超対 称性 生成子 の空 間反転性

超対 称性 生成子 の空 間反転性

斎 藤 徹 也

1.は じ め に

この論 文 で は,素 粒 子 の超 対 称 性 理論 の基礎 的 な量 とな って い る超 対 称 性 生成 子 に 関 して,そ の 反交換 関係 と空 間反 転性 を考 察 す る。 この種 の解 析 は多 くの超 対称 場 の 理 論 の テキス トで既 に な され てい るが,(1)そ の解析 結 果 には一種 の奇妙 さが含 まれて い る ので,そ の解 析 過 程 を改 めて 吟味 し,そ の 奇妙 さに対す る考 え方 を整理 して 置 くこ とは一定 の意義 が あ る こ とと思 い本稿 に纏 めた。 そ の構 成 は次 の通 りで あ る。

次 節 で は超 対称 性 生 成子 を導入 し,第3節 にお い て ロー レ ンツ変 換性 を利 用 して超 対 称 性 生成 子 の 反交 換 関係 を導 び く。 第4節 で は生成 子 の 空 間反転 性 を決定 す る。最 後 の第5節 は議論 と まとめ にあて られ る。

2.超 対 称性 生 成子

本稿で考察す る超対称性生成子q、 はいわゆる次数付 きリー代数であ り,

q。qb(‑1)恥 ηう9δ9α一 ∫ΣC8∂9c(2‑1) C

な る 交 換 関 係 と 反 交 換 関 係 を 満 た す 。 上 式 に お い て,η αは+1か ゼ ロ の 値 を と り,生 成 子q、 の 次 数 と 呼 ば れ る も の で あ り,Cabは こ の 代 数 の 構 造 定 数 で あ る ・ 以 下 で は ・ ηα=1の い わ ゆ る フ ェ ル ミ オ ン 的 生 成 子(超 対 称 性 生 成 子)を 取 り扱 う 。 相 対 論 的 不 変 な 理 論 に お い て は,対 称 性 生 成 子 は ロ ー レ ン ツ 変 換 群 の 表 現 で な け れ ば な ら ぬ と い う 制 約 が あ る 。 そ こ で,ロ ー レ ン ッ 変 換 群 の 表 現 論 と 表 示 法 に 関 し て,以 下 の 考 察 で 必 要 な 事 項 を 論 じ て お こ う 。 まず,微 小 ロ0レ ン ツ 変 換,

△μv=δ μv+ω μu,(wｵvは,η λμ を ロ ー レ ン ッ メ ト リ ッ ク ス と し て,ω μγ=

ημλωλ.=一 ωγμを 満 た す ロ0レ ン ツ 変 換 の 微 小 パ ラ メ ー タ ー で あ る)。

と微 小4元 的 並 進 変 換(パ ラ メ ー タ ー を ελ と す る)を 合 わ せ た 変 換 演 算 子U(ω,ε) は,

σ(ω,ε)‑1+1ω η冠 μγ一'ε λPλ (2‑2)

で 表 わ さ れ る 。(2)上 式 お よ び 以 降 に お い て も,表 式 の 中 の1つ の 項 に 同 一 の 添 字 が2 個 現 れ た ら,添 字 が ギ リ シ ヤ 文 字 の 場 合 は そ の 添 字 が0か ら3ま で と る 項 に つ い て の

総和 を と り,添 字 が英 字 の アル フ ァベ ッ トの場 合(後 出)は そ の添 字が1か ら3ま で とる項 の総和 を とる,と い う添 字 に関す る総和 則 を採 用す る。上 式(2‑2)中 の ノμγ とPPは それ ぞれ4元 的 な角運動 量 演算 子 と並進 運動 量演 算 子 で あ り,次 の い わ ゆるボ ア ンカ レ群 の リー代 数 の交換 関係 を満 たす,

ゴ[ノμγ,1ρ σ】一 ηγ解 σ 一 η μウ γσ 一 ησウ ργ+η σワ ρμ iSPｵ,1ρ σ1=η μρPσ 一 η μc7)ρ

[Pμ,Pρ1=0.

