３ 数学科
数学的活動を生かした授業設計
～自分なりに説明し伝えあう活動～
北村 俊
本論の要旨
数学の日々の授業において，生徒が指導者の説明を一方的に聞くだけになったり，単なる計算練習 を行ったりすることだけに偏ってしまうのは好ましくない。しかし，定義の確実な理解や，例題の説 明などの大切なことを教えることは必要であり，どうしても説明中心の授業となってしまいがちであ る。
学習指導要領に示された「数学的活動」は，目標の文頭に記述されていることからも，今回の改訂 により重要視されていることが伺える。本研究では，「数学的活動」の指導内容のうち，とくに「数学 的な表現を用いて，根拠を明らかにし筋道立てて説明し伝えあう活動」に重点をおいた。本校の生徒 の多くに，自分なりには理解できていることも，その内容を説明し，記述することになると，どう表 現して良いのか分からず，苦労している様子が見られたからである。
分からない者は，何が分からないのか，分かる者は「こうすればよい。」ではなく，「○○だから…」
と，自分なりに説明し伝えあう活動を授業の中に取り入れ，数学を学ぶことの楽しさや達成感を実感 しながら理解を深めさせたいと考え，本研究を行った。
キーワード 数学的活動，説明し伝えあう，グループ学習
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（１）はじめに
学習指導要領の中学校数学科の目標として「数学 的活動を通して，数量や図形などに関する基礎的な 概念や原理・法則についての理解を深め，数学的な 表現や処理の仕方を習得し，事象を数理的に考察し 表現する能力を高めるとともに，数学的活動の楽し さや数学のよさを実感し，それらを活用して考えた り判断したりしようとする態度を育てる。」が示さ れている。数学的活動の指導内容を重視すると，教 師が説明することや，計算練習を行うことは，批判 されることが多いが，基礎的・基本的な知識及び技 能を確実に身につけるための第 1 のステップとし て，必要なことであり，唐突に「○○について考え てみよう」というような問いかけをしても，何をど うして，何をベースにして考えれば良いのか，分か らない生徒が多く出てしまうことが多いと考えられ る。
本校の生徒は，授業での様子や定期テストの結果 から判断すると，課題への取り組みが積極的で，学 習意欲が高く，基礎的・基本的な知識・技能を十分 身に付けている。しかし，人に説明をしたり，図形 の性質などの証明をしたりする課題に直面すると，
「こんなことを言いたい。」という思いは持ってい るものの，他者に伝える際に論理的に表現すること ができない。特に，紙面上にあらわそうとすると，
何を書いて良いのか分からずに空白のままで困って
いる生徒が少なくないのが現状である。授業中やテ ストの復習時に，記述するのに困っている生徒との やりとりの中で，多くの場合，等しい関係を正しく 述べたり，図形などにマークなどのメモをしたりす ることはできているものの，表現において，筋道を 立てて述べることができない生徒が目立つ。
平成 22 年度全国学力・学習状況調査【中学校】
報告書（平成22年10月文部科学省国立教育政策研 究所）に，「数学A大問7(3)『四角形は，2組の向 かい合う角の大きさがそれぞれ等しいとき，平行四 辺形になります。下線部を，次の図（図は省略）の 頂点を表す記号と，記号∠，＝を使って表しなさい。』
での無解答率が 13.8%であり，平成 20年度，21 年 度の同趣旨の問題の無解答率も 13.1%，15.1%であ る」とあることからも，題意を理解できていない生 徒もいるという以外にも，表現の方法を不得意に感 じている生徒もいることであろう。
本研究では，数学的活動を通して，生徒が何が分 かっていて何が分からないのか，自分の考えを図や 表，式などの数学で使われる表現を用いて，分かり やすく相手に説明することができる力を身につける ことで，数学のよさを実感しながら理解を深めさせ る授業設計を考えることとする。
（２）研究のねらい
「数学的活動とは，生徒が目的意識をもって主体 的に取り組む数学にかかわりのある様々な営みを意
味している。」と中学校学習指導要領解説数学編に 記述されている。
主体的に取り組むためには，数学を学ぶことの楽 しさや達成感を味わえるようにする必要がある。ま ず基礎的・基本的な知識及び技能については，公式 や解法のコツを教えて，早く解けるようにするので はなく，生徒本人が，もしくは生徒全員が試行錯誤 しながら身につけさせていきたい。その後に，身の 回りにあるできごとなどを数理的に考察する活動を させたい。しかし，この活動のプロセスには生徒た ちが苦手に感じるであろうと思われる部分が含まれ ている。それは，日常の世界と数学の世界の行き来 する部分である。（図１）
