マルチスケールトポロジー最適化手法と解析的感度導出法の提案

Transactions of JSCES, Paper No.20130022

マルチスケールトポロジー最適化手法と解析的感度導出法の提案

Analytical sensitivity analysis for decoupling multi-scale topology optimization of composites

谷地 大舜

, 加藤 準治

, 高瀬 慎介

, 寺田 賢二郎

, 京谷 孝史

Daishun YACHI, Junji KATO, Shinsuke TAKASE, Kenjiro TERADA and Takashi KYOYA

1東北 大学 大学 院 工 学 研 究 科 土木 工学 専攻(〒980-8579宮 城 県仙 台 市 青 葉区 荒 巻字 青 葉6-6-06)

2東北大 学災 害科 学国 際研 究所(〒980-8579宮 城 県仙台 市 青 葉区 荒 巻字 青 葉6-6-06)

The present study proposes an analytical sensitivity analysis for a so-called multi-scale topology op- timization introduced to minimization of compliance of three dimensional structural problems. The multi- scale topology optimization is a strategy to optimize topology of microstructures applying a decoupling multi-scale analysis based on a homogenization method. The stiffness of the macrostructure is maximized with a prescribed material volume of constituents under linear elastic regime. A gradient–based optimization strategy is applied and an analytical sensitivity approach based on the adjoint method is proposed to reduce the computational costs. It was verified from a series of numerical examples that the proposed method has great possibility for microscopic advanced material designs.

Key Words: multi-scale topology optimization, topology optimization, adjoint sensitivity analysis, de- coupling multi-scale analysis, microstructures, homogenization

1. はじめに

複合材料の力学的挙動は，ミクロ領域における構成 材 料 の 配 置 や 形 状 ，寸 法 な ど の 幾 何 学 的 特 性 に 強 く 依 存 し ，そ の 依 存 性 は 材 料 の 破 壊 に 至 る よ う な 非 線 形 領 域 に お い て よ り 顕 著 に な る こ と が 知 ら れ て い る ．材 料 開 発 の 分 野 で は ，こ の よ う な ス ケ ー ル 間 の 階 層 的 な 依 存 性 を 考 慮 し て 材 料 設 計 が 行 わ れ る こ と が 多 い ．例 え ば合 金の材料開発分野では材料強度の改善や靱性の向 上 を 図 る 場 合 ，そ れ を 可 能 に す る ミ ク ロ 結 晶 構 造 の 研 究 が 行 わ れ ，繊 維 補 強 材 に お い て は ，強 度 や 耐 衝 撃 性 能 の 改 善 を 目 指 し て ，ミ ク ロ 的 な 観 点 か ら 補 強 材 の 最 適 配 置 や 形 状 の 検 討 が 行 わ れ る. こ れ ら に 共 通 す る こ と は ，最 適 な ミ ク ロ 構 造 を 見 つ け る こ と に よって ，マ ク ロ 構 造 の 力 学 的 パ フォー マ ン ス を 目 的 ど お り に 制 御 す る ，あ る い は 最 大 限 に 引 き 出 す こ と を 意 図 し て い る こ と で あ る ．

近 年 ，材 料 の ミ ク ロ な 特 性 を 制 御 で き る 生 産 技 術 が 現 実 の も の と な り つ つ あ る と い う 背 景 を 踏 ま え ，本 研 究 で は ミ ク ロ 構 造 の 材 料 配 置（ こ こ で は ト ポ ロ ジ ー ） を 最 適 化 す る こ と で マ ク ロ 構 造 の パ フォー マ ン ス を 最 大 に す る 手 法 の 開 発 を 行 う．

∗ 原稿受付2013年10月1日,改訂2013年11月21日,発行2013 年12月13日. c2013年 日 本 計 算 工 学 会.

Manuscript received, October 01, 2013; final revision, November 21, 2013; published, December 13, 2013. Copyright c2013 by the Japan Society for Computational Engineering and Science.

ト ポ ロ ジ ー 最 適 化 の 研 究 に つ い て は ，こ れ ま で マ ク ロ構造のトポロジーを対象とした研究開 発が行われて き た 経 緯 が あ り，材 料 の ミ ク ロ 構 造 を 対 象 と し た ト ポ ロジー最適化の研究についてはそれほど 多く報告され て い な い ．ミ ク ロ 構 造 の ト ポ ロ ジ ー 最 適 化 を 実 施 し た 代表的な研究報告を述べると，例えば，Sigmund^(1)は逆 均 質 化 法 と 称 す る 方 法 を 用 い て ，所 与 の マ ク ロ 材 料 剛 性C^Hと等価な剛性を発現するミクロ構造のトポロジー 決 定 手 法 を 提 案 し て い る ．ま た ，SigmundとTorquato⁽²⁾ は そ の 応 用 と し て ，所 与 の 熱 膨 張 係 数 と 等 価 に な る ミ ク ロ 構 造 ト ポ ロ ジ ー の 決 定 手 法 を 提 案 し ，Larsenら⁽³⁾ は負のポアソン比を発現で きるミクロ構造トポロ ジー を紹介している．しかし，これらはミクロ構造だけの，

つ ま り，ミ ク ロ 領 域 に お け る 境 界 値 問 題 の み で 構 成 さ れ る 支 配 方 程 式 を 解 き ，マ ク ロ 構 造 の 挙 動 に つ い て は 考慮していな い点に問題があ る．一方，Rodriguesら⁽⁴⁾ は ，マ ク ロ 構 造 と ミ ク ロ 構 造 の 両 方 の 挙 動 を 加 味 し ， 両者のトポロジーを同時に 最適化できる階層的な 手法 を 提 案 し て い る ．し か し ，こ の 手 法 は 一 つ の マ ク ロ 構 造に異なるミクロ構造トポ ロジーが多数存在でき ると い う 状 態 を 許 容 し て お り，均 質 化 法 で 仮 定 す る 周 期 性 を逸脱するとともに製作可 能性を考慮しても非現 実的 な 問 題 設 定 で あ る と い え る ．均 質 化 法 の 周 期 性 の 仮 定 に 逸 脱 し な い 問 題 設 定 と し て は ，Niu^{ら(5)の 研 究 報 告} が あ る ．そ の 研 究 報 告 で は 低 次 固 有 振 動 数 の 最 大 化 を 目的としてミ クロとマクロ構造両 方のトポロジー を同

時 に 最 適 化 す る 手 法 を 提 案 し て お り，そ こ で は「 ミ ク ロ 構 造 は マ ク ロ 構 造 全 体 に お い て 一 つ（ 一 種 類 ）だ け 存 在 す る 」と し た 問 題 設 定 を 行って い る ．

