３ 数学科
数学的活動を生かした授業設計
～数学的な思考力・表現力が育つ数学的活動～
高橋 利彰 本論の要旨
本校には，生徒がしっかりと学習に取り組んでいる。だから，多少難しい問題が出題さ れても，正解率は高い。しかしながら，語句などを覚えて解く問題は得意としていても，
説明を求められる問題を苦手とする生徒は多い。その背景には，暗記することに頼ってし まい，説明をするまでの理解には至っていないことや，説明の仕方がわかないこと，語彙 力が足りないなどが挙げられる。数学における基礎的・基本的な知識を身につけることは もちろんのこと，数学的な表現を使って自分なりに表現することができるような力をつけ させたい。そのためには，授業の中で，数学的活動の中にきらりと光る面白さを見つけ出 し，より興味を持って取り組めるように仕向けていきたい。また，数学科学習を通して数 量や図形などに関する基礎的な概念や原理・法則についての理解を深め，数学的な表現や 処理の仕方を習得していくことで数学的な思考を育成していきたい。
数学的な活動を取り入れた授業を計画し，実践を深めれば，数学のよさを実感しながら，
理解を深めさせることができると考え，様々な事象を数理的に考察する能力と態度を養う ことを目指した。
キーワード 数学的活動 ，日常生活，説明する活動
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（１）はじめに
数学を学習する上で大切なことは，観察・操作・
実験などの活動を通して事象に深く関わる体験を積 むことであり，これらの活動を通して言葉として数 学で表現し，吟味を重ね，さらに洗練させていくこ とにある。また，知識や技能の獲得のために，既習 のことから新しいことを見いだし，スパイラルな構 造を持って自らの知識を再構築させていくといいと 考えられる。そこで，数や図形の性質などを見いだ すことや，学んだ数学を利用すること，またその過 程で数学的な表現を用いて説明し合うことを数学的 活動の内容として位置づけている。単に問題を解く ことだけでなく，自分なりに考えたことや気がつい たことなどを既習の知識を使って自分なりの表現す ることは，学習内容を深めていくために有効である。
さらに日常生活の中にあるものと数学を結びつけて いくことで数学を身近なものとして捉えられるであ ろう。つまり，より一層の数学的活動の充実を図る ことで，生徒が目的意識を持って主体的に取り組む 学習になることを目指している。
本研究では，授業の中に数学的活動を多く取り入
れることにより生徒に数学の楽しさを実感させ，数 学的な見方や考え方が深めさせることができると考 えた。
（２）研究のねらい
数学教育の目指すものは，「自ら考える力」を育 成することであると考える。そのことを身につけさ せるために，生徒が目的意識を持って主体的に取り 組んでいくことが大切である。数学的活動を楽しむ ためには，単に楽しむのではなく，それによって生 徒にどのように知的成長がもたらされるかという質 的側面に目を向けなければならない。生徒が何のた めに学習をしているかとわからないということであ れば，自ら考えようとしないし，数学的活動の楽し さを実感することはできない。数学的活動を充実す るためには，自ら考える場面を伴う学習指導を行う ことが求められる。
自ら考えることが伴う学習指導として「問題解決 の授業」を展開していくことが生徒にとって効果が 大きいと考える。その問題解決の過程の中で，試行 錯誤したり，操作をしたり，資料の収集整理したり，
実験したり，観察したりするなど様々な営みが行わ れるが，それらを通して数や図形の性質などを見い
だすことや，学んだ数学を利用すること，またその 過程で数学的な表現を用いて説明し合うことなどの 数学的活動を行うのである。また，「問題解決の授 業」を行う上で，「問題」の占める比重は大きい。