（図１）日常の世界と数学の世界について
図１のアにおいて，日常の世界を数学の世界で形 式的に処理ができるよう，図や表，式に表すことが 必要になるが，図や表，式にどう表現して良いのか，
その性質や関係をうまく読み取れないことが課題と なる。そしてイにおいても，日常の世界に戻す際に どう表現するのかということに壁が存在する。答え を導けたとしても，それが日常の世界ではどのよう なことを示しているのか，一般的にどのようなこと がいえるのかが理解できないことが多い。これらの 壁にぶつかることで，思考がストップし，達成感を 味わえず，楽しさもみつけられない状態で苦手意識 をもったり，数学嫌いになっていくのであろう。こ れでは，主体的に取り組むことは困難である。そこ で「自分なりに説明し伝えあう活動」を取り入れら れないかを考えた。
この活動を取り入れるために，以下の点を重視し，
研究することにした。
① 説明し伝えあうこと
自分の理解できるところと，できないところを 整理し，自分の意見を説明したり，反対に説明し てもらったりすることで，理解をし，または深め，
さらには壁を取り除き，達成感を味わうことがで 身の回りにある
出来事における 関係など
図や表，式 にする
答えとなる 図や表，式 関係などに対する
考察や解釈
日常の世界 数学の世界
処理 ア
イ
きるであろう。
② グループ活動
１つの資料もしくは複数の資料などから，考え たことを根拠も含めてお互いに出すことで，それ ぞれの意見に足りないところを補ったり，１つの 意見にまとめたりし，自分の考えを高めることが できるであろう。
（３）研究仮説
「自分なりに説明し伝えあう活動」を通して，理 解できるところと，できないところを整理し，意見 を説明したり，反対に説明してもらったりすること で理解を深め，解決することで数学を学ぶことの楽 しさや達成感を味わうことができるであろう。それ により，各々の生徒が学ぶ意欲を高め，学ぶことの 意義や有用性を実感し，日常生活や他教科等の学習，
より進んだ数学の学習へ活用していくことになるだ ろう。
（４）研究仮説の根拠
生徒「この部分が分かりません。」
教師「どの部分が分からないのか，ちょっと説明し てみて。」
生徒「（説明しながら）…あっ，先生すいません。
分かりました。」
授業後に，生徒とこのようなやりとりをすること がある。とくに教師が何も言わないでも，生徒自身 が説明している間に解決してしまったり，思考の過 程で怪しいところや間違いのあるところで「ここは どうしたのか」を聞いていくと，答えややり方を教 えなくても気づいたりする生徒が多い。また，「sin や cosっておもしろいですね。」「3 次関数のグラフ ってどんな形になるのですか。」「微積のこの部分 で，質問があるんですけど…」と高校範囲の質問を してくる生徒もいる。こういった生徒たちは，数学 を学ぶことの楽しさや達成感を実感しており，学ぶ 意欲をより一層高めていけるであろう。
今回の研究を進めるにあたって，授業中の生徒同 士でのやりとりの中で，この環境を作れないかとい うことを考えた。授業後の，頭の中が数学的思考で いっぱいの状態で，教師と生徒がやりとりをするこ とも大切なのだが，次の授業までの休み時間も限ら れているので，人数がどうしても限られてしまう。
この環境を授業中にうまく作ることができれば，全 員が分かるところと分からないところの整理をした り，質問や意見を出してお互いのやりとりをしたり，
習ったことを応用・発展させたりすることで理解を 深め，さらには学ぶことの楽しさや達成感を実感さ
数 学 科
せることができるであろうと考えた。
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（１）対象・単元名・実施日 第3学年・多項式・5月～6月
（２）単元設定の理由
文字や文字式を用いることによって，数量を簡潔
・明瞭に，しかも一般的に表現することができる。
文字を用いた式に表現できれば，その後は目的に合 うように形式的に処理することができる。これらが できることによって，確定した事象を数学的に把握 する，主として数学の世界に関することや，不確定 な事象を数学的に把握する，主として現実の世界に 関する項目の学習を支えることができるようにな る。生徒たちは今までに文字を用いた式を計算した り変形したりすることを学んでいるが，いたずらに 複雑で無目的な計算練習をしている者にとっては機 械的な計算はできても，計算方法の説明を十分に把 握しないままに進んでいくことになり，解法の流れ をはっきりイメージすることができないだろう。
第2学年では，事象の中に数量の関係を見いだし，