本 研 究 で は ，製作 可 能 な 範 囲 を 考 慮 し て ，「マ ク ロ 構 造 の 幾 何（ ト ポ ロ ジ ー や 形 状 ）は 初 期 の 状 態 か ら 不 変 と し ，あ く ま で マ ク ロ 構 造 の パ フォー マ ン ス を 最 大 に す る 唯 一 の ミ ク ロ 構 造 ト ポ ロ ジ ー（ マ ク ロ 構 造 全 体 で 一 種 類 の み 存 在 ）を 決 定 す る 」と い う 問 題 設 定 を 行 う こ と に す る ．具 体 的 に は ，ミ ク ロ 構 造 ト ポ ロ ジ ー は マ クロ 構造のどの物質点を取り出しても同じものが周期 的 に 配 置 さ れ て い る と い う 設 定 で あ る ．Niuら⁽⁵⁾の 問 題設 定とは異なりマクロ構造のトポロジーを変化させ な い（ 最 適 化 し な い ）理 由 は ，例 え ば 合 成 ゴ ム で 作 ら れ た タ イ ヤ の 設 計 の よ う に ，そ の マ ク ロ 構 造 の ト ポ ロ ジ ー は 様々な 条 件 か ら 固 定 さ れ て し ま い ，ミ ク ロ 領 域 にお ける材料設計のみで構造特性をコントロールしな けれ ばならないような現実的な設計環境を想定したた め で あ る ．

と こ ろ で ，上 記 の よ う な ミ ク ロ-マ ク ロ 連 成 問 題 を 解 く た め に は ，均 質 化 法 を 基 本 と し た マ ル チ ス ケ ー ル 解 析 法 の 導 入 が 必 要 と な る ．均 質 化 法 に よ る マ ル チ ス ケ ー ル 解 析 法 に つ い て は ，こ れ ま で 多 く の 研 究 成 果 が 報 告 さ れ ，現 在 で は 材 料・幾 何 学 的 非 線 形 特 性 を 考 慮 に 入 れ た 様々な 解 析 手 法 が 提 案 さ れ て い る^(6)〜(10). こ れ ら は ，ミ ク ロ お よ び マ ク ロ 双 方 の 境 界 値 問 題 の 精 度 を 高 め る た め に 二 変 数 境 界 値 問 題 を ミ ク ロ-マ ク ロ を 相 互 に や り 取 り し な が ら 同 時 に 解 く も の で「 ミ ク ロ ー マ ク ロ 連 成 型 の マ ル チ ス ケ ー ル 解 析 法 」と 呼 ば れ て お り，理 論 的 に も 確 立 さ れ た 信 頼 で き る 手 法 で あ る ．し か し ，こ れ ら の 解 析 手 法 は 理 論 的 に 難 解 で あ る こ と に 加 え ，計 算 量 が 膨 大 と な る こ と か ら 実 設 計 に 応 用 さ れ る こ と は 少 な い ．そ の た め ，Niuら⁽⁵⁾の 最 適 化 手 法 を はじめ，「ミクローマクロ連成型のマルチスケール解析 法 」を 基 本 と す る 最 適 化 手 法 は ，線 形 弾 性 問 題 で あ れ ば 適 用 可 能 で あ る が ，そ れ を 非 線 形 構 造 問 題 へ 拡 張 す る こ と は ，理 論 を 複 雑 化 す る だ け で な く 計 算 量 が 著 し く 増 加 す る た め ，実 用 上 の 課 題 が 大 き い ．

なお，著者らの知る限りでは，連成型マルチスケール 解析法を基本としたマルチスケールトポロジー最適化の 研究のうち非線形構造問題を扱ったものに，Nakshatrala ら⁽¹¹⁾の 研 究 報 告 が あ る ．Nakshatralaら⁽¹¹⁾は ，超 弾 性 Neo-Hookeanモ デ ル を 用 い た 場 合 の マ ル チ ス ケ ー ル ト ポ ロ ジ ー 最 適 化 問 題 を 定 式 化 し て い る が ，や は り 計 算 量が膨大となることからmultilevel nested Newton法と称 さ れ る 近 似 法^(12)〜(15)を 取 り 入 れ る こ と で 計 算 量 を 減 ら し ，さ ら に 並 列 計 算 を 導 入 す る こ と に よって 計 算 を 可能にしている．しかし，その最適化計算例をみると，

計 算 効 率 を 向 上 さ せ る た め に 上 記 の 処 置 を とった に も 関 わ ら ず 依 然 と し て 計 算 量 は 多 く，結 果 と し て ミ ク ロ お よ び マ ク ロ 構 造 と も に 非 常 に 粗 い 要 素 メッシュを 用 いざるを得なかった経緯が伺える．また,経路非依存型 の 使 用 材 料 モ デ ル の み を 扱って お り，そ も そ も 数 値 計

算量が小さくてすむ材料モデルであるが この手法を塑 性材料のような経路依存性を示す材料モ デルへ適用す ることは計算コストの観点から事実上不 可能であると い え る ．

こ の よ う な 背 景 か ら ，加 藤 ら⁽¹⁶⁾は ，「 分 離 型 マ ル チ ス ケ ー ル 解 析 法⁽¹⁸⁾」と 呼 ば れ る 新 し い 手 法 を 用 い た マ ル チ ス ケ ー ル ト ポ ロ ジ ー 最 適 化 手 法 を 提 案 し て い る ．分 離 型 マ ル チ ス ケ ー ル 解 析 法 は ，寺 田 ら⁽¹⁸⁾お よ びTerada^ら(19)，Watanabe^ら(20)に よって 紹 介 さ れ た も ので，ミクロ–マクロ二変数境界値問題を分離して解く 手 法 で あ る ．こ の 手 法 は ，主 に 材 料 非 線 形 性 や 幾 何 学 的 非 線 形 性 を 有 す る 変 数 境 界 値 問 題 等 ，複 雑 で 数 値 計 算 量 も 多 い 問 題 に 対 し ，「 数 値 材 料 実 験 」と 称 す る 近 似 的アプローチを導入することでその数値 計算量を極力 小 さ く す る こ と を 意 図 し た も の あ る ．ま た ，こ の 手 法 はミクロおよびマクロ境界値問題を個別 に解くことか ら ，理 論 的 に も 明 快 な 近 似 的 手 法 で あ り，様々な 材 料 モデルにも同じ枠組みで適用出来る点に おいて汎用性 に 優 れ る ．

そ こ で ，本 研 究 で は 文 献⁽¹⁶⁾に 続 い て 分 離 型 マ ル チ スケール解析 手法の適用を前提としたマルチスケ ール ト ポ ロ ジ ー 最 適 化 手 法 の 開 発 を 目 的 と す る ．た だ し ， 本研究は分離 型マルチスケール解析手法をトポロ ジー 最 適 化 に 導 入 す る た め の 基 礎 的 段 階 で あ る た め ，文 献 (16)と同様に線形弾性体を用いた構造問題を仮定し，マ ク ロ 構 造 の 剛 性 を 最 大（ コ ン プ ラ イ ア ン ス を 最 小 ）に す る 最 適 化 問 題 を 扱 う．

本 研 究 で 新 た に 実 施 す る こ と は ，(i)文 献⁽¹⁶⁾で 提 案 された二次元マルチスケールトポロジー 最適化法を三 次元問題へ拡張し，本手法の一般化を図ること，(ii)随 伴 法 を 基 本 と し た「 解 析 的 感 度 解 析 法 」の 提 案 を 行 う こ と で あ る ．後 者 に つ い て は ，文 献⁽¹⁶⁾で 提 案 さ れ て い る「 準 解 析 的 感 度 解 析 法 」を 用 い た 場 合 ，有 限 要 素 数 の 増 加 に 伴 い 計 算 コ ス ト が 著 し く 増 加 し ，三 次 元 問 題へそのまま適用す ること は困難であることを事前の 調 査 で 把 握 し た た め ，そ の 改 善 を 図 る た め に 提 案 す る も の で 本 論 文 の 主 要 部 分 で あ る ．こ れ に つ い て は 本 文 で 詳 細 に 記 述 す る ．

