矩形板の複合非線形解析

矩形板の複合非線形解析

森田 千尋＊・崎山毅＊

松田 浩＊

Geometrical and Material Nonlinear

Analysis of Rectangular Platg

      by

Chihiro MORITA＊， Takeshi SAKIYAMA＊

     and Hiroshi MATSUDA＊

  In this paper， an approximate method for analyzing the geometrical and material nonHnear problems of rectangular plates is proposed． The solutions of partial differential equations of rectangular plates are obtained in discrete forms by applying numerical integration， and they give the transverse shear forces，

twisting moment， bending moments， rotations， deflection， in−plane displacements and membrane forces at all discrete points．

 As the applications of the present method， geometrical and material nonhnear problems of rectangular plates with three types of boundary conditions are calculated．

1．まえがき

 一般に，矩形板は荷重によるたわみの増大に伴って，

微小変位の線形弾性状態から，膜作用を誘発する非線 形弾性状態になり，さらに，弾塑性状態に移行する。

このように，大たわみが生じているときの矩形板は，

弾塑性状態になっている場合が多く，幾何学的非線形 と材料非線形とが複合された，いわゆる複合非線形問 題となる。非線形挙動を支配する基礎方程式は非線形 であり，直接それを解いて矩形板の挙動を解析するこ

とは容易ではない。

 横荷重を受ける矩形板の幾何学的非線形問題に関し ては，以前より多くの研究がある。Th． von Ka㎜掘 の非線形基礎式に基づき，有限差分法や有限要素法を 用いて解析されたもの，あるいは，あらかじめ式の形 を近似的に仮定しておき，エネルギー法により式の係 数を定める方法など，種々の方法がある。

 一方，膜作用を伴う矩形板の弾塑性領域を扱ったも のは，目下のところ数少ないように思われる。また，

複合非線形問題での研究では，解析しやすい荷重条件 と境界条件を持つ等厚板が取り扱われており，任意の 荷重条件および境界条件を持つ変厚板に関する研究 は，ほとんど見受けられないようである。

 本論文は，既往の汎用解法の応用を避けて，基礎微 分方程式の積分方程式への変換と，積分方程式の近似 解法の応用とにより求められる変数係数連立偏微分方 程式の，矩形板の縦横の等分割線の交点に関する離散 解に基づく解法を提示し，増分理論に基づく増分法に より，矩形板の複合非線形解析を行ったものである。

2．増分形基礎微分方程式と離散的近似解

 矩形板のせん断力を⑦，Qκ，ねじりモーメントを 物，曲げモーメントをル勿，ル働，たわみ角をの，，

平成2年10月1日受理

 ＊構造工学科（Department of Structural Engineering）

θκ，たわみをωとすれば，多軸応力状態にある矩形 板の塑性状態における応力とひずみの関係式に基づ いて，横荷重のほかに板の中央面に作用する面内力 ハ吻，ハ砂，翫を受けた場合の，せん断変形の影響を 考慮したMindlin矩形板の弾塑性挙動を支配する基礎 微分方程式は，次の増分形式の変数係数の連立偏微分 方程式で表わされる。

