２０１７年度前期・微分積分学I・連続関数・演習問題 1 Exercise 2.1. 以下の関数の極限を求めよ. ここで,s, a >0 とする.
1. lim
x→0
1
xlog(1 +x) 2. lim
x→0
ex−1 x 3. lim
x→0
2 sinx−sin 2x x3 4. lim
x↓0
1 1 +e1/x 5. lim
x↑0
1 1 +e1/x
6. lim
x→∞
logx xs 7. lim
x→∞
ax xs 8. lim
x→0
arcsinx x 9. lim
x→0
arctanhx x 10. lim
x↓0 xx
11. lim
x→0
arctanx arcsinx 12. lim
x→0
sinx−x x3 13. lim
x→0
tanx−x x−sinx 14. lim
x→0
x−arctanx arcsinx−x 15. lim
x↑π/2(tanx)cosx Exercise 2.2. 以下の等式を示せ.
1. tan(arccosx)) =
√1−x2 x 2. arctan(1/x) = arccot(x)
3. arctan(x) + arctan(1/x) = sign(x)π/2 4. arcsinx= 2 arctan
( x
1 +√ 1−x2
)
5. arctanx+ arctany= arctan (x+y
1−xy )
(modπ)
6. cosh(arcsinhx) = √ 1 +x2
7. arcsinhx+ arcsinhy= arcsinh(x√
1 +y2+y√ 1 +x2) Exercise 2.3. R 上の関数 f, g は連続と仮定する.
1. ある a ∈ R で f(a) > 0 をみたすならば, ある δ > 0 が存在して |x−a| < δ ならば f(x)>0 であることを示せ.
2. |f| は R 上で連続であることを示せ.
3. max(f, g) は R 上で連続であることを示せ.
Exercise 2.4. 1. R 上の連続関数 f, g が, 任意のx∈Q に対してf(x) =g(x)をみたすな
らば, 任意のx∈R に対して f(x) = g(x) が成り立つことを示せ.
2. R 上で定義された連続関数 f が, 任意の x, y ∈R に対してf(x+y) =f(x)f(y) をみた すと仮定する. この関数は, f ≡0 または, 指数関数であることを示せ.
Exercise 2.5. R\ {0} で定義された関数 f(x) = sin(1/x), g(x) = xsin(1/x) は, それぞれ, f(0), g(0) の値を適当に定めることにより, R 上の連続関数とすることができるか？
Exercise 2.6. π
4 = 4 arctan(1/5)−arctan(1/239) が成り立つことを示せ. Exercise 2.7. [−2π,2π]の範囲で関数 arcsin(sin(x))のグラフを書け.
Exercise 2.8. 奇数次多項式関数は, 少なくとも一つの零点を持つことを示せ.
Exercise 2.9. (★) 関数 f を円周上の連続関数とする. このとき, ある直径が存在して, その 直径の両端での f の値が一致することを示せ.
[email protected] May, 2017, Version: 1.0
2 ２０１７年度前期・微分積分学I・連続関数・演習問題 Exercise 2.10. (★★）次の関数の連続性を考察せよ. ただし, 2 では, x ∈ Q を既約分数で x=p/q, q >0と表している.
1. f(x) =
{1 x∈Q
0 x̸∈Q 2. f(x) =
{1/q x=p/q ∈Q, x̸= 0 0 x̸∈Q orx= 0
＊ 以下は, 「数列の極限」の問題である.
Exercise 1.10. a0 = 0, b0 = 2, I0 = [a0, b0] とおき, 以下のアルゴリズムによって帰納的に {an}, {bn},{In} を定める.
ステップ１ cn= (an+bn)/2とおく.
ステップ２ c2n < 2 ならば an+1 = cn, bn+1 = bn, In+1 = [an+1, bn+1], そうでないならば, an+1 =an, bn+1 =cn, In+1 = [an+1, bn+1]とおき, これを繰り返す.
このとき, 以下の問題に答えよ. 1. {cn} の極限値 α を求めよ.
2. c5 の値を１０進小数表示で求めよ.
注意：この方法は, 「二分法」と呼ばれ, 計算機で α の値を求めるためのもっとも単純な方法 である.
Exercise 1.11. 問題1.1.13 で定めた数列 {an} an+1 = an
2 + 1
an, a1 = 2 を考え, {an}の極限を α とおく. このとき, 以下の問題に答えよ.
1. ある定数 C > 0が存在して,不等式 |an+1−α| ≤C|an−α|2 が成り立つことを示せ. 2. 十分大きな n に対して, |an+1 −an|< ε(|an|+|an+1|) ならば, |an−α| < ε|α| が成り立
つことを示せ.
3. a1, . . . , an を順に計算することにより,|an−α|<10−5|α| が成り立つ最小のn でのan の 値を１０進小数表示で求めよ.
注意：この方法は,「ニュートン法」と呼ばれ,計算機で αを求めるための非常に有効な方法で ある. この方法をプログラムで実装しようとするときには, an と α の「誤差」|α−an| が「欲 しい範囲内」に入ったらプログラムを停止させて結果を出力する. しかし, 求めたい値 α が分 からないため, |α−an| を評価してプログラムを停止させるか否かを判断することはできない. そのため, 2 を使って評価する必要がある. このとき, 2 で得られる誤差|an−α|< ε|α| は「相 対誤差」と呼ばれ, 計算機における数値計算では, 相対誤差で評価することが通常である.
May, 2017, Version: 1.0 [email protected]