それを文字を用いて式に表現したり式の意味を読み 取ったりする能力を養うとともに，簡単な整式の加 法・減法，単項式の乗法・除法の計算ができるよう になっている。また，数量や数量の関係をとらえ説 明するのに文字を用いた式が活用できることや目的 に応じて簡単な式を変形することを学習している。
第3学年では，これらの学習の上に立って，単項 式と多項式の乗法，多項式を単項式で割る除法及び 簡単な一次式の乗法の計算ができるようにする。さ らに，公式を用いる簡単な式の展開と因数分解を取 り扱い，これによって，目的に応じて式を変形した り，その意味を読み取ったりする能力を伸ばす。
この単元では，単に形式的に計算できるだけでな く，交換，結合や分配法則などを基にして計算でき ることを理解し，公式を活用することで能率よく処 理することができるようにしたい。また，文字を用 いた式で数量及び数量の関係をとらえ説明すること ができるようにし，文字式を用いることのよさや必 要性についての理解を一層深めさせたい。
（３）学習目標
① 文字式は，交換法則，結合法則や，分配法則な どを基にして計算できることを知る。
② 問題解決のために，公式を活用することで能率 よく処理することができる。
③ 目的に応じて式を変形したり，その意味を読み
取ったりすることができる。
④ 1 より大きい自然数が，素数とそうではない数 との2種類に分けられることを理解する。
（４）評価規準
① 関心・意欲・態度
・文字式を用いることのよさや必要性に関心をも ち，問題解決のためにすすんで活用しようとす る。
② 数学的な見方・考え方
・文字を用いた式で数量及び数量の関係をとらえ 説明することができる。
③ 表現・処理
・公式を活用することで式を能率よく処理するこ とができる。
④ 知識・理解
・文字式は，交換法則，結合法則や，分配法則な どを基にして計算できることを知る。
・1 より大きい自然数が，素数とそうではない数 との2種類に分けられることを理解する。
（５）学習計画（全15時間）
第1次 多項式の計算 （5 時間）
第2次 因数分解 （6 時間）
第3次 式の利用 （3 時間）
数の性質と式の利用 （1時間）
図形の性質と式の利用 （2時間）
… 本時2／2 第 4次 いろいろな式の展開と因数分解（1時間）
（６）本時の目標
① 数学的な見方・考え方
・文字を用いた式で数量及び数量の関係をとらえ 説明することができる。
② 表現・処理
・公式等を活用し，側面積を求めることができる。
（７）本単元における情報の時間との関連
誰かに自分の考えや意見を明らかにすることで，
自分の解法について何を意図しているのかを考える きっかけになると考えた。
また，その説明を聞いている者も，その問題を解 決するためには何が問題なのか，そして解決するた めには何を基に考えなければならないのかを，説明 された情報から分析していかなければならない。
それは，説明している側にとっても聞いている側 にとっても論理的に物事をとらえるきっかけとな る。
（８）本時の学習過程(第14時)
a b h
S h l l
r a a
r
y
yO
x h l S =
学習内容・活動 指導・支援事項
導 1.前時の復習を兼ねた課題を考える。 ①前回のノート等を参考にさせる。
入
図のように縦 ，横 の長方形の周りに，幅 の 道がある。道の中心を通る線の長さが であるとき，
道の面積 が で表されることを示しなさい。
2.近くの生徒どうしで，解法の確認をする。 ② で き た 生 徒 に ， つ ま づ い て い る 生 徒 に 対 し てヒントを与えさせたり，説明させる。
○模範解答を配布する。
3. 解答から，それぞれの文字式が何を表して ③何を表している文字式かを確認させる。
いるのかを確認する。
4.本時の学習目標を知る。 ④ 道 の 面 積 に つ い て ， が 成 り 立 ち そ う
○定理を示す。 であることから応用ができないかを知らせる。
展 5.例を示す。 ⑤例を通して，定理の有用性を確認させる。
開
影のついた部分の面積を求めなさい。
図は，半径が10＋ ，中心角が °のおうぎ形から 半径が ，中心角が °のおうぎ形を除いた形である。
（答え：250）
○ プ リ ン ト を 配 布 し ， 大 き な 面 積 か ら 小 さ な面積を引くことが面倒であることを知る。
○定理を利用し，その有用性を確認する。
○ ト イ レ ッ ト ペ ー パ ー を 切 断 し ， 例 の 図 形 を上底 14，下底 36，高さ 10 の台形と見て 計算する。
6.円すいの側面積を求める。 ⑥求め方は複数あることを知らせる。
【課題１】円すいの側面積を求めなさい。
（答え：60π）