  撃＋撃＋翫∂譜＋N肇＋2翫鵜

      h）

 また，板の中央面上の瑚y方向の面内変位成分を％，

oとすれば，面内力1＞勿，ハヶ，！靴との間には次のよう な関係がある。

     ∂△〈妙   ∂△翫

        ・＝0      （1．i）

  一十

     ∂△！吻

      （1．j）

      ＋△9＋△！＞b＝0 （1．a）

∂学＋∂響L△Q ・  （1b）

∂響＋∂響L△⑦一・  （1・）

∂llκ一古（φ11肱十φ12ムノ吻十φ13△吻）

   F乃

  一万（Φll△ら＋Φ12△ら＋Φ13今θ・） （1 d）

警一古（φ21肱＋φ22△吻＋φ23ムル助）・

   F乃

  一万（Φ21△・・＋Φ22△ら＋Φ23△・η） （1・）

∂鍔κ＋讐一お（φ31△三十φ32△鯉夕十φ33ムノ吻）

  一労（Φ31△ら＋Φ32△ら＋Φ33△・η） （1f）

穿＋△θ・一畿    （1・9）

穿＋△の一霧     （1

∂△．〈砂

      ＝0   十_{∂ツ   ∂κ}

穿一歩（ψ11△翫＋ψ12ムハ砂＋ψ13△1＞砂）

  一夙Ψ11△ち＋Ψ12△ ，＋Ψ13△∫．，）

  一聯（∂△ω∂κ）L裂響

穿一÷（ず21△繭22△師23△〈妙）

  一芸（Ψ21△ち＋Ψ22△ち＋Ψ23△ η）

（1．k）

   一撃（∂△ω）・一字置   （Ll）

穿＋穿一歩（ψ31△翫＋ψ32ムハ砂＋ψ33△1＞勿）

   一乃（Ψ31△読，＋Ψ32△ ，＋Ψ33△ 。，）

   ＿黒焦一婦塑迦塑 

^（1．m）

       ∂κ

       ∂ワ

         ∂κ ∂ツ

     ∂κ

ここに，σ＝g（κ，y）：横荷重強度，E：弾性係数， G＝

  E／［2（1＋レ）］：せん断弾性係数，り：ボアソソ

  比，乃二夙酋ア）：板厚，κ；5／6：せん断修正係数，

  1）＝Eが／［12（1一レ2）］：板の曲げ七度，

  一F＝E〃（1一レ2）：板の面内剛臆，

  △：荷重増分△gに対する各断面力および変形量

  の増分，

  △翫一△翫（∂2ω ∂2△ω∂κ2十∂κ2）＋△酌（肇＋∂譜）

    ＋2△吻（∂2ω ∂2△ω  十∂κ∂y ∂κ∂ツ）

  ｛θκ，θワ，6xv｝，｛ち，ち，転｝：Appendix I   φ功 Φガ，ψψ Ψij：Appendix I 次の諸量，

  X1＝α2Qy／［DO（1一レ2）］，

  X2＝α2Q％／［DO（1⇒2）］，

  X3＝α吻／［DO（1一レ2）］，

  X4＝α物／［Do（1一レ2）］，

  X5＝α1協／［Do（1⇒2）］，

  2（6＝の，  X7＝θκ，  X8＝Z〃ノ＠，

  Xg＝碗， Xlo＝癩，

