社会主義経済と資源配分入門(1)

社 会 主 欝 経 済 乏 資 源 祀 分 入 門   ω 五 二

社

会

主

義

経

済

と

資

源

配

分

入

門

 

ω

吉

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彦

                        は   し   が .き   こ の 小 論 は 次 の 三 つ の 目 的 で 書 か れ た 。 そ の 第 一 は 、 筆 者 が 本 年 度 担 当 す る ﹁ 計 画 経 済 論 ﹂ を 聴 講 す る 学 生 諸 君 に 、 講 議 の 後 半 の 主 題 で あ る ﹁ 社 会 主 義 経 済 に お け る 最 適 計 画 編 成 ﹂ の 問 題 を 解 説 す る こ と に よ っ て 、 時 間 の 制 約 の た め に 講 議 で は 十 分 講 述 で き な い 部 分 を 補 足 す る た め で あ る 。   こ こ で 云 う 最 適 計 画 編 成 の 方 法 は 所 謂 線 型 計 画 法 ( い 一帯 胃 中 。 四 § ヨ 5。 σq ) に 基 く 。 こ と に そ の 原 問 題 ( 中 ぎ 巴 ℃ 8 σ 冨 ヨ ) に 、 対 応 す る 双 対 問 題 (9 、 亮 ﹁。 ﹃ 一§ ) に お け る 潜 在 価 格 (留 巴 身 空 8 ) ー カ ン ト ロ ヴ イ ヅ チ の 客 観 的 に 条 件 付 け ら れ た 評 価 (o q 屋 寄 爵 き 。 9 。﹀ 。 切 ﹀ ① 臣 ￠ 。 o 月 2 蚕 ) 1 の 概 念 が 社 会 主 義 経 済 の 最 適 計 画 編 成 の 基 本 概 念 で あ る 。 拙 稿 で は そ の 概 念 を 中 心 と し て 社 会 主 義 経 済 に お け る 資 源 配 分 の 問 題 を 考 察 す 惹 。   次 に 拙 稿 の 第 二 の 目 的 は 、 線 型 計 画 法 の 創 案 者 で あ り 、 且 つ ソ 連 に お け る 数 理 経 済 学 、 計 量 経 済 学 ー ソ 連 で は ℃ 冨 〒 O ヨ ① 良 8 と 呼 ば れ る l l の 指 導 老 で あ 6 ﹂ ﹂ V ・ カ ン ト ロ ヴ ィ ッ チ の 著 書 ﹁ 資 源 の 最 適 利 用 の 経 済 計 算 ﹂ (邦 訳 ﹁ 社 会 主 義 経 済 と 資 源 配 分 ﹂ ) の 入 門 的 解 説 を こ こ ろ み る こ と に 診 る 。 線 型 計 画 法 あ る い は 活 動 分 析 ( ﹀ 。 け三 崎 ぎ 号 駐 ) に つ い て 素 養 の あ る 人 で あ れ ば 、 カ ン ト ロ ヴ ィ ッ チ の 上 記 の 著 書 に 農 嗣 さ れ て い る ﹁ 客 観 的 に 条 件 づ け ら れ た 評 価 し が 線 型 計 画 法 の 双 対

臥 問 題 に お け る ﹁ 潜 在 価 格 ﹂ と 同 一.概 念 で あ る こ と が 直 ち に 理 解 さ れ る で あ ろ う 。 し か し 数 理 経 済 学 を 専 攻 し な い 学 生 諸 君 ・ が 線 型 計 画 法 あ る い は 活 動 分 析 に つ い て 十 分 の 素 養 を 積 む こ と は 決 し て 容 易 な 業 で は な い 。 筆 者 は か っ て 演 習 の テ キ ス 小 と し て 上 記 の 書 を 使 用 し て 感 じ た こ と は そ の こ と で あ っ た 。 理 論 経 済 学 の 学 習 を 志 す 者 に と っ て 産 業 連 関 論 、 線 型 計 画 法 を 修 得 す る こ と は 既 に 必 要 不 可 欠 な 時 代 に な っ て お り 、 最 近 我 が 国 で も 線 型 計 画 法 に 関 す る す ぐ れ た 著 書 、 訳 書 の 数 は 少 く な い が 、 そ の 多 く が そ の 手 法 の 数 学 的 構 造 の 解 説 に 力 点 が お か れ て お り 、 数 学 的 素 養 の 乏 し い 学 生 に は 接 近 に 困 難 を 感 ぜ さ せ る も の が あ る 。 こ の 小 論 で は 数 学 的 構 造 の 細 目 に つ い て は そ れ ら 類 書 に ゆ ず り 、 主 に 経 済 学 的 側 面 、 こ と に 社 会 主 義 経 済 に お け る 線 型 計 画 法 適 用 の 意 義 、 問 題 点 を 中 心 と し て 解 説 を こ こ ろ み る こ と に 心 た 。               ,   と こ ろ で 、 先 の カ ソ ト ロ ヴ ィ ッ チ の 著 書 は ソ 連 経 済 学 界 に 一 時 代 を 画 し た 著 書 で あ る が 、 そ こ で 用 い ら れ て い る 解 法 は 線 型 計 画 法 の 一 般 的 解 法 と し て 広 く 使 用 さ れ て い る ﹁ シ ン プ レ ッ ク ス 方 法 ﹂ で は な く ﹁ 解 決 乗 数 法 ﹂ が 使 用 さ れ て い る 。 こ の 点 も 前 記 カ ン ト ロ ヴ ィ ッ チ の 著 書 へ の 接 近 を 困 難 に し て い る 。 こ こ で は ﹁ シ ン プ レ ッ ク ス 方 法 ﹂ に つ い て も 、   ﹁ 解 決 乗 数 法 ﹂ に つ い て 、 平 易 に 解 説 す る よ う 努 め た 。   最 後 に 、 こ の 小 論 の 第 三 の 目 的 は 前 記 カ ン ト ロ ヴ ィ ッ チ の 著 書 が 1 以 下 カ ン ト ロ ヴ ィ ッ チ 提 案 と よ ぶ ー ソ 連 経 済 学 界 、 及 び ソ 連 経 済 に 与 え た 衝 撃 、 影 響 を 追 跡 す る こ と に あ る 。 カ ン ト ロ ヴ ィ ッ チ 提 案 が ソ 連 経 済 学 界 に 与 え た 衝 撃 は 、 ケ イ ン ズ の コ 般 理 論 ﹂ が 欧 米 の 当 時 の 経 済 学 界 に 与 え た 衝 撃 に 匹 敵 す る も の が あ る と 思 は れ る 。 た だ 鉄 の カ ー テ ン の 向 う 側 の 出 来 事 で あ っ た が 故 に そ の 衝 撃 の 余 波 が 西 側 の 学 者 に 伝 は る 程 度 に す ぎ な か っ た 。 し か し カ ン ト ロ ヴ ィ ッ チ 提 案 を め ぐ る ソ 連 学 界 の 論 争 は ま こ と は 熾 烈 な も の が あ ・ 導 一 九 三 〇 年 代 後 半 か ら 一 九 四 〇 年 代 に お い て ケ イ ン ズ コ 般 理 論 ﹂ . を め ぐ を 経 済 学 者 の 烈 し い 論 争 を 経 て 、 ケ イ ン ズ の 着 想 が 次 第 に 経 済 学 者 の 思 考 に 浸 透 し 、 近 代 経 済 学 の 共 有 財 産 と し て 定 蒼 し て 行 っ た よ う に 、 一 九 六 〇 年 代 前 半 以 来 、 カ ン ト ロ ヴ ィ ッ チ 提 案 は し ば し 憾 烈 し い 反 撃 を 浴 び な が ら 、 現 在 で は ソ           社 会 主 義 経 済 と 資 源 配 分 入 門   ω                     `                            五 三

