柱筒群截断図形の解析的研究

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(1)Title. 柱筒群截断図形の解析的研究. Author(s). 大坂, 一二. Citation. 北海道學藝大學紀要. 第二部, 10(2): 16-28. Issue Date. 1959-12. URL. http://s-ir.sap.hokkyodai.ac.jp/dspace/handle/123456789/5622. Rights. Hokkaido University of Education.

(2) . 北海道学芸大学紀要（第ニ部）. ０巻，第２号第１. 壕. 柱. 裁. 群. 図. 断. 形. の. 解. 昭和３４年１２月. 析. 的研究. 坂. 大. 北海道学芸大学函館分校. 数学科教育研究室. ｉ〇ｓＡＫＡ：Ｔｈｅａｎａｌｙｔｉｃａｌｓｔｕｄｙｏｆｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌ賃ｑｕｉｒｅＫａｚｕｊｌｌｏｒｇｒｏｕｐｉｎｄｅｒａｎｄｐｉｉｏｎｐｌａｎｅａｔｃｙｌｓｅｃｔ. 序. 文. 前の紀要に於いて柱壕群戯断面の幾何学的研究を発表したが，今回は其の続編として柱壕群載面図形の解析的研究を発表する次第である．本研究の狙いはどこ迄も従来の平面幾何学は特殊の場合であり柱壕幾何学こそはより一般性を有する平面幾何学であるということである．解析的研究図の如１．今従来の平面幾何定理図形を第一図形と称し，柱壕体裁断図形を第二図形と称す．く第一図形面に従来の平面幾何図形を設定す．それによっ ′ ４′ 〃、Ｘて裁断幾何図形を設定す．先ず最初に用いる投影法について説明します．柱壕体戯断面は立面図に垂直に平面図にげなる角度に載ります．. . . ニ. ２， ‘. . （註用語及び説明に飛躍的のところがあると思います。詳しく２月９５６年版，第ニ部，第７巻，第２号，昭和３１年１は紀要１）発行を参照して下さい。. 然るとき第一図形の又，Ｙ両直交軸は載断面に於いて. も両直交軸として残存します．. 即ち第二図形中に於いてズ，Ｙ両軸の対応軸も，の，ｇ. は互る垂直にしてヱが基線に平行なる如く置くとき “ 軸は裁断基軸に平行になります．. ｗ．ｘ. ｔＤｘ. （ｍ. Ｍ. 第一. 羅. ｒ. ２．点の坐標. 伝のＸ今第一図形に於けるＰ点の坐標を（ ‐ ，Ｙ）とすれば裁断面に於ける対応Ｐ点の坐標は. ・．・．．・・． ′ ．． ≠ ノ ′ ′ ′ ．．. . ・・ ′ ・Ｍ ▼ ．ー ‐ ・．－・－ ” ‐ ・．杖，．．．. 一１６一.

(3) . . 柱壕群裁断図形の解析的研究. ′びＰ′は βとなるとなる．然るとき０から基線に平行線ぴＰ′を引けば ‘Ｐズ＝０ ÷Ｍ＝０′Ｐ′ の＝０７７２＝ ○参′ ０′Ｐ′ Ｃｏｓヴニー－－一 . ｃｏｓヴニ. ズ＝ ⑦Ｃｏｓ″. 亦. ①＝. 【. . ＸＣｏｓ″. Ｙ＝彩なる故. ヱ. ｏｃＳけ（；－ｉ. . Ｃｏｓ″. これより第二図形中のＰ点の坐標は第一図形Ｐ点の坐標の大きさの函数であると同時に椴断. 角〃の函数でもあります．総じて第二図形は第一図形の大きさの函数でもあり位置の函数でもあり赦断角げの函数でもあります．３．線分について. 線分ＡＢが，基線に平行の場合. る－ぼろ１ザーＡＢ α. ″′ －－－ー誓 … 〃』ぼる′ －. ＆る＝ △ α Ｃｏｓ″. ｒ即ち第二図形に於いては平行線分はＡＢの大きさと載断角ヴの函数であります，次に線分ＡＢがズ軸とαなる角をなすものとし投影作. 図により第一図形ＡＢの対応図形を αるとす．Ｑに対する対応角をＱ′ とす．. に一たＡＢ. . 鵬ヴーキ. 伽〃‐. 亦ｔａｎにテ. ｔａｎメーテ. . 。. αるｃｏｓα′. 媛ａｎｄ. メ夕. 猿Ｍ′. α. ′ Ｃ耐ｔａｎα ＝ｔａｎｄ. 前式よりＣｏｓメニ. ＡＢＣｏｓα αるｃｏｓ″. １／Ｃｏｓα. αるＣｏｓ″ ＡＢＣｏｓα. 然るに三角法の公式により，ｔａｎ α十１＝２″ｔａｎ２α十．＝ ′．ｃｏｓ・．． α. １２α／Ｃｏｓ. ２″ 話２ｃｏｓ２α 五 β２ｃ。ｓ. ２けｔａｎ２α十．＝ ′．ゾｃｏｓ. ２αＣｏ２″十．ｔ器詩ＡＢ／ａｎｓ. これ即ち裁断後の長のの長さを表わす公式である．－１７一. ぢげ. . . ＡＢＣｏｓα. ニ. ，サ. ね＝ＡＢＣｏｓα. . 』. を. ｏ. ＢＣ；“⑦ とすれば虎＝“⑦ となる．，Ｃｏｓ. α. αるｃｏｓ″ ＡＢＣｏｓα. で. ぎ. ｘ.

