解析 I ・講義ノート

(1)

解析

I

^{・講義ノート}

第６回

(2020

^年

6

^月

23

^日

(

^火

)

^配信分

)

(2)

第６回本題

関数

f (x)

が微分可能で、さらにその導関数

f ^′ (x)

^{も連続のと}

き、元の関数

f (x)

^は

C ¹

^級

(

^{または連続微分可能}

)

^{であると言い}

ます。さらに

f ^′ (x)

^{も微分可能のとき、}

f (x)

^{は２回微分可能であ}

ると言い、

f ^′′ (x)

^{が連続のとき、}

f (x)

^は

C ²

^級

(

^{または２回連続微}

分可能

)

であると言い…以下繰り返しで、

n

^{回微分可能、}

C ⁿ

^級、

無限回微分可能、

C ^∞

^{級が定義されます}

(

^教科書

61

^〜

62

^頁参照

)

^。

初等関数は概ね

C ^∞

級ですが、無理関数や、定義域を区切って定義した関数の中には、中間的な、つまり何回か微分すると、それ以上は微分できないものが、無限に存在しています。今回は、

微分可能だが

C ¹

^{級ではない関数や、}

C ¹

級だが２回微分可能ではない関数の例を、いくつか見て行こうと思います。

(3)

まず、無理関数

√ ³

x = x ^1/3

^は

R

^{全体で連続ですが、}

x = 0

^では

微分不可能

(

^{接線が垂直}

)

^です。

√ ⁿ

x ^k = x ^k/n ( n

^{は正の奇数、}

k

^は

n

^{未満の自然数}

)

^{についても同様です。}

0 x - 6

y

y = x

^1/3

(4)

また、

| x |

^も

R

全体で連続ですが、第４回でお話しましたように、

x = 0

^{で微分可能ではない}

(

^{この場合接線が無い}

)

^{例になって}

いました。

0 -

x y 6 y = | x |

@ @

(5)

また、関数

g (x) :=

 

 

 

 



x sin 1

x (x ̸ = 0)

0 (x = 0)

も、やはり第４回でお話しましたように、

R

x = 0

で微分可能ではありません

(

^{接線が引けません}

)

^でした。

0 x - 6

y

y = g(x)

@ @

y = | x | y = | x |

y = −| x | y = −| x |

・

(6)

一方、やはり第４回でお話した

g (x) :=

 

 

 

 



x ² sin 1

x (x ̸ = 0)

0 (x = 0)

0 -

x 6

y = x

²

y

y = − x

²

y = x

²

y = − x

²

y = g(x)

・

(7)

ですが、

g ^′ (0) = 0

で、また第５回の解答篇より

x ̸ = 0

^のとき、

g ^′ (x) = 2x sin 1

x − cos 1 x

でした。ここで、

x → 0

^{のとき、第１項は}

0

^{に収束しますが、第}

２項は第１〜２回の

sin 1

x

^{と同様に、}

− 1

^と

1

^{の間を無限回振動す}

るため、

g ^′ (x)

自身も極限値を持ちません。従って

g(x)

^は

R

^全体

で微分可能ですが、

x = 0

^で

C ¹

^{級ではない}

( x = 0

^{では接線は水}

平ですが、そのいくらでも近くで、様々な傾きの接線が現れるような

)

^{例になっています。}

(8)

また、無理関数

√ ³

x ⁴ = x ^4/3

^は、

R

全体で定義された連続関数です。微分も可能で、導関数は

(x ^4/3 ) ^′ = 4

3 x ^1/3

です。この導関数も

R

x = 0

^{で微分不可能な}

ので、

√ ³

x ⁴ = x ^4/3

^は

R

^全体で

C ¹

^{級ですが、}

x = 0

^{で２回微分可}

能ではない例になっています。

より一般に、

x ^(n+k)/n ( n

^{は正の奇数、}

k

^は

n

^{未満の自然数}

)

^に

ついても、同様のことが言えます。

(9)

これも第４回でお話した

f (x) :=

 

 

 



x ² (x ≥ 0)

− x ² (x < 0)

0 x - 6

y y = f (x)

(10)

については、

f ^′ (x) = 2 | x |

が成り立ちました。ここで、

| x |

^が

R

^{全体で連続なので、}

f ^′ (x) = 2 | x |

^{も連続、よって、}

f (x)

