磁性物理学
遷移金属化合物磁性のスピンゆらぎ理論 高橋 慶紀 兵庫県立大学物質理学研究科 email: takahash@sci.u-hyogo.ac.jp May 14, 2009Outline
1. 序論 素励起と物性、個別励起と集団励起、相転移現象など 2. 絶縁体磁性と遍歴電子磁性 3. モード 間結合理論の成功と問題点 4. 磁化曲線とスピンのゼロ点ゆらぎの効果 5. スピンゆらぎ理論の実験による検証 6. 理論の最近の発展 磁気比熱、磁気体積効果Part I
Effects of Non-linear Mode-Mode Coupling
Effects of Non-linear Mode-Mode Coupling of Fluctuations
Curie-Weiss Law of Magnetic Susceptibility Moriya-Kabata Theory
Magnetic Excitations Effect of non-linearity Summary
Curie-Weiss Law of Magnetic Susceptibility
局在モデル（ハイゼンベルグモデル）のキュリー・ワイス則
揺動散逸定理（アインシュタインの関係式） N0 3 (g µB) 2S(S + 1) = k BTχ(T ) 磁化率のキュリー・ワイス則 χ(T ) ∼ N0(g µB) 2S(S + 1) 3kBT =N0p 2 eff 3kBT 磁気モーメント の比: peff ps =p(S + 1)/S ∼ 1 (ps= g µBS: 原子当たりの飽和磁気モーメント) 金属強磁性の CW則( peff/ps ≫ 1が成り立つ)の原因は何かFluctuation-Dissipation Theorem
アインシュタインの関係式の量子力学的拡張
時間変化する外部磁場による系の応答(非平衡状態の統計力学) H = H0− M−qz Hq(t) 動的磁化率 hMqz(t)i = Z dt′χzz(q, ω)e−i ω(t−t′)Hq(t′) χzz(q, ω) = i Z ∞ −∞ h[Mqz(0), M−qz (t)]ieiωtdt ゆらぎの時間相関(以下の式の逆変換から求まる) Z ∞ −∞General Form of Equal-Time Correlation Functions
同時刻のゆらぎの相関関数 (T > Tc) hSi· Sii = 3 N02 X q hSq· S−qi = 3 N02 X q Z ∞ −∞ dω 2π coth βω 2 Imχ(q, ω) ≃ 3kBT N02 X q Z ∞ −∞ dω π Imχ(q, ω) ω = 3kBT N02 X q χ(q, 0) 高温近似: coth(βω/2) ≃ 2/βω Kramers-Kronigの関係式: Reχ(q, 0) = 1 π Z ∞ −∞ dω′Imχ(q, ω ′) ω′ Reχ(q, ω) = 1 π Z ∞ −∞ dω′Imχ(q, ω ′) ω′− ω , Imχ(q, ω) = − 1 π Z ∞ −∞ dω′Reχ(q, ω ′) ω′− ωOrigin of Curie-Weiss Law
Heisenberg Model で Curie-Weiss 則が成り立つ理由
励起スペクトルの周波数依存性 分布幅が J∼ kBTc 程度であり、高温近似が成り立つ 励起スペクトルの波数依存性 1/χ(q, 0)の波数分布幅も J 程度 高温で波数依存性が無視できる: χ(q, 0) ∼ χ(T ) S(S + 1) = hSi · Sii = 3kBT N2 0 X q χ(q, 0) ≃ 3kBT N0 χ(T ) 金属磁性の場合、これらの条件はどちらも一般に満足されない。
Moriya-Kawabata Theory
磁化率の Curie-Weiss則の起源 1970 年代当初の状況: Curie-Weiss則の原因としては局在モデルによる説明しかなかったSCR 理論の特徴
目的と方法 磁化率のキュリー・ワイス則の起源 Stoner-Wohlfarth (SW)理論の改良 有限温度の磁性に対し、熱ゆらぎの寄与を考慮に入れる ゆらぎの(4 次の)非線型項の効果 線形項のゆらぎの寄与だけを考慮: SW理論 +ゆらぎの効果 (磁気比熱に対するパラマグノン理論に相当)とは異なるMoriya-Kawabata Theory