(4) . 坂. 大. 一. ｓα は線分の位置の函数であり，ＡＢは線分の大きさを表わｓヴは裁断角度の函数でありｃｏｃｏのは裁断角の函数であり，位置の函数であり，ＡＢ線分の大いさの函数す．よって裁断後の長さである．. 今この公式を簡約すれば次の如くなる．２αＣの－器量号ＡＭａｎ－．ｏｓり＋. 一畑〆冊券（矧』ばヴ＋１）. １－ＡＢ傷瀞（器÷鵬恐ト）２ｑｃｏｓ－ＡＢ／ｓｉｎ２Ｑ十２ヴ．ｃｏｓ. ｃｏ２ケｓ／２ーＡＢ］． ” 鵬一言★ －・２α ＝ＡＢノ１十ｔａｎ２グｃｏｓ２α （公式）よって αる＝ＡＢゾ１十ｔａｎ２ヴｃｏｓ. 本公式は応用度の非常に広いものである．柱壕群歓断面に於ける長さを函数式で表わしたものである．. 同一直線上又は同方向係数を有する直線上の二線分が相等しきときは裁断後に於ける二線分も亦相等し．応. 用. 証. 明. ＡＢ＝ＣＤ. ｂ. ＡＢＩＩＣＤ. ２α の＝ＡＢゾー十ｔａｎ２″ｃｏｓ２α メニＣＤ／１十ｔａｎ２″ｃｏｓ又. Ａ. ｚα ２ＣＤ／１十ｔａｎ２″ｃｏｓＡｒβ／１十ｔａ〆 ″ｃｏｓ α ＝ ‐ ．・ αわ．＝Ｇｄ. 同様にして鑑れろα. ＡＣ；ＢＤ. ＡＣＩＩＢＤ. なる故. －．． αる１に〆. 故に直線の平行関係は裁断後に於いても残存す．別. 証. 々＝ＢＣＰ＝彰. 一 . －－－ｔａｎα ＝－ . . . ニ－－ｌｉｄじＵｓリ一肌”” 「庇÷ ハフ国ヲ. 即ちαろの方向係数は裁断角の余法と原直線ＡＢの方向角の正切との積なり．換言すれば裁断後の直線のの方向は原直線の方向によって決定さる．. 裁断前の二直線の方向が同一なれば敵断後に於いても其の二一１８一. Ｂ.

(5) . 柱壕群裁断図形の解析的研究. 直線は同一方向をとる．即ち平行関係は存置さる．正方形の裁断後の四辺形は平行四辺形となる．矩形の裁断後の四辺形は平行四辺形となる．. 平行四辺形の裁断後の四辺形は平行四．辺形となる，台形は裁断後台形となる．４，原点から一点（ｘ，. の距離を知りて第二図形に於いて原点から＠，“ ）迄の長さを求む. ること．２。カニメ字千野. ｏぬ「／奇. の＝. 又. “＝Ｙ. ｃｏｓ″. り. メ. ２び十γ. ５（ｘｐ γ，）．二点間の距離Ａ ‐ ，Ｂ（ｘの乙）を与えて第二ろ図形 α（）のｂ “．に）をむ求こと．る，２，物 αる＝／魔－⑦ず＋＠－ｇず. ‐ 左. のニ. ズｃｏｓグ. ｇ＝？. . ２ ★ （煮－為２十（Ｙ，－れ）. ６．二点Ａ（ｘ，ｇ），Ｃ（為，. むること．. β. . ｘ. ｙ. ）間をＭ：Ｎ比に分っ点 β（ヱ，ｙ）が与えられて対応坐標を求（均釣） α. ｂ（×サ）. Ｃ（ね‘ ね，. Ｎの１十Ｍの２. （『. Ｍ十Ｎ. . ‐ 妙＝. . ２～盗も一十Ｍ蚕。Ｍｒ＋～. ー. ～盈孤＆. ｃｏｓグ（朋ｒ＋Ｎ）. ～ γ 十ＭｒＹ，２Ｍｒ十～Ｍ十Ｎ. ８‘Ｘ珍. 吻，. Ａ（ＸＩＹＱ）ｔ. Ａ（ズｐｙ）二点‐ ，，Ｃ（尤の藍）間中点 β の坐標を与えて対応坐標を求むること．～： ×，十Ｍ【ｘ２ ←～）ｃｏｓヴ（Ｍ－. の＝ｈ ‐. . “＝. ＮＹ．＋÷ＭｒＹ２Ｍｒ＋～. . 三点Ａ（又ｐｇ），Ｃ（ｘ，藍）が与えられ其の重心の坐標をＸＹとするとき其の対， β（Ｘめ藍）. 応坐標を求むること．. 一半の. 歯十壷十論. の－－. －１９一. 十＆十＆〆，３ｃｏｓｄ.