(2‑3)

以 降 で は,斉 次 ロー レンツ変換 を考 えるの で その 変換 演算 子 σ(ω)を 次 の様 に書 き 換 えてお く,

σ(ω)‑1+22E励 嚇 一iwhoKh・ (2‑4)

こ こ で,ε 罐 は(Z,ノ,kが1,2,3の 値 を と る)i,ノ,kに 関 し て 完 全 反 対 称 で あ り , ε123=1に と る 。Ikはkニ1,2,3に つ い て,

ノ1=ノ123,ノ2=ノ31,13=ノ12(2‑5)

で 定 義 さ れ る 角 運 動 量 演 算 子 で あ り,今 後 は(11,JZ,J3)を ま と め てJと も 表 記 す る 。 ま た,、Kiは

K1=110,」K2= .」20,K3=.T30(2‑6)

で 定 義 さ れ る ブ ー ス ト 演 算 子 と 呼 れ る 。 今 後 は こ れ をKと 表 記 す る 。 な お,(2‑4)

式 の 変 換 演 算 子U(ω)が ユ ニ タ リ ー で あ る と い う 条 件 か ら,JもKも エ ル ミ0ト で あ る こ と が わ か る 。

次 に,ロ ー レ ン ツ 変 換 群 を2次 元 ユ ニ モ デ ュ ラ 行 列SL(2,C)で 表 わ す 方 式 が あ り, そ こ で の 関 係 式 を 後 で 利 用 す る も の で,そ れ に つ い て 少 々 述 べ て 置 く 。(3)こ の 表 示 で は, 微 小 ロ ー レ ン ツ 変 換 演 算 子 σ(ω)を 次 の 様 に と る,

み(ω)‑exp(1+号 ε励 ω 棘+12wk・ 働)

‑1+(Z

4・ 紛+2wkO}6k.

こ こ で,6kは パ ウ リ の マ ト リ ッ ク ス で あ り,

・℃一(ll)

,σ1‑(ll),の 一(1石i),・r3‑(昌),(2‑8)

で 与 え ら れ る 。 な お,上 式 に は(2‑7)式 の 中 に 現 わ れ て い な い σ0が 加 え て あ る が , 後 で(σ0,σ1,σ2,σ3)で も っ て4次 元 化 し た パ ウ リ マ ト リ ッ ク ス(σ μ)を 使 用 す る の で,こ こ に 表 記 し て お い た 。(2‑7)式 で 導 入 し た 変 換 演 算 子 瓜 ω)に よ る σμ の

変 換 性 を 求 め る と,

み(ω)σ μ ★(ω)一(δ 置+ω γμ)σ.

‑Lv ｵ(ω)σ.

な る 関 係 式(σ μ の4元 ベ ク トル 性)が 得 ら れ る 。 上 式 の λ☆(ω)はA(ω)の エ ル ミ0 ト共 役 を 意 味 す る 。 今 後 も,特 に こ と わ ら な い 限 り ア ス タ リ ス ク(★)は 数 値 に 付 い た 場 合 は そ の 復 素 共 役 数 を 意 味 し,演 算 子 に 付 い た 場 合 は そ の エ ル ミ ー ト共 役 を 意 味 す

る も の と す る 。

こ の 論 文 で は,ロ ー レ ン ッ 変 換 の 生 成 子 を(A,B)方 式 で 表 す こ と に す る 。 生 成 子 AとBは,上 記 で 導 入 し た 演 算 子JとKで も っ て,次 の 様 に 定 義 さ れ る,

22

こ れ ら の 生 成 子 は,Jｵvの 交 換 関 係(2‑3)式 か ら,次 の 交 換 関 係 を満 た す,

[ん,∠4ブ]=EijkBk,[$i,β ノ1=EijkBk,

[Bi,ノqブ 】=0. (2‑11)

上 式(2‑ll)を 満 た す 生 成 子(A,B)の 表 現 は,整 数 ま た は 半 整 数 を と る2個 の 数 .AとBで 指 示 さ れ,表 現 要 素 は ←A)か らAま で1つ つ 変 る 添 字aと(‑B)か らB

ま で1つ つ 変 る 添 字bの2個 の 添 字aとbに よ っ て 指 定 さ れ る 。 こ の 表 現 要 素 をABQab と 表 記 す る と,こ れ ら は,(2‑ll)式 が3次 空 間 の 角 運 動 量 演 算 子 の 交 換 関 係 で あ る こ と か ら,次 の 交 換 関 係 を 満 た す こ と が 知 ら れ て い る,(4)