磁化率の Curie-Weiss則の起源 1970 年代当初の状況: Curie-Weiss則の原因としては局在モデルによる説明しかなかったSCR 理論の特徴
基本的な仮定 基底状態はバンド 理論 (SW理論と一致) 自由エネルギーの 2次の展開係数へのゆらぎの非線型項の影響 4 次の展開係数は定数(モード 間結合係数) 熱ゆらぎの振幅に関する展開 ゼロ点ゆらぎの温度、磁場効果は無視できる(繰り込み効果)Band Splitting and Magnetic Ordering
バンド分裂の発生と整列: スピン分裂 =強磁性の出現 ? -Tc T order magnetic moment Tm 局在モーメント 系 SW 理論 T Tc = Tm ? 常磁性状態にでもバンド 分裂している(磁気体積効果) Stoner 条件(温度変化を含む) と Tc とは同じかどうか ? 常磁性相は磁気モーメントが消失した状態か ?Effect of Collective Excitations
磁気的な集団運動（ボーズ粒子的）の存在 スピン波の存在 (集団的な励起) 低温磁気比熱の増強 – パラマグノン効果 C=γT + bT3+ · · · 磁気不安定点に近づくと、係数γが増大する 磁気的臨界現象に特有な性質 磁気的相関長 (空間的、時間的) の増大 相関の重なりの発生 – 非線型効果 低温極限でフェルミ粒子励起が支配的(Landauのフェルミ液体理論) 減衰のあるボース粒子的励起の場合には当てはまらないSpin Waves in Itinerant Magnets
金属強磁性体のスピン波と スト ーナー励起
Effect of Fluctuations
ゆらぎとその自由エネルギーへの寄与（調和振動子の例） H(x, p) = p 2 2m + 1 2mω 2x2 エネルギー H(x, p)に系を見出す確率 ∝ exp(−~ω/kBT) ゆらぎによる自由エネルギー F(T ) = −kBTlog(kBT/~ω), (Classical ) ~ω 2 + kBTlog(1 − e −~ω/kBT), (Quantum) ゆらぎの振幅 hx2i = 1 mω2hHi = ~ mω 1 2 + 1 e~ω/kBT− 1Free Energy with Spatial Fluctuations
Stoner-Wohlfarth理論に対するゆらぎの効果 秩序変数の空間、時間変化 一様(q = 0)成分以外はすべてゆらぎ 空間変化のゆらぎ Mq (q 6= 0)の寄与 Ψ[{Mq}, M, T ] = FSW(M, T ) + X q6=0 1 2χ0(q) Mq· M−q 個々の Mqが、調和振動子の変数に対応する 調和振動子の集合 Curie-Weiss 則の説明には、調和近似では不十分 低温比熱の温度係数 γ の増強についてはこれで十分Non-Linear Effect of Phonons
格子振動による熱膨張 デバイモデルによる自由エネルギー (調和近似) F(T ) =X qs 1 2~ωqs + kBTlog(1 − e −~ωqs/kBT) , ωqs = vqsq 振動の振幅が増大しても体積変化なし (熱膨張に寄与しない) 熱膨張には、周波数の体積依存性 ω(V )が必須 ポテンシャルエネルギー :1 2mω 2(V )x2 ポテンシャルの非線形性が熱膨張の原因 周波数にも温度依存性が生ずるFree Energy of SCR Theory
SW理論による自由エネルギーの拡張 ゆらぎの非線形項を考慮に入れる 現象論的な自由エネルギーの空間変化 Ψ[{Mq}, M, T ] = FSW(M, T ) + Φ({Mq}) Φ({Mq}) = X q 1 2χ0(q) Mq· M−q +1 4b X {qi} Mq1· Mq2Mq3· Mq4+ · · · b: 非線形効果の結合定数 非線形項の影響が 1/χ(q)の温度変化を与えるA Simple Example of the Effect of Nonlinearity
-4 -2 0 2 4 x -20 0 20 40 F(x) F(x) = x^2 F(x) = x^2 + 0.02*x^4 F(x) = c + 2*x^2 簡単な例: 非線型項の重要性 F(x) = a0x2+ b0x4 ≃ aeffx2 振幅の増大 → 係数 aの増加 aeff = ( a0, hx2i ≃ 0 a0+ ∆a, hx2iの増大 ∆a ∝ hx2i 非線形項の存在=⇒ a0 の値の変化Thermodynamics of SCR Model