(6) . 大、坂. 一ニ. γ ＋Ｙｇ；・誓２３. 楊 “ “－ギ. γ 十γ 彩一・警２３. ７．第一図形に於いてＹ＝肌［ズに対応する第二図形の方程式を求むること．影；？. のｃｏｓβ ＝て. 似＝ △猛Ｃｏｓヴ．の. ゑ藍亦はｔａｎメニ . . . ｏ力ｔａｎメニ〇三了ｔａｎ夢. . ｔａｎ／＝ｃｏｓけｔａｎの ′．彩＝ｔａｎ. の. より. 妙＝Ｃｏｓ″ｔａｎの．の. ・．．紗＝み４ｃｏｓ″．の. Ｙ. ｆ. 第一図形に於いて，Ｙ＝Ｍ署＋る. に対応する第二図形方程式は. 。. ｓ仇⑦＋るとなる．彩＝ △ダｃｏ. 夕. 日. ×. 第一図形に於いて一点Ｐ（Ｘ，，ｇ）を通りズ軸となす方向係数Ｍなる方程式はアーア．＝Ｍ（又一×．）. この対応方程式を求むると）Ｃｏｓ〃．α一ｘｌ汐一ｇ＝Ｍ（８）．二点Ａ（ズぃ γ ，，お（ヱの藍）を通る直線の方程式が与えられて其対応方程式を求むること．ｘ. ｚｃｏｓ″. ｇ. １；Ｏ. ヌ．. γ，. １. ７２１. ｘ２. Ｙ２. １. の夢 ①＋者－・. Ｙ＝Ｍ，ズ＋るＩ，Ｙ＝Ｍ＋劇ｊなる二直線の支角は. ９．二直線. ｔａｎリニ. ｌ＝Ｏ. Ｘ． γ．１ ′×２. 芸十壱－・に対応する方程式に対し. ｙ. 十ｂ、ｅｓｘＣｏＭ，. ハ４２一入４．１十ハ４．」４ｔハ４２. 十α ＝ β. 夢＝ β一口. ｔａｎメニｔａｎ（β－〆）. ′－ｔａｎｄ ′ ｔａｎβ ）（. １十ｔａｎα′ｔａｎｇ. ）ｃｏｓ″ （Ｍｒ肌，. ２ヴ１十ルダルダ．２ｃｏｓ. る１０．似ニルダ．ｃｏｓ″⑦＋．ヴる影ニルダ２ｃｏｓの＋２ろ彩ニルダ３ｃｏｓヴ②＋３. なる第二図形中の三直線が一点に会する条件は .