^は

R

^全体で

C ¹

^{級です。しか}

しながら、

| x |

^は

x = 0

^{で微分不可能なので、}

f ^′ (x) = 2 | x |

^も微分

不可能、従って、この

f (x)

^も、

x = 0

で２回微分可能ではない例になっています。

(11)

関数

f (x)

^の

x = a

における微分係数とは、

a

^から

x

^までの平

均変化率の

x → a

^{のときの極限値}

f ^′ (a) = lim _x _→ _a f (x) − f (a) x − a

のことでした。

今、

a

を固定して、この極限を取る前の平均変化率

f (x) − f (a) x − a

そのものを

x

^{の関数と考えるとき、}^{その定義域は}

x ̸ = a

^と言うこ

とになりますが、

f (x)

^{が多項式ならば、}

f (x) − f (a)

^は

x − a

^で

割り切れて多項式になるので、

x = a

まで自然に連続的に拡張され、しかも

R

全体で無限回微分可能です。

(12)

実際、任意の自然数

n

^に対し

f (x) = x ⁿ

^{ととって考えると、}

x − a

x − a = 1 x ² − a ²

x − a = x + a x ³ − a ³

x − a = x ² + ax + a ²

... ...

x ⁿ − a ⁿ

x − a = x ⁿ ⁻ ¹ + ax ⁿ ⁻ ² + · · · + a ⁿ ⁻ ² x + a ⁿ ⁻ ¹

ですから、

f (x)

が多項式でも同じことです。

f (x) = x ^p ( p

^{は正の有理数}

)

^{ととっても、}

a > 0

^{ならば、割り}

切れはしないまでも、分母分子が約分できて、やはり

x = a

^まで

自然に連続的に拡張され、

x = a

^を含め、

x > 0

^{で無限回微分可}

能です。

p = n

m (

^既約分数

)

とおいて、確かめてみましょう。

(13)

実はより一般に、

x = a

の近くで微分可能な任意の関数

f (x)

^に

対しても、

f ^′ (a)

を用いれば、約分できなくても、次のように定義することで、

x = a

でも連続になるように拡張できます。

g (x) :=

 

 

 

 



f (x) − f (a)

x − a (x ̸ = a) f ^′ (a) (x = a)

微分可能な関数の商ですから、この

g (x)

^も、

x ̸ = a

^{で、次のよ}

うに微分可能です。

g ^′ (x) = (f (x) − f (a)) ^′ (x − a) − (f (x) − f (a))(x − a) ^′ (x − a) ²

= f ^′ (x)(x − a) − f (x) + f (a)

(x − a) ²

(14)

それでは、

x = a

^{ではどうでしょうか？}

g (x)

^の

a

^から

x

^{までの平均変化率は、}

g (x) − g (a) x − a =

f (x) − f (a)

x − a − f ^′ (a) x − a

= f (x) − f (a) − f ^′ (a)(x − a) (x − a) ²

です。ここで

( f (x)

^が

x = a

で連続であることに注意すれば

) f (x) − f (a) − f ^′ (a)(x − a) → 0 (x → a)

(x − a) ² → 0 (x → a)

より、ロピタルの定理

(

^教科書

59

^頁参照

)

^{が使えそうなので、}

(15)

x lim → a

g (x) − g (a)

x − a = lim _x _→ _a { f (x) − f (a) − f ^′ (a)(x − a) } ^′ { (x − a) ² } ^′

= lim

x → a

f ^′ (x) − f ^′ (a) 2(x − a)

さて、ロピタルの定理の主張が成り立つためには、この極限値が存在する必要があります。それは、この場合で言えば、

f ^′ (x)

^が

x = a

^{で微分可能}

(f (x)

^{が２回微分可能}

)

^{と言う仮定が追加で必}

要と言うことです。そのとき、

x lim → a

f ^′ (x) − f ^′ (a)

2(x − a) = f ^′′ (a) 2

より、この

g (x)

^は

x = a

^{でも微分可能で、}

g ^′ (a) = f ^′′ (a)

2

^が成り

立ちます。

(16)

折角なので、

f (x)

^は

x = a

の近くでも２回微分可能と仮定しましょう。すると

f ^′ (x)

