Stress analysis in a half-anisotropic elastic region with a thin film considering surface stress and elasticity

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1. 緒  論

  近年は，携帯音楽プレーヤー等の携帯電子機器の 小型化，高性能化が進んでいる．これらの高性能で 小型の電子デバイスに類される工業製品には，ナノ スケール厚さの薄膜が用いられている．ナノスケー ル厚さの薄膜では，体積に対して表面積が非常に大 きくなるため，マイクロスケールでは無視されてい た表面特性が大きな影響を及ぼすと考えられる．本 研究では，薄膜を有する物体表面に集中荷重を加え た時の応力解析を行い，薄膜が応力場に与える影響

を調べる ⁽¹⁾．

2. 表面グリーン関数

2.1  表面応力を考慮した薄膜を有する半無限異方 性弾性体の表面グリーン関数    異方性材料におけ る平衡方程式は弾性定数テンソルC_ijklと変位ベクト ルuを用いて以下のように表すことができる．

    Cijkluk,lj= 0       (1)

変位と応力の成分を(x₁, x₂)平面内に関して2次元フ ーリエ変換する．ここで，k=1,2,3である．

    u%_i(!1,!2,x₃)=

!!!!!!!!

""

    C_i!k"#_!#_"u%_k+i(C_i!k3

!!!!!!+C_i3k")#_!u%_k,3$C_i3k3u%_k,33 =0       ⁽³⁾

式(3)の一般解は以下のように示される．

    %u(!₁,!₂,x₃)=ae^!ip"x3       (4)

作用力ベクトルを以下のように定義する．

    t !("₁₃,"₂₃,"₃₃) (5)

フーリエ変換を適用し，式(4)を用いると以下の式が 得られる．

表面および界面の力学的特性を考慮した薄膜を有する 半無限異方性弾性体の応力解析

林  祐太，古口  日出男

Stress analysis in a half-anisotropic elastic region with a thin film considering surface stress and elasticity

Yuta HAYASHI

and Hideo KOGUCHI

Nagaoka University of Technology 1603-1 Kamitomiokamachi, Nagaoka, Niigata

This paper presents a stress analysis for a half-anisotropic elastic region with a thin film considering surface and elasticity. Recently, nanotechnology such as portable electronic device is developed and is used for new advanced devices and industrial products. At this thickness, the effects of surface, which can be ignored on a microscale, become important. Therefore, it is necessary to clarify mechanical property of nano-region considering effects of surface and interface. I examine a mechanical property of those.

Key Words : Surface Green’s function, Stroh formalism, Composite Material

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日本機械学会〔No.10-9〕M＆M2010 材料力学カンファレンス CD-ROM論文集〔2010.10.9-11,長岡〕 

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    %t=!i"be^!ip"x3 (6)

つぎに，薄膜表面と界面の境界条件を以下に示す．

(1) 薄膜表面の境界条件

    f=%t₁+!²F⁽⁰⁾u%₁       (7)

(2) 界面の境界条件

    %u₁ =u%₂     (8)

%t₁!%t₂ ="²F^(1,2)u%₂ (9)

上記の境界条件を考慮して平衡方程式を解いて変位 u₁，u₂，応力t₁，t₂を求めると，

u₁(x₁,x₂,x₃)= 1

(2!)² 0

%

"

%

& (

)

u₂(x₁,x₂,x₃)= 1

(2!)² 0

%

"

%

!!!!!!&

(

)

^"d'

t₁(x₁,x₂,x₃)= 1

(2!)² 0

%

"i#

%

& (

^"B

)

^#d'

t₂(x₁,x₂,x₃)= 1

(2!)² 0

%

"i#

%

!!!!!!!!&

(

)

となる．このとき，_!1="n1,_!2="n2とし，g₁, g₂, q₁ は，境界条件から求めることができる複素ベクトル，

Fig.1 A half-anisotropic elastic region with a thin film.