(7) . 柱壕群裁断図形の解析的研究ルダｃｏｓダ⑦－紗十る，＝０，. 入イ．ｃｏｓヴ. ー１る．＝Ｏ. ル４２ｃｏｓヴの－“＋あ＝０よりル４３ｃｏｓヴ②－汐十ろ３＝０. ａ４２ｃｏｓけ. －工. 八４３ｃｏｓ″. －１ぁ. る，. 入４．１る，＝Ｏ１みなら２九４３１ろ３. 今これを第一図形に見るに，若し三直線Ｙ＝Ｍ１ｘ＋る， γ ＝Ｍ２ズ＋ぁ. 、１. １ ′ . が一点に会するならば，其の条件式はＺｋｆ．１ろ１＝ＯＡ４３１ろ３. である．これ即ち第一図形に於ける三直線の共点線条件と第二図形に於ける対応共点線条件とは一致す．即ち第一図形中に於いて共点線ならば第二図形に於いても共点線なることを示す．１１．三点Ａ（ヱぃＺ），Ｂ（ＸねＹ），Ｃ（ヱ瀞藍）が共線点なる条件Ｘ． γ，１＝Ｏヱ２ｙ２１、ズ３ｙ３１これ等Ａ，Ｂ，Ｃの対応三点 α ，るｃの共線点条件を求めんに）顕のの）よりの．２ｃｏｓ″ 物），ｃｏｓヴ汐，る（，ｃ（３ｃｏｓヴ“３の．ｃｏｓグ影．１＝０. の，妙，１＝０. ノ．. 物ｃｏｓ″ 彩２１の３ｃｏｓβ ｇ３. の２汐２. １. １. の３彩３１. 即ち最初の条件行列式より最後の条件行列式を導くことを得，これ即ち第一図形に於いて三点. が共線点なれば第二図形の対応三点も共線点なることを示す．. １２）今第一図形に於いて三点Ａ（ズｐｙ，．三角形の面積，Ｂ（Ｘの藍），Ｃ（ｘ鱒藍（の囲む三角形の面積をＰとすればＸ．Ｙ，ｌｘ２７２１）の三点の囲む三角形の面積をＰとすれば今対応三点 α（雪ｃｏｓヴｇ））のｃｏｓヴｇ，ｃ（．２３，劇物ｃｏｓグｇ１. ′．. ②，ｃｏｓβ. 彩．１. の２ｃｏｓ伊. 野２１一. の３ｃｏｓグ. 翌３１. Ｃｏｓヴ. ２. の，彩，１の２ｇ２１＝汐Ｃｏｓ″ . . Ｐ＝Ｐｃｏｓβ. １３．二直線の交点 α，Ｘ÷＋ろ，Ｙ＋ｃ．＝０. ズニ. α ２ｘ “２Ｙ＋Ｇ２. Ｙ. ろｃ２－ろｃ２，，巧み２－α２わ１. 筈電装一２１一.

(8) . 大坂一二. 対応二直線は. ）Ｃｏｓグ（巧ぁ－偽る．. . 一α２わ巧６－. . ２. ．. １４．三角形の各辺を夫々垂直に二等分する三つの直線は共点線なることを証し得．裁断後三つの第二垂線は一点に会する．先すＦを通る垂線の方程式を求めんにＡＢの方程式. Ｍ. Ｙ＝. ＹＪ，＝－ ★ （ｘ－×，）の公式より. ２２又十２ろＹ－（）＝Ｏ α２＋ろ. 亦ＡＣの方程式は. Ｙ－ｏ一芸三. ズィ）. α一Ｇ α一Ｇ. －・．．ズ項の係数. 肌＝. . 冴：ｒ. β を通る辺に垂直なる直線の方程式は. ヱ－；； ÷－ ÷÷（）２十ろ２ ‐ ）× 十２６γ ニメーＧ α－Ｇ・・２（. 亦Ｄを通る辺に垂直なる直線の方程式は．. ヱ一身. よって三角形の各辺の垂直二等分線の方程式は２十わ２２仏ｘ＋２るγ－（）＝ ○ α ２＋が）； ○ ２ーｃ２（α－Ｇ）× 十２るγ一（ α. ズーテーｏよってこの方程式の係数にてつくる行列式の０なることを証せん．２６. ２α. ２（α－ｃ）２る１. ０. －. ２十的＝Ｏ－（α ２トゲ）－（メーＧ－. ÷. 蹴る（ ÷ ）＋塀一＠『２十の｝＋坤２崩す勃然α－の２－２る３十２α２わ十２る３＋２α虎－２わＧ２＝０ニー２αろＧ－２α２６一－２ろＧ. 一２２一. … の. 回.