[A,ABQab】 一 一J認 嬬,

[B,ABQab】 一 一J傍 嬬

こ こ で,J(ノ)(ノ はAま た はBの 値 と す る)は 角 運 動 量(ス ピ ン)jの3元 ベ ク トル 行 列 で あ り,そ の 行 列 要 素 は 次 の 様 な 値 を と る,

(ノ1(ノ)± 耽(ブ))げ σ 一 δd,σ ±1[(ノ+6)(ノ ± σ+1)]1/2,

(ノ(1))げ σ=δ げ σσ (2一 ユ3)

上 記 の(2‑12)式 を 満 た す 表 現 を(A,B)表 現 と 呼 ぶ こ と に し よ う 。(2‑13)式 と そ の エ ル ミ ー ト共 役 の 式 を 用 い て,3次 元 ベ ク トル に 纏 め る と 次 の 関 係 式 が 得 ら れ る,

(J(j))㌔ σ 一 一(‑1)σ 一 σ(J(j))‑6',一 σ(2‑14)

(2‑10)式 の エ ル ミ ー ト共 役 の 式 か らAとBの 問 に は

A☆=B,(2‑15)

な る 関 係 が あ る こ と が 分 か る 。 そ れ 故,(A,B)表 現 に 従 っ て 変 換 す る 演 算 子ABQabの エ ル ミ ー ト共 役 演 算 子AB*Qabは(B,A)表 現 に 比 例 す る 筈 で あ り ,(2‑14)式 を 考 慮 し て(2‑12)式 の エ ル ミ ー ト共 役 を と る こ と に よ り,

9盤=(‑1)肋(‑1)B‑∂ 碍 タa(2‑16)

な る関係 が 導 かれ る。 ただ しABQabは(B,A)表 現 に従 って変換 す る演算 子 で あ る,本 節 の始 め の段 階 で触 れ た よ うに,以 下 で考 察す る演算 子ABQabは(反)リ ー代 数 の次 数

1の フェル ミオ ン的生 成子(超 対称 性生 成子)と して取 り扱 う ことにす る。

3.超 対 称性 生 成子 の反交 換 関係

演 算 子 要 素ABQabは(A,B)表 現 に 属 し,AB*Qabは(B,A)表 現 に 属 す る こ と か ら, 表 現 の 一 般 論 に よ り,こ れ ら の 反 交 換 子 は,

ノユセ  ノユキ ヨcD

{ABQab,9盟}一(‑1)A一 α'(‑1)B一b'Σ Σ Σ Σ

C=1A‐BID=1A‐BIc=‐Cd=‐D XCAB(Cc;a ,‐b')CAB(Dd;‐a'b)BCD(3‐1)

な る 形 を 取 る 筈 で あ る 。 た だ し,CAB(Dd;ab)は ス ピ ン 、4とBを 結 合 し て ス ピ ンDを 合 成 す る た め の 通 常 の ク レ ブ シ ュ ・ゴ ル ダ ン係 数 で あ り,CDRcdは(c,D)表 現 に 属 す る(C,d)成 分 演 算 子 で あ る 。 ク レ ブ シ ュ ・ ゴ ル ダ ン 係 数 の 問 の 直 交 性 を 考 慮 し て

(3‑1)式 をCDRcdに つ い て 解 い た 形 式 に 書 き 直 す と,

CDh' ABAB

cd一 Σ Σ Σ Σ(‑1)ル αノ(‑1)B‑b'(瑠(c・;a,一 ∂・)

a=‐Ab=‐Ba'=‐Ab'=‐B

×(油(Dd;‑a'b){娚,AB'sQa'b'} ,(3‑2)

が 得 ら れ る ・ 上 式(3‑2)に お い て,A+B,A+BRA+B,一(A+B)の 場 合 を 考 え る と 汐 レ ブ シ ュ ・ ゴ ル ダ ン 係 数 の 性 質 か ら,

A+B,A+BR

A+B,一(A+B)一(‑1)2B{Q艦,Q鴉}(3‑3)