^{は微分可能ですから、}

x ̸ = a

^で

g ^′ (x) = f ^′ (x)(x − a) − f (x) + f (a) (x − a) ²

も微分可能なので、

g (x)

は２回微分可能と言うことになります。

特に微分可能な関数は連続なので、

g ^′ (x)

^は

x ̸ = a

^{で連続、従っ}

て

g (x)

^は

x ̸ = a

^で

C ¹

^級です。

それでは、

x = a

^{ではどうでしょうか？}

ここで

( f (x), f ^′ (x)

^が

x = a

で連続であることに注意すれば

) f ^′ (x)(x − a) − f (x) + f (a) → 0 (x → a)

(x − a) ² → 0 (x → a)

より、やはりロピタルの定理が使えそうなので、

(17)

x lim → a g ^′ (x) = lim _x _→ _a { f ^′ (x)(x − a) − f (x) + f (a) } ^′ { (x − a) ² } ^′

= lim

x → a

f ^′′ (x)(x − a) + f ^′ (x) − f ^′ (x) 2(x − a)

= lim

x → a

f ^′′ (x) 2

ロピタルの定理の主張が成り立つためには、この極限値の存在が必要でした。そこで

f ^′′ (x)

^が

x = a

^で連続

(f (x)

^が

C ²

^級

)

^と

言う仮定を追加すれば、

x lim → a g ^′ (x) = lim _x _→ _a f ^′′ (x)

2 = f ^′′ (a)

2 = g ^′ (a)

より、

g ^′ (x)

^は

x = a

^{でも連続なので、}

g (x)

^は

x = a

^も込めて

C ¹

^{級になります。}

(18)

この

g (x)

^が

x = a

でも２回微分可能となるためには、

f (x)

^が

どのような条件を満たせば十分か、考えてみましょう。

実は

f (x) := x ³ sin 1

x (x ̸ = 0), 0 (x = 0)

^は

f ^′ (x) = 3x ² sin 1

x − x cos 1 x

(x ̸ = 0), 0 (x = 0)

^より

C ¹

級ですが２回微分不可能であるにもかかわらず、

g(x) = f (x) − f (0)

x − 0 = f (x)

x = x ² sin 1

x (x ̸ = 0), 0 (x = 0)

^{は微分可能です。}

従って、

g(x)

が微分可能であるために、

f (x)

が２回微分可能であることは必ずしも必要ではありません。

しかし、同じく

C ¹

級ですが２回微分不可能な

x ^(n+k)/n (n :

^奇数

, 0 < k < n)

や

x ² (x ≥ 0), − x ² (x < 0)

^を

f (x)

^{としてとると、}

g(x) = f (x)

x

^{は微分不可能} となるため、

g(x)

が微分可能であるために、

f (x)

^が

C ¹

^{級であることは十分} 条件ではありません。

ここでは、１５頁同様にロピタルの定理を用いて、仮定を満たす任意の

f (x)

について、

g(x)

の２回微分可能性が導けるためには、十分条件として何を課せばよいか、と言うように考えてみて下さい。

(19)

今回の内容をまとめると、次の通りです。

次の関数は

R

^上で ^{連続微分可能}

C ¹

^級

2

^{回微分可能}

x ^k/n (n:

^奇数

, 0 < k < n )

^○ ^× ^× ^×

| x |

^○ ^× ^× ^×

x sin 1

x (x ̸ = 0), 0 (x = 0)

^○ ^× ^× ^×

x ² sin 1

x (x ̸ = 0), 0 (x = 0)

^○ ^○ ^× ^×

x ^(n+k)/n (n:

^奇数

, 0 < k < n )

^○ ^○ ^○ ^×

x ² (x ≥ 0), − x ² (x < 0)

^○ ^○ ^○ ^×

f (x) − f (a)

x − a (x ̸ = a), f ^′ (a) (x = a)

(f :

^微分可能

)

^○ ^？ ^？ ^？

(f :

^{２回微分可能}

)

^○ ^○ ^？ ^？

(f :C ²

^級

)

^○ ^○ ^○ ^？

(f : ^？ )

^○ ^○ ^○

^○

(20)

