微 分 方 程 式

微 分 方 程 式

9. ^記号解法

1. –1–

x について微分することを D ^で表す：

y

= Dy

x ^について 2 ^{回微分することは} D

^と表す : y

= D

y

一般に D

y = d

y

dx

^と定める

D

y = D

D

y a

, a

, ..., a

^{を定数とする}

a

y

+ a

y

+ · · · + a

y

+ a

y

= a

D

y + a

D

y + · · · + a

Dy + a

y

1. ^{微分作用素・続き} –2–

微分作用素： f (D) ^とは

f (D) = a

D

+ a

D

+ · · · + a

D + a

のことである

作用素 = ある関数に作用して別の関数へ写す写像 :

f (D)y = a

D

y + a

D

y + · · · + a

Dy + a

y 微分作用素の計算は多項式のように行える：

f (t), g(t), h(t) ^を t ^{の多項式とすると}

f (t) + g(t) = g(t) + f (t), f (t)g(t) = g(t)f (t), h(t)(f (t) + g(t)) = h(t)f (t) + h(t)g(t)

が成り立つが t ^を D ^{に変えても成り立つ}

2. –3–

微分方程式 f (D)y = R(x) ^の 1 つの特殊解を形式的に書くと y = 1

f (D) R(x) 演算子 1

f (D) ^{の 意味}

１） f (D) = D ^のとき． Dy = R(x) ^{より積分すると} y =

∫

R(x) dx + C

今は特殊解のみを求めているので c = 0 の場合を採用して 1

D R(x) =

∫

R(x) dx

とする。 1

D は積分すること（微分の逆演算）と定義する

2. ^{微分作用素の逆} 2  –4–

2) f (D) = D

^のとき． D

y = R(x) ^は y

= R(x) ^と同じ : 1

D

^は 2 回積分することと定義する 1

D

R(x) = 1 D

( 1

D R(x) )

=

∫ dx

∫

R(x) dx

（ただし特殊解だけを求めるので付加定数は 0 ^{としたものを採用）} . 3) f (D) = D

^{のとき 前の操作を} n ^{回くり返す}

1

D

^は n 回積分することと定義する 1

D

R(x) = 1 D

( 1

D

R(x) )

=

∫

dx · · ·

∫

R(x) dx

n

1. 3 –5–

4) f (D) = D − α ^のとき．

(D − α)y = R(x) は y

− αy = R(x) ^と同じ . ^一般解は

y = e

(∫

e

R(x) dx + c )

c = 0 ^{の場合を採用して} 1

D − α を次の積分で定義する：

1

D − α R(x) = e

∫

e

R(x) dx

α = 0 ^{の場合には前の} 1

D の定義と一致している．

1. ^{微分作用素の逆} 4  –6–

4) f (D) = (D − α)

^のとき．

1

(D − α)

R(x) = 1 D − α

( 1

D − α R(x) )

= 1

D − α (

e

∫

e

R(x) dx )

= e

∫

e

(

e

∫

e

R(x) dx )

dx

= e

∫ dx

∫

e

R(x) dx

2. 5 –7–

4) f (D) = (D − α)

^{のとき 前の操作を} n ^{回くり返す} 1

(D − α)

^は次の n 回積分と定義する 1

(D − α)

R(x) = 1 D − α

( 1

(D − α)

R(x) )

= e

∫

dx · · ·

∫

e

R(x) dx

n

3. ^{微分作用素の逆・一般} –8–

一般の微分作用素の逆は因数分解すれば良い 5) f (D) = (D − α)(D − β) ^のとき

[I] (D − α)(D − β )y = R(x) に対しては前のことをくり返して 1

(D − α)(D − β ) R(x) = 1 D − β

( 1

D − α R(x) )

= 1

D − α

( 1

D − β R(x) )

と順に計算すればよい．

[II] ^{部分分数展開} 1

(D − α)(D − β) = 1 α − β

( 1

D − α − 1 D − β

)

3. 2 –9–

1

(D − α)(D − β) = 1 α − β

( 1

D − α − 1 D − β

)

を示すには

(D − α)(D − β ) · 1 α − β

( 1

D − α − 1 D − β

)

R(x) = R(x)

を示せばいい

(D − α)(D − β ) 1

D − α R(x) = (D − β )(D − α) 1

D − α R(x)