な る 関 係 が 分 か る ・ 仮 り にABQA,‑Bが ゼ ・ で あ る な ら ば す べ て のABQabが 掘 こな る で あ ろ う こ と を 考 慮 す れ ば,上 式(3‑3)は(A,B)表 現 の フ ェ ル ミ オ ン 的 生 成 子ABQab が 存 在 す れ ば,そ のABQabと そ の 共 役 生 成 子AB*Qabと の 反 交 換 子 は(A+B,A+B)表 現 に 属 す る ゼ ロ で な い 対 称 性 演 算 子 を 含 ま な け れ ば な ら ぬ こ と を 意 味 す る 。 さ ら に,こ の 対 称 性 演 算 子 は2個 の フ ェ ル ミ オ ン 的 生 成 子 の 積 で あ る の で ボ ソ ン 的 で あ る 。 一 方,

コ ー ル マ ン ・マ ン デ ュ ー ラ の 定 理 に よ る と(5),ボ ソ ン 的 で 可 能 な 対 称 性 生 成 子 は , (1/2,1/2)表 現 の 並 進 生 成 子Pｵ,(1,0)+(0,1)表 現 と し て の 固 有 ロ ー レ ン ツ 変 換 の 生 成 子,1ｵv,お よ び(あ る と す れ ば)(0,0)表 現 の 内 部 対 称 性 の3種 だ け か ら 成 る と い う 。 上 述 の 事 情 と こ の 定 理 の 結 論 を 考 え る と,フ ェ ル ミ オ ン 的 生 成 子 は

(A+B)≦1/2を 満 た す(A,B)表 現 に 属 す る 場 合 だ け が 可 能 で あ る こ と が 分 か る 。 そ の フ ェ ル ミ オ ン 的 生 成 子 は ス カ ラ で は な い 筈 で あ る か ら,可 能 性 の あ る の は(1/2,0) 表 現 か(0,1/2)表 現 に 属 す る 場 合 の み で あ る 。 こ れ ま で は(0,1/2)表 現 に 属 す

る 生 成 子 はOQO1/2bと 表 記 し て き た が,今 後 は 上 付 き の 添 字 は 省 略 し てQbrと 表 記 す る 。 こ こ で 添 字yは(0,1/2)表 現 と 同 じ変 換 性 を 持 つ 他 の 生 成 子 を 表 わ す 添 字 で あ る 。 (2‑16)式 に よ りQbsが(1/2,0)表 現 に 属 す こ と を 考 慮 す れ ば,反 交 換 子{Qar, 9薦}は(0,1/2)×(1/2,0)=(1/2,1/2)表 現 に 属 す る こ と が 分 か る 。 上 述 の コ ー ル マ ン ・マ ン デ ュ ー ラ の 定 理 に よ る と,(1/2,1/2)表 現 に 属 す る ボ ソ ン 的 な 対 称 性 生 成 子 は 並 進 の 生 成 子Pｵの み で あ る か ら 反 交 換 子{Qar,QbsはPｵに 比 例 す る 筈 で あ る 。 こ の 反 交 換 子 の 具 体 的 表 式 を 決 定 す る た め に,Qarが(0,1/2)表 現 要 素 で あ る こ と に 留 意 し て,そ れ ら の ロ ー レ ン ッ 変 換 性 を 具 体 的 に 表 わ そ う 。 前 述 の(2‑12) 式 をQarに 適 用 す る と次 式 を 得 る,

[A,Qay]‑o,[B,Qar】 一 一1(∂ 轟(3‑4)

こ れ ら の 関 係 式 を(2‑10)式 のJとKで 書 き 直 す と 次 式 の 様 に な る,

【Jk,Qar】 一 一 吉(6k)・ δ9伽

(3‑5}

[砺Q・ ・]一 一i2(6k)・6Qわ ・

上 式 の 第1式 に1/2i￡ijkω 〃 を か け,第2式 に(‑Z)wkOを か け(そ れ ぞ れ の 添 字 に つ い 総 和 を と り),そ れ ら の 両 辺 の 和 を 計 算 す る と,

1(iEijkwij,jk‑iwiOKi)Qay一 硫(1脚 晒 一iwikKi)