          社 会 主 義 経 済 と 資 源 配 分 入 冊 9 ω             〆        .                              五 四 連 経 済 学 者 の 思 考 に 深 く 浸 透 し 、 定 着 し て い っ た 感 が あ る 。 こ こ で あ ら た め て 、 カ ン ト ロ ヴ ィ ッ チ 提 案 の ソ 連 経 済 学 界 、 及 び ソ 連 経 済 に 与 え た 衝 撃 、 反 応 を 追 跡 し て み る こ と は ソ 連 及 び 東 欧 諸 国 の 経 済 学 の 発 展 に 関 心 を も つ 者 に と っ て 意 味 の 、 な い こ と で は な い で あ ら う 。       .                     二   社 会 主 義 経 済 と 線 型 計 画 法   制 限 さ れ た 資 源 の 量 を 最 も 有 効 に ( 最 適 に ) 配 分 す る 問 題 は 経 済 体 制 の 如 何 に 拘 ら ず 最 も 重 要 な 経 済 問 題 の 一 つ で あ る 。 混 合 経 済 制 度 と よ ば れ る 我 々 の 住 む 経 済 社 会 で は 、 こ の 問 題 は 多 く の 財 、 用 役 が 市 場 に お け る 価 格 機 構 に よ っ て 、 常 に 最 適 で は な い に し て も 、 自 動 的 に 解 決 せ ら れ る 。 そ れ は 完 全 な 制 度 と 云 え な い か も 知 れ な い が 、 一 部 の 批 判 者 の 云 う よ う に ﹁ 盲 目 的 無 政 府 制 度 ﹂ で は 決 し て な い 。 第 二 次 大 戦 後 、 西 独 も 日 本 も こ の 競 争 的 市 場 制 度 を 十 分 に 活 用 す る こ と に よ, っ て 、 戦 火 に よ る 廃 墟 の 中 か ら 経 済 を 復 興 し 、 現 在 の 繁 栄 を 実 現 す る に 至 っ た こ と は 否 定 し 難 い 事 実 で あ る 。   と こ ろ で ソ 連 型 社 会 主 義 経 済 、 す な わ ち 、 集 権 的 計 画 経 済 の 場 合 、 制 限 さ れ た 稀 少 資 源 の 配 分 は い か に し て な さ れ る ・ か 。 そ こ で は 市 場 機 構 は 主 導 的 な 役 割 を 演 じ な い 。 た し か に 消 費 財 、 労 働 用 役 に つ い て は 不 完 全 で は あ る が 市 場 は 存 在 す る Q し か し そ れ の 需 要 と 供 給 に 応 じ て 成 立 す る 市 場 価 格 が 生 産 者 と 消 費 者 の 行 動 を 決 定 す る バ ロ メ ー タ の 役 割 を 果 す わ け で は な い 。 価 格 制 度 は 存 在 し て も 、 コ ル ホ ー ズ 市 場 を 唯 一 の 例 外 と し て 、 す べ て の 商 品 価 格 は 固 定 価 格 で あ り 、 ソ 連 の 場 合 工 業 卸 売 価 格 は 一 九 五 五 年 か ら 一 九 六 七 年 ま で 十 数 年 も 釘 付 け に さ れ た ま ま で あ っ た 。 ま た 価 格 の 設 定 は 政 治 指 導 者 の 意 向 を 反 映 し 、 経 済 的 合 理 性 を 考 慮 し な い と い う 意 味 で 、 き わ め て 盗 意 的 に 決 定 さ れ て き た 。 そ の 最 た る も の は 農 産 物 価 格 で あ る が 、 農 産 物 価 格 以 外 の 消 費 財 、 生 産 財 価 格 と 云 え ど も 例 外 で は な か っ た 。 し た が っ て 、 従 来 ソ 連 に お け る 財 、 用 役 の 価 格 は 上 級 機 関 に よ ゐ 企 業 活 動 の 統 制 手 段 、 あ る い は 貨 幣 計 算 の た め の 計 算 手 段 で あ っ て 、 一 般 に 生 産 者 、 消 費 者 の