  Xll＝α2ハ吻／［0。（1一レ2）］，

  X12＝α2ハ砂／［D。（1一レ2）］，

  X13＝α2翫／［0。（1一レ2）］

 α，δ：矩形板の横縦の辺長，μ＝∂危，妬：基準板厚，

 1）o＝Eぬ8！［12（1⇒2）］：基準板曲げ剛度 を用いて無次元化後，矩形板の縦横の等分割線の交点 に関する離散的近似解は，次式のように整理される。

        ド      ノ

  ムろか＝Σ（Σα鰍4△X，た。＋Σわ卿△Xlo1）

       1三〇

     ㎡＝1 々＝ll

     十△9ρガ       （2・A）

     る  ゴ       ノ

  ムろか＝Σ（Σαヵ旅ゴムXl鳶。＋Σ∂ρ濯△Xκ01）

        ＝O

     ゴ＝1 身＝1｝

     十△《〜功       （2・B）

  αρガ々4，∂ρ〃1ゴ，△9♪ヴ：Appendix I

 この解式中に含まれる境界従属点の6個ずつの諸量

△X面，△Xlo，および4個ずつの諸量△X｝々。，△X。o，

は，いわゆる積分定数であり，境界条件によって決定 されるべきものである。また任意の領域［f，刀の主要

点における諸量△ろヴを，この領域の境界従属点にお

ける諸量△X，ゐ0，△XlO1および△X｝々0，△X；、01に関係

照されたい。

3．積分定数と境界条件

 基礎微分方程式（1．a）〜（1．h）および（1．i）

〜（1．m）の近似解（2．A），（2．B）に含まれる積 分定数△瓦如，△X』01および△X痴，△＆01は，具体 的には，それぞれ平板のッ＝0，κ＝0なる辺上にお ける断面力および変形を表わす。日田分割点において 合計10個ずつの積分定数が存在するが，平板の境界辺 の支持条件に応じて，これらの中のいずれか5個の積 分定数は，はじめから既知である。残りの5個の未知 なる積分定数は，κ＝α，y＝∂の各辺の境界条件によっ

て決定される。

 F量g．1（1）〜（3）に，各々，四辺固定板，四辺単純支持

その隅角点において2境界辺上での諸野間の関係を考 慮して定められる。詳しくは，文献1）を参照された

い。

       QY冒OQ北罵O    Qy鵠0，Mxy＝O

       Mxy冒0 θy＝0

圖1斐；9訂Ol二δo岡

1露；；i：

國蝋 恥團

4．数値計算手法

 矩形板の幾何学的非線形問題では，ひずみ一変位関 係式は非線形であり，また，材料非線形問題では，塑 性化に伴い応カーひずみ関係式は非線形となるため，

結局，両非線形性を考慮した複合非線形問題では，増 分形の変数係数の連立偏微分方程式の解を求めること に帰着される。本文で得られた増分形基礎微分方程式 の離散的近似解を用いると，荷重増分法により，矩形

