超弾性複合材料の分離型マルチスケールトポロジー最適化

Transactions of JSCES, Paper No.20160001

超弾性複合材料の分離型マルチスケールトポロジー最適化

Multi-scale topology optimization for hyperelastic composites applying a decoupling multi-scale analysis

加藤 準治

, 谷地 大舜

, 西澤 峻祐

, 高瀬 慎介

, 寺田 賢二郎

, 京谷 孝史

Junji KATO, Daishun YACHI, Shunsuke NISHIZAWA, Shinsuke TAKASE, Kenjiro TERADA and Takashi KYOYA

1東北大 学大 学院 工 学 研 究科 土木工 学 専攻(〒980-8579宮城 県 仙 台市 青 葉区 荒 巻 字 青葉6-6-06)

2東北 大学 災害 科学 国際 研究 所(〒980-0845宮城 県 仙台市 青 葉区 荒 巻 字 青葉468-1)

The present study proposes multi-scale topology optimization for a two–phase composite considering hy- perelasticity to minimize the end compliance of a macrostructure based on a decoupling multi-scale analysis.

Much attention is paid to multi-scale topology optimization for its effectiveness in the field of the advanced material design dealing with a highly complex material behavior. However, most of the researches deal- ing with multi-scale topology optimization assume linear elasticity to avoid its complicated mathematical formulation and huge computational costs. The present study challenges to develop multi-scale topology optimization considering hyperelastic composite materials. In this context, we propose a two-scale adjoint sensitivity analysis utilizing a localization process.

Key Words: multi-scale topology optimization, adjoint sensitivity analysis, decoupling multi-scale anal- ysis, hyperelasticity, homogenization, localization

1. はじめに

構 造 物 の 力 学 的 挙 動 は ，材 料 の ミ ク ロ 領 域 に お け る 構 成 材 料 の 配 置 や 形 状 ，寸 法 な ど の 幾 何 学 的 特 性 に 強 く 依 存 し ，そ の 依 存 性 は 材 料 の 非 線 形 領 域 に お い て よ り 顕 著 に な る こ と が 知 ら れ て い る ．ま た ，構 造 用 材 料 のほとんどはミクロ的な視点から見れば複合材料であ る た め ，異 種 材 料 を う ま く 複 合 化 す る こ と に よって 材 料の力学的挙動をある程度制御することは可能である．

そのため，材料開発の分野では全体構造（マクロ構造）

の 力 学 的 性 能 を 目 的 ど お り に 制 御 す る ，あ る い は 最 大 限に引き出す，最適な材料微細構造（ミクロ構造）を見 つけるために多くの時間とエネルギーが費やされてい る ．そ の 具 体 的 な 方 法 は ，構 成 材 料 の パ ラ メ ー タ を 適 宜変化させて材料実験を行い力学的性能の感度を把握 し た り，新 た な 材 料 を 混 入 し て そ の 性 能 変 化 を 観 察 す る の が 一 般 的 で あ ろ う．し か し ，現 実 に は 数 多 く の パ ラ メ ー タ が 存 在 す る た め ，そ れ を 材 料 実 験 だ け で 解 決 す る に は 膨 大 な 時 間 と コ ス ト を 要 す る こ と と な る ．し

∗ 原 稿 受 付2015年10月03日,改 訂 年 月 日2015年11月25日, 発 行 年 月 日2016年01月18日, c2016年 日 本 計 算 工 学 会.

Manuscript received, October 03, 2015; final revision, November 25, 2015; published, January 18, 2016. Copyright c2016 by the Japan Society for Computational Engineering and Science.

か も ，そ れ に よって 得 ら れ た ミ ク ロ 構 造 の 最 適 性 が 保 証 さ れ る 訳 で は な い ．こ の よ う な 背 景 か ら ，近 年CAE を 活 用 し て 合 理 的 に 材 料 開 発 を 行 う よ う に なって き て お り，中 で も 構 造 最 適 化 理 論 を 駆 使 し た 材 料 設 計 法 の 開 発 が 注 目 さ れ て い る ．

ところで，最近3Dプリンターによる生産・技術が現 実のものとなっている．3Dプリンターは積層造形を行 う 装 置 で ，こ れ ま で 製 作 が 困 難 と さ れ て い た 複 雑 な 形 状 で も 一 体 造 形 で き る 点 が 長 所 の 一 つ で あ る ．現 在 で は，3Dプリンターを使って実用に耐え得る構造部材や 機械部品を生産するための技術開 発が盛んに進め られ て お り，こ れ が 本 格 的 に 実 用 化 さ れ れ ば ，生 産 シ ス テ ム の 変 革 は も と よ り 社 会・経 済 へ の 影 響 も 大 き い と さ れ て い る ．

ま た ，ト ポ ロ ジ ー 最 適 化 に よ る 設 計 ツ ー ル と3Dプ リ ン タ ー を 融 合 し た 新 し い も の づ く り 体 系 の 可 能 性・

将来性が議論 されてい る(1, 2, 3, 4)．この理 由は，両者の 長 所 を 掛 け 合 わ せ る こ と で ，製 作 面 よ り も 構 造 性 能 に 重 点 を お い た も の づ く り が 可 能 に な る た め で あ る ．も ちろん，3Dプリンターによる製作品については未だ材 料 強 度 に 対 す る 信 頼 性 が 乏 し く，今 後 益々の 研 究 開 発 が 必 要 で あ る こ と は 言 う ま で も な い ．

し か し な が ら ，最 近 に なって 金 属 の ミ ク ロ 領 域 に お いて結晶方位 や結晶粒径を制御しながらマクロ構 造を

自 由 に 製 作 す る た め の 技 術 報 告 が 聞 か れ る よ う に なっ

て きた(5, 6, 7, 8)．その技術が確立されれば，材料に対す

る 信 頼 性 が 増 し ，い よ い よ 本 格 的 な3Dプ リ ン タ ー に よ る 生 産 が 可 能 に な る こ と を 示 唆 し て い る ．こ れ ら の 動 向 か ら ，マ ク ロ 構 造 の み な ら ず ミ ク ロ 構 造 も 同 時 に 最 適 化 で き る 手 法 を 開 発 す る こ と に よって ，材 料 の ミ クロ構造からマクロ構造まですべて最適化された究極 の 構 造 を 得 る こ と で き る よ う に な る と 考 え ら れ る ．

こ の よ う な 背 景 を 踏 ま え ，本 研 究 は マ ク ロ 構 造 の 力 学 的 性 能 を 最 大 に す る た め に ，複 合 材 料 の ミ ク ロ 構 造 とマクロ構造のトポロジーを同時に最適化する手法の 開 発 を 行 う．特 に 本 研 究 で は ，「 実 在 す る す べ て の 材 料 は 厳 密 に は 非 線 形 な 力 学 的 挙 動 を 示 す 」と い う 物 理 的 視 点 に 立って ，上 記 の 目 的 に 加 え て 非 線 形 構 造 問 題 を 扱うことが可能な汎用性の高い手法の構築に挑戦する．