                                           ヒ   経 済 行 動 の 依 る べ き 指 標 で は な か っ た と 云 っ て よ い 。 消 費 者 は 労 働 を 提 供 す る こ と に よ っ て え た 所 得 か ら 生 活 に 必 要 な 財 を 選 択 、 購 入 す る 自 由 を も ち 、 配 給 制 度 に 依 存 し て い な い と い う 意 味 で は 市 場 は 存 在 す る が 、 消 費 財 の 供 給 は 計 画 当 局 ( ゴ ス プ ラ ン ) の 供 給 計 画 に 基 づ い て い る 。 消 費 者 主 権 と い は れ る 様 に 価 格 と 品 質 を 通 し て 消 費 者 の 意 向 が 財 の 供 給 に 影 響 し な い と い う 意 味 で 、 一 市 場 は 不 完 全 で あ り 、 毛 ば し ば 準 市 場 と よ ば れ る の は こ の 故 で あ る 。   労 働 用 役 市 場 に つ い て も 消 費 財 市 場 と 同 様 な こ と が 云 え る 。 農 業 以 外 の 部 門 で は 労 働 者 は 仕 事 に 対 し て 提 供 さ れ る 賃 金 給 与 を 参 考 に し て 仕 事 を 選 択 し た り 、 変 更 し た り す る こ と が で き る 。   ﹁ 賃 金 や 給 与 は 、 長 期 的 に は 計 画 者 に よ っ て 、 計 画                           .                                                                                                (3 ) 者 の 意 図 に 合 致 し て 労 働 者 を 各 種 の 職 業 ・ 熟 練 の レ ベ ル ・ 産 業 及 び 地 域 に 配 置 す る の に 役 だ つ よ う に 定 め ら れ る ﹂ の で あ る 。 し か し 農 業 労 働 に は こ の 移 動 の 自 由 は な い 。 コ ル ホ ー ズ ( 集 団 農 場 ) か ら 自 由 に 脱 退 す る こ と は 許 さ れ て い な い 。   本 源 的 生 産 財 で あ る 土 地 、 及 び 資 本 財 に つ い て は 市 場 は 全 く 存 在 し な い 。 そ こ で は 政 府 の 計 画 当 局 ( ゴ ス プ ラ ン ) の 割 当 に よ っ て 行 政 的 に 資 源 配 分 が 決 定 さ れ る 。 企 業 は 自 主 的 判 断 に 基 づ い て 財 、 用 役 の 購 入 数 量 、 品 目 を 決 定 す る 権 限 を も た な い 。 生 産 に 必 要 な 原 材 料 、 燃 料 の 購 入 数 量 、 購 入 先 、 品 目 、 雇 用 数 、 賃 金 そ し て 投 資 の 多 く を 政 府 と 計 画 当 局 に よ っ て 集 権 的 に 決 定 さ れ 、 一 旦 決 定 し た 指 令 は 企 業 の 自 由 意 思 に よ っ て 直 れ を 変 更 し え な い 。 こ れ が ユ ー ゴ ー を 除 く ソ 連 、 東 欧 社 会 主 義 諸 国 の 資 源 配 分 の 基 本 路 線 で あ る 。 最 近 の 経 済 改 革 に よ っ て 若 干 の 制 度 的 修 正 が 実 施 さ れ 、 実 施 さ れ つ つ あ る が 、 現 時 点 に お い て は 基 本 路 線 に 根 本 的 変 化 は み ら れ な い 。 と こ ろ で 、 市 場 に お け る 価 格 機 構 に よ ら な い 集 権 的 な 資 源 配 分 の 方 法 に よ っ て 有 効 な 資 源 配 分 が 実 現 さ れ た で あ ろ う か 、 ま た 集 権 的 資 源 配 分 を 理 論 的 に 根 拠 づ け る 資 源 配 分 の 経 済 理 論 が 樹 立 さ れ た で あ ろ う か 。 答 え は い つ れ も 否 で あ る 。 カ ン ロ ヴ ィ ツ チ が そ の 著 で ﹁ も っ ぱ ら 突 貫 作 業 一 点 張 り の 無 計 画 に よ る 生 産 量 の 工 場 損 失 は か っ て 可 能 産 出 量 の 二 五 パ ー セ ン ト に 及 ぶ と 評 価 さ れ た 。 よ り 完 全 な 計 画 技 術 と 経 済 計 算 方 法 を 適 用 す る 結 果 と し て 上 記 の 損 失 の 全 体 を 除 去 す る こ と に よ り 、 生 産 の 全 段 階 に わ た る 現 在 あ る だ け の 生 産 能 力 の 最 適 使           社 会 主 義 経 済 と 資 源 配 分 入 門   ω                                                   五 五