(3‐s>

1

2(1.芽zε 馳 砺+ω 々・)(Qk)abQby,

な る 関 係 式 が 得 ら れ る 。 こ の 関 係 式 は,(2‑4)式 の 微 小 ロ ー レ ン ッ 演 算 子U(ω)と (2‑7)式 のL(2,C)演 算 子 △(ω)お よ び(2αグの 間 に 次 式 が 成 りた つ こ と を 意 味 す る,

r1(ω)QarU(ωHA(ω)]abQbr,

と こ ろ で,反 交 換 関 数{Qar,Qasは(1/2,1/2)表 現 に 属 し,ス ピ ン に 関 連 し た2 個 の 添 字aとbを も つ こ と,さ ら に σμ(μ ニ0,1,2,3)が2×2行 列 の 完 全 系 で あ る こ と を 考 慮 す る と こ の 反 交 換 関 係 は

{Q。,,Qbs}ｵ‐Mrs(叩)ab (3‑8)

な る形 を取 る と仮 定 で きるで あ ろ う。上 式 中 のｵMrsは 一種 の行列 演 算 子 で あ り,上 述 の コー ルマ ン ・マ ンデ ユ ー ラの定 理 を考慮 す る と運 動 量演 算 子 に比 例 す る こ とが予 想 され るが,(3‑7)式 を利 用 す る とそ れ が具体 的 に確 か め られ る こ とを以 下 に示 す 。

(3‑8)式 の 両 辺 に 左 側 か ら と 右 側 か ら そ れ ぞ れr1(ω)と σ(ω)を 掛 け た 表 式 を, 9α7の 変 換 式(3‑7)と そ の エ ル ミ ー ト共 役 式 を 利 用 し て 処 理 す る と 次 式 を 得 る,

!acbbd(9、 磁+Q謀 、Qcr)一 σ 一'(ω)MsU(ω)(砺)ab(3‑9)

た だ し,上 式 と 以 降 に お い て はlacは こ れ ま で の 匝(ω)]α6な る マ ト リ ッ ク ス 要 素 を 表 わ す も の と す る 。 上 式(3‑9)の 右 辺 に(3‑8)式 を 代 入 す る こ と に よ り,

yslac(6v)cdbbd‑r1(ω)雌vM σ(ω)(叩)ab(3‑10)

な る 関 係 式 が 得 ら れ る 。 こ の 右 辺 に 侮 の 変 換 式(2‑9)を 適 用 し,(の)abの 係 数 因 子 を 比 較 す る こ と に よ り(左 右 両 辺 を 振 り替 え て 書 く と)

U‐1(cv)MsU(cv)=Lv(w)Mme,(3̲11)

な る 変 換 式 が 得 ら れ る 。 こ れ は 正 し く 、M麹が ロ,..̲.レン ツ4元 ベ ク トル の 変 換 性 を 持 つ こ と を 示 し て い る 。 前 述 の コ ー ル マ ン ・マ ン デ ュ ー ラ の 定 理 か ら の 予 想 と 考 え 合 わ せ る と,Mrs=Nrspｵと 置 く と,係 数 凡,は ロ ー レ ン ツ 変 換 に は 依 存 し な い 行 列 要 素 に な る こ と が 分 か る 。 従 っ て,反 交 換 関 係(3‑8)式 は 次 の 形 式 を と る こ と が 確 か め ら れ た,

{Qσ・,磁}‑NrsPｵ(叩)ab(3‑12)

さ て,上 式 の 係 数1㌦ を 決 定 し よ う 。 そ の 決 定 手 法 は 文 献(1)に 倣 う も の で あ る が 以 下 に 改 め て 論 じ よ う 。 ま ず,生 成 子Qayは 線 形 独 立 で あ る か ら,ゼ ロ で は な い1つ の 線 形 結 合Q=daCyQarを 考 え る と,こ のQに よ っ て 消 せ な い 様 な 状 態1Ψ 〉が 必 ず 存

a,r

在 す る こ と に 留 意 す る 。 こ の 状 態 に つ い て の{Q,(2★}の 期 待 値 は 正 で あ る の で,こ の 期 待 値 を(3‑12)式 に 従 っ て 評 価 す る と,

〈 Ψ1{Q,Q*}1Ψ 〉‑2〈 ΨIPμ(叩)。 わ4。4苔1Ψ>x(Cy(≧W鰐)>0,(3‑13)