と こ ろ で ，近 年 ミ ク ロ お よ び マ ク ロ 構 造 の ト ポ ロ ジーを同時に最適化する手法の研究開発が進められる ようになってきた．代表的なものでは，Rodrigues et al.⁽⁹⁾ が実施した線形弾性体の剛性最大化問題に関する研究 成 果 が あ る ．こ の 手 法 は ，マ ク ロ 構 造 内 の 任 意 の 評 価 点におけるミクロ構造がその評価点周辺では周期性を 満 た す も の と 仮 定 し ，一 つ の マ ク ロ 構 造 に 多 数 の 異 な る ミ ク ロ 構 造 が 存 在 す る こ と を 許 容 し た も の で あ る ． し か し ，実 際 に 有 限 多 数 の ミ ク ロ 構 造 を 有 す る マ ク ロ 構 造 を 製 作 す る と し た 場 合 ，隣 接 す る 評 価 点 間 で ミ ク ロ構造トポロジーが不連続となる箇所が存在すること と な り，厳 密 に は そ こ で の 周 期 性 は 満 た さ れ な い ．こ れ に 対 し て ，Niu et al.⁽¹⁰⁾は ，低 次 固 有 振 動 数 の 最 大 化 を目的としてミクロとマクロ構造両方のトポロジーの 同時最適化法を提案する中で，「ミクロ構造はマクロ構 造 全 体 に お い て 一 つ（ 一 種 類 ）だ け 存 在 す る 」と し た 問 題 設 定 を 行って い る ．つ ま り，マ ク ロ 構 造 の い ず れ の点においてもミクロ構造の周期性が満たされるとい う 条 件 を 用 い た も の で あ る ．本 研 究 で も こ れ と 同 様 に マクロ構造全体で一つのミクロ構造だけが存在すると い う 問 題 設 定 を 行って い る ．

と こ ろ で ，上 記 の よ う な ミ ク ロ–マ ク ロ 連 成 問 題 を 解 く た め に は ，均 質 化 法 を 基 本 と し た マ ル チ ス ケ ー ル 解 析 法 の 導 入 が 必 要 と な る ．均 質 化 法 に よ る マ ル チ ス ケ ー ル 解 析 法 に つ い て は ，こ れ ま で 多 く の 研 究 成 果 が 報 告 さ れ ，現 在 で は 材 料・幾 何 学 的 非 線 形 特 性 を 考 慮 に 入 れ た 様々な 解 析 手 法 が 提 案 さ れ て い る(11, 12, 13, 14)． こ れ ら は ，ミ ク ロ お よ び マ ク ロ 双 方 の 境 界 値 問 題 の 精 度を高めるために2変数境界値問題をミクロ–マクロを 相 互 に や り 取 り し な が ら 同 時 に 解 く も の で「 ミ ク ロ– マ ク ロ 連 成 型 の マ ル チ ス ケ ー ル 解 析 法 」と 呼 ば れ て お り，理 論 的 に も 確 立 さ れ た 信 頼 で き る 手 法 で あ る ．し か し ，こ れ ら の 解 析 手 法 は 理 論 的 に は 明 快 で あ る も の の ，計 算 量 が 膨 大 と な る こ と か ら 実 設 計 に 応 用 さ れ る こ と は 少 な い ．そ の た め ，Niu et al.⁽¹⁰⁾の 最 適 化 手 法 を は じ め ，「 ミ ク ロ–マ ク ロ 連 成 型 の マ ル チ ス ケ ー ル 解 析 法 」を 基 本 と す る 最 適 化 手 法 は ，線 形 弾 性 問 題 で あ れ

ば 適 用 可 能 で あ る が ，そ れ を 非 線 形 構 造 問 題 へ 拡 張 す る こ と は ，理 論 を 複 雑 化 す る だ け で な く 計 算 量 が 著 し く 増 加 す る た め ，実 用 上 の 課 題 が 大 き い ．

なお，著者らの知る限りでは，連成型マルチスケール 解析法を基本としたマルチスケールトポロジー最適化の 研究のうち非線形構造問題を扱ったものはNakshatrala et al.⁽¹⁵⁾の研究報告しか見当たらない．Nakshatrala et al.⁽¹⁵⁾ は，超弾性Neo-Hookeanモデルを用いた場合のマルチス ケ ー ル ト ポ ロ ジ ー 最 適 化 手 法 を 提 案 し て い る が ，や は り 計 算 量 が 膨 大 と な る こ と か らmultilevel nested Newton 法 と 称 さ れ る 近 似 法^{(16) (17)}を 取 り 入 れ て 計 算 量 を 減 らし ，さら に80個の プ ロセッサー を 用い た 並 列 計 算 に よって 計 算 を 実 行 可 能 な も の に し て い る ．し か し ，今 後弾塑性モデルのように経路依存 型の構造最適化 問題 へ の 拡 張 も 視 野 に 入 れ る と ，連 成 型 マ ル チ ス ケ ー ル 解 析法を基本としたトポロジー最適 化のこれ以上の 発展 は 困 難 で あ る と 思 わ れ る ．

ち な み に ，ミ ク ロ 構 造 単 独 ，あ る い は ミ ク ロ − マ ク ロ 構 造 両 方 の ト ポ ロ ジ ー を 最 適 化 す る 問 題 で は ，「 直 交異方性のマクロ材料特性を変数 にしてマクロ構 造の 最適化問題を先に解き， 得られたマクロ材料特性と等 価な特性を与えるミクロ構造のト ポロジーを逆均 質化 法によって決定する方法」も有効であると考えられる．

し か し ，こ れ は 線 形 問 題 に お い て の み 適 用 可 能 な ア プ ロ ー チ で あ り，非 線 形 構 造 問 題 を 前 提 と す る 本 研 究 で は 使 え な い ．

こ の よ う な 背 景 か ら ，Kato et al.^{(18)，加 藤 ら(19)，谷} 地ら⁽²⁰⁾は「分離型マルチスケール解析法」と呼ばれる 計算コストを大幅に削減できる新 しい手法を取り 入れ たマルチスケールトポロジー最適 化手法を提案し てい る ．分 離 型 マ ル チ ス ケ ー ル 解 析 法 は ，Terada et al.⁽²²⁾お よ び 寺 田 ら⁽²³⁾，Watanabeら⁽²⁴⁾に よって 開 発 さ れ た も ので，ミクロ–マクロ2変数境界値問題を分離して解く，

理 論 的 に も 明 快 な 近 似 的 手 法 で あ る ．こ の 手 法 で は ， マ ク ロ 構 成 則 を 仮 定 し た 上 で「 数 値 材 料 実 験 」と 称 す る均質化解析 の結果からマクロ構成則の材料パラ メー タ を 同 定 す る た め ，マ ク ロ 解 析 お よ び 局 所 化 解 析 を 少 な い 計 算 負 荷 で 効 率 的 に 解 く こ と が で き ，さ ら に 様々 な非線形材料 モデルおよび幾何学的非線形問題に も同 じ 枠 組 み が 適 用 可 能 で あ る 点 で 汎 用 性 に 優 れ て い る ．

文 献(18, 19, 20)の 研 究 報 告 は ，分 離 型 マ ル チ ス ケ ー ル

解析法を最適化問題に導入する基礎的研究であるため，

線形弾性体を前提としたものであった．次いで，加藤ら (21)は ，分 離 型 マ ル チ ス ケ ー ル 解 析 法 を 用 い た ト ポ ロ ジ ー 最 適 化 の 研 究 に お い て ，は じ め て 非 線 形 力 学 問 題 に適用可能な手法の開発を実施している．ここでは，ミ クロ構成則に等方性超弾性体を仮定したMooney-Rivlin 則，マクロ構成則には異方性超弾性体であるKaliske則 を適用している．しかし，加藤ら⁽²¹⁾はマクロ構造の挙 動を考慮しつつも設計対象として はミクロ構造の トポ ロジーに限定している．そこで，本研究では加藤ら⁽²¹⁾ の手法をベースにミクロとマクロ 構造の両方のト ポロ