= (D − β )R(x), (D − α)(D − β ) 1

D − β R(x) = (D − α)R(x),

二式の差をとると（続く）

3. ^{微分作用素の逆・一般} 2 –10–

(D − α)(D − β ) 1

D − α R(x) = (D − β )R(x), (D − α)(D − β) 1

D − β R(x) = (D − α)R(x), の差をとって

(D − α)(D − β )

( 1

D − α − 1 D − β

)

= (α − β )R(x) よって

1

(D − α)(D − β) = 1 α − β

( 1

D − α − 1 D − β

)

3. –11–

一般に f (D) の逆作用素を求めるには 1

f (D) ^{を取り有理式と思っ} て部分分数分解すればよい

例）

1

(D − α)

(D − β)D

= a

(D − α)

+ a

(D − α)

+ a

D − α + b

D − β + c

D

+ c

D

注意） f (D) ^を 1 次因数に分解するとき虚因数 （ α, β ^{が複素数）を}

含む場合には，やはり上と同様にして形式的に計算してもよい．

例題 つぎの微分方程式を解け． –12–

(1) (D

− 1)y = 1 1 + e

［解］

特性方程式 λ

− 1 = 0 ^．特性根 1, − 1. ^{斉次方程式の解は} y = c

e

+ c

e

なので特殊解を求める 1

D

− 1 · 1

1 + e

= 1 2

( 1

D − 1 − 1 D + 1

) 1 1 + e

= 1 2

( 1

D − 1 · 1

1 + e

− 1

D + 1 · 1 1 + e

)

= 1 2

( e

∫

e

1

1 + e

dx − e

∫

e

1

1 + e

dx )

= 1 2

[ e

(log(1 + e

) − x − e

) − e

log(1 + e

) ]

∫

e

1

1 + e

dx =

∫ (1 + e

)

1 + e

dx = log(1 + e

)

∫

e

1

1 + e

dx =

∫ 1

e

(1 + e

) =

∫ ( 1

e

− 1 1 + e

) dx

= − e

−

∫ (1 + e

) − e

1 + e

dx

= − e

−

∫ (

1 − e

1 + e

) dx

= − e

− x + log(1 + e

) 求める一般解は

y = c

e

+ c

e

+ 1 2

[ e

(log(1 + e

) − x − e

) − e

log(1 + e

) ]

(2) (D

+ 1)y = tan x –14–

［解］ 特性方程式 λ

+ 1 = 0 ^．特性根 i, − i. ^{斉次方程式の解は} y = c

cos x + c

sin x

なので特殊解を求める y

= 1

D

+ 1 tan x = 1 2i

( 1

D − i − 1 D + i

)

tan x

= 1 2i

( 1

D − i tan x − 1

D + i tan x )

.

1

D − i tan x = e

∫

e

sin x

cos x dx = e

∫

(cos x − i sin x) sin x cos x dx

= e

∫ (

sin x − i 1

cos x + icos x )

dx

= e

(

− cos x − i

∫ 1

cos x dx + isin x )

.

∫ 1

cos x dx =

∫ cos x

cos

x dx =

∫ cos x

1 − sin

x dx

∫ (sin x)

1 − sin

x dx

= 1 2

(∫ (sin x)

sin x + 1 dx −

∫ (sin x)

sin x − 1 dx

)

= 1

2 log | sin x + 1 | − 1

2 log | sin x − 1 | = 1 2 log

sin x + 1 sin x − 1

よって 1

D − i tan x = e

(

− cos x − i

2 log

sin x + 1 sin x − 1

+ isin x )

.

同様に 1

D + i tan x = e

(

− cos x + i

2 log

sin x + 1 sin x − 1

− isin x )

.

1

D − i tan x = e

(

− cos x − i

2 log

sin x + 1 sin x − 1

+ isin x )

= (cos x + i sin x) (

− cos x − i

2 log

sin x + 1 sin x − 1

+ isin x )

= [

cos

x + sin x 2 log

sin x + 1 sin x − 1

− sin

x ]

− i cos x 2 log

sin x + 1 sin x − 1

これより y

= 1

2i

( 1

D − i tan x − 1

D + i tan x )

= − cos x

2 log

sin x + 1 sin x − 1

一般解 : y = c

cos x + c

sin x − cos x 2 log

sin x + 1

sin x − 1

1. ^{次を計算せよ} (1) 1

D − 2 x

(2) 1

D + 1 sin x 2. ^{次の微分方程式を解け}

(1) y

− 4y = e

(2) y

+ 6y

+ 8y = 2

1 + e