(9) . 柱壕群裁断図形の解析的研究. ．三角形の各辺の垂直二等分線は一点に会することが証せられた．これより裁断後の第二垂直二等分線は一点に会することを証せん，第二垂直二等分線の方程式は次の如し．. ２αＣｏｓヴの十２６ｇ－（〆＋〆）＝ ○ ２一Ｇ２十が）＝ ○ ２（α一Ｇ）ｃｏｓヴの十２る彰一（α. 今このコつの第二垂直二等分線が一点に会する為には２２る一（〆＋わ）. ２αｃｏｓ″. ＝Ｏ. ２（）Ｃｏｓげ２わ－（メーメ十の αーＧＣｏｓヴ. ０. 基. なればよろしい．. 然るに２る. Ｃｏｓβ ２α. ２（αーＧ）２６. １. ＝０－（〆＋〆）２２ゲ一（－Ｇ）＋ α. ０. －÷. は既に証明せられたことである，. ．三角形の各辺の中点を通り各辺に垂直に引いた三直線は一点に会し裁断後に於いて辺の垂直二等分線とならざるも第二垂直二等分線となり一点に会することが証明出来たのである．２２２１５．円に於ける切線が裁断後楕円の切線となる．今円の方程式をＸ十Ｙ＝γ 切線の方程式を２Ｙ＝朋ば十るとせんにズ２十（肌［Ｘ十の２＝γ. ２一γ ２＝０１十Ｍ２）ｘ２十２わＭｘ十わ（２一γ ２がＭ２－（１十Ｍり（ろ）＝〇. が切線条件である．２＋Ｙ２＝γ ２はの２ｃｏｓ２ヴ十ザニγ２なる楕円となる載断後円Ｘ‐ ．. ‐；羽翼十ろは＝Ｍ円に於ける切線ｙｃｏｓヴ⑦＋ゐとなる，この直線が楕円の切線なることが証ｇ. 明されればよろしいのである．２２ケ十（Ｍｃｏｓヴ十あ２ニフー〆Ｃ。ｓ）. ２Ｃｏｓが（２－γ ２＝０１十Ｍ２）＋２ＭるＣｏｓβの十わの. 今切線条件即ち等根条件を求むるに２Ｃ。ｓ２ケーＣｏｓ２β（２Ｍ２６１十Ｍ２）＠２－γ ）＝ ○ ２Ｍ２－（２わ１十Ｍ２）＠２－γ ）＝ ○. これ当然成立す，換言すれば円の切線は裁断後楕円の切線となる．. １６．三円の三根軸は一点に会す．従って相似応位なる三楕円の第二根軸は一点に会す．今三円の方程式を（第一図形に於いて）－－２３－－ ‐.

(10) . 大 ○ の三十彩２十２ｇ．の十２兎影十Ｇ．コ. 坂. ÷ －. …・・？… … … … … －－－－－－－－・・・…・・… … … … …・…・・（１）. ２十ｇ２十２袋の十２房影十Ｇ＝ ○ の２十彩２十２クの十冴謬十Ｇ； ○ の３. … … … … …・… … … …・… … …・・… … … … … … … …‐ ・（２） … … … … … … …． ‐ ・・・－－－－‐ ‐… … … … … … … …‐…・・（３）. １２１３２３）－（）より三根軸の方程式を求むれば，）－（）））－（（，（，（２俵－．２物）①＋（２方－２／）似十Ｇ ≧ （・… … … （４），－偽＝ ○ … … … …－… … …・… …・… … … … …・２ノ・が‐ ・ ‐ ‐ ・ ‐ ‐ ・－－２袋）⑦＋（－Ｇ＝ ○ … …・ ‐ ・ ‐ ・・ ‐…・ ‐…‐… … … … … … … … （５）（勿，ｉ－釣り影十角－２の－２ん－２－２ぬうの十（（Ｊら超＋ ”一角＝ ○ … …・． ‐…‐ ・ ‐…‐ ・ ‐ ‐…‐ ‐… … … …‐…‐ ・ ‐… …・ ‐ ‐ ‐ ‐（６）－２たｃ，一Ｇ２ク＝０．－２ク３２五－２たｃ，－２袋－２ぬ２ん－２たｃ２一Ｇ２〃，－２袋. ２. を証し得れば三根軸が一点に会することが証明出来たことになる．ク２云－九Ｇ２スーク，一ＧＫ＝９，一俵九一九Ｇ，一Ｇ＝Ｏ夕２－タ３た－たら一Ｇ３. なることは次の通りに計算される－－ク２. Ｇ，. ク，. －た. 一Ｇ２. に＝夕．－ク３九」九Ｇ，一Ｇ３十夕３九一たＧ．－ク．一Ｇ３の一俵た一九. 亀一Ｇ. ワ．－ク３五一九Ｇ．一Ｇ３ . . . た＋ク２ら. タ２一俵た一九Ｇ２－ｃ３－タ３. 一九. . . タ，た－た２－ク３ク３. た. え９，灸－ぬん一た. 夕２－ク３た－た. の－ク３た一九Ｇ２一Ｇ３. 一Ｇ３ . －タ３. ら. タ２. ；Ｏ. た. ｃ. 一ｃ. た. ら. 夕．－タ３云. タ２－タ３ん－たｃ２一角タ３. 一九. ク，一偽云一九Ｇ，一Ｇ. ら一Ｇ. 夕．. . ク，－ぬ九一九Ｇ，一Ｇ３. ｃ３. Ｇ．. . . ら一角. 九. ら一Ｇ３. ク２たク，九. ｃ２Ｇ，. のんｃ. . . タ３た. ｃ３. たらク２. ク，九タ２た. Ｇ，ｃ３. . 俵た. ら. たｃ，一Ｇ３. 〃２. ん. ｃ２. . . . よって三円の三根軸が一点に会することが証明されたのである．－２４－.