が 成 り た つ 。 一、Pμ 昂 ≧0か つ 、po>0と い う 物 理 的 状 態 の 空 間 で は 演 算 子(Pｵ(吻)abd、

d*b)は 正 に な る 。 従 っ て,上 式(3‑13)が 成 立 す る た め に は,全 て が ゼ ロ で は な い Cyに 対 し て,CyC'sNysが 正 で な け れ ば な ら な い 。 つ ま り,行 列Nysは 正 定 値 で あ る 。 一 方 ,Nrsが エ ル ミ ー トで あ る こ と は(3‑12)式 の エ ル ミ ー ト 共 役 を と れ ば 明 ら か で あ る 。 結 局,行 列Nrsは エ ル ミ ー ト で 正 定 値 で あ る こ と が 分 か っ た の で,こ の 行 列 要 素 でQarを 再 規 格 化 す る,す な わ ち,Q'aY=(1YYS)‑1/2Qa,な るQ'aYを 考 え る と,そ の 反 交 換 関 係 は

{rar,9廃}=20rs(σ μ)ahPｵ(3‑14)

と な る 。 今 後 は,こ の 規 格 化 さ れ た 生 成 子arを 表 わ す も の と し て,プ ラ イ ム を 付 け ず に 生 成 子Qasと 表 記 す る こ と に す る 。

4.超 対 称性 生 成子 の空 間反 転性

こ の 節 で は,生 成 子(%等 が 空 間 反 転xｵ(xo,xl,x2,x3)→ 瑞(xp,一 κ1,‑x2,‑x3)の 下 で ど の 様 に 変 換 す る か を 調 べ る 。 角 運 動 量 演 算 子Jと ブ ー ス ト演 算 子Kは 空 間 反 転 演 算 子 π(パ リ テ ィ 演 算 子 と 呼 ぶ)に 対 し て

II‑1JII=J,IIIKII=‑K, (4‑1)

な る 変 換 性 を 持 つ こ と は よ く知 ら れ て い る 。(2‑10)式 で 定 義 さ れ た(A,B)演 算 子 に 上 記 の パ リ テ ィ演 算(4‑1)を 作 用 す る と,

1τ 一1AIτ;B,π 一1Bπ=A, (4‑2)

な る 変 換 性 が 分 か る 。 前 節 で 述 べ た 様 に,Qayは(0,1/2)表 現 に 属 し,(3‑4) 式 の 関 係 を 満 た す 。 こ れ を 成 分 別 に 書 く と,

臨 砺 】一 ・,[B漁1‑2(6i)α ∂硲(4‑3)

と な る 。 こ れ ら の2個 の 式 に パ リ テ ィ 演 算 子 を 作 用 さ せ る と,(4‑2)式 に よ り,次 の 関 係 式 が 得 ら れ る 。

[$i,jπ 一1Q。,π]=0,

脚 一!砺 π 】一 一12(6i)…‑1Qbr(4‑4)

上 式 は1rlQα,π が(1/2,0)表 現 に 属 す る こ と を 意 味 す る の で,π 一1Qα7π は 9*α7の 線 形 結 合 に な っ て い な け れ ば な ら な い 。 第2節 の(2‑16)式 を 考 慮 す れ ば, そ の 線 形 結 合 は 次 の 形 を と る こ と が 分 か る,

1π 一19α7π=FrseabR*bs, (4‑5)

こ こ で,eabは,

e‑(0110) ,

で 定 義 さ れ る 反 対 称 行 列 で あ り,Fysは 数 値 の 行 列 要 素 で あ り,以 下 で そ の 性 算 を 決 め な け れ ば な ら ぬ も の で あ る 。 こ のFrsの 具 体 的 表 式 はQarとQ*∂ ∫の 反 交 換 関 係(3‑

14)か ら 定 め る こ と が で き る 。 ま ず,(3‑14)式 の 両 辺 に 左 側 と 右 側 か ら そ れ ぞ れ π 一1と π を 掛 け,(4‑5)式 と そ の エ ル ミ ー ト共 役 式 を 用 い る こ と に よ り,次 の 関 係 式 を 得 る,

FrteacF'suebdbtufa"ｵ)doPｵ‐SysC6ｵ)abll^1PｵII.(4‐7)