すべての状態についてのボルツマン因子の和 自由エネルギー exp[−F (M, T )/kBT] = X {Mq} exp[−Ψ({Mq})/kBT] = e−FSW(M,T )/kBT X {Mq} exp[−Φ({Mq})/kBT] 磁化曲線 H= ∂F (M, T ) ∂M = 1 χ(T )M+ · · ·Harmonic Approximation
変分法による自由エネルギーの計算 変分(汎)関数 Φ({Mq}) ≃ Φ0({Mq}) = X q (Ωkq|Mkq|2+ Ω⊥q|M⊥q|2) 自由エネルギー X {Mq} exp[−βΦ({Mq})] = X {Mq} e−βΦ0({Mq})exp(−β[Φ − Φ 0]) = e−βF01 Z X {Mq} e−βΦ({Mq})exp(β[Φ − Φ 0]) = e−βF0hexp[−β(Φ − Φ 0)]i, Z = e−βF0 = X {Mq} e−βΦ0({Mq})Upper Bound of Free Energy
不等式の存在 F(Ω⊥, Ωk, M0, T ) = FSW(M, T ) + F0+∆F exp[−∆F /kBT] = hexp[−(Φ − Φ0)/kBT]i ∆F . hΦ − Φ0i 最適近似(変分パラメータΩkq, Ω⊥q, M)の条件: ¯ F = FSW + F0+ hΦ − Φ0iが極小となるように決める 参考 e−X = he−xi = 1 − hxi +1 2hx 2i + · · · = exp[−hxi +1 2(hx 2i − hxi2) + · · · ], hxi − X ≃1 2(hx 2i − hxi2)≥ 0A Simple Example of Non-linear Model
非線形の自由エネルギー φ(x) = 1 2ax 2+1 4bx 4, e−βF =Z dxe−βφ(x)自由エネルギーに対する近似
ゆらぎを無視(φ(x)の極小値で近似) F = 1 2ax 2 0 + 1 4bx 4 0, ax0+ bx03 = 0 調和近似 x= x0+ δx (非線形効果は無視) φ(x) ≃ 1 2ax 2 0 + 1 4bx 4 0 + 1 2aδx 2, F = φ(x 0) + F0(a + 3bx02) F0(a) = − 1 2kBTlog(2πkBT/a), e −βF0 = Z dxe−βax2/2=p2π/βaA Simple Example (2)
非線形のゆらぎの寄与を考慮した場合 (x = x∗ 0 + δx) φ(x) ≃ φ(x0∗) + φ0(x), φ0(x) = 1 2a ∗δx2 e−β[F −φ(x0∗)]= e−βF0eβF0 Z dxe−βφ0(x)e−β[φ(x)−φ(x0∗)−φ0(x)] = e−βF0he−β[φ(x)−φ(x0∗)−φ0(x)]i = e−β(F0+∆F) ただし、 h· · ·i = eβF0 Z dx e−βφ0(x)· · · , e−βF0 = Z dx e−βa∗δx2/2= 2πkBT a∗ 1/2 F = φ(x0∗) + F0(a∗) + ∆F , ∆F = hφ(x) − φ(x0∗) − φ0(x)iA Simple Example (3)
補正項 ∆F の計算
φ(x) のδx 依存性 φ(x) =a 2(x ∗ 0 + δx)2+ b 4(x ∗ 0 + δx)4 = φ(x0∗) + a 2δx 2+b 4(6x ∗ 02δx2+ δx4) +x0∗[a + b(x0∗2+ δx2)]δx ただし、δx に関する最後の奇数次の項は、平均操作で消える。 ∆F の パラメータ x0∗, a∗ 依存性 ∆F = a 2hδx 2i +b 4(6x ∗ 02hδx2i + hδx4i) − a∗ 2 hδx 2i hδx2i = kBT a∗ , hδx 4i = 3 kBT a∗ 2A Simple Example (4)
極小値の条件
自由エネルギー F の表式(φ(x∗ 0),F0(a∗),∆F の和) F= 1 2ax ∗ 02+ 1 4bx ∗ 04− 1 2kBTlog 2πkBT a∗ +1 2a kBT a∗ +1 4b " 6x0∗2 kBT a∗ + 3 kBT a∗ 2# −1 2kBT a∗ に関する極小の条件 a∗= a + 3b x0∗2+ kBT a∗ , kBT a∗ = hδx 2i x0∗ に関する極小の条件 x0∗ a+ 3b x0∗2+ kBT a∗ = 0Summary