ジ ー を 同 時 に 最 適 化 す る 手 法 に 拡 張 す る も の で あ る ． 本 最 適 化 問 題 で は ，ミ ク ロ お よ び マ ク ロ の 材 料 体 積 量 が 一 定 と い う 条 件 の も と ，目 的 関 数 はNakshatrala et al.⁽¹⁵⁾と 同 様 に マ ク ロ 構 造 の エ ン ド コ ン プ ラ イ ア ン ス 最 小 化 と し た ．以 下 で は ，有 限 変 形 理 論 を 踏 ま え た 分 離 型 マ ル チ ス ケ ー ル 解 析 法 の 概 要 を 述 べ た 上 で ，使 用 材 料 モ デ ル お よ び 本 最 適 化 問 題 の 設 定 ，さ ら に 分 離 型 マルチスケール解析を用いた場合の一連の解法および 感 度 解 析 に つ い て 提 案 す る ．た だ し ，分 離 型 マ ル チ ス ケ ー ル 解 析 法 の 説 明 に つ い て は ，加 藤 ら⁽²¹⁾の 研 究 報 告 と 重 複 す る こ と か ら ，こ こ で は 付 録 に 記 述 す る こ と と し た ．最 後 に い く つ か の 数 値 解 析 例 を 用 い て 本 手 法 の 性 能 検 証 を 実 施 す る ．

2. 材料構成則

本 研 究 で は ，分 離 型 マ ル チ ス ケ ー ル 解 析 に お い て ， ミク ロ境界値問題およびマクロ境界値問題で用いる構 成則 をそれぞれミクロ構成則およびマクロ構成則と呼 ぶ ．こ こ で は ，そ の ミ ク ロ 構 成 則 お よ び マ ク ロ 構 成 則 とし て採用する超弾性構成則についてそれぞれ提示す る ．な お ，ミ ク ロ 構 成 則 に は 等 方 性 の 超 弾 性 体 モ デ ル を ，マ ク ロ 構 成 則 に は ミ ク ロ 構 造 の 非 均 質 性 に 起 因 す る異 方性を再現するために異方性の超弾性体モデルを 用 い て い る ．な お ，以 下 で は 簡 単 の た め ，ミ ク ロ 変 数 とマ クロ変数を区別せずにそれぞれの構成則の定式化 を 行 う こ と と す る ．

2.1 ^{等方性超弾性構成則 等方性超弾性体の弾性} ポ テ ン シャル 関 数 は ，観 測 者 に 依 存 し な い 客 観 性 を 持 つことから変形勾配Fあるいは右Cauchy-Greenテンソ ルC(=F^TF) の 関 数 で 表 す こ と が で き る ．

Ψ = Ψ(F)= Ψ(C) (1) ゴム材料の非圧縮性や微圧縮性を扱いやすくするた め に ，近 年 で は 超 弾 性 の ポ テ ン シャル 関 数 を 体 積 変 形 と等容変形の成分に分離することが多い．本研究でも，

ポ テ ン シャル 関 数Ψを 体 積 変 形 に 起 因 す るWvolと 等 容 変 形 に 起 因 す るWisoと の 和 と し て 次 式 の よ う に 表 す こ と に す る ．

Ψ =Wvol(J)+Wiso

(C¯)

(2) ここで，J=detFはヤコビアン，C¯ =F¯^TF¯ は右Cauchy- Greenテン ソ ル の 等 容 変 形 成 分 を そ れ ぞ れ 示 し て い る ． ま た ，F¯ は 変 形 勾 配F の 等 容 変 形 成 分 で あ り，次 式 で 表 さ れ る ．

F¯ =J^−1/3F (3) ポテンシャル関数の体積成分W_vol(J)の具体形はスカ ラ ー パ ラ メ ー タDを 用 い た 次 式 と し て 与 え る ．

Wvol(J)= 1

D(J−1)² (4)

な お ，こ の モ デ ル で は ，極 限 操 作D→0に よ り 非 圧 縮 状 態(J =1)に 近 づ け る こ と が で き ，有 限 要 素 解 析 に

お い て も こ の 操 作 に よって 非 圧 縮 性 を 模 擬 す る こ と が 多 い ．

一 方 ，等 容 成 分Wiso

(C¯)

に はMooney-Rivlinモ デ ル を 採用し，C¯ の第1，第2不変量を用いた次式を定義する．

Wiso

(C¯)

= Wiso

(I¯1,I¯2

)

= C1

(I¯1−3) +C2

(I¯2−3)

(5) こ こ で ，I¯₁, ¯I₂は ，次 式 で 示 さ れ るC¯ の 第1，第2不 変 量 で あ り，C1,C2は そ れ ら に 関 す る 材 料 パ ラ メ ー タ で あ る ．

I¯1 = tr ¯C (6)

I¯2 = 1 2

(tr²C¯ −tr ¯C²)

(7) 弾性ポテンシャルの定義より，第2 Piola-Kirchhoff^応力

（以下，第2PK応力と 呼ぶ）は，ポテンシャル関数 を右 Cauchy-Greenテ ン ソ ルCで 微 分 す る こ と で 得 ら れ る ．

S=2∂W

∂C =2∂Wvol

∂C +2∂Wiso

∂C =Svol+Siso (8) ここで，式(4)より，体積変形に関する応力成分は次式 で 与 え ら れ る ．

Svol=2∂Wvol(J)

∂C =J∂Wvol

∂J C⁻¹ (9)

また，式(5)より，等容変形に関する応力成分は次式で 与 え ら れ る ．

Siso = 2∂Wiso

(I¯1,I¯2

)

∂C =

( 2∂Wiso

∂C¯ )

:∂C¯

∂C

= ( J^−2/3Q)

: (

2∂Wiso

∂C¯ )

=I^−1/3₃ Q: ¯S (10) こ こ で ，I3=detCで あ り，Q^とS¯は そ れ ぞ れ 次 の よ う に 定 義 し た ．

Q=I−1

3C⁻¹⊗C (11)

S¯=2∂Wiso

∂C¯ =2∂Wiso

∂I¯1

∂I¯1

∂C¯ +2∂Wiso

∂I¯2

∂I¯2

∂C¯ (12)

こ こ で ，I^は4階 の 恒 等 テ ン ソ ル で あ り，2階 の 恒 等 テ ンソル1を用いてI=1⊗1と表せる．また，不変量I¯1,I¯2

のC¯ に よ る 偏 微 分 は 次 式 で 与 え ら れ る ．

∂I¯1

∂C¯ = 1 (13)

∂I¯2

∂C¯ = ( I¯₁1−C¯)

(14)

2.2 異方性超弾性構成則 本研究では，Kaliske⁽²⁶⁾ お よ びKaliske and Schmidt⁽²⁷⁾に よ り 提 案 さ れ た 異 方 性 超 弾 性 体 構 成 則 を マ ク ロ 構 成 則 と し て 採 用 す る ．こ の 材 料 モ デ ル を 採 用 し た 理 由 は ，当 該 材 料 モ デ ル が ミ ク ロ材料モデルであるMooney-Rivlin則を基本に発展させ たものであることからこれらの材 料モデルの間に 親和 性 が あ る た め で あ る ．

Kaliske⁽²⁶⁾およびKaliske and Schmidt⁽²⁷⁾は，繊維強化 複合材料の異方性は繊維の方向を示す単位ベクトルA, Bに よって 特 徴 づ け ら れ る も の と 仮 定 し ，ポ テ ン シャ ル 関 数 を 次 の よ う に 定 義 し て い る ．

Ψ =W_vol(J)+W_iso(

C¯,A,B)

(15) こ こ で ，Wvol(J)は 前 節 同 様 に 式(4)と し て 定 義 さ れ て いる．Wiso

(C¯,A,B)

はC¯ の不変量を用いた以下の具体 形 で 与 え ら れ る ．

Wiso

(C¯,A,B)

= Wiso

(I¯1,I¯2,I¯4,I¯5,I¯6,I¯7,I¯8

)

=

∑3 i=1

a_i( I¯₁−3)i

+

∑3 j=1

b_j( I¯₂−3)j

+

∑6 k=2

ck

(I¯4−1)k

+

∑6 l=2

dl

(I¯5−1)l

+

∑6 m=2

em

(I¯6−1)m

+

∑6 n=2

fn

(I¯7−1)n

+

∑6 o=2

g_o( I¯₈−ς)o

(16) こ こ でI¯i (i=1,2,4, ...,8)は ，式(13),式(14)と 次 式 で 与 え ら れ るC¯ の 不 変 量 を 示 し ，ai〜goは ，そ れ ら に 関 す る 材 料 パ ラ メ ー タ で あ る ．