つ ぎ に,パ ウ リ マ ト リ ッ ク ス6ｵと(4‑6)式 の 反 対 称 行 列eと の 問 に は, e62e‑1=一T σゼ,(た だ し,T6iは の の 転 置 行 列 を 表 わ す),

T ̲‑1‑e6 0e=60,

な る 関 係 が あ る こ と に 注 意 す る 。 さ ら に,4元 運 動 量 演 算 子Pμ の 空 間 反 転 性 は,π 一l P∫ π ニ ー〆,お よ び π 一1.POπ=Poで あ る こ と留 意 す る と 上 記 の(4‑7)式 は 行 列 Fが ユ ニ タ リ ー で あ る こ と,つ ま り

FF*=1, (4‑8)

な る 関係 を示 して い る こ とが 分 か る。 これ まで は,(0,1/2)表 現 に属 す る生成 子 が 幾種 か存 在 す る として,そ れ らを区別 す る添 字rの 付 いた生 成 子QaYを 考 えて きたが, 以 降で は,Yの 自由度 が単 一 の場合(単 純超 対称 性 の場 合)を 考 察 す る こ とにす る。 こ の場 合 の生 成子 をQaと 表記 す る。 この単純 超対 称 性 の場 合 に は 、orsは1行 ×1行 の行 列 つ ま り位 相 因 子 に な るが これ を 単 に ノと表 記 す る 。Qaに 対 す る パ リテ ィ変 換 式 (4‑5)は 次 の様 に なる,

π 一1Q。 π1=.feabQ*a. (4‑9)

こ の パ リ テ ィ 変 換 性 は 注 目 に 値 す る 。 と い う の は,こ の(4‑9)式 と そ の エ ル ミ ー ト共 役 の 式 か ら,

π 一2Q。 π2=‑Qa (4‑10)

な る奇妙 な変換 性 が結 論 され るか らで あ る。

5.議 論 と む す び

第3節 で超 対称 性 生成 子QaとQ*bの 反交 換 関係(3‑14)式 を導 出 した。 第4節 で は,こ の第3節 の結 果 と既 に知 られ てい る演算 子(JとK)の 空 間反転性 か らQaの 空 間 反転性(4‑9)式 と(4‑10)式 を決 定 した。 そ の時,(4‑10)式 の変換 性 が 奇妙 であ る と述 べ た が,そ れ は,空 間反 転 を2度 繰 り返 した ら時空 は完 全 に元 に戻 る に も拘 わ らず,生 成子Qaは 元 に戻 らず符 号 が 逆転 して し ま うこ と を(4‑10)式 が 示す とい う単 純 な考 え方 か らであ る。 さ らに付 け加 え る と,文 献(')に おい て も,あ る 固有 パ リテ ィを もつ ボ ソ ン状態 にQaを 作 用 させ て得 られ るフ ェル ミオ ンは虚数 の 固有 パ リテ ィを持 つ とい う 「驚 異 的結果 」 を(2‑9)式 は もた らす と論 じられ てい る。

超 対称 場 の理論 で は,生 成 子QaとQ*aを4個 の フ ェル ミオ ン的6数 の超 空 間 にお け る並 進 生 成子 と考 え,ロ ー レ ンッ不 変 な理 論 を構 築 す る。 そ こで留 意す べ きは,超 対 称性 の生 成子 の段 階 で本稿 で論 じた奇 妙 な振 舞 が 現 実 の物 理 的世 界 で は現 われ な い よ うに理 論 を構 成 すべ きで あ る とい う点 であ る。 それ 故,本 稿 の 意義 は この留 意 点 の 出 処 を明確 にす る ことにあ った と言 え よ う。

参 考 文 献

(1)S.Weinberg:TheQuantumTheoryofFields,III(CambridgeUniversitypress,Cambridge,2000) (2)前 場 書 。

(3)九 後 汰 一 郎,ゲ ー ジ 場 の 量 子 論1,第1章(新 物 理 学 シ リ ー ズ23,培 風 館,1989) (4)H.Geogi,LIEALGEBRASinPATICLEPHYSICS,Chap.IV(TheBenjamin/CummingsPublishing

Company,INC.1982)

(5)S.ColemanandJ.Mandula,Phys.Rev.159,1251(1967).

参 考 文 献(1)に こ の 定 理 の 解 説 が あ る 。