目
次
第1章 複素数と複素関数 1 1.1 背景 数の体系 . . . . 1 1.2 複素数の定義. . . . 2 1.3 実部，虚部，共役複素数，絶対値 . . . . 8 1.4 複素平面と極形式 . . . . 11 1.5 平面図形の複素数表示 . . . . 17 1.6 複素関数 . . . . 19 1.7 円々対応と1次分数関数. . . . 21 1.8 基本的な複素関数の例 . . . . 24 1.9 多価関数のリーマン面 . . . . 35 第2章 複素平面における位相的概念と複素関数の連続性 43 2.1 はじめに . . . . 43 2.2 有界集合 . . . . 43 2.3 開集合と閉集合 . . . . 44 2.4 点列の収束と極限 . . . . 47 2.5 完備性と稠密性 . . . . 49 2.6 閉包および関連する概念. . . . 51 2.7 有界閉集合の性質 コンパクト性. . . . 55 2.8 曲線と領域 . . . . 57 2.9 複素関数の極限と連続性. . . . 68 2.10 一様連続性 . . . . 71 2.11 有界性. . . . 73vi 目 次 2.12 連続関数の境界値. . . . 75 2.13 広義の複素平面とリーマン球面 . . . . 76 第3章 正則関数 79 3.1 定義と例 . . . . 79 3.2 正則関数の特徴づけ コーシー リーマンの方程式 . . . . 83 3.3 ラプラスの方程式と調和関数 . . . . 87 3.4 調和関数から正則関数へ. . . . 88 第4章 積分定理とその応用 92 4.1 線積分 . . . . 92 4.2 ガウス–グリーンの定理 . . . . 95 4.3 複素線積分 . . . 100 4.4 コーシーの積分定理 . . . 102 4.5 不定積分と原始関数 . . . 106 4.6 不定積分の応用：与えられた調和関数を実部とする正則関数の存在110 4.7 コーシーの積分表示 . . . 111 4.8 リウヴィルの定理と代数学の基本定理. . . 116 4.9 最大値の原理とシュヴァルツの補題. . . 119 4.10 シュヴァルツの鏡像原理と解析接続 . . . 122 4.11 留数定理 . . . 125 4.12 留数定理の応用 定積分の計算 . . . 127 4.13 積分によって定義される正則関数 . . . 137 4.14 ラプラス変換 . . . 142 第5章 複素無限級数と正則関数の諸性質 150 5.1 複素無限級数の定義と基本的性質 . . . 150 5.2 複素関数項級数 . . . 153 5.3 正則関数列 . . . 159 5.4 整級数 . . . 162 5.5 正則関数の整級数展開とヴァイエルシュトラースの2重級数定理 165 5.6 一致の定理 . . . 169 5.7 ローラン展開. . . 171
目 次 vii 5.8 正則関数の零点 . . . 175 5.9 零点の個数 . . . 179 5.10 正則関数の写像特性 . . . 185 5.11 単葉関数 . . . 188 5.12 等角写像 . . . 189 第6章 有理型関数と整関数 200 6.1 孤立特異点 . . . 200 6.2 有理型関数 . . . 210 6.3 偏角の原理 . . . 211 6.4 部分分数展開. . . 213 6.5 任意の極分布をもつ有理型関数 . . . 219 6.6 整関数の因数分解（無限乗積表示）. . . 222 第7章 解析接続と解析関数 235 7.1 直接接続と間接接続 . . . 235 7.2 曲線に沿う解析接続 . . . 238 7.3 パンルヴェの定理 . . . 241 7.4 解析関数 . . . 243 7.5 特異点，存在領域，自然境界 . . . 247 7.6 解析関数のリーマン面 . . . 250 7.7 多変数正則関数と関数関係不変の原理. . . 253 第8章 ガンマ関数とリーマンのゼータ関数 259 8.1 ガンマ関数 . . . 259 8.2 リーマンのゼータ関数 . . . 271 第9章 物理学への応用 278 9.1 古典力学 . . . 278 9.2 流体力学 . . . 283 9.3 静電気学 . . . 290 9.4 量子力学 . . . 293
viii 目 次 付録A 写像 305 A.1 定義と例 . . . 305 A.2 写像の分類 . . . 307 参考文献 311 演習問題の解答（略解） 315 索 引 345