本 論 文 で は ，ま ず 三 次 元 構 造 問 題 を 対 象 と し た 分 離 型 マ ル チ ス ケ ー ル 解 析 法 の 概 要 を 述 べ ，理 解 を 容 易 に するために適宜二次 元問題 の図を用いながら本手法を 説 明 す る ．次 に 本 研 究 で 使 用 し た 材 料 モ デ ル と 最 適 化 問 題 の 定 式 化 に つ い て 記 述 す る ．な お ，本 研 究 で は 数 値 解 析 上 有 効 な 最 適 化 ア ル ゴ リ ズ ム と し て ，最 適 性 規 準 法⁽²¹⁾（optimality criteria method:以 下 ，OC法 と 略 す ） を 適 用 し た ．そ の 後 ，本 研 究 で 提 案 す る ，随 伴 法 を 基 本 と し た 解 析 的 感 度 解 析 法 に つ い て 述 べ ，そ の 導 出 過 程 に つ い て 説 明 す る ．最 後 に ，い く つ か の 数 値 解 析 例 を用いて本手法の三 次元構 造問題への適用性を検証す る ．

2. 均質化に基づく分離型マルチスケー ル解析手法

2.1 概要 分離型マルチスケール解析手法^(18)〜(20) は，ミクロ–マクロ二変数境界値問題を同時にカップリ ングしながら解く一般的な手法と異なり，ミクロ–マク ロ 二 変 数 境 界 値 問 題 を 個々の 境 界 値 問 題 に 分 離 し て 解 く手法である．まず，ミクロ境界値問題については，均 質 化 法 を 基 本 と し て 周 期 的 な ミ ク ロ 構 造（ ユ ニット セ ル ）を 取 り 出 し ，そ れ を 数 値 的 な 供 試 体 と み な し て 材 料 実 験 を 模 擬 す る ．そ し て ，こ こ で 得 ら れ た ミ ク ロ 解 析 結 果 を マ ク ロ な 材 料 変 数 に 変 換 す る こ と で ，マ ク ロ 材 料 応 答 を 計 測 し た も の と 考 え る ．こ の よ う に ユ ニッ トセルに対する数値解析を通してマクロ材料挙動を得 る 一 連 の 操 作 は「 数 値 材 料 試 験 」と 称 さ れ て い る ．本 研 究 で は 線 形 弾 性 体 を 想 定 し て い る た め ，ミ ク ロ 解 析 で 得 ら れ る ミ ク ロ 応 力σか ら マ ク ロ 応 力Σ^{を 計 算 し ，} それをマクロ材料剛性C^Hに変換する．そして，得られ たマクロ材料剛性を直接用いてマクロ境界値問題を解 く 手 順 と な る ．

なお，従来の線形のマルチスケール解析では，ユニッ ト セ ル に 与 え る 所 与 の マ ク ロ ひ ず みEと ユ ニット セ ル 内 の 擾 乱 変 位 に 線 形 の 関 係 が あ る と 仮 定 し ，そ れ を 特 性 変 位（ 一 般 にχと 置 か れ る ）と 呼 ば れ る 変 数 を 導 入 す る こ と で マ ク ロ 材 料 剛 性C^H を 求 め る が ，本 手 法 で は 特 性 変 位 を 必 要 と せ ず，あ く ま で ユ ニット セ ル に 課 す数 値材料試験結果からマクロ剛性を求める点が理論 的 に 異 な る ．以 下 で は ，線 形 弾 性 問 題 の 分 離 型 マ ル チ ス ケ ー ル 解 析 法 に つ い て 概 説 し ，詳 細 に つ い て は 文 献

(18)〜(20)を 参 考 に さ れ た い ．

2.2 ミクロ境界値問題 力学的平衡状態にある周 期 的 な ミ ク ロ 構 造 を 有 す る 非 均 質 弾 性 体 に 対 し て ，力 学的 に等価な均質体を定義したものをマクロ構造と呼 ぶ ．こ こ で い う 力 学 的 に 等 価 と は ，マ ク ロ 構 造 内 の 任 意 の 点xに お け る マ ク ロ 応 力Σが 非 均 質 性 を 特 徴 づ け る 周 期 的 な ミ ク ロ 構 造（ ユ ニット セ ル ）に 依 存 し ，そ れによって定義される．すなわち，次式のようにユニッ トセル内に分布するミクロ応力σ^{の体積平均で求めら} れ る こ と を 意 味 す る ．

Σ= 1

|Y|

∫

Y

σdy=hσi (1)

こ こ で ，Yは 周 期 的 な ミ ク ロ 構 造 領 域 を 意 味 し ，yは ミク ロ構造内の任意の点を示す位置ベクトルでミクロ ス ケ ー ル 変 数 と 呼 ば れ る ．

同 様 に マ ク ロ ひ ず みEと ミ ク ロ ひ ず みε^{も 次 の よ う} な 関 係 に あ る ．

E= 1

|Y|

∫

Y

εdy=hεi (2)

こ こ で ，ミ ク ロ ひ ず みεは ，ユ ニット セ ル 内 の ミ ク ロ な 変 位 場w(x,y)よ り，次 式 の よ う に 定 義 さ れ ，

ε=∇^symy w (3)

[ ]1

t

[ ]−1

t

[ ]−2

t

[ ]2

t

y1

y2

[ ]1

| ∂ Y |

[ ]2

| ∂ Y |

Fig. 1 Traction force vector tof a unit cell and macro- stress vector ˜tin 2D

ま た ，ミ ク ロ 変 位 場wは 次 式 の よ う に マ ク ロ ひ ず み に 比例して線形分布する項Ey（線形変位場）と非均質性 に起因して生ずる線形分布からのずれを表す擾乱項u^∗ に 分 解 で き る も の と す る ．

w=Ey+u^∗ (4)

ただし，この擾 乱変位u^∗には，次式のようにユ ニット セ ル 境 界 上∂Yで 周 期 的 で あ る と い う 拘 束 条 件 を 課 す.

u^∗|_∂Y^[k] =u^∗|_∂Y[−k], fork=1,2,3 on∂Y^[k] (5) こ こ で ，∂Y^[k]は 二 次 元 問 題 で はFig.1，三 次 元 問 題 で は

Fig.2に示 すよう に ユニットセルが 矩形で そ の境界面 が

座 標 軸 と 平 行 に 定 義 さ れ て い る と 仮 定 し た 場 合 に ，正 規直交基底ベクトルekが法線ベクトルとなるような境 界 領 域 を 意 味 す る ．

ま た ，こ の 擾 乱 変 位u^∗の 周 期 性 よ り，実 変 位 に つ い ても次式のような対となる境界面間の相 対変位に関す る 拘 束 条 件 式 が 得 ら れ る ．

w^[k]−w^[−k]=EL^[k] (6) こ こ で ，簡 単 の た めw^[k]:=w|_∂Y^[k] と お い た ．ま た ，L^[k]