第５回練習課題の解答

とりあえず

e ^y = Y

と置き換えて、逆関数を求めます。

x = sinh y = e ^y − e ⁻ ^y

2 = e ^2y − 1

2e ^y = Y ² − 1 2Y Y ² − 2xY − 1 = 0

e ^y = Y = x + √

x ² + 1 (Y > 0

^{より複号は}

+) y = log(x + √

x ² + 1) = sinh ⁻ ¹ x x = cosh y = e ^y + e ⁻ ^y

2 = e ^2y + 1

2e ^y = Y ² + 1 2Y Y ² − 2xY + 1 = 0

e ^y = Y = x + √

x ² − 1 (y ≥ 0

^{の範囲では}

Y ≥ 1

^{より複号は}

+) y = log(x + √

x ² − 1) = Cosh ⁻ ¹ x

(21)

x = tanh y = e ^y − e ⁻ ^y

e ^y + e ⁻ ^y = e ^2y − 1

e ^2y + 1 = Y ² − 1 Y ² + 1 (1 − x)Y ² = 1 + x

e ^y = Y =



 1 + x 1 − x





1/2

(Y > 0

^{より複号は}

+)

y = 1

2 log 1 + x

1 − x = tanh ⁻ ¹ x x = coth y = e ^y + e ⁻ ^y

e ^y − e ⁻ ^y = e ^2y + 1

e ^2y − 1 = Y ² + 1 Y ² − 1 (x − 1)Y ² = x + 1

e ^y = Y =



 x + 1 x − 1





1/2

(Y > 0

^{より複号は}

+)

y = 1

2 log x + 1

x − 1 = coth ⁻ ¹ x

(22)

後は、対数関数との合成関数の微分の公式

(log f (x)) ^′ = f ^′ (x) f (x)

を用いて計算します。

(sinh ⁻ ¹ x) ^′ = { log(x + √

x ² + 1) } ^′ = (x + √

x ² + 1) ^′ x + √

x ² + 1

= 1

x + √

x ² + 1



 1 + x

√ x ² + 1



 = 1

√ x ² + 1

(Cosh ⁻ ¹ x) ^′ = { log(x + √

x ² − 1) } ^′ = (x + √

x ² − 1) ^′ x + √

x ² − 1

= 1

x + √

x ² − 1



 1 + x

√ x ² − 1



 = 1

√ x ² − 1

(23)

(tanh ⁻ ¹ x) ^′ =



 1

2 log 1 + x 1 − x





′

= 1 2

( ₁ ^1+x ₋ _x ) ^′

1+x 1 − x

= 1 − x 2(1 + x)

(1 − x) + (1 + x)

(1 − x) ² = 1 1 − x ² (coth ⁻ ¹ x) ^′ =



 1

2 log x + 1 x − 1





′

= 1 2

( _x ^x+1 ₋ ₁ ) ^′

x+1 x − 1

= x − 1 2(x + 1)

(x − 1) − (x + 1)

(x − 1) ² = 1

1 − x ²

解析 I ・講義ノート

I

(2020

6

23

(

)

)

f (x)

f ′ (x)

f (x)

C 1

(

)

f ′ (x)

f (x)

f ′′ (x)

f (x)

C 2

(

)

n

C n

C ∞

(

61

62

)

C ∞

C 1

C 1

√ 3

x = x 1/3

R

x = 0

(

)

√ n

x k = x k/n ( n

k

n

)

0

x - 6

y

y = x

| x |

R

x = 0

(

)

0 -

x y 6 y = | x |

@ @

@ @

@ @

g (x) :=

 

 

 

 

 



x sin 1

x (x ̸ = 0)

0 (x = 0)

R

x = 0

(

)

0

x - 6

y

y = g(x)

@ @

@ @

@ @

@ @

@ @

@ @

f ^′ (x)

C ¹

f ^′ (x)

f ^′′ (x)

C ²

C ⁿ

C ^∞

C ^∞

C ¹

C ¹

√ ³

x = x ^1/3

√ ⁿ

x ^k = x ^k/n ( n

x ² sin 1

g ^′ (0) = 0

g ^′ (x) = 2x sin 1

g ^′ (x)

C ¹

√ ³

x ⁴ = x ^4/3

(x ^4/3 ) ^′ = 4

3 x ^1/3

√ ³

x ⁴ = x ^4/3

C ¹

x ^(n+k)/n ( n

x ² (x ≥ 0)

− x ² (x < 0)

f ^′ (x) = 2 | x |

f ^′ (x) = 2 | x |