生徒の学習意欲を引き出すことのできる問題や，問 題の解決過程で新たな指導内容を身につけさせるこ とのできる問題を授業の中で取り入れていくことが 重要である。いかにシンプルで，かつ，生徒の心を 揺さぶる課題を与えられるかが重要である。このよ うな取り組みを通して，説明を聞いて理解を深める のではなく，試行錯誤しながら取り組むことでより 深く理解できると考える。そのような試行錯誤の過 程こそ，生徒たちの知的欲求をくすぶり，数学的活 動に深みを与えるものである。
（３）研究仮説
生徒の学び合いを深めていくために，数学的活動 を基にした教材を開発し，それを利用した授業を展 開していく。
（４）仮説設定の理由
生徒の学びを阻害しているものに，数学という学 問が無意味だと感じている生徒がいることにある。
日常とはかけ離れたものとして捉えたり，意味のな いものとして捉えてしまうことが多く，理解できな い問題に出会うとその傾向が強くなる。数学に興味 を持ち，日常と結びつけいくための数学的活動をど のように設計していくかが重要であろう。
数学的活動には，数学の世界において，既習の数 学を基にして，数や図形の性質などを見いだし発展 させる活動，日常生活や社会における具体的な事象 などの数学外の世界と数学を結びつけ，数学を生か して考察したり処理したりする活動がある。また，
これらの活動がより洗練されたものに高められた り，そこで見いだされた問題意識や検討の成果を共 有するためには，数学的な表現を用いて説明し伝え 合う活動が必要不可欠である。したがって，以下の ３つの活動をいかに充実した活動にしていけるかが 重要なポイントだと考える。
①既習の学習を基にして，数や図形の性質などを見 いだし，発展させる活動
既習の数学を基にして，数や図形の性質などを見 いだし，発展させる活動は，発展的，創造的な活動 である。自由な発想を大切にして指導にあたりたい。
②日常生活や社会で数学を利用する活動
日常生活や社会における問題を理想化したり，単 純化したりすることによって定式化し，数学の世界 で処理して，その結果の意味を日常生活や社会にお
いて解釈し，問題を解決する活動である。日常生活 や社会のできごとを自ら数学と結びつけて考察した り処理したりする活動を通して，数学を利用するこ との意義を実感し，既習の知識及び技能，数学的な 見方や考え方などの必要性やはたらきを実感できる 機会が生まれる。
③数学的な表現を用いて，根拠を明らかにして筋道 を立てて説明し伝え合う活動
言葉や数，式，図，表，グラフなどを適切に用い て，数量や図形などに関する事実や手続き，思考の 過程や判断の根拠などを的確に表現したり，考えた ことや工夫したことなどを数学的な表現を用いて伝 え合い共有したり，見いだしたことや思考の過程，
判断の根拠などを数学的に説明したりする活動であ る。
２�授業事�
（１）対象・単元名・授業担当
第2学年，連立方程式，高橋利彰 田中龍行
（２）単元設定の理由（題材観・生徒観・指導観）
文字や文字式を用いることによって，数量やその 関係を簡潔・明瞭に，しかも一般的に表現すること ができる。そして，文字を用いた式に表現できれば，
その後は目的に合うように形式的に処理することが できる。具体的な数字を用いて計算することは理解 しやすいが，文字を使った抽象的な説明になると理 解できない生徒も多い。これまでの学習の中で，そ のため文字式を使って表現することの便利さが充分 に理解できていないということになる。また，文字 式での計算を機械的に行っているだけで，計算方法 を十分に把握していない生徒もいる。
第１学年では，一元一次方程式について，その中 の文字や解の意味を理解し，その解き方について学 習している。第２学年では，問題解決の場面で連立 二元一次方程式を活用することにより，方程式の活 用場面はいっそう多くなり，問題解決の幅が広がる。
数 学 科
連立二元一次方程式を活用するにあたっては，式を 立てる段階が重要である。そのためには，数量関係 を表や線分図で表してその関係を明らかにしなら，
式を立てていきたい。