板の複：合非線形解析を行うことができる。

 本文での矩形板の複合非線形解析における仮定は，

次のとおりである。

 （1）矩形板は非硬化性材料から成る。

 （2）部材断面に降伏域が生じた後もMindlinの理論

  が成り立つ。

 （3）材料は，von−Misesの降伏条件式（3）に従う。

  σノ十σノーσκσy十3τ尋＝＝σ2≦σノ       （3）

   σρ：降伏応力

 いま，第π回目の荷重増分を与えたとすると，次 の計算手順により第π回目の各断面力および変形の 増分を求めることができる。

［データ］第（〃一1）荷重段階における無次元応力      璽＿智越，込＿智蝕，蝕＿智並

     σρ     σρ  σρ     σカ  σρ     σρ

  （a）矩形板の断面を板厚方向に多層分割する。

   （Fig．2参照）

   Qy冒0，Mxy富0

圖1韮；9rO ^{Qy胃O Qx雷0θy昌0 θx鴇O}

v＝O u竃0

  蹴 髄y團

  （1）CCCC （2）SSSS

       Qy置O Qx昌O

       Mxy冨0θy冨0

圖1菱；1舘Ol至δ・面

lil睡i；i：

幽霊蠣・劔團

（3）SCSC

Fig．1 1ntegral Constants and Boundary Conditions．

1 2

…

k h

…

PZ

Fig．2 Subdivision of Cross Section into L，ayers．

（b）第（π一1）荷重段階における無次元応力を用  いてすべての離散点における断面のすべての要

 素について，偏差応力円，σ夕，殉を計算する。

（c）変数係数φψψ〃等の計算。（Appendix I）

（d）不平衡力△1Wを代入し，式（1．a）〜（1．

 h）の基礎式を解く。→肱，助，噸yの算定

（e）∂△ω伽，∂△ω／∂ッを代入し，式（1．i）〜（1．

   m）の基礎式を解く。→△翫，ムハ砂，△1吻の算定   （f）第％荷重段階における無次元増分応力の算定。

   △σノσρ，△σノσρ，△τηんρ

  （g）第π荷重段階における無次元応力の算定。

   生＝￡並，色＝￡坐，蝕＿￡躯

   σρ    σρ  σρ    σ♪  σ♪    σρ

以上の（a）〜（g）の計算を増分荷重下で繰り返して行う。

なお，（d）〜（e）の計算は幾何学的非線形問題に関してで

5−1回目の中央点のたわみを既、一1とすると，

的非線形性が卓越した挙動を示し，板厚が厚い場合で は，材料非線形性が卓越した挙動を示している。

 Fig．4は，降伏開始後の代表的な荷重段階での，

y＝う／2上の曲げモーメソトルa，面内力1靴，および たわみωの分布を示したものである。同質より面内 力脱，たわみ は荷重の増加とともに増加している のに対し，曲げモーメント漁は塑性化とともに減少 してゆく。これは，弾性域を超え塑性化した部分はも はや外力に対して抵抗せず，その近隣部分が増分荷重 に対して抵抗するためであると考えられる。

瞬・一一娠1＜10一・

    ωら∫

としている。

5．数値解析結果

 解析する矩形板は，降伏応力σρ＝2500kg！c㎡，弾性 係数E＝2．0×106kg！c㎡，ボアソソ比り＝0．3の正方形 板とし，横縦方向の分割数彿＝π＝8，板厚方向の分 割数η2＝20としている。

 （1）四辺固定（CCCC）正放形板

 はじめに，四辺固定板に等分布荷重が満載される場 合の複合非線形解析を行った。

 Fig．3は，乃ん＝o．01，0．02，0．03と変化させた場 合の中央点でのたわみに関する荷重〜変位曲線であ り，有限変形を無視した場合の解析解も示してある。

同図の瑚y軸は，それぞれたわみ，荷重を有限変形を 無視した同一寸法の板の弾性限でのたわみ（Z〃θ），荷 重（σ6）で除してある。板厚が薄い場台：では，幾何学

LO

O．5

 0

−0．5 一1．0 一1。5

0．5

驚

／多3藁薫餐ミミ＼

0．25

〃

グ 多

  Bending Moments 凹x along y昌b／2

並_Np

＼

・き N，

5

⊥

_qe

4

3

2

1

    elasto一

／／／ノ

／／・ノ  ／

 〃  ／ノ    1  〃  ／ノ   ！！1！一一

〃 ノ．4！！

ノノ傷ψ！・1・・t・雫1・・…

 形多

0

Membrane Forces 聾x along y＝b／2

h／a昌0。Ol h／a＝0．02 hla霧0．03

0     1    2    3    4 ⊥ 5        We

 Fig．3 Load−Deflection Curves（CCCC）．

  0

        ＼   、一一r   ／

          ＼．      ．！

      ヘコ         ノ

   wD         、 ｝

0．050繭τ

       Deflections w along y鴇b／2       q冨1．07qe    一  一  一  一q昌2．56qe

Fig．4 Typical Bending Moment， Membrane Force    and Deflection Diagrams（CCCC）．

 Fig．5は，代表的な荷重段階での板の上面，下面の 塑性域進行図および板中央断面での塑性域進行図を示 したものである。塑性域はまず引張側となる境界辺の 中央部上面から拡がり，つづいて下面から拡がる。こ の段階では，面内力の影響は少なく，板の上下面では ほぼ同じ様な塑性域の進行図となる。さらに塑性域は，