    F=

d_1!1"n_!n_" d_1!2"n_!n_" 0 d_2!1"n_!n_" d_2!2"n_!n_" 0

0 0 #_$!⁰ n_$n_!

%

&

'' '

( )

**

*a，     b=(R^T+pR)a=!1

p(Q+pR)a，

!"#⁰ ：表面応力テンソル，d_!"#$: 表面ひずみのない場

合の表面弾性定数テンソル，F⁽⁰⁾：薄膜表面の力学 特性の行列，F^(1,2)：界面の力学特性の行列，f：薄膜 表面に作用している集中荷重，p_i+3=p_i，a_i+3=a_i，b_i+3=b_i， Qik=Cijksnαnβ, Rik=Cijksnα，Tik=Cijksmjms，m=[0,0,1]^T， n=[n₁,n₂,0]=[cosθ,sinθ,0]^Tである．また，(i=1, 2, 3)で ある^{(2) (3)}．

3. 応力解析

3.1  解析条件    二章で導出した，表面グリーン関 数を用いて応力解析を行う．解析対象は，薄膜に

Cu[111]，半無限異方性弾性体に Fe[111]を用いた複

合材料である．解析に用いた弾性定数C_ijksを表1，

表面・界面応力!_"#⁰ ，および表面・界面弾性定数d_!"#$

を表2に示す．薄膜厚さh=10nm，集中荷重(f₁,f₂,f₃) = (0, 0, 1.0 )nN，z方向深さz= - 3.0nmの応力を解析す る．

  薄膜が応力場に与える影響を調べるため，Cu[111]

を材料とした薄膜のない半無限異方性弾性体の応力 解析も行った．

3.2  解析結果    薄膜なしの半無限異方性弾性体

の応力解析の結果を図 3，薄膜を有する半無限異方 性弾性体の応力解析の結果を図4に示す．図3は，

表面の力学的特性のみ考慮した応力 σ33の分布を示 しており，図4は，さらに，界面の力学的特性も考 慮した応力分布を示している．図4を見ると応力場 全体が波うつような結果となった．これは，図3に は見られない特徴である．よって，これは界面の力 学的特性ではないかと考えられる．ナノスケールサ

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イズの薄膜を積層させると界面の力学的特性が応力 場に現れる．

4. 結言

  2章で表面応力を考慮した薄膜を有する半無限異 方性弾性体の表面グリーン関数を導出し，応力解析 を行った．その結果，ナノスケール厚さの薄膜を積 層させるとその微小領域の応力場には，界面の力学 的特性影響が現れることがわかった．

  今後は，今回導出した表面グリーン関数を接触解 析に応用し，微小領域での表面特性をさらに詳細に 調べる．

Table.1 Elastic Constants[GPa]

  Cu[111]  Fe[111] 

C₁₁  218.6  361.3 

C₁₂  103.7  145.1 

C₁₃  86.51  116.8 

C₃₃  235.8  40.1 

C₄₄  40.25  389.4 

C₆₆  57.44  108.0 

Table.2 Material property [N/m]

  Cu[111]  Interface 

τ₁₁  0.964  -0.88 

d11  -6.340  -8.07 

d12  0.938  0.28 

d66  -3.639  -3.55 

Fig.2 Stress Analysis for a half-anisotropic elastic region considering surface stress.

Fig.3 Stress Analysis for a half-anisotropic elastic region with a thin film considering surface stress and

elasticity.

文献

(1) Yuan,F.G., Yang,S., Yang,B., Three-dimensional Green’s functions for composite laminates,International Journal of Solids and Structures,Vol.40(2003), pp.331-334.

(2) Koguchi,H.,Surface green function with surface stresses and surface elasticity using Stroh’s formalism,Journal of Applied Mechanics,Vol.75, No.6(2008), pp.104-115.

(3) Koguchi,H.,Hayashi,T.,Contact analysis for anisotropic material considering surface stresses and surface elasticity, Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers,Ser.A,Vol.75,No.756(2009), pp.

1029-1036.

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