さらに，立てた式を操作しながら，問題解決に向 けて取り組んでいく。具体的な問題を解決するにあ たっては，変数と方程式の数が一致していることが 方程式の解を一通りに定めるために必要であること などに気づき，二元一次方程式や連立二元一次方程 式について見通しをもって的確に活用することがで きるようにする。
この単元では，二元一次方程式とその解の意味や 二元一次方程式を連立させることの必要性と意味お よび連立二元一次方程式の解の意味を理解し，解を 求めることができるようにしたい。また，解き方を 通して文字式の計算の理解を深めていきたい。そし て，新聞や雑誌などから情報を必要に応じて取捨選 択をし，連立二元一次方程式と組み合わせながら問 題解決の場面につなげていきたい。
これらのことを考慮して，本単元を設定した。
（３）学習指導計画 （全１０時間）
第１次 連立方程式 （５時間）
第２次 連立方程式の利用（３時間）
第３次 課題学習 （２時間）本時１／２
（４）評価規準
①関心・意欲・態度
連立二元一次方程式の必要性と意味に関心をも ち，問題解決のためにすすんで活用しようとする。
②見方・考え方
ある特定の量に着目したり，数量関係を明らかに して方程式を立てることができる。
③表現・処理
文字を消去して一元一次方程式を導くために，代 入法や加減法を使って解くことができる。
④知識・理解
連立二元一次方程式を解くことは，二つの二元一 次方程式を同時に満たす値の組を求めることである ことを知る。
（５）本単元における「情報の時間」との関連 ある問題を解決するためには，何が問題なのか，
そして解決するためには何を基に考えなければなら ないのかを，与えられている情報から分析していか なければならない。今回の授業では，与えられたテ ーマに基づいて日常生活の中にある事象から求めた いものを決めさせた。そして，それを求めるために 情報を抜き出したり，必要に応じて作り出したりす ることで，普段目にしている事象から方程式を意識 させながら，数学的な視点で物事を見つめることを ねらいとしている。また，自分で問題制作に取り組 むことにより生徒の意欲が高まり，課題解決に向け て創造する力を養うことができると考える。情報の 時間のねらいの一つとして，創造する力を養うこと がある。日常生活の中から連立方程式の問題にふさ わしい事象を選ばなくてはいけない。既習の内容を 利用して，個性豊かな問題作りにつなげていきたい と考える。
（６）学習過程
学習内容・活動 指導・評価（◆）
導 1. 前 時 の 学 習 を 振 り 返 る 。 ① 前 時 の 問 題 作 成 の 時 に 書 い た 付 箋 を 紹 介 す る 。 入
2. 本 時 の 学 習 目 標 を 知 る 。 ② テ ー マ を 選 び ， 身 の 回 り に あ る 事 象 か ら 問 題 を つ く る こ と を 知 ら せ る 。
展 3.プ リ ン ト を 配 布 す る 。 開
4.課 題 を 選 び 問 題 を 作 る 。 ③ 新 聞 や 雑 誌 な ど か ら 問 題 に な り そ う な 事 象 を 絞 ら せ る 。
5 .雑 誌 ， 新 聞 ， 広 告 な ど を 基 に 問 ④ 問 題 を つ く る た め に 必 要 な 情 報 と 求 め る も の を 考 え さ
題 を つ く る 。 せ る 。
⑤ 等 し い 関 係 に あ る も の を 考 え さ せ ， 式 を 立 て さ せ る 。
⑥ 電 卓 を 配 布 し ， 必 要 に 応 じ て 使 う よ う に 指 示 を す る 。
⑦ 問 題 の 解 答 を 作 り ， 解 き 方 の 手 順 を 省 略 せ ず に 書 く よ う に 促 す 。
机 間 指 導 （ T1・ T2）
課 題 に 取 り 組 め な い 生 徒 に つ い て は 教 科 書 の 問 題 を 参 考 に さ せ る 。
◆ つ く っ た 問 題 を 解 く こ と が で き た か 。
【 表 現 ・ 処 理 】
◆ 情 報 を 利 用 し て ， 問 題 を つ く る こ と が で き た か 。
【 数 学 的 な 見 方 ・ 考 え 方 】