面内力が作用してくるため，引張側となる中央点下面 からも拡がってゆくが，圧縮側となる中央点上面の塑

性化は遅くなる。

 これらの結果は，大賀ら2），岡村，吉田3〕および 馬場，梶田，成岡4）による数値解と同様の傾向を示

C

A

C G

A

C

A

6

A

蓼

7

争一

乙

q＝1．71qe    q＝2956qe      q冒3．41qe

Fig．5 Progression of Yield Regions（CCCC）．

ゐ

一

一

一 ■ 一一｝ ㎝一

一

q＝3．63qe

している。

 なお，断面力および変位の分布図，塑性域進行図は，

三二〇．02のときは，有陳変形を無視した場合と大差 なく，肋＝0，03では，有限変形を無視した場合と一 致しているため，肋＝0．OIの場合のみを示している。

以降，他の境界条件の場合も同様である。

 （2）四辺単純支持（SSSS）正方形板

 つづいて，四辺単純支持板に等分布荷重が満載され る場合の複合非線形解析を行った。

 5

⊥ _qe

4

3

2

1

         elasto一

一り誰：？∵フiソ讐

！

0  1 

²

      We

 Fig．6 Load−Deflection Curves（SSSS）．

 Fig．6は，三種類の板厚の中央点でのたわみに関す る荷重〜変位曲線であり，有限変形を無視した場合の 解析解も示してある。板厚が薄い場合では，幾何学的

0．5

0．25

0

亟_Mp

V弓：ツ藷  〃

〃

       ほのヘコ

』一一翻一@ 、、添       瓶       蟻

0．75

0．5

0．1

Q5

0

0

   Bending Moments Mx alon8 y菖b／2

地

Membrane Forces Nx along y昌b／2

 0．050

        Deflections w along y書b／2

Fig．7 Typical Bending Moment， Membrane Force

    and Deflection Diagrams（SSSS）。

S

A A

S

q呂2● 93qe q＝3．47qe q漏4。00qe q＝4．80qe

Fig．8 Progression of Yield Regions（SSSS）．

非線形性が卓越した挙動を示し，板厚が厚い場合では，

材料非線形性が卓越した挙動を示している。

 Fig．7は，降伏開始後の代表的な荷重段階での，

ア＝δ／2上の曲げモーメント1協，面内三二，および たわみ〃の分布を示したものである。同図より面内 力1W，たわみωは荷重の増加とともに増加している のに対し，曲げモーメント醜は塑性化とともに減少

してゆく。

 Fig．8は，代表的な荷重段階での板の上面，下面の 塑性域進行図および板中央断面での塑性域進行図を示

したものである。塑性域はまず隅角点から拡がり，つ づいて，面内力が作用するため引張側となる中央点下 面からも拡がり，対角線上に進行してゆく。しかしな がら，圧縮側となる中央点上面の塑性化はかなり遅く なる。有限変形を無視した場合は，かなり塑性化が進 んだ段階でも境界辺の中央部に弾性域が残存するが，

有限変形を考慮した場合は，面内力によってこの部分 が次第に塑性化する。

 これらの結果は，岡村，吉田3）および馬場，梶田，

成岡4）による数値解と同様の傾向を示している。

 （3）対辺単純支持他対辺固定（SCSC）正方形板  さらに，対辺単純支持他対辺固定板に等分布荷重が

満載される場合の複合非線形解析を行った。

 Fig．9は，三種類の板厚の中央点でのたわみに関す る荷重〜変位曲線であり，有限変形を無視した場合の

 5

⊥

_qe

4

3

2

1

∠

    e監asto−      elastic

  1！    ！ ／   ／

  〃 ／7／／

諺ζ1熟…后

！ 〃∠

h！a＝0．01 hla＝0．02 hla昌0り03

O      l    2    3    4  ⊥ 5

 Fig．9 Load−Deflection Curves（SCSC）．

解析解も示してある。板厚が薄い場合では，幾何学的 非線形性が卓越した挙動を示し，板厚が厚い場合では，

材料非線形性が卓越した挙動を示している。

 Fig．10は，降伏開始後の代表的な荷重段階での，

ッ＝δ／2およびκ＝α／2上の曲げモーメソトル働，面内 力翫，およびたわみωの分布を示したものである。

同図より面内力翫，たわみωは荷重の増加とともに

1．0

0．5

 0

−0．5 一1。0 一1．5

亜_Mp

づマ…葬…》

〃／！

1

■嘲h馬陶賊、

    、・』

0．5

〃

     」

y・b／2 1 ・・a／2

  Bending Moments Mx

0。25

0

巫        ・也

≒三三‡ミミ＼

      ＼ 、

＼

 、・」    、

・＝b／2 1 ・・a／2

  Membrane Forces 冠x

増加しているのに対し，曲げモーメント擁は塑性化

とともに減少してゆく。

 Fig．11は，代表的な荷重段階での板の上面，下面の 塑性域進行図および板中央断面での塑性域進行図を示 したものである。塑性域はまず固定辺の中央部から拡 がり，つづいて，面内力が作用するため引張側となる 中央点下面からも拡がり，対角線上に進行してゆく。