は ，矩 形 ユ ニット セ ル のek軸 方 向 に お い て 対 と な る 境 界面上の物質点を結合するための境界辺 ベクトルと呼 ば れ ，以 下 の よ う に 定 義 さ れ る ．

L^[k]:=y|_∂Y^[k]−y|_∂Y[k−1] (7)

ま た ，ユ ニット セ ル の も う 一 つ の 周 期 境 界 条 件 と し て ，単 位 ベ ク ト ルnを 有 す る 境 界 面 上 の ミ ク ロ 表 面 応 力 ベ ク ト ルt^[n]=σnは ユ ニット セ ル の 対 と な る 境 界 面 に お い て 反 対 称 性 が 課 せ ら れ る ．

t^[k]+t^[−k]=0 (8) ここでも簡単のためt^[±k]:=t^[±ek]とおいた．この周期境 界 上 の ミ ク ロ 表 面 応 力 ベ ク ト ルtを ユ ニット セ ル 境 界 で 積 分 し ，平 均 化 す る と 次 式 の よ う な マ ク ロ の 表 面 応

[ ]3

R 3

[−3]

R

[ ]1 [ ]−1 R

R

[ ]2

R

[−2]

R

y₁ y₂

y₃

እ㒊⠇Ⅼ

[ ]^k

{

}

q q= ^{[ ]k} q^{[ ]k} q^{[ ]k}

[ ]^k

{

}

R R R R= ^{[ ]k [ ]k [ ]k}

（ k = 1, 2, 3 ） [ ]2

∂ Y

[ ]3

∂ Y ∂ Y

[ ]2

| ∂ Y | =

[ ]3

| ∂ Y | =

[ ]1

| ∂ Y | =

[ ]1

[ ]1

Y Y Y

[ ]2

Y Y

[ ]3

Y

[ ]2

Y

[ ]3

Y

[ ]1

Y

Fig. 2 Concept of external material points having de- grees of freedom for relative displacement vector and the corresponding reaction force at an external material point in 3D

力 ベ ク ト ル˜tと す る こ と が で き る（ こ こ で は ，図 が 煩 雑 と な る た め 三 次 元 問 題 の 図 は 省 略 し ，二 次 元 問 題 を 表 すFig.1を 参 照 さ れ た い ）．

˜t^[k] = Σ·e_k

= 1

|∂Y^[k]|

∫

∂Y^[k]

σ·e_kdy= 1

|∂Y^[k]|

∫

∂Y^[k]

t^[k]dy (9)

以上に述べた式にミクロスケールの平衡方程式とミ ク ロ 材 料 の 構 成 則 を 加 え た 式 に よ り，ユ ニット セ ル に 対 す る ミ ク ロ 境 界 値 問 題 が 定 義 で き る ．こ れ ら を 再 び 整 理 し て 書 き 下 す と 以 下 の よ う に な る ．

∇y·σ=0 σ=C:ε ε=∇^symy w Σ=hσi











in Y (10)

˜t^[k]= 1

|∂Y^[k]|

∫

∂Y^[k]

t^[k]dy

w^[k]−w^[−k]=EL^[k]







on ∂Y^[k] (11)

こ こ で ，Cは ミ ク ロ 構 造 内 に 分 布 す る 材 料 の 線 形 弾 性 係 数 で あ る ．

2.3 外部節点を用いたミクロ問題の境界条件 こ こ で は ，Teradaら⁽¹⁹⁾お よ びWatanabeら⁽²⁰⁾に 従 い ，前

述 の ミ ク ロ 境 界 値 問 題 の 境 界 条 件 に 対 し ，外 部 節 点 と い う 概 念 を 取 り 入 れ て 定 式 化 し た も の を 紹 介 す る ．ま ず，ユ ニット セ ル の 周 期 境 界 に お け る 相 対 変 位 に 関 す る 拘 束 条 件 式(6)を 以 下 の よ う に 書 き 表 す．

w^[k]−w^[−k]=q^[k] (12) こ こ で ，

q^[k]=EL^[k] (13) は ，対 と な る 周 期 境 界 面 に お け る 相 対 変 位 ベ ク ト ル を 意 味 す る ．ま た ，三 次 元 問 題 を 対 象 と し 直 方 体 の ミ ク ロ 構 造 の 各 辺 が 座 標 軸 に 平 行 な 場 合 ，境 界 辺 ベ ク ト ル L^[k]は 以 下 の よ う に 表 せ る ．

L^[1]=





 l^[1]

0 0





, L^[2]=





 0 l^[2]

0





, L^[3]=





 0 0 l^[3]





 (14)

ここで，l^[1]〜l^{[3]はぞれぞれ}e1〜e3軸に平行な矩形ユニッ ト セ ル 境 界 辺 の 長 さ を 指 し ，そ れ ぞ れFig.2の 中 のY^[1]

〜Y^[3]に 相 当 す る ．

文 献^(18)〜(20)で は ，Fig.2に 示 す よ う に ユ ニット セ ル 周期境界 面∂Y^[k]ごとに任意の 物質点をユニットセル 領 域 外 の 各 境 界 面 法 線 方 向 に 一 つ ず つ 設 け，そ の 各 物 質 点 に そ れ ぞ れe1〜e3軸 に 平 行 に 三 自 由 度 を 与 え る ，外 部 節 点 な る も の を 定 義 し ，更 に そ の 外 部 節 点 の 節 点 自 由度に，相対変位ベクトルq^[k]の成分を割り当てた．つ ま り，式(12)は 対 な る 周 期 境 界 面 上 の 二 点 の 実 変 位 ベ クトルから計 算される相対変位量を制御する拘束 条件 式 で あ る ．し た がって ，数 値 材 料 試 験 に お い て ユ ニッ トセルにマクロひずみEの任意の成分を与えるために は ，式(13)か ら わ か る よ う に 結 果 と し て こ の 外 部 節 点 の 相 対 変 位 成 分q^[k]_i を 制 御 す れ ば よ い こ と に な る ．

い ま ，式(12)の 変 位 成 分q^[k]_i を 既 知 と し て 与 え た 場 合 ，そ れ は 相 対 変 位w^[k]_i −w^[_i^−k]を 与 え た こ と に 他 な ら ず，境 界∂Y^[k]上 の ミ ク ロ 表 面 応 力 ベ ク ト ルt^[k]_i は そ の 境 界 全 域 で 未 知 数 と な る ．ま た ，そ れ に よ る 境 界∂Y^[k]

上 で の 平 均 値 で あ る マ ク ロ 表 面 応 力 ベ ク ト ル˜t_i^[k]も 未 知 数 と な る ．

し か し な が ら ，既 知 の 相 対 変 位 成 分q^[k]_i に 対 応 す る 外 部 節 点 の 反 力 をR^[k]_i と 表 せ ば ，そ れ は ミ ク ロ 応 力 ベ ク ト ルt^[k]_i を そ の 境 界 で 面 積 分 し た も の ，す な わ ち

R^[k]=

∫

∂Y^[k]

t^[k]dy (15)

に 他 な ら な い ．し た がって ，式(9)の 関 係 よ り，外 部 節 点 の 反 力 式(15)を ユ ニット セ ル 境 界 面 積|∂Y^[k]|^{で 除 し} た も の が 未 知 の マ ク ロ 応 力 成 分Σikと な る こ と か ら 次 式 が 成 立 す る ．