I¯4 = A·CA¯ (17)

I¯5 = A·C¯²A (18)

I¯6 = B·CB¯ (19)

I¯7 = B·C¯²B (20)

I¯8 = (A·B)A·CB¯ (21) な お ，ς=(A·B)²で あ る ．

ま た ，等 方 性 の 場 合 と 同 様 に ，エ ネ ル ギ ー 関 数 を 右 Cauchy-Greenテ ンソ ル の 等 容 変 形 テン ソ ルC¯ で 偏 微 分 す る こ と に よ り，第2PK応 力 の 一 般 形 が 式(9)，式(10) で 得 ら れ ，異 方 性 で は 式(10)中 のS¯が 次 式 の よ う に 定 義 で き る ．

S¯ = 2∂Wiso

∂C¯ =2∂Wiso

∂I¯1

∂I¯1

∂C¯ +2∂Wiso

∂I¯2

∂I¯2

∂C¯ + 2∂Wiso

∂I¯4

∂I¯4

∂C¯ +2∂Wiso

∂I¯5

∂I¯5

∂C¯ +2∂Wiso

∂I¯6

∂I¯6

∂C¯ + 2∂Wiso

∂I¯7

∂I¯7

∂C¯ +2∂Wiso

∂I¯8

∂I¯8

∂C¯ (22)

こ こ で ，各 不 変 量I¯i (i=1,2,4, ...,8)^のC¯ に よ る 偏 微 分 は ，式(13)，式(14)に 加 え ，以 下 の よ う に 表 さ れ る ．

∂I¯4

∂C¯ = A⊗A (23)

∂I¯5

∂C¯ = A⊗CA¯ +CA¯ ⊗A (24)

∂I¯6

∂C¯ = B⊗B (25)

∂I¯7

∂C¯ = B⊗CB¯ +CB¯ ⊗B (26)

∂I¯8

∂C¯ = (A·B)A⊗B (27)

3. マルチスケールトポロジー最適化

本 手 法 は 前 述 の と お り，ミ ク ロ 構 造 ト ポ ロ ジ ー の 最 適 化 に 加 え ，そ れ を 内 部 構 造 に 持 つ マ ク ロ 構 造 の ト ポ ロ ジ ー も 同 時 に 最 適 化 す る も の で あ る ．強 調 す べ き 特 徴はマルチスケール構造解 析の部分において分離 型の 解 析 法 を 適 用 し て い る た め ，こ れ に よ り 大 幅 な 計 算 コ ス ト の 削 減 が 可 能 に な る こ と で あ る ．本 節 で は 分 離 型 マルチスケール解析を導入 したトポロジー最適化 問題 を 定 式 化 す る と と も に ，そ の 解 法 に つ い て 提 案 す る ． ま ず，具 体 的 な 定 式 化 に 先 立って ミ ク ロ 構 造 と マ ク ロ 構 造 の ト ポ ロ ジ ー を 定 義 す る た め に ，そ れ ぞ れ 独 立 したミクロ設計変数とマク ロ設計変数を導入する 必要 が あ る ．以 下 で は ，ミ ク ロ お よ び マ ク ロ 設 計 変 数 の 定 義 と そ れ ぞ れ の ポ テ ン シャル 関 数 の 正 則 化 に つ い て 説 明 し ，続 け て そ れ に 付 随 し た 最 適 化 問 題 の 定 式 化 と 感 度 導 出 法 の 提 案 を 行 う．

3.1 ミクロ設 計変数とミクロポテンシャル関数の 正 則 化 ト ポ ロ ジ ー 最 適 化 は 連 続 体 内 の 材 料 配 置 を 最 適化する手法であり，その基本概念は，設計空間におい て 任 意 の 点xが 材 料 の 存 在 す る 領 域(Ωs)に 位 置 す る か 否 か で そ の 位 相 を 決 定 す る こ と に あ る ．特 性 関 数χ(x) を用いてそれを表すと以下のように書くことができる．

χ(x)=

 0 → no material :∀x∈ Ωs\Ωm

1 → material :∀x∈ Ωm

(28)

しかし，これは‘0-1’整数値問題と呼ばれる解の一意性 と 安 定 性 に 欠 く 不 良 設 定 問 題 と な り，そ の ま ま で は 最 適解を得ることはで きない．そこで，不連 続な‘0-1’間 を 連 続 関 数 で 内 挿 し ，勾 配 基 本 法 に よ る 最 適 化 が 適 用 可 能 な 良 設 定 問 題 に 置 き 換 え る 方 法 が 取 ら れ る ．こ の 操 作 を 正 則 化 と 言 い ，こ れ ま で 様々な 方 法 が 提 案 さ れ て き た ．そ れ ら の 正 則 化 の う ち ，べ き 関 数 で 内 挿 補 間 を行うSIMP^法(28)が単純かつ最も計算量が小さい方法 と し て 広 く 使 わ れ て い る ．

本 研 究 で は ，Nakshatrala^{ら(15)と 同 様 に}SIMP^{法 の 概} 念を取り入れてミクロ構造における設計変数を定義し，

ま た ，材 料 応 答 を 担 う ポ テ ン シャル 関 数 を そ れ に よ り 正 則 化 し た ．な お ，本 来SIMP法 で は 単 一 の 多 孔 質 材 料 を 扱 う も の で あ る が ，本 手 法 で は2種 類 の 異 な る 材 料 か ら 構 成 さ れ る 複 合 材 料 を 対 象 と す る た め ，こ れ を そのまま適用することはできない．そこで，SIMP法の 概 念 を 複 合 材 料 へ 拡 張 し た2相 材 料 最 適 化⁽²⁹⁾を 採 用 した．2相材料最 適 化 は，SIMP法に お け るvoidとsolid を そ れ ぞ れphase-1^とphase-2の 固 体 材 料 で 置 き 換 え た 方 法 で あ る ．こ の 手 法 に よ り，ミ ク ロ 構 造 が 異 な る2 種 類 の 材 料phase-1^とphase-2か ら 構 成 さ れ る と し た と き ，ミ ク ロ 設 計 変 数siは ユ ニット セ ル 内 の 各 有 限 要 素 iに お け るphase-2の 材 料 体 積 比 と し て 定 義 さ れ る ．す な わ ち ，siは0-1間 の 値 を 持 ち ，si=0で あ れ ばphase-1 が 要 素iを 占 め ，si =1で あ れ ばphase-2が そ の 要 素 を 占 め る こ と を 意 味 す る ．ま た ，0<si<1の 場 合 は ，２ つ の 材 料 が 混 ざ り 合った 状 態 と 考 え る ．

上 記 の 設 計 変 数 を 用 い て ，（ 有 効 ）ミ ク ロ ポ テ ン シャ ル 関 数 を 次 式 の よ う に 内 挿 近 似 す る ．

Ψm=(1−s^η_i)Ψ1+s^η_iΨ2 (29) こ こ で ，Ψ1，Ψ2はphase-1, phase-2の ポ テ ン シャル 関 数 を そ れ ぞ れ 示 し ，こ れ ら は 等 方 性 超 弾 性 の 式(2)で 定 義 さ れ る ．ηは 内 挿 関 数 の べ き 乗 数 で あ る ．ま た ，ミ ク ロ 第1PK応 力Pmは ，ミ ク ロ ポ テ ン シャル 関 数Ψmを ミ ク ロ 変 形 勾 配Fmで 偏 微 分 す る こ と で 得 ら れ る ． Pm= ∂Ψm