          社 会 主 義 経 済 と 資 源 配 分 入 門   ω       ・                                                五 六 用 に 拠 っ て 短 期 間 に 三 〇 ∼ 五 〇 パ ー セ ン ト も の 最 終 生 産 物 の 産 出 を 増 大 す る こ と が 可 能 で あ ろ う 。 そ の よ う な 方 法 論 を 研                                                                 (4 ) 究 し 、 導 入 す る 問 題 が 非 常 に 重 要 で 、 焦 眉 の 急 を 要 す る の は こ の 理 由 に よ る L 吐 述 べ た よ う に 莫 大 な 資 源 の 浪 費 が あ っ た し 、 カ ソ ト ロ ヴ ィ ッ チ 提 案 が 世 に 出 る ま で 国 民 経 済 全 体 の 資 源 配 分 の 理 論 は 明 確 に 定 式 化 さ れ な か っ た と 云 っ て よ い 謁 カ ン ト ロ ヴ ィ ッ チ 提 案 に よ っ て は じ め て 社 会 主 義 経 済 に お げ る 資 源 配 分 の 最 適 計 画 理 論 が 樹 立 さ れ た と い っ て 決 し て 過 言 で は な い 。 カ ン ト ロ ヴ ィ ッ チ は 従 来 踏 襲 さ れ て き た 部 門 別 平 均 費 用 原 理 に 基 く 価 格 形 成 の 方 法 を 全 面 的 に 批 判 し た 上 で 、 線 型 計 画 法 に 基 づ く 資 源 配 分 の 方 法 を 提 案 し た 。 そ の 方 法 は 単 に 工 業 企 業 の 最 適 生 産 計 画 に 止 ま ら ず 、 労 働 資 源 の 配 分 、 天 然 資 源 の 合 理 的 使 用 、 輸 送 計 画 、 更 に 長 期 の 投 資 計 画 の 問 題 に 及 ぶ 。 以 上 で 国 民 経 済 に お け る 資 源 の 浪 費 を 回 避 し 、 こ れ を 経 済 的 に 使 用 す る た め に カ ソ ト ロ ヴ ィ ッ チ 提 案 が 世 に 出 る に 至 っ た 事 情 を 素 描 し た 。 そ れ は 大 不 況 と 失 業 に 悩 ん だ 一 九 三 〇 年 代 初 期 の 欧 米 の 経 済 に 、 そ れ に 対 処 し 、 解 決 、す る 処 方 箋 と し て ケ イ ン ズ の ﹁ 一 般 理 論 ﹂ が 世 に 出 た 事 情 と 経 済 体 制 を 異 に す る と は 云 え 、 似 た と こ ろ が あ る と 云 え よ う 。 ケ イ ン ズ の 一 般 理 論 に も 、 多 く の 経 済 学 者 が そ の 体 系 を 吟 味 し 、 解 説 を こ こ ろ み た 。 こ の 小 論 も そ の ひ そ み に な ら っ て カ ン ト ロ ヴ ィ ッ チ 提 案 を 解 説 す る, こ と に あ る 。   は じ め に 線 型 計 画 法 の 特 徴 を 述 べ て お く 。 線 型 計 画 法 は 通 常 三 つ の 条 件 か ら 構 成 さ れ る 。 第 一 に 、 各 種 の 生 産 資 源 ( 原 材 料 、 燃 料 、 現 存 設 備 、 電 力 等 々 ) が 存 在 し て い る が 、 、 .毛 れ ら 資 源 の 数 量 は 制 限 さ れ て い る 。 第 二 に 、 各 種 の 生 産 物 生 産 に 現 存 資 源 を 生 産 的 に 使 用 す る 技 術 的 方 法 は 既 知 で あ る 。 第 三 に 、 問 題 の 目 的 函 数 が 設 定 さ れ 、 第 一 、 第 二 の 条 件 の 下 に そ の 目 的 函 数 を 最 大 ( 小 ) な ら し め る 必 要 が あ る 。 と こ ろ で 、 制 限 さ れ た 資 源 と 生 産 物 が 多 種 多 様 で あ る 場 合 、 可 能 な 計 画 ヴ ア リ ア ン ト が 無 数 に 存 在 す る 。 こ の 無 数 の 計 画 ヴ ア リ ア ン ト の 中 か ち 最 善 ( 最 適 ) の ヴ ア リ ア ソ ト を 選 択 す 6 に は 、 計 画 ヴ ア リ ア ン ト を 相 互 に 比 較 す る 必 要 が あ る 。 数 百 あ る い は 数 千 の 計 画 ヴ ア リ ア ン ト を 相 互 に 比 較 し 、 最 善 の ヴ ア リ ア ン ト を 選 択 す る こ と は 莫 大 な 労 働 投 入 ど 計 算 時 間 を 必 要 と す る 。 し か も そ の 結 果 選 ば れ た ヴ ア リ ア ン ト が 最 善 で な い か も

                                                                                                          、 し れ な い 。 幸 い 線 型 計 画 法 に よ れ ば 、 問 題 を 数 学 的 に 定 式 化 し 、 一 定 の 計 算 手 順 を 経 て 、 有 限 回 の 計 算 に よ っ て 最 適 計 画 に 達 す る こ と が 可 能 で あ る 。 と こ ろ で 、 こ れ が 線 型 計 画 法 (い 言 ① 胃 即 。 σQ δ ヨ ヨ 冒 σq ) と よ ば れ る 所 以 の も の は 、 上 記 三 つ の 条 件 を 一 次 方 程 式 あ る い は 不 等 式 の 形 式 に 表 現 す る こ と が で き る か ら で あ る 。 以 上 述 べ た 事 を 単 純 な 例 に よ っ て こ れ を 説 明   (5 ) し ょ う 。 第 一 節 図 形 的 接 近   個 1 . -  木 材 加 工 業 で 今 迄 廃 棄 し て き た 木 材 の 屑 を 利 用 す る こ と に 定 め た 。 こ の 木 材 の 屑 に よ っ て 二 種 の 製 品 一 台 座 と 重 ね 棚 一 策1・1表 資 源,投 入,利 潤 品 . 製 生 産物単位当 り投 入率   材 、 ル   ト 方 一 木 立 メ