遍歴電子磁性体の磁化率の Curie-Weiss則の原因について 低エネルギー磁気集団励起の寄与の存在 スピン波、スピンゆらぎ Harmonic(調和的)なゆらぎは磁化率の温度依存性に寄与しない ゆらぎの非線形項の影響が磁化率の温度依存性に寄与するPart II
SCR Spin Fluctuation Theory
SCR Spin Fluctuation Theory
New Origin of Curie-Weiss Law
Experimental Verification of SCR Theory Inconvenience in the SCR Theory
Approximate Free Energy
¯ F の各項の Ωkq, Ω⊥q 依存性 自由エネルギー F0 e−βF0= X {Mq} e−βΦ0({Mq})= Πq Z dMqe−βΦ0({Mq})= Πq 2 4 πkBT Ωkq !1/2 πkBT Ω⊥ q !3 5 F0= −kBT X q " 1 2log πkBT Ωkq ! + log πkBT Ω⊥ q !# Φ0 の熱平均 hΦ0i = X q Ωz qhMqk2i + Ω⊥qhMq⊥2i =3 2kBT X q 1 = 3 2N0kBT hMqk2i =kBT 2Ωz q , hMq⊥2i =kBT Ω⊥ qApproximate Free Energy (2)
Φの平均値 hΦi =X q 1 2χ0(q) hMq· M−qi + 1 4b X {qi} hMq1· Mq2Mq3· Mq4i + · · · ただし、 X {qi} hMq1· Mq2Mq3· Mq4i = M 4 0+ M02 X q 2hMq· M−qi + 4hMqzM−qz i +X q,q′ " hMq· M−qihMq′· M−q′i + 2 X α hMqαM−qα ihMqα′M α −q′i # hMqk2i = kBT 2Ωz q , hMq⊥2i = kBT Ω⊥ qMinimum condition
Ω⊥0 に関する変分条件 Ω⊥q = 1 2χq +1 2bM 2 0 + 1 4bT X q′ 1 Ωkq′ + 2 Ω⊥ q′ + 1 2bT X q′ 1 Ω⊥ q′ Ω⊥q = Ω⊥0 + (Ωq⊥− Ω⊥0) = Ω⊥0 + 1 2Aq 2 常磁性状態 (T > Tc): Ω⊥q = Ω k q′ Ωq = 1 2χq + 5 4bT X q′ 1 Ωq′ Ωq: 波数に依存した磁化率の逆数の意味をもつOrigin of Curie-Weiss Law in SCR Theory
ゆらぎの非線形項の磁化率への影響 1 2χ(0) = 1 2χ0(0) +5 3b X p hMp· M−pi 第2項のゆらぎの 2 乗振幅: 温度依存性を支配する２つの原因 1. 熱エネルギー 2. 磁気的相関距離 λ(T )の変化: スペクトル幅の変化 χ(q) = χ(0) 1 + q2/κ2, κ = 1/λSCR (Self-ConsistentRenormalization)の語源:
Time-Dependence of Order Parameter
時間変化を無視した取扱についてのコメント
量子力学の交換関係の存在 =⇒力学的な運動 時間変化を無視した取扱は古典近似であり、高温で正当化される 古典近似が成り立つ状況 W . kBT (W : 系のエネルギー準位の分布幅) 格子振動の場合: 分布幅はデバイ温度 W = kBΘで決まる 局在磁性の場合: W ∼ J ∼ kBTc 遍歴磁性: 通常 kBT ≪ W が成り立つSelf-Consistent Equation
T = Tc のとき χ−1(0) = 0: 磁化率発散の条件 0 = 1 2χ0(0) +5 3b X p hMp· M−pi(Tc) 磁化率の温度依存性を求めるための方程式 X p hMp· M−pi(T ) = X p hMp· M−pi(Tc) + 3 10bχ −1(0) ただし、揺動散逸定理より、 hMp· M−pi ∝ Z ∞ 0 dωn(ω)Imχ(q, ω) Imχ(q, ω) = χ(0) κ 2 κ2+ q2 ωΓq ω2+ Γ2 q , Γq = Γ0q(κ2+ q2), (κ = 1/λ)Numerical Examples
