線型代数学と演習II（演習） 第5 回 2021/06/24
[お知らせ]
mylogで周知しましたとおり，次回の6/28から対面授業（線型の場所はB0511教室）に移行しま
す．また授業最初の10分程度で小テストを行います．もちろん持ち込み不可です．小テストの内容は 次の二項目とします：
• 与えられた具体的な複素数の実部・虚部・複素共役・絶対値・偏角・極形式を求める（数問），
• 下記問題の (2-c) もしくは (3-a) もしくは (3-b) の類題を1題．
週末くらいになったらこのプリントの略解をアップしておきます．放課後 SAルーム（C2号館7階）
なども有効に活用して，まさか小テストで白紙とならないようにしっかり勉強してきてください．
なお，小テストの後はそのまま講義に移ります．そして7/1は前回講義内容に関する演習の日，7/5 は小テスト+講義の日，．．．という感じになります．
講義の日は教科書を進め，演習の日はプリントを配るのでそれを解いてもらう日です．演習プリント は現在のような問題が書いてある紙なので，何か書き込んで提出という感じではありません．演習の日 は自分でノート or 計算用紙をもってきて下さい．
1. 極形式について．
(i) z1 = 3, (ii) z2 =−i, (iii)z3 =√
3 +i, (iv) z4 =−1−i.
（a）各 k = 1,2,3,4 に対して，点 zk を複素平面上に図示し，|zk| と arg(zk) を求めよ．
（b）各 k = 1,2,3,4 に対して，zk を極形式でかけ．
（c）各 k = 1,2,3,4 に対して，i との積 izk を複素平面上に図示せよ．
[コメント] 偏角はラジアンで答えること．(d) はオリジナルの zk をどのように動かしたか考えると面白い．
2. 1 の 3 乗根について．
方程式 x2+x+ 1 = 0 の解 x で複素平面“上側”にあるものを ω と書く．
（a）ω3 = 1 および ω2 = ω を示せ．
（b）各複素数1, ω, ω2 を複素平面に図示せよ．
（c）ω8+ω+ 3 およびω13+ω56 を求めよ．
[ヒント] (c) は (a) から ω3 = 1 だから，ω6 =ω9 =ω12 =· · · = 1 であることに注意すれば，結局は 3 の倍数を探して消すゲームになる．
3. 複素数のベキ乗について．
（a）複素数z =
√2 +√ 6
4 + −√ 2 +√
6
4 i に対して，z6 および z12 および z4818 をそれぞれ求 めよ．
（b）複素数 z = 16√ 21
5 + 16√ 7
5 i に対して，zn ∈R となる最小の自然数 n を求めよ．
[ヒント] ベキの数字が大きいときは，モチロン直接計算するのではなく，De Moivre の定理などを使う べき．
(1/2) 担当：柴田大樹（C2号館 7階）
[email protected] 086-256-9817
線型代数学と演習II（演習） 第5 回 2021/06/24
4. [発展] 1 の n 乗根について．
以下で n ∈ N と z ∈ C をとり固定する．極形式で z = r(cosθ +isinθ) と表示する（ただし 0< r, 0⩽θ <2π）．
（a）n 乗した zn の極形式を求めよ．
（b）zn = 1 をみたすとき，z の絶対値は必ず 1 になることを示せ．
（c）zn = 1 をみたすとき，z の偏角を（0 から 2π の範囲で）すべて求めよ（n 個ある）．
（d）方程式 zn = 1 の複素数における根 z をすべて求めよ（これを 1 の n 乗根という）．
（e）n= 1,2,3,4,5,6 のそれぞれで，1 の n 乗根をすべて複素平面上に図示せよ．
[ヒント] (a) はDe Moivre の定理を使う．(d) も(c) に伴って n個解がある．
5. [発展] 同一視について．
2次元実ベクトル空間 R2 と複素数全体 C を次の写像で同一視したのだった：
f :R2 −→C;
(a b
)
7−→a+bi.
（a）この同一視ものと，複素数の和と 2次元実ベクトル空間の和が一致することを示せ．すなわ ち次を示せ：
任意の (a
b )
, (c
d )
∈R2 に対して， f( (a
b )
) +f( (c
d )
) =f(
(a+c b+d
) ).
（b）この同一視のもと，複素数の積は 2次元実ベクトル空間にどのような“積”を与えるか？
[コメント] すなわち R2 に上記の和・積を定義すれば，複素数とかいうi2 =−1 をみたすどこにいるか不安 な“数”i を用いなくても，同じ機能をもち実体のあるR2 を調べればよいということになる．で も積の計算が大変そうにみえるので，ふつうはC を用いる．また進んだ数学の言葉でいえば，通 常は R2 は“直積環”と見るのが（幾何的にも）自然なのだが，より豊かな“体”の構造を入れて みたいときは C で考える．複素解析のきれいさ（3年生で学習する）はここら辺から来ている．
[発展問題の提出方法]
発展問題を提出したい人は，授業後にもってきてください（様式はレポートと同様に名前・番号・ペー ジ数など）．もちろんいつの発展問題でも構いません．再提出もOKです．
授業で小テストを行うのでレポート課題はありません．
(2/2) 担当：柴田大樹（C2号館 7階）
[email protected] 086-256-9817