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  板   ル ヤ   ト ニ 方 一 べ 平 メ

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生 当 座 台 重 ね 柵 原料資源(月) 0.1 0.2 22.0   2,0   0.8 120.0 1.4 1.2 社 会 主 義 経 済 と 資 源 配 分 入 門 の 生 産 が 計 画 さ れ 6 。 こ の 場 合 、 二 つ の 製 品 は 任 意 の 比 率 で 生 産 さ れ る 。 期 首 の 原 料 の 数 量 は 限 定 さ れ て お り 、 且 的 函 数 は 最 大 の 利 潤 量 を 達 成 す る こ と で あ る 。 次 の 第 1 ・ 1 表 に 生 産 物 一 単 位 当 り 投 入 係 数 と 期 首 の 原 料 の 数 量 デ ー タ 及 び 製 品 一 単 位 当 り 利 潤 を 示 し た 。   こ の 二 種 の 製 品 の 産 出 の 組 合 せ は 無 数 に あ る 。 先 に も 述 べ た 様 に こ の 無 数 の 計 画 ヴ ア リ ア ン ト を 相 互 に 比 較 し て 最 適 の 計 画 を 編 成 す る こ と は 、 た と え 成 功 し た と し て も 、 多 大 の 労 力 と 時 間 を 要 す る で あ ろ う 。 二 財 の 場 合 、 線 型 計 画 法 で は 幾 何 学 図 形 に よ っ て こ れ を 解 く こ と が で き る 。 そ の 前 に 問 題 を 数 学 的 に 定 式 化 し て お く 。 、 製 品 一 台 座 、 重 ね 棚 一 の 産 出 数 量 を 聴 ご § と す る 。 第 1 ・ 1 表 に よ っ て 製 品 一 単 位 当 り 木 材 、 ベ ニ ヤ 板 の 投 入 係 数 及 び 制 限 数 量 が 与 え ら れ て い る 。 三 種 の 製 品 の & 丁 爵 の 生 産 数 量 に 要 す る 木 材 の 物 的 総 投 入 は O ・ 冒 一+ O 論 § で あ り 、 .ベ ニ ヤ 板 の 物 的 総 投 入 は N β + O ●。。 菩 と な る 。 そ れ は 木 材 、 ベ ニ ヤ 板 の 所 与 の 制 限 量 を 越 え て は な ら な い 。 故 に O ・冒 一+ O ﹄ 爵 く 悼 b。 " b。 3           ω                                               五 七

第1・1図 社 会 主 義 経 済 と 資 源 配 分 入 門 D 、 、 ' ・E

臨

 

 

 

 2

、 、 、 、 4F 、 、  、、、   、   、 δ ・、 ＼ A 20  40  60   80 100120140160180200220X,ロ 為 励 蜘 拗 B 蜘 ・・ ㏄ ・・ 2・ ・ の 点 を 発 見 せ ね ば な ら な い 。 そ の た め と が で き る 。 次 に 、 お 11 0 と お く と 線 が 第 一 の 方 程 式 O ●冒 一 + O ・b。 爵 11 b。 b。 限 さ れ た 資 源 の 木 材 が 完 全 に 使 用 さ れ る 点 で あ る 。 点 A は 台 座 の み を 作 る た め に 、 使 用 さ れ る 点 で あ り 、 直 線 A B 間 の 他 の 点 は 台 座 、 っ て 、 直 線 A B と 座 標 軸 に よ っ て 形 成 さ れ る 三 角 形 A B O 内 部 の 点 は 木 材 の 制 限 量 を 超 え な い で 二 種 の 製 品 を 生 産 し う る 生 産 可 能 領 域 で あ る 。 し か し 直 線 A B の 外 に あ る 、 例 え ば 、 F の よ う な 点 で は 木 材 の 制 限 量 を 超 え 、 生 産 で き な い 生 産 不   ω                           . ,              五 八 + O ・① § ︿ お O と い う 制 約 式 が 成 立 し 、 問 題 は こ の 制 約 条 件 の 下 で 総 利 潤 を 最 大 に す る こ と で あ る 。 生 産 物 一 単 位 当 り 利 潤 は 第 r ・ 1 表 に 与 え ら れ て い る か ら 、 総 利 ﹁ 潤 ピ 嘗 一+ ピ b。 爵 を 最 大 に す る こ と 歪 あ る 。 ㍉ 数 学 的 に こ れ は 次 の 簡 単 な 形 式 に 定 式 化 す る こ と が で き る 。         O ﹄ き 十 〇 .bo 爵 く 卜◎ 卜Ω         b◎ 聴 一十 〇 ・Q。 爵 く 感 O           琶 一V O ︾ 避 V O の 条 件 の 下 に 、 総 利 潤 ピ 豊 門 + μ ・卜。 菩 を 最 大 に す る こ と で あ る 。   次 に 、 上 記 の 数 学 的 不 等 体 系 を 幾 何 学 図 形 で 示 す こ と に し ょ う 。 直 角 座 標 の 横 軸 に 台 座 の 数 量 瑚 を と り 、 縦 軸 に 重 ね 棚 の 数 量 碗 を と る 。 第 一 の 不 等 式 か ら え た 方 程 式 9 冒 一 + O .曽 塾・ n b。 N を 図 形 上 に 表 現 し ょ .う 。 こ の た め に 直 線 が 座 標 軸 を き る 二 つ   § " O と お く と & 一11 b。 b。 十 〇 μ 11 b。 時 O . と な り 、 ・ 水 平 軸 に ④ に 対 応 す る 点 A を う る こ 融 。・ 11 B + O .b。 11 = P と な り 、 垂 直 軸 に 娩 に 対 応 す る 点 B を う 惹 。 , こ の A 、 B を 結 ぶ 直 に 対 応 す る 直 線 で あ る 。 こ の 直 線 上 の 点 は 製 品 、 台 座 、 重 ね 台 を 生 産 す る た め に 制                                         B 抵 重 ね 棚 を 作 る た め に 木 材 が 完 全 に             重 ね 棚 の 双 方 を 作 る た め に 木 材 が 完 全 に 使 用 さ れ る 点 で あ る 。 し た が