(11) . 柱壕群裁断図形の解析的研究. これより相似応位なる三楕円の第二根軸が一点に会することを証明すべし．今三円の方程式を（第一図形）次の如く書き換うべし．ｘ２十 γ２＋２仏ｘ十２れＹ＋ｃ，＝ｏｘ２＋Ｙ２十２偽又十２たＹ十Ｇ２＝０ズ２十Ｙ２＋２偽又十２た γ十Ｇ＝０ ‐ 今戴断角を〃とし第一図形の坐標をｘ，Ｙ，裁断後の坐標を ⑦ ，彩とすればｘ＝ｚｃｏｓヴ. Ｙ＝“. よって裁断によって生ずる楕円の方程式は次の如し，２十２夕ｚｃｏｓ″＋２２グ十９がＣｏｓＪ〆；“＋Ｇ．，＝ ○ ２十２タのｃｏｓヴ＋２２β十彩の２ｃｏＪ ′謬十Ｇｓ２＝０２２ヴ十２十２のＣｏｓ“十２ノ迎十Ｇ＝ ○ ⑦２ｃｏｓｇ仏. こて三楕円は相似応位である．今三つの第二根軸の方程式は次の如し．２ｃｏｓヴ似一物）⑦＋２（万一九）ｇ十Ｇ２＝０，一Ｇ２ｃｏｓグ似－の ⑦十２（云一九）ｇ十Ｇ，一角＝０２ｃｏｓグ（仏一俵）⑦＋２（た一九）彩十Ｇ２一Ｇ＝０. 以上三方程式の係数の行列式をつくれば２ｃｏｓ復仇－の）２（／「た）ｃ２，一Ｇ２２ｃｏｓ頒夕）一）一Ｇ五一たＧ（，偽，２ｃｏｓ川儀一偽）２（た一九）ｃ一Ｇ夕．－ク. 万一た. 夕．－タ３云－た９２－のん－た. ｃ２．－ｃｃ，一Ｇ３＝Ｏｃ２－角. なることは前述の証明により明らかである．よってこれより相似応位なる三楕円の第二根軸は一点に会することが証明された．１７，ピタグラスの定理の研究正方形ＡｒβＣＤの裁断後の図形の面積は次の如し，Ｐは正方形ＡＢＣＤの面積，Ｐは裁断後の αるｃｄの面積，. ｏは裁断前の図形ＡＢＣＤの一辺ＡＢがｘ軸となす角，. αるｃｄはＡＢＣＤの裁断後の図形です． . . １＋ｔａｎ２ヴｓｉｎｃｏｓグ／江〒琵ａｎ２グｃｏｓ）（. ）. 証明２ヴの＝ＡＢ／下平ｔａｎ２″ｃｏｓ . ・．．ＡＢニノＦＲ珊芝方面ぎ罰ーｎ. βＣニ. . ノー十ｔａメヴｃｏｓ９０十α）. 汐ｃｏｓヴニＰ. －２５ ′. ｃ. ｂ. ｄ. ｏ.