∂Fm

=(1−s^η_i)∂Ψ1

∂Fm

+s^η_i ∂Ψ2

∂Fm

=(1−s^η_i)P1+s^η_iP2 (30) こ こ で ，P1，P2は ，そ れ ぞ れphase-1とphase-2の ミ ク ロ 第1PK応 力 を 意 味 し て お り，ミ ク ロ 変 形 勾 配Fmが 決 まって い れ ば 一 意 に 求 ま る も の で あ る ．な お ，本 項 お よ び 次 項 で も 便 宜 的 に 第1PK応 力 を 用 い て い る が ， 第2PK応 力 を 用 い て 表 現 し て も 構 わ な い ．

3.2 マクロ設計変数とマクロポテンシャル関数の正 則 化 本 研 究 で は ，ミ ク ロ 構 造 が2種 類 の 異 な る 材 料 で 構 成 さ れ る の に 対 し ，マ ク ロ 構 造 は そ れ と 等 価 な 単 一 均 質 材 料 か ら な る ．した がって ，SIMP法 を そ の ま ま 適 用 す る こ と が で き ，マ ク ロ 設 計 変 数 を マ ク ロ 構 造 の 各 有 限 要 素Iの 材 料 体 積 比 ，す な わ ち 密 度ρIと 定 義 す る と ，有 効 マ ク ロ ポ テ ン シャル 関 数Ψ¯Mは 次 式 で 与 え ら れ る ．

Ψ¯M=ρ^η_IΨM (31) こ こ で ，ΨMは 同 定 さ れ た パ ラ メ ー タ を 用 い た 異 方 性 超弾性構成則のポテンシャル関数式(15)である．また，

有効マクロ第1PK応力P¯_Mはこれをマクロ変形勾配F_M で 偏 微 分 す る こ と で 得 ら れ る ．

P¯_M=∂Ψ¯M

∂FM

=ρ^η_I∂ΨM

∂FM

=ρ^η_IP_M (32) ここで，式(32)は式(A.8)と式(30)の関係から以下のよ う に 書 き 換 え る こ と が で き る ．

P¯M= ρ^η_I

|Y|

∫

Y0

(1−s^η_i)P1+s^η_iP2dY (33) また，(31)も同様に以下のように書き表すことができる．

Ψ¯M = ρ^ηI

|Y|

∫

Y0

ΨmdY

= ρ^η_I

|Y|

∫

Y0

(1−s^η_i)Ψ1+s^η_iΨ2dY (34) こ の よ う に ，有 効 マ ク ロ 第1PK^{応 力}P¯_Mお よ び 有 効 マ ク ロ ポ テ ン シャルΨ¯Mは ，ミ ク ロ 設 計 変 数 と マ ク ロ 設 計変 数の両方に依存する形で書き表すことができるた め ，2つ の 異 な る ス ケ ー ル の 影 響 が 考 慮 さ れ て い る こ と が 確 認 で き る ．

3.3 最 適 化 問 題 の 定 式 化

最適化問題は，一般に設計変数に依存する目的関数，

等 式・不 等 式 制 約 条 件 で 定 義 さ れ る ．本 研 究 で は ，材 料 体 積 量 一 定 の 制 約 の 下 ，マ ク ロ 構 造 の エ ン ド コ ン プ

ラ イ ア ン ス を 最 小 化 す る（ 最 終 荷 重 ス テップ 時 に お け る 剛 性 の 最 大 化 ）と い う 等 式 制 約 条 件 付 き の 最 適 化 問 題 を 設 定 し た ．そ こ で 目 的 関 数 を 制 御 す る 変 数 は ，マ ク ロ の 変 位 場Uお よ び マ ク ロ 設 計 変 数ρ，ミ ク ロ 設 計 変数sであるから，目的関数はf(U,s,ρ)のように記述 で き る ．制 約 条 件 に つ い て は ，マ ク ロ 構 造 内 に あ る 材 料 体 積 量 を 一 定 と す る 等 式 制 約 条 件 をh1(ρ)=0^{と し ，} さ ら に ユ ニット セ ル 内 に あ るphase-2の 体 積 は ユ ニット セル全体で最適化計算中でも変化 しないという等 式制 約 条 件 をh2(s)=0と し た ．こ の よ う な 条 件 の も と ，本 研 究 で 設 定 し た 最 適 化 問 題 を 以 下 に 記 す．

min f(U,s,ρ)=

∫

∂B0

TˆM·UdΓ (35) subject to :

h1(ρ) =

∫

B0

ρIdΩ −VˆM =0 (36) h2(s) =

∫

Y0

sidY −Vˆm =0 (37) 0≤ρI≤1 I=1, ...,n_ρ (38) 0≤si≤1 i=1, ...,ns (39) こ こ で ，TˆMは マ ク ロ 境 界 で 定 義 さ れ ら 所 与 の マ ク ロ 表面力ベクトルである．また，VˆMはマクロ構造内にお け る 所 与 の 材 料 体 積 を 意 味 し ，n_ρは マ ク ロ 構 造 の 要 素 数を示す．同様にVˆmはユニットセル内における所与 の phase–2材 料 の 総 体 積 で あ り，n_sは ユ ニット セ ル を 構 成 す る 有 限 要 素 数 を 示 す．

ち な み に ，こ こ で は 等 式 制 約 条 件 で は な く 不 等 式 制 約 条 件（ 例 え ばg1(ρ)=∫

ρIdΩ−VˆM ≤0）を 課 し て も よ い．ただし，本最適化問題は設計変数値の増加（あるい は 材 料 剛 性 の 増 加 ）に 伴って 目 的 関 数 が 単 調 増 加 す る 問 題 で あ る た め ，最 適 解ρ^∗が 求 まった 際 に は 材 料 総 体 積量はその最大値VˆMと等しくなる.つまり，g1(ρ^∗)=^０ を 満 た す こ と と な り，予 め 等 式 制 約 条 件 を 課 し た 場 合 と ほ と ん ど 同 じ 結 果 が 得 ら れ る こ と が わ かって い る ． そ の た め ，本 最 適 化 問 題 で は 最 適 解 へ の 収 束 速 度 の 早 さと扱いやすさを考慮して等式制約条件を課している．

本 研 究 で は ，上 記 の 最 適 化 問 題 を ミ ク ロ と マ ク ロ 設 計 変 数 に よって 次 の よ う に2つ に 分 離 し ，そ れ ぞ れ を 個 別 に 解 く も の と し た ．

•^{最 適 化 問 題}1（ マ ク ロ 構 造 の 最 適 化 問 題 ）

min f(U,ρ)=

∫

∂B0

TˆM·UdΓ (40)

subject to : h1(ρ)=

∫

B0

ρIdΩ −VˆM =0 (41) 0≤ρI≤1 I=1, ...,n_ρ (42)

•^{最 適 化 問 題}2（ ミ ク ロ 構 造 の 最 適 化 問 題 ）

min f(U,s)=

∫

∂B0

Tˆ_M·UdΓ (43)

subject to : h2(s)=

∫

Y0

sidY −Vˆm = 0 (44) 0≤si≤1 I=1, ...,ns (45)

Sensitivity analysis (SA)

convergence?

Yes No

Decoupling multi-scale Analysis

a1) numerical material tests (eq. (A.12) and appendix A.4.1) a2) parameter identification by DE

(appendix A.4.2) a3) macro-structural analysis

(eq. (A.11))

start

end

・micro-structural analysis  for P

1 and P₂ in eq. (53) ,  where the final FM obtained  at above a3) is subjected.

・solve eq. (52) after eq. (50)

Optimization

volume fraction s

update design variables density ρ  b1) micro-SA b2) macro-SA

・solve eq. (51) with the final P_M obtained at above a3).