⑧ で き た 生 徒 か ら 挙 手 さ せ て 点 検 す る 。 6 . で き た 問 題 を ４ 人 班 で 交 流 す ⑨ 4人 班 に な り ， お 互 い の 問 題 を 交 流 す る 。
る 。 ⑩ 付 箋 を 配 布 し ， 班 の 中 で い い 問 題 に コ メ ン ト を 書 か せ 貼 ら せ る 。
7 .付 箋 の 多 か っ た 問 題 を 模 造 紙 に ⑪ 付 箋 が 多 か っ た 問 題 を 画 用 紙 に 書 か せ ， 黒 板 に 貼 り に
書 く 。 行 か せ る 。
⑫机を元に戻し，黒板に貼られた問題をノートに解かせる。
8 . 発 表 さ れ た 問 題 を み ん な で 解 ⑬できた生徒から挙手して，解答を書かせる。
く 。 ⑭書いた生徒に答え合わせをさせる。
◆ 連 立 方 程 式 の 解 き 方 の 手 順 が 分 か る 。 9. 答 え の 確 認 を す る 。 【 知 識 ・ 理 解 】
ま 10. 本 時 の 学 習 の ま と め を す る 。 ⑮ 自 分 の 理 解 で き た と こ ろ ， 理 解 が で き な か っ た と こ ろ
と を 整 理 さ せ ， 復 習 ， 再 確 認 す る こ と を 伝 え る 。
め
・求める数量を決める。
・求めるために必要な数を決める。
・連立二元一次方程式を立てる。
・連立方程式を解く。
・答えの確かめをする。
【課題１】個数，値段や人数を求める問題
【課題２】速さの問題
【課題３】割合や濃度を求める問題
【課題４】その他の問題
数 学 科
（７）授業分析
本時の目標は，「方 程 式 ， 図 ， 言 葉 が 表 す 場 面 か ら ， 既 習 の 内 容 を 利 用 し て 問 題 を 作 る こ と が で き る」 で あ り ， 問 題 作 成 に お け る 目 的 は， 次の８つが挙げられる。
①現実感と具体化が期待できる
②個に応じていること
③次なる疑問や課題（多様性）
④生活場面からの数理化
⑤異なる予想
⑥多様性
⑦オープンエンド
⑧答え
本時では，①や②，④をねらいの中心においてい る。中でも，今までに学習してきた連立方程式の計 算を，単なる式の計算で終わるのではなく，日常の 世界の中でも利用できるように広がりを持たせるこ とが問題作成の授業の良さである。この授業を通し て，生徒たちは，試行錯誤を繰り返しながら，問題 作成に取りかかった。特に，題材の選択や選んだ題 材から連立方程式へとつなげていくことがとても難 しかったみたいであった。中には，考えた問題が計 算がとても複雑になって答えを出すのが難しくなっ たり，計算しても答えが出ない問題も出てきた。し かし，新聞などで周りにある題材を作って問題作成 に取り組むことは，生徒にとって興味深い活動であ った。限定されたテーマの中であるが，日常生活や 社会のできごとを自ら数学と結びつけて考察したり 処理したりする活動を通して，数学を利用すること の意義を実感できたのではないだろうか。また，問 題作成は高度な問題解決ではあるが，既習の知識及 び技能，数学的な見方や考え方などの必要性やはた らきを実感できる機会が作れたと思われる。
３�授業事例（２）
（１）対象・単元名
第２学年，確率
（２）単元設定の理由（題材観・生徒観・指導観）
小学校算数科においては，具体的な事例を起こり 得る場合を順序よく整理して調べることを学習して いる。２年生では，これを基にして，多数の観察や 多数回の実験を通して，不確定な事象を捉える確率 の考え方が重要であることを理解し，確率を用いて 不確定な事象をとらえ説明するできるようにしてい きたい。
そのため，取り扱う事象は確定したものを取り扱 うことが多くなる。しかし，実際には，日常生活や 社会における不確定な事象も数学的な事象となり，
その起こりやすさの程度を数値で表現し把握するた めに確率が必要である。
さいころを振る場合，どの目が出るかを予言する ことはできない。しかし，数回の試行の結果をそれ ぞれの目について整理してみると，全体の試行回数 に対するある目の出る回数の割合にはある安定した 値をとる傾向が見られる。このような「大数の法則」