［生徒の考え］ ◆ 公 式 等 を 活 用 し ， 側 面 積 を 求 め る こ と が で
・母線×底面の半径×πを用いる。 きる。 【表現・処理】
・側面を展開したおうぎ形の中心角を調べる。○ で き た 生 徒 か ら 挙 手 さ せ て 点 検 し ， 黒 板 に
・側面を展開したおうぎ形の中心線を調べる。記述させる。
○ で き た 生 徒 に ， つ ま づ い て い る 生 徒 に 対 し
○答えの確認をする。 てヒントを与えさせたり，説明させる。
7.プリンの形のような立体の側面積を求める。⑦似た問題を考えさせる。
【課題２】図の灰色部分を 軸の周りに1回転させてできる 立体の側面積を求めなさい。
（答え：225π）
○4人1組のグループ活動を行う。 ○できた生徒から挙手させて点検する。
○ グ ル ー プ の 中 で ， Ａ ３ 用 紙 を 用 い て 解 法 ○ で き た 生 徒 に ， つ ま づ い て い る 生 徒 に 対 し
について交流する。 てヒントを与えさせたり，説明させる。
［生徒の考え］ ◆ 文 字 を 用 い た 式 で 数 量 及 び 数 量 の 関 係 を と ら
・ 円 す い の 側 面 積 を 【 課 題 １ 】 の よ う に し て え説明することができる。
求める。 【数学的な見方・考え方】
・ 底 面 の 半 径 12， 高 さ 16 の 円 す い の 側 面 積 ○ グ ル ー プ 内 が あ る 程 度 解 法 を 理 解 し た ら ， から ， 底 面 の 半径 3， 高 さ 4 の 円 す い の 側面 解き方の手順を省略せずに黒板に記述させる。
積を除く。 ○ 異 な る 考 え で あ る か を 確 認 し ， そ う で あ れ
・ プ リ ン の 形 の よ う な 立 体 の 側 面 積 で ， 先 の ば，新たに記述させる。
定理を用いて求める。
ま 8.本時の学習内容を確認する。 ⑧自分の理解できたところ，理解ができなか
と ったところを整理させ，復習，再確認するこ
め とを伝える。
8 6
10
5
12 4 3
15 12
数 学 科
（９）授業分析
生徒に考えさせるときは，一人ひとりが考える場 面をまずとり，その後，全体で考える場面をとる。
（左写真）
生徒一人ひとりが 考える
（右写真）
考えた意見をグル ープで交流する
以前，グループ学習を自分の授業に取り入れよう としたときに，その難しさを感じたことがあった。
それは，自分の意見を持たないままグループにする と，人任せになったり，何もしなかったりしたから だと考える。
一人ひとりが何が分かったのか，また，分からな くても，何が分からないのかを整理することで，グ ループになってからの活動が変わってきた。また，
分からない生徒もそのまま「分からない（から何も しない）」ではなく，周りの生徒のサポートを受け ることによって，徐々にではあるが，学習する様子 が見られるようになった。
また，グループ活動の後に，出てきた考えを全体 の場で交流した。これは，一つの課題について，多 くの考えがあることに目を向けさせたかったことに よる。それらの中から，今までの考えをどのように 応用・発展させていけるのかということや，文字式 や公式の有用性などを考え，感じさせたい。しかし，
全範囲で，多くの解法がある課題が用意できるかと
いうと，今までの実践ではまだそこまで用意できな いのが現状である。それらを用意できるようになっ たとき，毎回の授業の中で，生徒自身が自分の考え をより深めさせることができるのかもしれない。
３�授業��２
（１）対象・単元名・実施日
第1学年・資料の整理と活用・2月～3月
（２）学習計画（全12時間）
第1次 近似値 （3 時間）
第2次 資料の収集と整理 （9 時間）
度数分布 （1 時間）
資料の散らばり （1 時間）
資料の代表値 （3 時間）
相対度数 （1 時間）
資料の傾向の調べ方 （3 時間）
（３）授業の内容・様子
新出単語の定義の一つ一つを理解して，利用でき るようになるまでには，時間が必要である。また，
平均値，中央値，最頻値の3つの代表値についても，
それぞれがなぜ必要なのかを生徒たちが理解しない と形式的な処理だけで終わってしまい，指導要領解 説のねらいにある「資料の傾向をとらえ説明するこ とを通して，統計的な見方や考え方及び確率的な見 方や考え方を培うこと」からは，ほど遠いものにな るだろう。
授業で，平均値のメリット，デメリットについて 話し合わせたことがある。メリットとして，「計算 しやすい」「分かりやすい（何が分かりやすかった のかは，生徒は言えなかった）」「真ん中」との声 が多数出た。テストの平均点に，多くの関心を抱い ているためか，なじみが深いようであった。そこで，