Fig. 1 Flow for the proposed optimization scheme

な お ，本 研 究 で は 数 値 解 析 上 有 効 な 最 適 化 ア ル ゴ リ ズ ム と し て ，勾 配 基 本 法 の ひ と つ で あ る 最 適 性 規 準 法 (25)（optimality criteria method:^{以 下 ，}OC法 と 略 す ）を 適 用 す る ．上 記 の と お り，2つ に 問 題 を 分 離 し た た め ミ ク ロ お よ び マ ク ロ 設 計 変 数 の 更 新 に はOC^{法 を}2^{度 適} 用 す る こ と と な る が ，各々の 体 積 制 約 を 満 た し な が ら 最 適 解 を 求 め る こ と が で き る ．

3.4 目的関数の感度の導出 本研究では勾配基本 法 を 用 い て 最 適 解 を 探 索 す る た め ，マ ク ロ 構 造 解 析 実 施 後 に 目 的 関 数 と 等 式 制 約 条 件 の 設 計 変 数si，ρIに 関 す る 勾 配（ 感 度 ）を そ れ ぞ れ 求 め る 必 要 が あ る ．等 式 制約 条件式のそれぞれの設計変数に対する感度につい て は 自 明 で あ る た め ，以 下 で は 目 的 関 数 の 感 度 導 出 法 に つ い て の み 記 述 す る ．

3.4.1 目 的 関 数 の 感 度

本 研 究 で は ，マ ク ロ の つ り 合 い 式(A.11)^{を 用 い て 目} 的 関 数 の 感 度 を 導 出 す る ．こ こ で は ，感 度 の 導 出 を 効 率 よ く 行 う た め に 離 散 的 随 伴 法 を 用 い る こ と と す る ． 離 散 的 随 伴 法 と は ，目 的 関 数 と つ り 合 い 条 件 式（ こ こ で は 仮 想 仕 事 式 ）を 離 散 化 し た 上 で 随 伴 ベ ク ト ル と 呼 ば れ る 任 意 の ベ ク ト ル を 導 入 し ，数 学 的 な 操 作 に よっ

x1

x2

x3

(b) macrostructure 2: plate structure (a) macrostructure 1: bending structure with both ends clamped

6.0 m

1.0 m 1.0 m ˆ

TM

loading control point (-x

2 direction)

0.8 m

0.8 m 0.1 m

loading control point (-x

2 direction)

x1

x2

x3

ˆ

TM

Fig. 2 Structural situation of macrostructures

て 導 出 が 困 難 と さ れ る 陰 的 な 感 度 項 を 取 り 除 き ，陽 的 な 感 度 項 の み で 目 的 関 数 の 感 度 を 導 く 方 法 で あ る ．こ れ に よ り，感 度 の 計 算 に 要 す る 計 算 コ ス ト を 大 幅 に 低 減 で き る よ う に な る ．い ま ，随 伴 ベ ク ト ル をλと し て 次 式 の よ う に 目 的 関 数 を 書 き 換 え る が ，括 弧 の 中 が 零 で あ る こ と か ら こ の 書 き 換 え に よって 数 学 的 な 問 題 は 生 じ な い ．

f⁰ = f−λ^TRM (46)

= F_ext^TU−λ^T





F| {z }int(U)−Fext R_M=0





 (47)

ここで，RM(U,s,ρ)は残差ベクトルである．また，Fint

とFextは ，マ ク ロ 構 造 解 析 の 最 終 荷 重 ス テップ 時 の つ り合い点にお ける内力ベクトルと 外力ベクトルを意味 し ，以 下 の よ う に 書 く こ と が で き る ．

Fint=

∫

B0

B₀^TP¯MdΩ, Fext=

∫

∂B0

N^TTˆMdΓ (48) こ こ で ，N は 形 状 関 数 ，B0は 初 期 配 置 を 参 照 す るB マ ト リック ス で あ る⁽³⁰⁾．な お ，簡 単 の た め ，外 力 ベ ク ト ルFextに は 物 体 力 に よ る 影 響 は な い も の と し ，ま た マ ク ロ 変 形 お よ び 設 計 変 数si，ρIに 依 存 し な い と 仮 定 し た 上 で ，目 的 関 数 の 設 計 変 数 に 対 す る 感 度 を 随 伴 法 に よって 導 出 す る ．ま ず，式(47)を マ ク ロ 設 計 変 数ρI

で 微 分 す る と ，

∂f

∂ρI

=∂f⁰

∂ρI

= F_ext^T dU dρI

−λ^T (∂RM

∂U dU dρI

+∂RM

∂ρI

)

= (

F_ext^T −λ^T∂RM

∂U

)dU

dρI

−λ^T∂RM

∂ρI

(49)

Number of element: 1000 Number of node: 1331

y

y

y

symmetric topology is imposed

Fig. 3 Unit cell and a way imposing symmetric topol- ogy

と な る ．こ こ で ，随 伴 ベ ク ト ルλは 任 意 の ベ ク ト ル で あるので，以下の方程式を満たす随伴ベクトルλ^∗を求 めて式(49)に代入すれば，陰的な感度項dU/dρIを消去 で き る ．

K_T^Tλ^∗=F_ext (50) ここで，KTは最終荷重ステップ時のつり合い点におけ る 接 線 剛 性 行 列 を 示 す．

こ れ に よ り，目 的 関 数 の 設 計 変 数ρIに 対 す る 感 度 は 陽 的 な 感 度 項 の み で 構 成 さ れ た 次 式 で 与 え ら れ る ．

∂f

∂ρI

= −λ^∗T∂RM

∂ρI

=−λ^∗T

∫

B0

B^T₀∂P¯M

∂ρI

dΩ

= −λ^∗T

∫

B0

B^T₀( ηρ^η−1I PM

)dΩ (51)

こ こ で は ， 式(32)で 示 さ れ た 有 効 マ ク ロ 第1PK^{応 力} P¯Mに対するρIの微分を取っている．なお，上式におい て 未 知 数 は マ ク ロ 第1PK応 力PMで あ る が ，こ れ は 最 終 荷 重 ス テップ 時 の つ り 合 い 点 に お い て 求 め たPMを 代入すればよい．よって，マクロの感度については，明 ら か に 陽 的 に 求 ま る こ と が わ か る ．

一 方 ，ミ ク ロ 設 計 変 数siに 対 す る 目 的 関 数 の 感 度 も マ ク ロ 設 計 変 数 の 場 合 と 同 様 に し て 次 式 を 得 る ．

∂f

∂si

= −λ^∗T∂RM

∂si

=−λ^∗T

∫

B0

B^T₀∂P¯M

∂si

dΩ

= −λ^∗T

∫

B0

B^T₀ (

ρ^η_I∂PM

∂si

)

dΩ (52)

著者らの先行研究⁽²¹⁾で示したとおり，ここで問題と な る の が ，∂P_M/∂s_iの 算 出 方 法 で あ る ．つ ま り，P_Mは マ ク ロ 領 域 で ，siは ミ ク ロ 領 域 で そ れ ぞ れ 定 義 さ れ た 変 数 で あ る こ と か ら ，そ れ ら の 間 に 直 接 的 な 関 係 性 が なく∂PM/∂siを陽に求めることはできない．そこで，本 研 究 で は ま ず，式(A.8)^{と 式}(30)の 関 係 を 念 頭 に ，感 度

∂PM/∂siを 均 質 化 法 に よって 以 下 の よ う に 定 式 化 し た ．

∂P_M

∂si

= 1

|Y|

∫

Y0

∂P_m

∂si

dY

= 1

|Y|

∫

Y0

ηs^η−1_i (∂Ψ2

∂Fm

−∂Ψ1

∂Fm

) dY 

= 1

|Y|

∫

Y0

ηs^η−1_i (P2−P1) dY (53)