(12) . 大. 坂. 一ニ. αる虎. ，Ｐ＝ＡＢ，ＢＣ；〆．Ｆ口預言扉蛋浮ｉｉ／ＩＦ口ｔａｎ２グｓｉが α ＰＣＯＳ″ ＝. . . ２″ｓ衣．十ｔａｎｚ″ｃｏぎα ｉぼα）１十ｔａｎ）（ . ２けｓ１十ｔａｎｉぜｑ）ｃｏｓ″火１十ｔａが・″ｃｏぎＱ）（. この公式は裁断前の正方形の面積が裁断後如何に変化するかを示すものである. ‘Ｑは正方形. の位置を示すもので″は裁断角αみ，虎はＡＢ，ＢＣの裁断後の長さである．. 結局裁断後の面積は正方形の位置の函数であり，裁断角の函数であり大きさの函数である．今ピタグラスの定理に於いて，三角形をＡＢＣとし乙Ｃ；‘Ｒとす．辺上ＡＢの正方形を. ＡＢＧＥＡＣ上の正方形をＡＣＤＥＢＣ上の正方形をＢＣＺ亙とす．辺 βＣ，ＣＡ，ＡＢがズ軸となす角を α ， γ とす．，β. 裁断後に於いて正方形ＡＢＣ風. ＡＣＤＥ，ＢＣ／″ は夫々 αる好，のｄＢ虎効，となる．裁断前の正方形の面積をＰ，Ｑ，尺裁断後の面積をＰ，ｑとすれば γ ，ＰニカｃｏｓヴニＱ＝ｑｃｏｓ″ ＝. Ｒ＝ γＣｏｓけ；. αる，あり. ２″ｃｏｓ２γ ２げｓｍ２γ メ江十ｔａｎ１十ｔａｎ）（）ｄ αｃ，ｃ. －２衣）（允Ｆ絹語２汐ｃｏｓ１十ｔａｎ２″ｓｉｎ２α） . ２β ２β ′ １十ｔａｎ２″ｃｏｓ１十ｔａｎ２ヴｓｉｎ（）（）. Ｐ＝Ｑ十尺 αるあり. αＧＧｄ. ，，一２γ ２２〃ｓ火．十ｔａｎ２″ｃｏｓｉｎ２／）１＋ｔａｎ２ヴｃｏｓｔａｎ２″ｓ γ １＋ｔａｎｉｎ２４）（（ α）（）＋. . ２β 〆１十ｔａｎ２″ｓｉｎ２β （１十ｔａｎ２″ｃｏｓ）（）. ピタゴラスの定理は本公式の特殊の場合であるヴ角のｏｏのときピタゴラスの定理となる．. ０ｔａｎダニ０ｃｏｓ″＝１ αる一ＡＢ毎＝ βＧ αｃ＝ＡＣｃｄ；ＣＤ彰＝ βＣメニＣＺヴニ０となりピタ，，，，，，，，. ゴラスの定理となるのである．従来の幾何学に於ける量法則のより一般化函数式化を計るのが柱，壕幾何学の一つの使令である．１８．三角形の三内角の和は ” なり. 裁断面に於ける三角形の内角の和は次の如し．. ・－手ｔ是認醤凄暴ｎ早茎ａ．拝呈ー十ｔｎ斎需懸饗場ａ. －一撃茎紀要謡琵十ｔ易『ｎａ琶但しヴは裁断角ｄ， β ， γ は三角形ＡＢＣの三辺ＢＣ，ＣＡｒ，ＡＢがＸ軸をなす角である． ‘ Ａ＝ β－γ. ｔａｎＡ＝ｔａｎ（β【γ ）＝. ｔａｎβ－ｔａｎγ. １十ｔａｎ βｔａｎγ. ・．．乙Ａ， ‘β， ‘Ｃの鼓断後の対応角を ‘α ， ‘ｃとすれば， ‘る ‐－２６－.

(13) . 柱壕群裁断図形の解析的研究. ・・秤量ｇ８％ｉ署響き．．α－如－. ｔｍα＝臨書。語露農場 ‘β. γ‐ ｒの＝＝ γ－α ｔａｎ β ＝ｔａｎ（. ｔａｎ γ－ｔａｎｑｌ＋ ÷ｔａｎγｔａｎα. ｔ器糟瀞・密売矛・．． “－加－. ｔｍろ一容器鷺悪霊場 . ｔａｎローｔａｎ β ｔａｎＧ＝ｔ｝＝ｔａｎ（）ｄ一の＝１ｔ α一β ａｎ｛汀十（十ａｎαｔａｎβ. ・８酷．卿＝捺そ嘉器量望８．乙に如－－鼎駕篭箸８％－ぶ器量勢農場司－・・ ≦署長．加－．。器量綴喜勢＋如－鞘静穏誉澄も十加標そ－即ち，. ピタゴラスの新公式を本公式とはピタゴラスの定理及び三角形の三内角の和はｎなりの. 公式をより一属一般化し函数式化したものである．１９，柱鋳群裁断面におけるヘロンの公式三角形ＡＢＣに於ける面積をＳとし頂点ＡＢＣに対する辺をα ，み，ｃとすればｓ一／ｓ（）但しｓ一身（ α＋る”）ｓ－嫌－Ｇｓｌ）（とす，これは有名なるヘロンの公式である，. ＢＣ今裁断角をヴ，ＣＡ，ＡＢのズ， △ＡＢＣの裁断後の角形をのｃとす．三角形ＡＢＣの三辺. 軸となす角を夫々ｑ， β， γ とすれば２α るｃ＝Ｂｃ／１十ｔａｎ２グｃｏｓ. 即ち. ＢＣニ. ２ｃα ＝ＣＡゾ１十ｔａｎ２ヴｃｏｓ β. 〃. ＣＡニ. ２γ の＝ＡＢノー十ｔａｎ２クｃｏｓ. 〃. ＡＢニ. . ２Ｑメー十ｔａｎ２″ｃ。ｓＣα. ２β メー十ｔａｎ〃ｃｏｓ αる. ２γ ノー十ｔａｎ２ヴｃｏｓ. ２ｓ＝βＣ十ＣＡｒ十ＡＢとおけば２ｓ－２ＢＣ＝ＣＡ十ＡＢ－ＢＣ２（ｓ－ＢＣ）＝ＣＡ十ＡＢ－ＢＣ同様にして２（ｓ－ＡＢ）＝ＢＣ十ＣＡ－ＡＢ２（ｓ－ＣＡ）＝ＡＢ十ＢＣ－ＣＡ. 今三角形の面積をＳとすればＡＢ十βＣ－ＣＡ βＣ＋ＣＡ－ＡＢＣＡ十ＡＢ－ＢＣＡＢ十βＣ十ＣＡ．ｓ２＝．．２２２２１６Ｓ２＝（ＡＢ十ＢＣ十ＣＡ）（ＣＡ十ＡＢ－ＢＣ）（ＢＣ十ＣＡ－ＡＢ）（ＡＢ十ＢＣ－ＣＡ）. 裁断後の三角形のｃの面積をＳ，とすればｓ，Ｃｏｓダニｓ. －２７.