「あいつがテストの平均点を上げてる。」という発 言がテストの返却時にあったことを指摘すると，う んうんとうなずく生徒もいた。平均点を取った生徒 が必ずしも真ん中の順位ではないことが，意識をし ていなくても生徒の中にあることが分かった。そこ で極端な例を挙げて，平均値と中央値について確認 させると授業の最後のほうに，ヒストグラムや度数 分布多角形で，「こんな形の時には平均値と中央値 はほぼ同じで，こんな形の時は異なる」といったよ うな，資料の分布からその判断までを生徒ができる ようになっていた。
小学校では，棒グラフや折れ線グラフ，円グラフ，
帯グラフを学習し，その資料の考察をしてきた。中 学校では，範囲や近似値，3 つの代表値，相対度数
などを学習した。最後のまとめとして，「資料の傾 向の調べ方」についてレポート課題として，まとめ させた。3 年生で標本調査を同じ時期にしていたの で，そのときに使っていた資料（「1 日あたりのお およそのテレビの平均視聴時間と，学校以外での平 均学習時間」について，1，2 年生全員にアンケー トを行ったもの）を活用した。
1 年生の授業では，あらかじめアンケートを採っ たことを知っているので，「1 日あたりのおおよそ のTVの平均視聴時間を知るにはどのような調べ方 をすればよいか」という問いに対して，「全員にア ンケートをする」という答えがかえってきた。「そ のアンケートは事前にとっておいた。」と，その結 果を羅列したものを見せると，「そういえば，前に やった。」と思い出したかのように答えてきた。そ こで，この資料を使い，レポートを作らせた。
「①調べる目的，②調べる方法，③資料の整理，④ 資料の考察，⑤まとめ」と書き方を指定して作らせ たが，整理の仕方や考察，まとめには生徒たちの工 夫がみられた。以下に，生徒のレポートから抜粋し たものをいくつか示す。
①調べる目的について
・2 年生のテレビ視聴時間を調査し，自分たちの生 活を見つめ直す。
・学年ごとの学校外の学習時間の違いを調べて，多 すぎず，少なすぎない時間を調べ，よりよい生活を 目指す。
②調べる方法について
・1，2年生全員にアンケートをする。
・度数分布表をもとにグラフなどにまとめる。
(図２）生徒レポート
2 学年を重ね合わせたヒストグラム（上）と相 対度数のグラフ（下）で，ヒストグラムを書くと きの工夫として，桃色の蛍光ペンと水色の蛍光ペ ンを使い，重なったところを紫色にしていた。
・平均や最頻値を出して，ふつうのところを探す。
・相対度数の折れ線で1，2年生を比較する。
などを順序立てて書いていた。
③資料の整理について
ヒストグラムや度数分布多角形を重ね合わせて最 頻値を比較する生徒や，相対度数の分布をグラフに したり，円グラフを使って表したりして割合を調べ ていた生徒がいた。また，階級の幅を 0.5時間とし て度数分布表にまとめ，仮の平均を求める生徒もい た。
授業で行っている4人班の形にしてやっていたこ ともあり，一人ひとりの役割を決めて，全部で 240 人近くのデータを効率よくまとめ上げたグループも あった。 (図２）
④資料の考察について
・グラフの盛り上がるところが1年も2年も似てい る。
・2年生のちらばりの範囲が小さい。
・テレビは，どちらの学年もほとんど4時間以内に 密集している。
⑤まとめについて
・1 年生はとくに，学習している時間の差が大きい ことが分かった。自分のペースで学習することが大 切だと思う。
・1 年生はだらだらして勉強の時間を消費している のだと思う。2 年生ははるかに忙しいため，効率的 な勉強法が求められる。
・1 年も2 年もあまり変わらないから，2 年になる からといって，学習のスタイルを考え直す人は少な いことが分かる。
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今年度担当した学年は 1，3 年であったが，どち らの学年においても，生徒が一人だけで解決に向か うのではなく，話し合わせることが大切だと感じた。
間違いに気づいたり，分からないところを伝えるこ とで周りからアドバイスをもらったり，まとめると きの協力をしたりなど，普段，1 人で学習をしてい るときには経験できないような場面がいたるところ で見られた。
今年度は，グループで「自分なりに説明し伝えあ う活動」を中心に取り上げたが，毎回の授業では全 体の場で交流するところまで，大きく踏み込めてい ない。来年度以降，このような活動をグループによ る活動にとどまらず，全体の場でも発揮することで，
生徒一人一人が数学的活動を通して，数学のよさを 実感しながら，理解を深め，また事象を数理的に考 察する能力と態度を養うようにしたい。