Σik=t˜^[k]_i = R^[k]_i

|∂Y^[k]| (16)

こ こ で ，Fig.3に 示 す よ う に ユ ニット セ ル に6方 向 の マ クロひずみE⁽¹¹⁾,E⁽²²⁾,...,E⁽³¹⁾を個別に与えて，それぞれ

に 数 値 材 料 試 験 を 実 施 す れ ば ，マ ク ロ 材 料 剛 性C^Hを 以 下 の よ う に 求 め る こ と が で き る ．

C^Hpqrs= Σ^(rs)pq (17) 式(16)，(17)を 実 際 の 数 値 計 算 を 意 図 し て そ れ ぞ れ 行 列 形 式 で 書 く と 以 下 の と お り と な る ．











 Σ11

Σ22

Σ33

Σ12

Σ23

Σ13













=











 t˜^[1]₁ t˜^[2]₂ t˜^[3]₃ t˜^[1]₂ =t˜₁^[2]

t˜^[2]₃ =t˜₂^[3]

t˜^[3]₁ =t˜₃^[1]













(18)

C^H =















C^H11 C^H12 C^H13 C^H14 C^H15 C^H16

C^H₁₂ C^H₂₂ C^H₂₃ C^H₂₄ C^H₂₅ C^H₂₆ C^H13 C^H23 C^H33 C^H34 C^H35 C^H36

C^H14 C^H24 C^H34 C^H44 C^H45 C^H46

C^H15 C^H25 C^H35 C^H45 C^H55 C^H56

C^H16 C^H26 C^H36 C^H46 C^H56 C^H66















(19)

=















Σ⁽¹¹⁾₁₁ Σ⁽²²⁾₁₁ Σ⁽³³⁾₁₁ Σ⁽¹²⁾₁₁ Σ⁽²³⁾₁₁ Σ⁽³¹⁾₁₁ Σ⁽¹¹⁾₂₂ Σ⁽²²⁾₂₂ Σ⁽³³⁾₂₂ Σ⁽¹²⁾₂₂ Σ⁽²³⁾₂₂ Σ⁽³¹⁾₂₂ Σ⁽¹¹⁾₃₃ Σ⁽²²⁾₃₃ Σ⁽³³⁾₃₃ Σ⁽¹²⁾₃₃ Σ⁽²³⁾₃₃ Σ⁽³¹⁾₃₃ Σ⁽¹¹⁾₁₂ Σ⁽²²⁾₁₂ Σ⁽³³⁾₁₂ Σ⁽¹²⁾₁₂ Σ⁽²³⁾₁₂ Σ⁽³¹⁾₁₂ Σ⁽¹¹⁾₂₃ Σ⁽²²⁾₂₃ Σ⁽³³⁾₂₃ Σ⁽¹²⁾₂₃ Σ⁽²³⁾₂₃ Σ⁽³¹⁾₂₃ Σ⁽¹¹⁾₃₁ Σ⁽²²⁾₃₁ Σ⁽³³⁾₃₁ Σ⁽¹²⁾₃₁ Σ⁽²³⁾₃₁ Σ⁽³¹⁾₃₁















(20)

こ の 数 値 材 料 試 験 で 得 ら れ た マ ク ロ 材 料 剛 性C^Hを 用いれば，マクロ境界値問題を解くことが可能となる．

こ れ は ，新 た に 導 入 し た 外 部 節 点 と い う 架 空 の 節 点 の 自 由 度 に ，対 な る 周 期 境 界 面 の 相 対 変 位 量 を 与 え ，そ の外 部節点の節点自由度を含めたミクロ境界値問題を 解 く と ，そ の 節 点 自 由 度（ 相 対 変 位 ）に 対 し て 反 力 に 値 す る も のR（ 応 答 値 ）を 周 期 境 界 面 積 で 除 し た も の が 陰 的 に は マ ク ロ の 表 面 力 ベ ク ト ル˜tで あ り，そ れ を 直接用いることでマクロ解析に必要なマクロの材料応 答を得ることができることを意味している．すなわち，

（ 材 料 を 選 ば ず と も ）ミ ク ロ 境 界 値 問 題 さ え 解 く こ と が で き ，適 切 な マ ク ロ 構 成 則 を 導 入 で き れ ば ，数 値 材 料試験で得られた応答値からマクロの材料物性値を導 出 す る こ と は 可 能 で あ る ．こ の こ と は ，非 線 形 特 性 を 有 す る 材 料 で あって も 同 様 の 枠 組 み で マ ク ロ の 材 料 物 性 値 を 推 定・同 定 す る こ と が 可 能 で あ る こ と を 意 味 し て い る ．

3. 設計変数の定義およびミクロ材料モ デル

3.1 設計変数の定義 本節では，最適化のための 設 計 変 数 を 定 義 し た 後 ，複 合 材 料 の ミ ク ロ 材 料 モ デ ル について記述する．本研究で扱う材料は，Fig.4(左上)に 示 す と お り，ミ ク ロ 領 域 に お い て 異 な る 固 体 二 種 で 構

方向単軸引張 せん断変形

方向単軸引張

方向単軸引張

せん断変形

せん断変形

x

y

z

xy

yz

zx

(11)

1 0 0 0 0 0 0 0 0

 

 

= 

 

 

E

(22)

0 0 0 0 1 0 0 0 0

 

 

= 

 

 

E

(33)

0 0 0 0 0 0 0 0 1

 

 

= 

 

 

E

(12)

0 0.5 0 0.5 0 0

0 0 0

 

 

= 

 

 

E

(23)

0 0 0

0 0 0.5

0 0.5 0

 

 

= 

 

 

E

(31)

0 0 0.5

0 0 0

0.5 0 0

 

 

= 

 

 

E

Fig. 3 Original and deformed homogenized bodies of unit cells and its relation between macro-strainE

成 さ れ た 二 層 複 合 材 料 で ，空 隙 を 含 ま な い 理 想 的 な 線 形 弾 性 体 と す る ．本 研 究 で は 有 限 要 素 法 を 用 い て ミ ク ロ 境 界 値 問 題 を 解 く こ と を 前 提 と し ，こ こ で は ユ ニッ ト セ ル 内 の 各 有 限 要 素 に お け る 構 成 材 料 体 積 比

si= ri

r0

(21) を 設 計 変 数 と し て 定 義 し た ．こ こ で ，siは 設 計 変 数 を 意 味 し ，一 般 的 な ト ポ ロ ジ ー 最 適 化 の 場 合 と 同 様 に 0≤ si ≤1の 間 で 連 続 的 に 変 化 す る 関 数 と し て 定 義 す る ．添 え 字i(=1, ..,nele)^{は ，}i番 目 の 有 限 要 素 を 意 味 し ， また，neleはユニットセル内の要素の数である．二次 元 問題であれば，r0とriはそれぞれFig.4(左下)に示す，ユ ニットセル内の任意要素の高さおよびphase-2材料の高 さ と い う よ う に 図 化 で き る ．三 次 元 問 題 の 場 合 は ，そ の図化は困難である が等方 性材料の材料体積比を表す も の で あ る こ と に 変 わ り は な い ．こ れ に よ り，各 要 素 はsi=0^の場合，phase–1がその要素を占め，逆にsi=1 の と き は ，phase–2が そ れ を 占 用 す る ．ま た ，0<s<1 の 場 合 は 二 つ の 層 の 混 合 物 で あ る と 考 え る ．