(14) . 大坂. 一. ー６ｓダニ（ …鵬２）るぎゑ＋毎扇偏字〒〆軒耐洗副計煽副で . . . . . . αあ. るＧ. Ｇα. . . －十Ｆ『〒ー７」－－７〒〒〒『キテ〒〒ニテキモキ≠ ；；ｒ－。ゴーサーフーん（４；１＋ｔａｎ”″ＣＯＳ７ｃｏｇｑ γノ γ上十ｔａｎムクＣｏｓＤＶＩ十ｔａｎ＆ｆ ′. . . . 今２ｓ「：＝と置く・ニメー千モｎ２妥十万冨岡２万夜謬２零＋マｉ２〃ｌ；戸信三６ａ２けｃｓｎＣ。ぎγ ２ｓ・－２ｓ，一. . ２ヴｃ。〆．十ｔａｎｓ職 . . 一万ｉ言霜害覆面. ーマーキ信ぜヴＣ。ぎ日. 爺. 十. . . . 十 … 題字夏目行毛罰２みだ房号万戸面詰示さ. . . ２ｓ』．－万十２げｃ百面喜書類２弔電房雫十マＩＦＦ預言衣冠宅。ｓ琴扉Ｅ戸. ー６ｓ麦耐ヴ. . . ２甘み羅ずテゾ２▽千け五千爾：Ｒａｉさ房２ａｉ. . . ２ヴｃｏヂβ 蔭買目ＦＦｔ . ２テ煮干モ額窮み扇 . ｓ「厄諦謡）２（～２（～マ，雨浮震面β ）２（量７ ”伝序脳. ）デ. . ｓＦ ★テ赤くｇ７－毎扇嘱雨）（ｓｓ，，雨露罰雨琴）マ，ェ耐無謡）（ β. これ，ヘロンの公式の函数公式である‐. 従来位置幾何学に於いては点直線の位置にのみ着目し，其の量的方面に手がつかなかったのであるが，柱壕幾何学に於いては線分の長さや角度の大きさ等をはっきりつかむことが出来，従って従来の平面幾何学に於ける量的法則がより一般化され函数式化されて来たのである．従って２千年. ２や ‘Ａ十‘Ｂ十‘Ｃ＝ズやＳ＝右超－α 間眠って居ったピタゴラスの定理型〆＋ゲニｃ）（ｓ‐ ‐る）（ｓ一Ｇ）. の姿に異変を来し何れもこれを変化の相に於いてつかむことが出来たのである．即ち法則の函数式. 化と云うことに成切したわけである．. 最初に柱壕群薮断面の幾何学的研究を出し，今回これが補足とて柱壕群裁断図形面の解析的研究を出したわけですがこれが，稿を終えるに当って反省して見るに色々不備なる点があります．その一つは説明が不十分であることです．自分だけが一人我点している様な気がしてなりません．. 次には図形説明が足りない事です．次には定義なしに新用語を用いたと云うことです．この三点は説明が足りないことに帰します．前回の幾何学的的研究と今回の解析的研究は貧弱な頭脳の貧しいながらの独創的なものです，従来の平面幾何学は特殊的のものであり，裁断面の幾何学こそはより一般性を有するものであると云う考えのもとに研究したわけです．. 従来の幾何学は柱壕幾何学の誘導的役増を果すものと考えられます．以上の様により一般性を. 有すると云う立場より前途に色々の問題が横っている気がします．. 作図問題はどうあるべきか，三角法問題は如何にあるべきか，微分積分問題は如何にあるか等問題が山積している形です．自分は唯自分の徴力を痛感しているだけです，. －２８－.

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