

=y′ 十′1中

b,Oo場ら■雄

^:た

しめ・

′

^: 0■

■Cr。 ょり

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笙¹³

1卜←静^￨=￨ド 静

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_t■ 式

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ル 3ム 'ο ハと き

0

式^L寸)。

1規ftttr鼻雲

^￨り

χ

=―

告 確 認 しといて くだ さい

ク札³

να

2+ι

2