3.2 ミクロ材料モデル 本研究で用いるミクロ材

microstructure (unit cell)

i

i

Fig. 4 Concept of two-phase material optimization

料 モ デ ル は ，等 方 性 の 線 形 材 料 を 仮 定 し た 多 層 材 料 モ

デ ル^(22)〜(23)を 用 い た ．多 層 材 料 モ デ ル は ，単 一 の 多

孔 質 材 料 に 広 く 用 い ら れ るSIMP法⁽²⁴⁾(Solid Isotropic Microstructure with Penalization of intermediate densities)^の 概 念 を 複 合 材 料 に 拡 張 し た も の で あ る ．

線 形 弾 性 モ デ ル の 場 合 ，文 献^(22)〜(23)に 準 じ て ，以 下 の よ う な 等 価 弾 性 係 数 と し て 定 義 す る ．

C =(1−s^η)C1+s^ηC2 (22) こ こ で ，Cは 線 形 弾 性 域 に お け る 材 料 剛 性 で あ り，式 (10)の そ れ と 同 一 の も の で あ る ．こ の 式 か ら 明 ら か な よ う に 材 料 剛 性 係 数C^{は 設 計 変 数}sに 陽 的 に 依 存 す る も の で あ る こ と が わ か る ．ま た ，C1お よ びC2は そ れ ぞ れphase–1お よ びphase–2固 有 の 材 料 弾 性 剛 性 で 既 知 であり，最適化途中も変化しない．なお，η^は式(22)で 示 さ れ る 内 挿 関 数 の べ き 乗 数 で あ り，物 理 的 な 意 味 は 持 た な い ．

と こ ろ で ，こ の よ う な 材 料 モ デ ル を 用 い て 得 ら れ る トポ ロジーは等方性の材料応答に限定した条件下での 最 適 化 結 果 で あって ，真 に 最 適 な ト ポ ロ ジ ー を 得 る に は不十分なモデルといえる．これを改善するためには，

個々の ミ ク ロ 材 料 に お い て さ ら に 小 さ な ス ケ ー ル の ユ ニットセルを設け，均質化法によってその異方性の材料 応 答 を 加 味 す る な ど の 方 法 も 考 え ら れ る が ，こ れ は3 スケ ールのマルチスケール解析となるため問題がさら に 複 雑 化 し て し ま う．そ の た め ，本 研 究 で は ミ ク ロ 構 造 の 各々の 材 料 に つ い て は 簡 単 の た め 等 方 性 を 仮 定 し て い る ．た だ し ，こ れ に よって 得 ら れ る マ ク ロ 材 料 剛 性C^Hは 異 方 性 を 示 す こ と に 留 意 さ れ た い ．

4. 最適化問題の設定

最 適 化 問 題 の 目 的 関 数 を f(s)，制 約 条 件 を 与 え る 等 式 制 約 関 数 をh(s)と 表 す．sは ，設 計 変 数siを 列 に 並 べ た も の ，す な わ ち 設 計 変 数 ベ ク ト ル を 意 味 す る ．本 研 究 に お け る 目 的 関 数 は マ ク ロ 構 造 の 剛 性 で あ り，こ の最 大化問題はコンプライアンス最小化問題と等価で あ る と し て 以 下 の よ う な 定 式 化 を 行った ．制 約 条 件 に つ い て は ユ ニット セ ル 内 に あ るphase-2の 体 積 は ユ ニッ トセ ル全体で最適化計算中でも変化しないという等式 制 約 条 件 を 与 え た ．本 最 適 化 問 題 で は ，二 種 類 の 材 料

\HV : design variables

s _Start

Initialize FEM

Numerical material tests (NMTs)

FE analysis of macro-structure six

Sensitivity analysis

Optimization

End converged?

Eqs. (28) and (32)

1 6

ˆ,...,ˆ w w

Fig. 5 Flowchart of optimization procedure for the pro- posed method

しか存在しないものと設定しているため，phase-1の体 積 も 同 時 に ユ ニット セ ル 全 体 で 変 化 し な い こ と を 意 味 し ，更 に は 構 造 全 体 で 一 つ の ユ ニット セ ル を 共 有 す る た め ，マ ク ロ 構 造 全 体 で も 個々の 材 料 の 体 積 は 変 化 し な い こ と は 自 明 で あ る ．以 下 に 加 藤 ら⁽¹⁶⁾に 倣 い ，行 列 形 式 で 表 記 し た 最 適 化 問 題 を 記 す．

min f(s)=F^Td (23)

h(s)=

∫

Y

sidY −Vˆ = 0 (24)

sL≤si≤sU i=1, ...,ns (25) こ こ で ，Fお よ びdは そ れ ぞ れ マ ク ロ 構 造 全 体 系 の 外 力 ベ ク ト ル と 節 点 変 位 ベ ク ト ル で あ る ．ま た ，sLお よ びsU は 設 計 変 数 の 下 限 と 上 限 値 ，nsは 設 計 変 数 の 数 で こ こ で は ユ ニット セ ル 内 の 有 限 要 素 の 数neleと 一 致 す る ．Vˆ に つ い て は ユ ニット セ ル 内 に お け る 所 与 の phase–2材 料 の 総 体 積 で あ る ．

本研究では勾配法による最適化アルゴリズムを用い る た め ，二 変 数 境 界 値 問 題 を 解 い た 後 に 目 的 関 数 と 制 約 関 数 の 設 計 変 数s_i に 関 す る 感 度∂f/∂s_i，∂h/∂s_iを 求 め る 必 要 が あ る ．こ こ で 得 ら れ た 感 度 を 最 適 化 ア ル ゴ リズム（OC法）へ組み込み，その時点での最適解を求

め，その解が収束するまで繰り返し計算を行う．なお，

OC法の詳細については文献⁽²¹⁾を参照されたい．また，

参 考 ま で にFig.5に 本 手 法 の 解 析 手 順 を 示 し て お く．

5. 感度の導出

5.1 目的関数の感度 目的関数の設計変数siに対 す る 感 度 に つ い て は 文 献⁽¹⁶⁾に 従 い ，以 下 の 随 伴 法 に よ る 感 度 の 導 出 式 を 用 い た ．ま ず は ，目 的 関 数 fを 離 散化 されたつり合い方程式Kd=F（Kはマクロ構造の 全 体 剛 性 マ ト リック ス ）を 制 約 条 件 と す る 等 価 な 目 的 関 数 f¯に 置 き 換 え る ．

f¯(s)=d^TKd−d˜^T(Kd−F) (26) こ こ で ，d˜は 随 伴 ベ ク ト ル で あ る ．次 に 上 式 を 設 計 変 数siで 微 分 し て 整 理 す る と 次 式 の よ う に な る ．

∂f¯

∂si

=



|{z}d^TK

F^T

−d˜^TK



 ∂d

∂si

−d˜^T∂K

∂si

d (27)