しかしながら，圧縮側となる中央点上面の塑性化はか

なり遅くなる。

0

0．025

0．050          l    x冒a／2

      Deflections w

6．結 語

 本論文は，有限変形を考慮した矩形板の，初期降伏 後の弾塑性挙動を解析するための一離散化数値解法に ついて述べたものである。有限変形を考慮した矩形板 の変位一ひずみ関係，および弾塑性応力状態にある矩 形板の応カーひずみ関係により，矩形板の非線形挙動 を支配する増分形の基礎微分方程式を導き，その基礎 方程式に基づく直接的でかつ半解析的な矩形板の非線 形問題の一解析法を提示した5本解析によると，矩形 板の複合非線形問題を一般的にかつ比較的容易に解析

することができる。

q＝1．75qe    ＿  ＿     一q＝4．07qe

＿一一＿脚一＿一の＿． 早≠R．20qe    一噂・一・一・一q＝4．65qe

Fig．10 Typical Bending Moment， Membrane Force     and Deflection Diagrams（SCSC）．

B

S

A

C

」 _C

S

A

1 護      ∠

@ 1

l       B

X 1      多       1

W

1

砺

1    吻  

@    脇

^{i  z   z}

q＝L75qe

㊤

ql謬3．20qe q＝4．07qe 『q冒4．65qe

Fig．11 Progression of Yield Regions（SCSC）．

［Appendix I］

△ら．穿＋壱（∂△ω∂κ）・＋讐警

△吻一

      ∂ω∂△ω

         ∂△ω∂△ω

    ∂△％

      ∂△抄

      ∂ω∂△ω

△％ 一iガ＋石「＋一三一可一＋蕊万一＋万π

     ・∂2△ω       ∂△θ劣

△ち  ∂κ2   一薇7

△6一一∂謬一 警

△勢 2∂譜  警＋響

［φガ］＝［φガ］一1，［Φガ］＝［φガ］［zが］

［ψ〃］＝［ψ〃］一1，［Ψ〃］＝［ψザ］［Z〃］

       φ、一12伍・・ξ・4ξ・炉伍・・ξ4ξ・ψ・一伍・・4ξ     2      2      2

 αllα12α13  1レ 0   α2σδαo

α21α22α23一・1・一 ^{・・∂δ・δ・}

       1一レ

       α6∂oo2  α3！α32α33  00

      2

σ一σま＋レσ夕，∂＝σ夕＋レσを，・＝（1一レ）・均・

4＝ασ三＋∂の＋26τ寿

σを＝（2σκ一σア）／3σ♪， σ夕＝（2σ），一σκ）／3σρ， τまy＝τκンノ∂ρ，

σ♪＝降伏応力、

［Appendix皿］

ρ＝1〜8のとき

   8  ゴ

。：ρ｛油4＝C≡雪｛Σβ解4μ［αゲ。屈一αの湿（1一δ戸∫＝0）］

    ノ

   ＋Σβノ露ρf［αω。ゼα、f。々4（1一δ幻・）・］

   ．渥＝O     ゴ ゴ

   ＋ΣΣβがβ忽Cρ拶惚耀（1 一δノ葦・δ8ノ）｝

   ∫ニ0κ富0

δρガゼ＝C≧1｛Σβ，1〆1ρ，［うが曜一∂静罎（1一δ万∫＝0）］