可 能 な 領 域 で あ る 。   同 様 の ご と が 、 第 二 の 方 程 式 卜。 8 一 + O .。。 爵 11 一 ト。 O に つ い て も 云 え る 。 こ れ は 別 の 制 限 さ れ た 資 源 で あ る ベ ニ ヤ 板 の 数 量 を 完 全 に 使 用 し 二 つ の 製 品 を 生 産 し た 場 合 の 生 産 可 能 領 域 を 決 定 す る 。 こ れ は 第 一 の 方 程 式 と 同 じ 推 理 に よ っ て 三 角 形 C D O を 形 成 す る 。 こ の 三 角 形 の 内 部 の 点 は ベ ニ ヤ 板 の 不 完 全 使 用 の 場 合 に 対 応 す る 。   さ て こ の 二 つ の 三 魚 形 に よ っ て 形 成 さ れ る 四 角 形 O C E B は 木 材 、 ベ ニ ヤ 板 二 つ の 制 限 さ れ た 資 源 量 の 範 囲 で 二 財 、 台 座 、 重 ね 棚 を 生 産 し う る 生 産 可 能 領 域 で あ る 。 我 々 の 求 め る 点 ( あ る い は 線 ) は 生 産 可 能 領 域 の 中 か 、 あ る い は こ の 四 辺 形 の 辺 上 に な け れ に な ら な い 。 し か し そ の ど こ で も 良 い と い う こ と で は な い 。 目 的 函 数 で あ る 総 利 潤 の 方 程 式 H .賢 一 + ド 曽 b・ を 最 大 な ら し め る 必 要 が あ る 。 す な わ ち 、 無 数 に あ る 実 現 可 能 な 計 画 ヴ ア リ ア ン ト か ら 総 利 潤 を 最 大 な ら し め る 最 適 の ヴ ア リ ア ン ト を 選 択 す る こ と が 当 面 の 課 題 で あ る 。 い ま 仮 に こ の 目 的 函 数 の 式 に 一 定 の 数 値 を 与 え る な ら ば 、 そ の 関 係 式 ・ 第 ⋮ 図 ㊨ 図 形 走 表 わ す .・ と が で き る 。 仮 に H ・幽 8 一 + 目 ﹂・。 聴 ・・ " μ ・。 。 ( + 二 万 円 ) を 仮 定 。 、 .. れ 塒 応 ず る 直 線 を ひ く 。 そ し て こ れ を 利 潤 曲 線 一 こ の 場 合 は 直 線 と な る 一 と よ ぶ こ と に す る 。 あ き ら か に 、 こ の 直 線 は 点 卸 11 0。 ㎝ 絢 と び 11 μ O O で 座 標 軸 を 切 る 。 こ れ は 図 形 上 に 点 線 で 示 さ れ た 。 こ の 直 線 上 の い か な る 点 も 総 利 潤 十 二 万 円 を 生 ず る 。 第 1 . 1 図 の 利 潤 曲 線 の 位 置 か ら あ き 与 か な よ う に 、 こ の 直 線 が 原 点 0 か ら 遠 ざ か る に し た が っ て 利 潤 は 大 な る こ と が 分 か る 。 し か し 使 用 資 源 量 に 制 限 が あ る か ら ㌣ 無 限 に 利 潤 曲 線 を 原 点 か ら 遠 く に と る こ と が で き な い 。 利 潤 直 線 を 平 行 移 動 す れ ば 、 点 E が 総 利 潤 最 大 の 点 で あ る こ と が 判 る 。 と こ ろ で 点 E の 座 標 は 先 の 制 限 資 源 量 の 制 約 条 件 を 示 す 二 つ の 方 程 式 を 同 時 に 満 足 す る こ と は あ き ら か で あ る 。 し た が っ て 、         O ・H 融 一 十 〇 b 聴 噂・ 11 、 bの N         N 聴 一 十 〇 ●曽 h。  ー-目 N O         ・ 社 会 主 義 経 済 と 資 源 配 分 入 門 ω                                                 五 九           M