な お ，随 伴 ベ ク ト ルd˜は 任 意 で あ る た め ，設 計 変 数si

に は 依 存 し な い ．ま た こ の 式 で ，陽 的 に 求 め る こ と が で き な い 項 は 変 位 に 関 す る 微 分 項∂d/∂s_iで あ る ．こ こ で ，右 辺 第 一 項 の 括 弧 内 が ゼ ロ と な る よ う に 随 伴 ベ ク ト ルd˜をd˜ =dと お け ば そ の 陰 的 微 分 項 が 消 失 し ，式 (27)を 改 め て 整 理 す る と 式(28)の よ う な 陽 的 な 式 に 帰 着 す る ．さ ら に こ の 被 積 分 関 数 を 明 示 的 に 表 す と ，式 (29)の よ う に な る ．

∂f¯

∂si

(

=∂f

∂si

)

= −d^T∂K

∂si

d (28)

= −

∫

Ω

E: ∂C^H

∂si

:EdΩ (29)

こ こ で ，Eは マ ク ロ 境 界 値 問 題 を 解 く こ と で 得 ら れ る マ ク ロ ひ ず み で あ り，数 値 材 料 試 験 で 与 え る マ ク ロ ひ ずみE^(pq)とは区別していることに注意されたい．した がって ，目 的 関 数 の 感 度 は ，マ ク ロ 材 料 剛 性 の 微 分 項

∂C^H/∂siさ え 計 算 で き れ ば 容 易 に 求 め る こ と が で き る ． 次項 ではそのマクロ材料剛性の感度の導出方法につい て 詳 述 す る ．

5.2 マクロ材料剛性の解析的感度の導出 本項で は マ ク ロ 材 料 剛 性 の 設 計 変 数 に 対 す る 感 度∂C^H/∂siの 導 出 方 法 に つ い て 詳 述 す る ．既 往 の 研 究⁽¹⁶⁾で は ，感 度∂C^H/∂siを 解 析 的 に 求 め る こ と は や や 難 解 で あ る た め ，∆C^H/∆si≈∂C^H/∂siと い う よ う に 部 分 的 に 差 分 近 似 を用 いて数値的に妥当な感度を求める準解析的手法が 提 案 さ れ て い る ．し か し ，こ の 準 解 析 的 手 法 は 対 象 と す る 最 適 化 問 題 に よって は 数 値 計 算 量 が 膨 大 と な る こ と が 難 点 で あ る ．本 研 究 で は 三 次 元 問 題 を 対 象 と す る こ と か ら ユ ニット セ ル の 有 限 要 素 の 数 な ら び に 数 値 材 料 試 験 に お い て 変 形 を 与 え る 方 向 が6方 向（ 二 次 元 問 題 で は3方 向 ）に 増 加 す る た め ，差 分 近 似 に よ る 方 法 では 計算コストが大幅に増大し実用性に欠くことを事

前 の 調 査 で 確 認 し て い る ．そ こ で ，本 研 究 で は マ ク ロ 材 料 剛 性 の 感 度∂C^H/∂siを 解 析 的 に 導 出 す る 方 法 の 確 立 を 目 指 す．

ま ず 最 初 に ，式(17)を 式(1)に 基 づ き 以 下 の よ う に 展 開 す る ．

C^Hpqrs= Σ^(rs)pq = 1

|Y|

∫

Y

σpq

(ε^(rs)) dy

= 1

|Y|

∫

Y

σ( ε^(rs))

:E^(pq)dy

= 1

|Y|

∫

Y

C:ε^(rs):(

ε^(pq)−ε^∗(pq)) dy

= 1

|Y|

∫

Y

C:ε^(pq):ε^(rs)dy (30)

こ こ で ，ε^∗は 擾 乱 ひ ず み でε^∗=∇^symy u^∗で 表 せ る. 上式一行目の被積分項はrs成分の方向に変形を受け た 状 態 下 に お け る ミ ク ロ 応 力 テ ン ソ ルσ^のpq^{成 分 で} あ る こ と を 意 味 し ，二 行 目 の 変 換 で は そ の ミ ク ロ 応 力 テンソルのpq成分σpqは，ミクロ応力テンソルσ^と既 知のマクロひずみテンソルE^(pq)（Fig.3参照）との内積 を計算すると結果的 に等価 となる自明の関係を利用し た も の で あ る ．三 行 目 の 変 換 で は ，ま ず ミ ク ロ 応 力 テ ン ソ ルσを 構 成 式 で ，ま た マ ク ロ ひ ず み テ ン ソ ル を ひ ず み の 関 係 式ε^(pq)=E^(pq)+ε^∗(pq)で そ れ ぞ れ 置 き 換 え た も の で あ る ．最 終 行 は ，ミ ク ロ 平 衡 方 程 式(10)の 弱 形 式 で あ る 式(37)^{を 用 い て}ε^∗の 項 を 消 去 し た も の で あ る ．具 体 的 に は ，式(37)の 仮 想 擾 乱 ひ ず みδε^{∗は 周 期} 境界条件を満たす任意のひずみを とるこ とができ るた め ，式(37)に お い てδε^∗≡ε^∗と 置 き 換 え て も 式 の 一 般 性 を 失 わ な い ．そ の た め ，式(37)は 次 の よ う に 表 す こ と が で き ，さ ら に わ か り や す く す る た め に 第 一 等 式 で は ミ ク ロ 応 力 テ ン ソ ル を 構 成 式 で 置 き 換 え ，第 二 等 式 で は 順 番 を 並 び 替 え て 表 示 し た ．

∫

Y

ε^∗:σdy =

∫

Y

ε^∗:C:εdy =

∫

Y

C:ε:ε^∗dy =0 (31)

上 式 を(30)の 三 行 目 に 代 入 す る と ，ε^∗(pq)の 項 が 消 え ， 式(30)の最終行が導かれることがわかる．なお，式(31) で は 簡 単 の た め ひ ず み テ ン ソ ル の イ ン デック ス を 省 略 しているがこれについて満足することは明らかである．

次に式(30)の設 計 変 数s_iに 関 する 微分 を と ると 次 式 が 得 ら れ る ．

∂C^Hpqrs

∂si

= 1

|Y|

∫

Y

∂C

∂si

:ε^(pq):ε^(rs)dy

+1

|Y|

∫

Y

C: ∂ε^(pq)

∂si

:ε^(rs)dy

+1

|Y|

∫

Y

C:ε^(pq):∂ε^(rs)

∂si

dy

= 1

|Y|

∫

Y

∂C

∂si

:ε^(pq):ε^(rs)dy

+1

|Y|

∫

Y

C:∂ε^∗(pq)

∂si

:ε^(rs)dy

+1

|Y|

∫

Y

C:ε^(pq): ∂ε^∗(rs)

∂si

dy (32)

上式では所与のマクロひずみテンソルEは設計変数 siに 依 存 し な い こ と を 利 用 し た ．こ こ で ，擾 乱 ひ ず み ε^∗を設計変数で微分した項∂ε^∗/∂siについては周期境界 条 件 を 満 た す こ と か ら ，式(30)の 誘 導 で 行った 操 作 と 同 様 に ，今 度 は 式(37)の 仮 想 ひ ず みδε^∗を∂ε^∗/∂s_iで 置 き 換 え ，そ れ を 式(32)に 代 入 す る と 式(32)の 第 二 ，第 三 項 が 消 え ，そ の 結 果 以 下 の 式 に 帰 着 す る ．