よって ，上 式 の 第3行 に あ る ミ ク ロ 第1PK応 力P₁， P2さ え 求 ま れ ば ，∂PM/∂siが 得 ら れ る こ と に な る ．し か し ，こ の ミ ク ロ 第1PK^{応 力}P₁とP₂は 式(30)^{の 均 質} 化解析で用いたP1，P2とは別のもので，この感度の導 出のために新たに計算される状態 変数であること に注 意 が 必 要 で あ る ．本 研 究 で は 所 与 の マ ク ロ ひ ず み を 与 え て ユ ニット セ ル 内 の ミ ク ロ ひ ず み と 応 力 と を 計 算 す る，“局所化解析 によってこのミクロ第1PK応力P1と P2を 求 め る こ と と し た ．

以 上 を ま と め る と ，こ の 局 所 化 解 析 を 利 用 し た 感 度 解 析 は ，マ ク ロ 構 造 解 析 の 最 終 荷 重 ス テップ 時 に お け るつり合 い点に おいて，(i)マクロ要素 の応力 積分 点 に お け る マ ク ロ 変 形 勾 配FMを 所 与 の 変 形 ，す な わ ち 境 界 条 件 と し て ユ ニット セ ル に 負 荷 し て ミ ク ロ 境 界 値 問 題（局 所化解 析）を解 き，(ii)各ミクロ要 素の応 力積 分 点 に お け る ミ ク ロ 第1PK応 力P1，P2を そ れ ぞ れ 求 め ， (iii)それらを式(53)に代入して，∂PM/∂siを求めるとい う 手 順 と な る ．

よって，最終の感度である式(52)を求めるためには，

この局所化解 析を応用した感度解析をマクロ構造 の全 積 分 点 で 行 う 必 要 が あ る た め ，マ ク ロ の 応 力 積 分 点 の 数 が 増 加 す る に つ れ て そ の 計 算 コ ス ト は 大 き く な る ． しかし，一般のミクロ–マクロ連成型のマルチスケール 解析を適用す る場合に比べて大幅に計算コストを 抑え る こ と が で き る 点 を 強 調 し て お く．

最 後 に 参 考 と し て ，本 論 文 で 提 案 す る マ ル チ ス ケ ー ルトポロジー最適化手法の全体フローをFig.1に記す．

4. 最適化計算例

4.1 ^計算条件 本節では，具体的な最適化計算を

実施して本論文で提案するマルチ スケールトポロ ジー 最 適 化 手 法 の 妥 当 性 を 検 証 す る ．こ こ で は ，最 適 化 計 算例に使用するマクロ構造としてFig.2に示す2つのモ デ ル を 用 意 し た ．マ ク ロ 構 造1で は ，両 端 固 定 の 梁 構 造 ，マ ク ロ 構 造2で は 板 状 の 構 造 で あ る ．ど ち ら の 場 合 も マ ク ロ 材 料 体 積 比 は20%と し ，マ ク ロ 設 計 変 数 の 初 期 値 は 全 て の 要 素 でρI =0.2と し た ．ま た ，前 述 の と お り，マ ク ロ 構 造 に はKaliskeの 材 料 モ デ ル を 用 い ， その材料パラメータは数値 材料試験を実施したあ とに 最 適 化 ア ル ゴ リ ズ ム を 用 い て そ の 数 値 を 同 定 す る ．本 計 算 例 で は ，最 適 化 ア ル ゴ リ ズ ム の 中 で も 計 算 速 度 や 計算精度の面で高い性能を 有するとされる差分進 化法 (31)（Differential Evolution;^以下，DE^{と略す）を用いて同} 定を行った．DEによる具体的な同定方法については付

x

x

x

x

3

x

x

y

y

y

y

1

y

y

y

y

(a) optimized topology of macrostructure

(b) optimized topology of microstructure phase-1

phase-2

Fig. 4 Optimization results for macrostructure 1 (bending structure with both ends clamped) under a low load level

x

x

x

x

x

x

y

y

y

y

y

y

y

y

(a) optimized topology of macrostructure

(b) optimized topology of microstructure phase-1

phase-2

Fig. 5 Optimization results for macrostructure 1 (bending structure with both ends clamped) under a high load level

Table 1 ミ ク ロ材 料 定数

C1 C2 D

phase-1 1.923×10²  0 1.6×10⁻³ phase-2  1.923×10³ 0 1.6×10⁻⁴

0 10 20 30 40 50

0 2 4 6

optimization step number

objective values f (N·mm)

[1.0×10⁶]

Fig. 6 Optimization history of macrostructure 1 (bend- ing structure with both ends clamped) under a high load level

録Aの4.2節で 簡単 に述 べ てい るが ，DEの詳 細に つい て は 文 献⁽³¹⁾を 参 照 さ れ た い ．

一 方 ，使 用 す る ユ ニット セ ル は 全 て の 計 算 例 に お い て ，Fig.3に 示 す8節 点 六 面 体 要 素 を 用 い た 立 方 体 形 状 と し ，こ れ が2^{つ の 材 料}(phase-1, phase2)で 構 成 さ れ る と 仮 定 し て い る ．本 計 算 例 で は ，Fig.3に 示 す よ う に 構 造 解 析 に つ い て は ユ ニット セ ル 全 体 を 用 い て い る が 最 適 化 の た め の 設 計 領 域 は ユ ニット セ ル の1/8領 域 と し ， こ れ を 他 の 領 域 に 対 称 的 に 割 り 当 て る こ と で ユ ニット セ ル 全 領 域 の ト ポ ロ ジ ー を 得 る よ う に し た ．こ の よ う な処置をした理由は，Fig.2(a)で示したマクロ構造では x3軸 に 対 し て ，(b)の マ ク ロ 構 造 で は x1^{軸 と}x3^{軸 に} 対 し て ミ ラ ー 対 称 と なって い る が ，ミ ク ロ 構 造 の 最 適 化 問 題 が 非 一 意 性 の 問 題 で あ る こ と を 念 頭 に お く と ，

Fig.3のような設計上の拘束をミクロ構造に課さない限

り，マ ク ロ 構 造 の ミ ラ ー 対 称 性 を お か さ な い ミ ク ロ 構 造トポロジーを安定して得ることは難しいためである．

ミクロ材料モデルは，Mooney-Rivlin則による等方性超 弾性構成則でTable1に示した材料定数を用いて，phase- 2がphase-1よ り 硬 い 材 料 と な る よ う 設 定 し た ．な お ， べき乗数はいづれの場合もη=3とした．また，phase-2 の 材 料 体 積 比 は マ ク ロ 構 造1で は25%，マ ク ロ 構 造2 で は30%と し ，設 計 変 数 の 初 期 値 は 上 記 の 材 料 体 積 比 を 一 様 に 与 え ，中 心 部 の 要 素 の み 周 囲 よ り も0.01^{大 き} な 値 を 与 え た ．こ れ は ，全 て の 要 素 に 同 じ 初 期 値 を 与

え た 条 件 下 で 一 様 変 形 を 課 す と ，ど の 要 素 で も 同 じ 応 力 お よ び ひ ず み 分 布 と な る た め ，そ れ ぞ れ の 設 計 変 数 に対する感度（∂f/∂si）の値も全て同じとなる．これは 数 値 的 に 特 異 な 状 態 を 意 味 し て お り，そ れ 以 降 最 適 化 を 実 行 で き な く な る た め ，そ れ を 回 避 す る た め に 行 う 数 値 的 な 処 置 で あ る ．ま た ，本 計 算 例 で は 最 適 化 計 算 後 の ト ポ ロ ジ ー が い わ ゆ る チェッカ ー ボ ー ド 材 料 配 置 へ 停 留 す る こ と を 避 け る た め に メッシュ非 依 存 型 フィ ル タ リ ン グ 法^{(32, 33)}を 採 用 し た ．フィル タ ー 半 径 に つ い て は ，い ず れ も ユ ニット セ ル 内 の 要 素 長 の3倍 を 基 本 と し ，最 適 化 ス テップ が 増 す ご と に 徐々に 小 さ く す る よ う に 設 定 し た ．