を基にして，事象の起こりやすさの程度を表すのに 確率が用いられることを理解させたい。また，生徒 にとって同様に確からしいものについては理解しや すいが，少し形が変化した場合，どのような割合で 起こりやすいのか予想できなくなる。例えば，立方 体の高さを２倍した正四角柱では，底面が出る割合 は数回の試行の結果によってのみ分かり，計算で求 めることはできない。同様に確からしい面を持つ立 体と同様に確からしくない立体を調べることに起こ りやすさの割合について考察させたい。
これらのことを考慮して，本単元を設定した。
（３）学習指導計画（全７時間）
第１次 起こりやすさとその割合
（３時間）本時３／３ 第２次 確率の求め方 （４時間）
（４）評価規準
①関心・意欲・態度
確率の必要性と意味に関心をもち，問題解決のた めにすすんで活用しようとする。
②見方・考え方
不確定な事象についての観察や実験などの活動を 通して，理解したこと用いて考察し表現することが できる。
③表現・処理
確率を用いて不確定な事象を捉え，確率を求める ことができる。
④知識・理解
確率の必要性と意味を理解することができる。
（５）学習過程
学習内容・指導 指導・支援・◆評価規準
導 1.前時に学習した起こりやすさについて振 ①立方体と高さが２倍の立方体を提示し，お互いの立
入 り返る。 体について起こりやすさについて考えさせる。
展 2.本時の課題を知る。
開
3.グループに分かれ実験をする。 ②4人グループに作らせ，立体と集計用紙を配布する。
③配布されたプリントに集計させる。
④立体を転がす人と記録する人と分担させる。
⑤集計の仕方で戸惑っている班には，随時期間支援を 行う。
◆班員と協力して積極的に実験を行えているか。（興 味関心態度）
4.集計をさせる。 ⑥必要に応じて電卓を配布する。
◆起こりやすさをもとめることができる。（表現処理）
ま 5.集計を画用紙とノートにまとめる。 ⑦それぞれの班の集計は次回と伝える。
と め
いろいろな立体の起こりやすさを調べよう。
①立方体 ②四角柱（大） ③四角柱（小） ④円柱 ⑤三角柱 ⑥直方体
（６）授業分析
確率に授業で，よく扱う課題は同様に確からしい 立体である。同様に確からしくない立体を扱うこと はまずない。同様に確からしくない立体の起こりや すさの予想をすることはできない。起こりやすさは，
実験をしていくことではっきりと調べられる。中d めお，この授業の中で利用した円柱や三角柱につい て調べることは，生徒にとっては新鮮であると思わ れる。授業中，生徒たちはひたすら立体を振ってお り，積極的に実験を繰り返していたと思われる。次 の時間に学年全体の結果をまとめたものを配布し た。実験を通して，起こりやすさについて学習を深 められたのではなかろうか。
��おわりに
生徒一人一人が数学的活動を通して，何かしら自 分なりに発見し，それを基に自身の力をさらに高い 次元へとつなげて欲しいと願っている。しかし，実 際は，活動時間がかかってしまうこと，自ら解決で きない生徒に対してどのように支援をしていくのが
難しいと感じる。生徒たちにとっては，そのような な時間をかけることより，もっと簡単に解ける方法 を学びたいと思っていたり，面倒なことから避けて 通りたい生徒もいる。簡略化した結果，生徒にとっ て問題は解けるが本当の意味を理解できないままに なったり，説明を求められたりすると答えられなく なるのである。だからこそ，数や図形の性質などを 見いだすことや，学んだ数学を利用すること，また その過程で数学的な表現を用いて説明し合うことを 通して，数学の世界に触れ，その良さや楽しさを味 わって欲しいと思う。時間のかかることでもあり，
試行錯誤の繰り返しであるが，そのような活動の中 から生徒自身で見つけたものは，一生忘れないもの になるだろう。今後の学習について，生徒が数学を 身近なものと感じ、思考の深まりが出てくるように 期待したい。