                                                                                                        、           社 会 主 義 経 済 と 資 源 配 分 入 門 ①                                               六 〇 の 連 立 方 程 式 を 解 い て え た 、 き H b。 9 爵 " H O O が 、 点 E の 座 標 で み る 。 か く し て 、 木 材 、 ベ ニ ヤ 板 の 所 与 の 制 限 さ れ た 量 の 条 件 の 下 で は 、 台 座 二 〇 、 重 ね 棚 一 〇 〇 を 産 出 し 、 そ の 結 果 え ら れ る 利 潤 は H ・ら × N O + け N × HO O H 置 。ひ ▽ 一 四 八 ・ ○ ○ ○ 円 の 最 大 利 潤 を え た こ と に な る 。 他 の 如 何 な る 計 画 ヴ ア リ ア ン ト も こ れ よ り 大 な る 総 利 潤 を え る こ と が で き な い β し た が っ て こ の 解 が 最 適 解 で あ る 。   以 上 に よ っ て 最 初 提 起 さ れ た 問 題 ( 原 問 題 ) は 完 全 に 解 か れ た 。 し か し 今 一 つ の 問 題 ( 双 対 問 題 ) を 考 え る こ と に よ っ て 線 型 計 画 法 の 特 質 を ﹂ 層 あ き ら か に す る こ と が で き る 。 こ の 問 題 で 原 材 料 資 源 の 木 材 、 ベ ニ ヤ 板 を 製 品 ㊨ 原 料 と し て 使 押 す る の で な く 直 接 販 売 し う る 可 能 性 が あ る と し ょ う 。 こ の 場 合 、 売 手 企 業 は 中 央 か ら 指 示 さ れ る 価 格 の 各 種 ヴ ア リ ア ン ・ 下 を 検 討 す る に ち が い な い 。 す な わ ち 、 木 材 及 び ベ ニ ヤ 板 の 供 出 価 格 が い く ら で あ れ に そ れ を 直 接 販 売 す る 方 が 製 品 一                                                                           ノ                            台 座 、 重 ね 棚 一 の 販 売 よ り も 、 利 潤 が 小 さ く な る か が 、 問 題 で あ る 。 い ま 木 材 一 立 方 メ ー ト ル の 価 格 を 釦 、 ベ ニ ア 板 一 平 方 メ ー ト ル の 価 格 を 施 と し ょ う 。 と こ ろ で 、 第 1 ・ 1 表 に 示 し た 様 に 企 業 は 台 座 一 単 位 に つ い て 一 、 四 〇 〇 円 の 利 潤 を 、κ る 。 企 業 に と っ て 一 個 の 台 座 に ふ く ま れ る 原 料 の 直 接 販 売 が 一 、 四 〇 〇 円 よ り 小 で な い と き 、 直 接 販 売 し て も 損 で は な い 。 換 言 す れ ば 、 次 の 条 件 、 O ・ ζ 一 + 躇 。・V μ ﹂ が 維 持 さ れ る よ う に 供 出 価 格 黛 丁 壽 が 設 定 さ れ て お ら ね ば な ら な い 。 、 ・   同 一 の 価 格 が 他 の 条 件 を も 満 た さ な く て は な ら な い 。 重 ね 棚 一 個 の 製 造 原 料 で あ る 木 材 、 ベ ニ ヤ 板 の 売 り 上 げ 高 も ま た 重 ね 棚 の 販 売 利 潤 よ り も 小 で あ っ て は な ら な い 。 こ の 条 件 は 次 の 不 等 式 O ●b。 曾 + P 留 b・V μ b に よ っ て あ ら は さ れ る で あ ろ う o   云 う ま で も な く 非 常 に 価 格 が 高 け れ ば 、 以 上 の 不 等 式 を み た す に ち が い な い 。 し か し 売 手 企 業 は 企 業 の 利 益 が 守 ら れ て い る か ぎ り 一 買 手 が 購 入 原 料 の 総 価 値 額 を 最 小 に す る よ う な 価 格 で も 受 入 れ る で あ ろ う 。 す な わ ち 、 売 手 、 ,買 手 双 方 の 利, 益 を 考 慮 し た 価 格 を 発 見 す る た め に は 次 の 問 題 を 解 か ね ば な ら な い ゆ

      O ・ζ 一+ b◎ 審   ︾ ピ 昌       9 b⊃ 陀 一 十 〇 .◎◎ 旨 V ド bQ         呂 V P 書 ︾ O の 条 件 の 下 に 、     、  卜。 母 写 這 O 旨 を 最 小 に す る こ と で あ る 。   さ て 、 こ の 新 し い 周 題 を 解 く に 当 っ て 、 再 び 図 形 的 接 近 に よ る こ と に し ょ う 9 第 二 図 に お い て 横 軸 に 飴 を 、 縦 軸 に 施 を と る 。 前 と 同 様 に 直 線 閑 い は 方 程 式 O ﹂ 黛 一 + 逡 。・ 11 卜 心 に 、 直 線 ζ Z は 方 程 式 O '母 μ + O ●留 塾・ 11 一 ・b。 に 、 夫 々 対 応 す る 。 と こ 第1・2図 P         、 、     、       、 、     、 、     、 、     、             、   、         、 、   、           、 、             、 、                  、