∂C^Hpqrs

∂si

= 1

|Y|

∫

Y

∂C

∂si

:ε^(pq):ε^(rs)dy (33)

この 式が本研究で提案するマクロ材料剛性テンソルの 解 析 的 感 度 で あ る ．最 後 に ，プ ロ グ ラ ム へ の 実 装 を 考 慮 し て 上 式 を 行 列 表 記 で 書 き 下 す．こ こ で は ，式(22) お よ び 式(40)の 関 係 を 用 い て 以 下 の よ う に 書 く こ と で き る ．

∂C^H_αβ

∂si

= 1

|Y|

∫

Y

ˆ w^e_α^TB^T∂C

∂si

Bwˆ^e_βdy (34)

with ∂C

∂s_i =ηs^η−1_i (C2−C1) (35) こ こ で ，wˆ^eは ユ ニット セ ル の 要 素 節 点 変 位 ベ ク ト ル を 指 し ，数 値 材 料 試 験 を 行った 結 果 得 ら れ る も の で あ る

（ 付 録 参 照 ）．な お ，wˆ^eの 下 添 字α,β(α, β=1, ...,6)は そ れ ぞ れ を 方 向 成 分(11), (22), (33), (12), (23), (31)に 該 当 する．よって，∂C^H_αβ/∂s_iの各成分の値を算出するために は ，数 値 材 料 試 験 を 行 う 過 程 で ，所 与 の6方 向 の ひ ず み を 個 別 に 与 え ，そ の 結 果 計 算 さ れ る 要 素 節 点 変 位 ベ クトルwˆ1, ˆw2,..., ˆw6（もしくは縮約された節点変位ベク ト ルw˜₁, ˜w₂,..., ˜w₆）をそ の都 度 保 存し て お き，その ベ ク トル を順に掛け合わせることで容易に計算できること に な る ．

5.3 マクロ材料剛性の解析的感度の精度検証 本 項 で は ，前 項 で 提 案 し た マ ク ロ 材 料 剛 性 の 設 計 変 数 に 対する解析的感度∂C^H/∂siの精度検証を行う．検証にあ たって は ，既 往 の 研 究⁽¹⁶⁾で 用 い ら れ た 有 限 差 分 近 似 に よ る 感 度 導 出 法 と 比 較 す る ．

検 証 に 用 い る ユ ニット セ ル の 形 状 は 立 方 体 で ，一 辺 の 長 さ を 正 規 化 し て 単 位 長 さ と し た ．ま た ，用 い た 有 限 要 素 は8節 点 六 面 体 要 素 で 要 素 数 は64（4×4×4） とした．二種類の構成材料の材料定数を表1^{に与える．}

ま た ，式(22)で 示 し た べ き 乗 数η^はη=5を 採 用 し た ． 最適化前の初期状態ではいずれの有限要素にもphase–1 とphase–2が そ れ ぞ れ50%ず つ 含 ま れ る も の と し た た め ，設 計 変 数 の 初 期 値 は す べ て の 要 素 でsi =0.5^{で あ}

Table 1 Material data

Young’s moduls (N/mm²) Poisson’s ratio

phase–1  10 0.3

phase–2  10000 0.3

る ．以 上 の 条 件 下 で 計 算 さ れ た 感 度 の 精 度 検 証 結 果 と して全36成分を表2に記した．両者の感度の誤差につ い て は ，次 式 を 用 い て 計 算 し た ．

Errors(%)=|∂C^H/∂si−∆C^H/∆si|

|∆C^H/∆si| ×100 (36) なお，有限差分近似の差分量は，∆si=1.0×10⁻⁷として 設 定 し た ．こ こ で ，表2に お い て ，有 限 差 分 近 似 と 解 析 的 感 度 の 誤 差 を み る と 概 ね0.1%程 度 で あ り，提 案 し た 解 析 的 感 度 の 導 出 法 の 確 か ら し さ が 確 認 で き た ．な お ，誤 差 を 計 算 し て い な い 成 分 に つ い て は ，行 列 の 中 で 理 論 的 に ゼ ロ と な る べ き 成 分 で あ る ．こ れ ら は ，数 値解析上避けられない数値 エラーとして生じたも ので あ る が ，い ず れ も 極 め て ゼ ロ に 近 い 感 度 と なって お り，

妥 当 な 計 算 結 果 で あ る と い え る ．

ま た ，本 検 証 例 で は ど の 要 素 に も 同 じ 設 計 変 数 値 を 与 え て い る た め ，材 料 は ユ ニット セ ル 内 に お い て 一 様 に分布している．そのため，そのマクロ材料剛性C^Hは 等 方 性 の 条 件 を 満 た す 必 要 が あ る ．し か し ，詳 し く み ると，有限差分近似につ いては ，例えば(1, 1), (2, 2), (3, 3)成 分 の 値 に 僅 か で は あ る が 差 異 が 生 じ て お り，等 方 性 の 材 料 剛 性 を 厳 密 に 表 現 で き て い る と は い え な い ． こ の 差 異 は ，有 限 差 分 近 似 に 伴 う 避 け る こ と の で き な い数値誤差である．一方，解析的感度について言えば，

例 え ば(1, 1), (2, 2), (3, 3)成 分 や(4, 4), (5, 5), (6, 6)成 分 の 値 が 完 全 に 一 致 し て お り，等 方 性 の 条 件 を 完 璧 に 満 た し て い る と い え る ．な お ，本 論 文 で は 省 略 し た が ，要 素ごとに異な る設計変数を与えた 場合についても 感度 の 検 証 を 実 施 し て お り，そ の 場 合 も 同 様 の 結 果 が 得 ら れ て い る ．

以 上 よ り，提 案 し た 解 析 的 感 度 は 正 し く 導 出 さ れ て お り，ま た そ の 精 度 の 高 さ も 確 認 で き た と い え る ．な お ，特 筆 す べ き こ と は 解 析 的 感 度 を 導 入 し た こ と に よ る計算コストの大幅な削減である．有限差分近似では，

ひ と つ の 設 計 変 数siに 対 す る 感 度∆C^H/∆siを 計 算 す る の に ，6回（6方 向 成 分 ）の 数 値 材 料 試 験 を 実 施 す る こ と に な り，こ れ を 全 設 計 変 数 の 数（=ユ ニット セ ル 内 の 有限要素数），つまりnele回分行うので，合計で有限要 素数×6回もの数値材料試験を実施する必要がある．一 方 ，提案 し た 解 析 的 感 度 法 で は ，（ 感 度 解 析 を 開 始 す る 前の）マクロ材料剛性C^{Hを求める際に実施する}6^回の 数 値 材 料 試 験 に お い て ，そ れ ぞ れ の 節 点 変 位 ベ ク ト ル wˆ を 保 存 し て お け ば 感 度 解 析 用 と し て 新 た に 数 値 材 料 試 験 を 行 う 必 要 は な く，こ れ が 感 度 解 析 に か か る 計 算 コ ス ト の 大 幅 な 削 減 を 可 能 に し た と い え る ．