    ノ

   十Σβψρ，［∂，。9ゼδだg」4（1一δ幻・）］

    κ累。

    ノ ゴ

   十ΣΣβがβノgCρ妙惚湿（1一δ戸δ幻・）｝

    ∫＝09＝0    お   ゴ

ム9ρガ＝ C≧1｛∫≧㍉βが〆1μ［△（〜ゲ。一△9｛が（1 一δ戸）］

    ノ

   ＋Σβノρρ，［△（〜fO9一△9だg（1 一δ幻・）］

    κニ0

    ゴ ノ

   ＋ΣΣβ顔β忽Cρ惚△σ塘（1一δ万δ幻・）｝

   ノ冨0κ＝0

    ゴ ノ           一ΣΣβがβ勿｛且ρ1（△（7惚十ムハな惚一△鰯）＋1〜塊｝

   ∫＝0κ＝O

  R擁＝γρ4Rl逸→一γρ5R2逸＋γρ6R3忽

ρ＝9〜13のとき

   ロヨ  ゴ

αρ舜4＝C義｛Σβ解4μ［αゲ。んd一α静々4（1一δ万∫＝0）］

    ノ

   十Σβノ誤μ［σ，08た4一α∫ゆゴ（1一δρ）］

   8＝o

    ゴ ノ

   ＋ΣΣβ〃βノgC♪卿z惚ゐ4（1一δ万δρ）｝

   ∫＝08＝0

δρガ〃＝C≧見｛∫≧：1，β≠μ［δヴ。ゼー∂静曜く1 一δ戸）］

    ノヒ

   十Σβノβρf［δ，044一砺塀4（1一δ幻）］

    9＝0     ゴ ノ

   十ΣΣβヴβノ8Cρヴψ惚湿（1 一δ万δ97・）｝

    ∫＝08＝0

ム9ρ〃＝C≧気｛∫≧：1）βが〆1ρ ［△（1ゲ。『△9｛が（1 一δ戸）］

    ゴ

   十Σβψμ［△9，09一△σだg（ 1 一δ即・）］

    8＝0     ゴ ゴ

   十ΣΣβヴβノgCρ惚△（〜惚（1 一δノ至・δ9ノ）｝

    ∫＝Og＝0     ゴ ノ    一ΣΣβ顔β∫調鋸     ／＝Oκ＝0

  ≦ミ血庭r＝γρllSlプ吾→一γρ1252プ喜十γρ13S3ノ宮

△を＝μ△￠α31［Po（1一レ2）コ，

廊＝μ△Ncα31［D o（1一り2）コ

1〜f＝（12μα／み）（ΦfI△θκ十Φゴ2△θy→一Φf3△6蔑y）

      （∫＝1，2，3）

△R＝1〜1λ彫十R2λツ十R3切 51＝μ［み（Ψll△ち＋Ψ12△ち＋Ψ13△ち，）

  十（△肱）2！2十肱△骸］

52＝μ［乃（Ψ21△ち＋Ψ22△ち＋Ψ23△ち，）

  十（△防）212十助△助］

S3＝μ隣（Ψ31△ち十Ψ32△ち十Ψ33△ちッ）

  十△既△三十三△三十防△肱］

   骸＝∂ω／∂劣，防＝∂ω沿ツ

みρ1一γρ1 且ρ、一〇 且ρ・一γρ・ 且ρ・＝γρ・

孟♪，＝〇 五ρ・＝アρ・・且ρ・＝γρ・ 且ρ・＝γρ・

五♪，一γρ12 五ρ1。＝γρ13丑ρ11＝γρ・ 孟ρ12＝γρ1・

・4ρ13＝0

召ρ1＝O  Eρ2＝μγρI Bρ5＝μγρ2 Bρ6＝μγρ6 Bρ9＝μγρ13 Bρ1。一μγρll 易13＝μγρ9

Cρ1盈＝μ（γρ3十1魚γρ8）

Bρ3＝μ7ρ3 βρ4＝O Bρ7＝μγρ4 βρ8＝γρ7  Bρ11＝μγρlo Bρ12＝0