磁化率の温度依存性についての数値計算の例
Application of the SCR Theory
熱力学的性質と輸送現象に及ぼすスピンゆらぎの影響 磁気比熱の温度依存性 NMRの T1 の温度依存性 電気抵抗の温度依存性 これらの温度依存性に磁化率のキュリー・ワイス則の温度依存性が 反映されるCentral Dogma of SCR Theory
SCR 理論の主張
スピンゆらぎの振幅が温度変化する キュリー・ワイス則の起源、局在磁性との差別化 4 次の展開係数 (モード 間結合係数) フェルミ面近傍の状態密度の形状を反映 温度変化は小さく無視できる (2 次の係数はそもそも値が小さいので 影響が大きい、4 次の係数はこれとは異なる) ゼロ点ゆらぎの温度、磁場依存性は無視できる実験的な検証の努力
益田、安達グループ (名大)、石川グループ (東北大)、 安岡グループ (物性研)、小川 (電総研) 主な典型物質: MnSi, Ni3Al, ZrZn2, Sc3InComparison: SCR vs SW Theories
SCR 理論と Stoner-Wohlfarth 理論の比較
SCR Theory SW Theory 相転移に関与する励起 集団励起(Boson) 個別励起(Fermion) 磁化率の温度依存性 (T − Tc) (T2− Tc2) 自発磁化 T/Tc ≪ 1 M2− Ms2∝ T2 M2= Ms2(1 − T2/Tc2) T/Tc .1 M2∝ (Tc4/3− T4/3) 基底状態 バンド 理論 磁化曲線 H= aM + bM3 磁気熱膨張(T > Tc) 有 無Experimental Verification of SCR Theory
直接的な検証
Curie-Weiss 則の起源⇐⇒スピンの熱ゆらぎ振幅の増大検証方法と手段
スピンゆらぎ（磁気的集団励起）の存在 その温度依存性 2つの中性子非弾性散乱の実験 K. R. A. Ziebeck (1982)と Y. Ishikawa (1985) のグループComparison with Experiments
実験的に得られた結果と理論との定量的な比較 スピンゆらぎ理論に現れる 3 個のパラメータ 1. ゆらぎのスペクトル分布を特徴づけるパラメータ: T0, TA Imχ(q, ω) = χ(q, 0) ωΓq ω2+ Γ2 q , Γq= Γ0q(q2+ κ2) スピンゆらぎのスペクト ル幅: T0= Γ0qB3/2π, TA = N0[χ−1(qB, 0) − χ−1(0, 0)]/2 T0, TAは格子振動のデバイ温度 ΘD に対応する 2. ゆらぎの非線形項の係数: 自由エネルギーの展開係数 bDetermination of Parameters
パラメータの実験的な決定(σ0, Tc, T0 から TA) T0, TA: 中性子散乱を利用したゆらぎのスペクト ルの直接測定 T0: NMR の緩和時間T1 の温度依存性 非線形結合係数 b: 磁化測定の Arrottプロット の傾き 磁気測定(次の関係式を利用) σ02 4 = 5T0C4/3 3TA Tc T0 4/3 これらの結果から、磁化率の温度依存性の実験と定量的比較が可能Neutron Scattering
vi vf q Sample 中性子非弾性散乱強度 S(q, ω) ∝ 1 1 − e−~ω/kBT Imχ(q, ω) = ( [1 + n(ω)]Imχ(q, ω), ω ≥ 0 n(|ω|)]Imχ(q, |ω|), ω < 0 n(ω) = 1 e~ω/kBT− 1 ~ω = ε(vi) − ε(vf), ε(v ) = Mv2/2 S(q, ω)は ω = 0に関して非対称 ω < 0: エネルギーの利得(gain) ω > 0: エネルギーの損失(loss)Neutron Scattering
MnSi by Y Ishikawa (1985)
Damping of Spin Fluctuations
磁気的不安定点近傍の 常磁性体: スピン波のような寿命の長い励起 金属強磁性の場合Γq∝ q(κ2+ q2) 中性子非弾性散乱実験 (Ishikawa et al) 減衰定数 Γq= 1/τq: 励起の寿命の逆数Temperature Dependence of Thermal Component
熱ゆらぎの振幅の温度依存性: Z 0
−∞