な お ，い ず れ の 計 算 例 に お い て も 結 果 を 理 解 し や す い よ う に マ ク ロ の 座 標 軸x₁,x₂,x₃と ミ ク ロ の 座 標 軸 y1,y2,y3の 方 向 が そ れ ぞ れ 一 致 す る よ う に 設 定 し た ．

と こ ろ で ，本 最 適 化 計 算 例 で は 有 限 変 形 を 前 提 と す る た め ，超 弾 性 体 と い う 経 路 非 依 存 性 の 材 料 モ デ ル を 用いていても境界条件として与え る荷重の大きさ が違 えば最適なトポロジーは異なるはずである．そのため，

それを確認するためにいずれのマ クロ構造に対し ても 大 き さ の 異 な る 荷 重 を2ケ ー ス 用 意 し ，そ れ ぞ れ に 対 す る 最 適 化 ト ポ ロ ジ ー を 比 較 検 証 す る こ と と し た ．

な お ，本 計 算 の 非 線 形 マ ク ロ 構 造 解 析 は ，荷 重 増 分 法 を 用 い て 実 施 し た ．ここ で は ，あと で 示 す 荷 重-変 位 曲 線 を 理 解 し や す く す る た め に ，荷 重 係 数 を 用 い て 解 く べ き マ ク ロ 構 造 の 仮 想 仕 事 式(A.11)を 次 の よ う に 書 き 変 え た ．

∫

B0

δFM:PMdΩ−γ

∫

∂B0

δU·Tˆ_M⁰dΓ =0 (54)

ここで，γ^{は所与の荷重係数，}Tˆ_M⁰ =1.0 (N/mm²)とした マ ク ロ の 基 本 表 面 力 ベ ク ト ル を 意 味 す る ．ま た ，簡 単 の た め ，こ こ で は 物 体 力 は な い も の と 仮 定 し た ．

4.2 両端固定梁構造（マクロ構造1^{）を用いた計算例}

こ こ で は ，等 分 布 荷 重 と し て マ ク ロ の 表 面 力 ベ ク ト ルがTˆM=1.0×10⁻⁶(N/mm²)という非常に小さな荷重と TˆM=0.1 (N/mm²)と い う 大 き な 荷 重 を 与 え た 場 合 の2 種類の最適化計算を行った．よって，荷重係数は式(54) に 従って ，γ=1.0×10⁻⁶とγ=0.1^{で あ る ．}Fig.4お よ び

Fig.5は，それぞれ荷重レベルが低い場合と高い場合の

最 適 化 結 果 を 示 し て い る ．

ま ず，最 適 化 さ れ た マ ク ロ 構 造 の ト ポ ロ ジ ー に 着 目

すると，Fig.4では荷重レベルが小さいため微小変形を

仮定したとき に得られるトラス構造のような材料 配置 と なって い る こ と が 分 か る ．一 方 ，Fig.5で は 梁 中 央 付 近と端部を結 ぶ中間部分に明確な斜材を有するト ポロ ジ ー が 得 ら れ た ．つ ま り，外 荷 重 が 大 き く な る に 従っ て マ ク ロ 構 造 の 幾 何 学 的 非 線 形 性 が 増 し ，結 果 的 に ト ラスのような 変位を小さくするようなトポロジー では な く，吊 構 造 の よ う に 変 位 を 許 容 し な が ら も 変 形 後 の 剛 性 を 最 大 に す る（ エ ン ド コ ン プ ラ イ ア ン ス を 最 小 に する）トポロジーに移行していることを意味している．

x

x

x

y

y

y

y

y

y

y

(a) optimized topology of macrostructure

(b) optimized topology of microstructure

phase-1 phase-2

Fig. 7 Optimization results for macrostructure 2 (plate structure) under a low load level

こ の 結 果 に つ い て は ，Buhl et al.^{(34)や 松 井 ら(35)の}2^次 元の有限変形を考慮したトポロジー最適化結果と同じ 傾 向 を 示 し て お り，力 学 的 な 観 点 か ら 見 て も 正 し い 結 果 で あ る と い え る ．

次に，Fig.4で得られた最適ミクロ構造について言え

ば ，マ ク ロ 構 造 挙 動 と し て は 梁 長 手 軸 方 向(x1軸 方 向) の 引 張・圧 縮 変 形 とx1x2面 せ ん 断 変 形 に 対 す る 抵 抗 が 優 先 的 に 必 要 で ，梁 奥 行 き 方 向(x3軸 方 向)に は そ れ ほ ど抵抗を要しないことを念頭に入れて最適ミクロ構造 を 考 察 し て み る ．

そ う す る と 確 か に 固 い 材 料 で あ るphase-2（ 黄 色 ）は もっぱ らy1軸 方 向 変 形 とy1y2面 せ ん 断 変 形 の 両 方 に 抵 抗できるトポロジーとなっていることがわかる．また，

そ れ ほ ど 抵 抗 を 要 し な いy3 軸 方 向 に 対 し て は 固 い 材 料 のphase-2（ 黄 色 ）自 体 は 不 連 続 と な り，代 わ り に 軟 ら か い 材 料 のphase-1（ 青 色 ）が そ の 中 間 層 を 母 材 と し て 補 う よ う な ト ポ ロ ジ ー と なって い る ．こ の よ う な 観 点 か ら 言 え ば ，得 ら れ た ミ ク ロ 構 造 は マ ク ロ 構 造 挙 動 を 反 映 し た 合 理 的 な ト ポ ロ ジ ー に なって い る と 考 え ら れ る ．

し か し ，こ の よ う な 大 ま か な 評 価・解 釈 は 可 能 で あ

る が ，得 ら れ た ミ ク ロ 構 造 ト ポ ロ ジ ー の 力 学 的 な 意 味 合 い を 厳 密 に 求 め る こ と は 困 難 で あ る ．こ れ は ，ミ ク ロ 構 造 が「 複 合 材 料 」で あ る こ と に 加 え て ，「 幾 何 学 的 非 線 形 性 」を 前 提 と し て い る こ と ，さ ら に 前 述 の と お り周期境界に起因する「解の非一意性」を呈するなど，

これらが複合的に関与し合う複雑 な問題となるた めで あ る ．

ここでは，その要因の一つである「複合材料」だけに 着 目 し て ，評 価 を 難 し く す る メ カ ニ ズ ム に つ い て 説 明 を 加 え る こ と と す る ．ま ず，簡 単 の た め 線 形 弾 性 体 の 剛性最大化を目的としたトポロジ ー最適化を例に 上げ ると，多孔質材料のトポロジー最適化では（条件によっ て 幾 分 の 差 は 生 じ る も の の ）固 体 材 料 の 所 与 の 材 料 パ ラ メ ー タ（ ヤ ン グ 率 ）の 大 き さ に 依 存 せ ず 概 ね 同 様 の 最 適 化 ト ポ ロ ジ ー が 得 ら れ る こ と が 知 ら れ て い る ．し か し ，複 合 材 料 の 場 合 は 線 形 弾 性 体 で あって も 得 ら れ るトポロジーは各種構成材料の材 料パラメータの バラ ン ス に 依 存 し ，こ れ が 結 果 的 に 得 ら れ る ト ポ ロ ジ ー を 複 雑 化 さ せ る と と も に ，そ の ト ポ ロ ジ ー の 合 理 性 や 力 学 的 な 意 味 合 い を 理 解 し づ ら く し て い る ．こ れ は ，多 孔 質 材 料 の 場 合 ，材 料 の な い 空 隙 部 分 は 応 力 を 伝 達 し