      Cρ2摺＝μγρ2十砺7ρ7 ら3バ煽［（7ρ一鰯γρ1）φ13惚＋（γρ5一娠γρ1）φ23惚    ＋（γρ6一晦7ρ韮）φ3塊］

Cク4惚＝秘［（γρ4一鰯γρ1）φ1雛＋（γρド砺γρ1）φ22㎏

   ＋（γρ6一晦γρ1）φ32惣コ

Cρ5忽＝砺［（γρ一鰯γρ1）φ11な＋（γρド砺γρ1）φ21摺    ＋（7ρ6一晦γρ1）φ31忽］

Cク6倉＝一μγρ8   Cρ7魚＝一γρ7   Cρ8愈＝O Cρ9忽＝O   Cρ1｛惚＝O

Cρll／2＝1 ノ宮（γρ11ψ13惣十γρ12ψ23亀「十7ρ13ψ33L屠，）

Cρ董2忽＝五惚（γρllψ12㎏十γρ12ψ2塘十γρ13ψ32惣）

Cρ13惚＝五惚（γρllψllな＋γρ12ψ21惚＋γヵ13ψ31忽）

［γρ，］＝［ρψ］一1

（ρ＝1〜8，

ρll＝βだ   ρ12＝μβガ

ρ13＝β｛孟ゲ（φ13ヴえんヴ十φ23か〜lyガ十φ33〃え廻ソウ）

ρ14＝β議ヴ（φ12か砺＋φ22ガλ砺＋φ32ガ切夢）

ρ15＝β絢（φ11ガ勉が十φ21かえツガ十φ31ヴ切ガ）

9ρ22＝一μβガ   ρ23＝βガ   ρ25＝μβガ   ρ31＝一μβガ ρ33＝μβガ  ρ34＝βff  ρ43＝一β澱ゲφ13ガ  ρ44＝一β孟ワφ12〃

ρ45＝一β絢φllヴ ρ47ニμβガ ρ53一一β協φ23ガ

ρ78＝β万    ρ81＝ 一 μβ夢1（珍    ρ86ニμβガ    ρ88＝βだ

ρ911＝βだ

ρll13＝一βウLガψ11ガ ρ1212＝一βガ場ψ22ヴ

ρ913＝μβガ ρ1。ll＝μβガ ρ1・12＝βガ ρ1111＝一βガL〃ψi3ガ   ρ1112＝一βガLヴψ12〃

ρ129＝βガ ρ1211＝一βガ賜ψ23σ ρ1213＝一β両ψ21ヴ ρ139＝μβ万

ρ1312＝一βが五｛ノψ32ガ

βガ＝βガβガ

窃一μ（1一・・）（励 ）・，1（ガー砺1（12・G・・妬），

Lガ＝（1一レ2）乃81（12α2妬），

えん＝一ハ伽21［Do（1一リ2）］，

か＝一．〈砂σ2！［Do（1ニレ2）コ，

切＝一ハ妙α21［1）o（1一り2）］

         参考：文献

1）甲山毅・松田浩：変厚矩形板の曲げの一解析法，

 土木学会論文報告集，第338号，pp．21−28，1983．

2）Ohga， M．， T． Shigematsu and T． Hara：ACom−

 bined Finite Element−Transfer Matrix Method．

 Proc． ASCE， Vol． l l O EM9， pp．1335−1349．

3）岡村宏一・吉田公憲：大たわみ，および，リブの  補鋼を考慮した長方形鋼板の弾塑性解析，土木学   会論文報告集，第196号，pp．29−43，1971．

4）馬場俊介・梶田建夫・成岡昌夫：差分表示を用い   た非線形解析，土木学会論文報告集，第256号，

 pp．11−20， 1976．

5）松田浩・崎山毅：矩形板の非弾性曲げの一解析

  法，構造工学論文集，Vol．33A， pp．257−264，

  1987．

6）山田義昭：マトリックス法材料力学，日本鋼構造  協会編，培風館．