円分塔の非可換類体論

円分塔の非可換類体論

藤原 一宏^∗

2001

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1 ^導入

F をQ上g 次の総実代数体とする。素数pを固定し、F の円分Z_p拡大をF_∞⊂F(ζ_p∞) と書く。この F_∞ の絶対 Galois 群の p 進表現 ρ : Gal( ¯F_∞/F_∞) →GL(N,Q¯p) を分類記 述したい。もう少し正確に問題を述べよう。

Γ := Gal(F_∞/F)→^∼ Z_p と書く。この円分塔の n-th. layerF_n は部分群pⁿZ_p ⊂Z_p に対 応する部分体である: Gal(F_n/F)Z/pⁿZ (n ≥1)。F_∞ およびF の整数環を各々 OF∞, OF と書き、それぞれのスペクトルを C = Spec(OF∞), C = Spec(OF) と書く。C は C の Γ 被覆になっている。

C の閉点の有限集合 Σ ⊂C で p を割る素点を含むものを取る。簡単のためにΣ は F 上定義されている、すなわちC の閉点の有限集合Σの C での逆像になっているとする。

F_∞ の Σ の外では不分岐な極大 Galois 拡大のGalois 群を G_Σ^e :=π1(C\Σ) で表せば、完全列

1−→G_Σ^e −→GΣ −→Γ−→1

から準同型 Γ→Out(GΣe) が得られる。この Γ対称性を用いて Gal( ¯F_∞/F_∞)の代わりに GΣe の p進表現を記述したい。

2 F

上の Ordinary ^表現

既約 p進表現 ρ:GΣe →GL(N, Ep) が ordinary とは (ord) p を割る任意の素点 ˜v で ρ˜v =ρ|G˜v は ordinary。

∗名古屋大学多元数理学研究科

1

を満たすことだった。ただしG_v˜ は v˜での分解群である。局所 ordinary 表現の定義はこ こでは説明しないが、例えば N = 1 ならば ρv˜ が不分岐なことであり、N = 2なら

ρ_v˜

χ_1,v˜ ∗ χ2,˜v

かつχ_i,v˜ たちが不分岐なことである。

目標: 上のような ordinary表現 ρ/F_∞ を分類したい。

これは依然としてコントロール不能な問題である。

3 Ordinary ^表現の例 ( ^肥田理論 )

N = 2の場合を考える。

肥田氏は80年代後半に nearly ordinary Hecke 環を構成した。それは可換な完備局所 NoetherZp 代数T_F で Λ 代数になっているものである。ただし p を割るF の素点v に 対して O_v^× の pro-pパートをΓ_v (局所変数の群)、π1(OF[1/p])^ab の pro-p商を Γ_F (大域 determinant 変数 の群) としたとき、Λ は

v|p Γ_v×Γ_F の群環である。よく知られて いるLeopoldt 予想はΓ_F の Zp 上のランクが 1 であること、言い換えればΓ の Zp ラン クが g+ 1であることと同値である。従って例えば F が Q 上アーベル拡大である場合に はこれが知られている。

T_F は Hilbert保型形式に作用するHecke作用素T_v (v /∈Σ)たちで生成されている。そ して Hecke 固有値f :T_F → O^p (準同型) で

v|p Γ_v ×Γ_F の位数有限指標に対応するも のに対して、Op に係数を持つウェイト (2, . . . ,2)の Hilbert new formが対応する。

さらに、巨大な Galois 表現

ρ_T :G_Σ −→Aut_ΓF(L), L はT_F² 内のT_F 格子 で nearly ordinary:

ρ_T|Gv

∗ ∗

χ_v

, χ_v :G_v → O^p[[Γ_v]]^× 普遍指標, ∀v|p

なものがある。ρ_T は Hilbert 保型形式に付随するGalois 表現たちをinterpolate してい る。これから F_∞ の ordinary 表現を得るには、変数制限

Γ_v −→γ_v −→^∼ Zp, γ_v は局所Zp 拡大に対応する Zp 拡大 Γ_F −→0

をすればよい。このとき、Γcycl:=

v|p γ_v とおけばこれはランクがS ={v|p} の Z_p 加 群である。Λ =Zp[[Γ_cycl]] として、局所円分変数付きnearly ordinary Hecke環を

T_F,cycl := (T_F ⊗ΛΛ)_red 2

と定める。これにより Galois 表現ρ_TF,cycl が対応するが、この F_∞ の Galois 群への制限 ρBig は ordinary 表現になる。

こうして肥田理論から ρBig を制限することで GL(2) に値を持つ ordinary 表現の例が 得られる。

注意 3.1. こうして得られる表現の大部分は motivic でない。

ここで基本的な問題は

全ての ordinary 表現は上のようにして構成されるか。

ということである。これはF_∞上の ordinary 表現で有限のlayerF_n 上には決して落ちな いものがあるので正しくないことがすぐわかる。そこで次の基本問題は、

問題 3.2. 既約 ordinary 表現 ρ:G_Σ^e →GL(2, E^p) が局所 descent 条件 (†)_p v˜|p では ρ˜v は F_v (v ∈SpecOF) の nearly ordinary 表現に落ちる。

(†)-p v˜p では ρ_˜v は F_v に落ちる。

を満たせば、ρ はある有限 layer 上定義されているか。

ということになろう。すなわち ρ に対して ρ : G_Fn → GL(2, Ep) があって ρ ρ|F∞

ということになる。これができれば、F_∞ 上の ordinary表現の分類を各有限 layerF_n 上 のそれに帰着できる。後者の問題は Serre の予想のようなものであり、例えば N = 2な らば私自身による R=T 定理によって攻略できる。

問題 3.2 は強すぎることをいっているよう見える。しかしN = 1 で F が Q 上アーベ ルな場合を考えると、GL(1) に対する問題3.2 は岩澤-Greenberg予想 (1973) : 「F が総 実ならばπ1(C) ^ab_p は有限。」に同値である。すなわち上の問題は岩澤-Greenberg 予想の一

般化(非可換版) と考えられる。

4 ^主定理

問題 3.2 はもちろん難しいが、その根拠を証明することができる。

p は奇素数、F が Q 上アーベルであるとする。Totally odd な2次指標 χ :G_F →Q¯^×_p で

(1) χはv|pで不分岐かつ、χ(v)= 1。χはTeichm¨uller指標ωのべきでない。H¹_f(F, χ) = 0 (F_χ/F の相対類数がp で割れない)。

(2) 素点y で χ(y)= 1, χω(χ) = 1。

なるものを取る。F を固定したとき、p を十分大きく取ればこのような χ が存在するこ とは内藤、百瀬氏らによって知られている。また p = 3 ならばこのようなものは常に存 在する。このとき ρ˜:G_F →GL(2, k), k= ¯F_p であって

3

• 0→k→ρ˜→χ→0;

• ρ˜|Iv は v =y で split し、y では split しない。

なるものがある。

定理 4.1. n ≥0 に対して ρ˜の deformation ρ で ρ|_G˜v が F_n,v に落ちるものたちを統制す

る極小 deformation 環を R_∞,n と書く。このとき次の2条件は同値である。

(1) n >>0 ならば R_∞,n =T_Fn,cycl,ρ˜ (問題3.2 が成立)。

(2) 岩澤-Greenberg 予想が F に対して成立。

(2) から (1) は Taylor-Wiles系を使って証明される。(1) から (2) は Eisensteinイデア ルの解析による。

ある一つのχについて(1) (GL(2)ケース)を示すことで、岩澤-Greenberg予想(GL(1) ケース)が従う点が重要である。

(今野 拓也 記)

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