悉

  、 、 い ・ 、   、 ＼ 、 ＼ 、 N 1.6. 1。4. 1.乞. 1.0. 0,8.   L O.6. 0.4. 0.2・ 合 10  12  14  16Y 6 4 2 Y2 0 標 軸 を 点 曾 11 α ・心 9 欝 " μ の 点 で 切 る ( 第 1 ・ 2 図 )。           社 会 主 義 経 済 と 資 源 飼 分 入 門 ω ろ で 、 こ の 新 し い 問 題 で は 、 不 等 式 は 前 の 不 等 式 と 不 等 号 が 逆 に な っ て お り 、   ﹁ よ り 大 な る か 、 あ る い ぼ 等 し い ﹂ と い う 性 質 を も っ て い る 。 し た が っ て 、 こ の 場 合 実 行 可 能 な 解 の 領 域 は 制 約 条 件 を あ ら は す 直 線 国 ダ ζ Z の 交 点 を P と す れ ば そ れ ら に よ っ て 形 成 さ れ る 境 界 囚 ℃ Z 上 か あ る い は そ の 外 側 に な け れ ば な ら な い 。 図 か ら あ き ら か な 様 に 、 こ の 領 域 は 無 限 大 に                       へ 拡 が っ て い る 。 す な わ ち 、 木 材 、 ベ ニ ヤ 板 の 供 出 価 格 は い く ら 高 く て も こ の 不 等 式 を 満 足 す る 。   目 的 函 数 を 表 ら は す 方 程 式 b。 醇 隔 + 旨 O 壽 を 最 小 に す る 価 格 を う る た め に そ の 数 量 を 仮 に = 一万 円 と し 、 そ れ に 対 応 す る 直 線 を ひ い て み よ う 。 こ の 直 線 は 買 手 企 業 に と つ ,て 費 用 曲 線 1 こ こ で は 直 線 i で あ る 。 直 線 は 座       あ き ら か に こ の 直 線 は 問 題 の 解 を 与 え な い 。 け だ し 、 実 行 可 能 な

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

室

          社 会 主 義 経 済 と 資 源 配 分 入 門   ①                             -、  ,      ,      六 二 解 の 領 域 よ り ず っ と 下 の 方 に あ る か ら で あ る 。 い ま こ の 直 線 を 上 方 に 平 行 移 動 す る と 点 P を 切 る 直 線 を う る で あ ろ う 。 点 P の 座 標 が 問 題 の 解 で あ る 。 点 P の 座 標 を 決 定 す る に は 直 線 囚 い ︾ ζ Z を 表 ら は す 二 つ の 連 立 方 程 式 体 系 、         O ・ζ 一十 b◎ 壽 " ド ﹂         O ・bQ 3 十 〇 ●c◎ 牌 " ビ N を 解 け ば よ い 。   こ れ を 解 い て 、 セ 一 11 ら " 書 11 9 α を え る 。 こ れ 傭 も し 木 材 一 立 方 メ ー ト ル 四 、 ○ ○ ○ 円 、 ベ ニ ヤ 板 一 平 方 メ ー ト ル 五 〇 〇 , 円 と い う 価 格 を つ け る な ら ば 、 売 手 企 業 は 損 を し な い で 原 料 を 直 接 売 る こ と が で き る 。 そ の 際 買 手 は 原 料 の 入 手 総 量 に 対 し て 次 の 最 小 費 用 を 支 払 う こ と に な る 9         鱒 N × 幽 十 這 O × 9 α 11 H 躯 ◎o 買 手 企 業 は 売 手 企 業 に 対 し て 一 四 八 、 '○ ○ ○ 円 を 支 払 う こ と に な る 。 あ き ら か に こ の 額 は 最 初 の 問 題 の 目 的 函 数 で あ る 利                                                               カ 潤 方 程 式 を 最 大 に す る 値 と 等 値 で あ る 。 こ の 両 者 が 一 致 す る 事 実 は 決 し て 偶 然 で は な い σ   第 二 節 線 型 計 画 法 の 一 般 的 数 学 形 式 以 上 の 簡 単 な 例 に よ っ て 線 型 計 画 法 の 骨 子 を 述 べ た 。 次 に 今 ま で 述 べ て き た こ と を 一 般 的 に 定 式 化 し て お こ う 。 そ の 量 が 缶 ご 缶 き 出 。⋮ ⋮ 缶 ミ の 大 き さ に 制 限 さ れ て い る m 個 の 各 種 稀 少 資 源 を 使 用 し て η 種 類 の 財 を 生 産 す る も の と す る 。 π 種 類 の 財 の 産 出 量 を 8 ご 爵 " .⋮ ⋮ § に よ っ て 表 は す 。   次 に 各 種 生 産 物 一 単 位 当 り 各 資 源 の 投 入 係 数 は 既 知 で あ る 。 こ れ は 次 の 行 列 形 式 で 与 え る の が 便 利 で あ る 。

  

  

一

落

羅

 

轡-﹁

.

.

・・ 

二

ノ   遣 こ で 殉 は 第 一 生 産 物 一 単 位 当 り 第 一 資 源 の 投 入 量 で あ り 、 免 は 第 二 生 産 物 の 生 産 物 一 単 位 当 り 第 一 資 深 の 投 入 量 で あ . る 。 そ の よ う な 行 列 は 全 部 で ミ × 嵩 個 の 投 入 係 数 を ふ く ん で い る 。 ま た 問 題 に は 各 種 の 生 産 物 一 単 位 当 り 利 潤 ら 一り ら ジ 6 ω ⋮ ⋮ 身 が 与 え ら れ て い る 。   問 題 は 資 源 の 投 入 量 が そ の 所 与 の 量 を 超 え な い と い う 制 約 条 件 の 下 で 、 総 利 潤 が 最 大 に な る ぼ う に 生 産 物 の 産 出 水 準 鞠 一 ︾ § ︾ 聴 。 ︾ ⋮ ⋮ § の 値 を 発 見 す る こ と で あ る 。 数 式 で 表 現 す れ ば 、         轟 = § 十 3 噂。§ 十 3 覧 9 十 ⋮ ⋮ ・ポ ・⋮ ⋮ ⋮ 十 島 冒 § 髄 く 郎 一         黛 b・一 § 十 § N§ 十 δ も m 十 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 十 禽 旨 鷺 旨 く ︾ 昏・         斜 ω 一3 + 犠 器 爵 + 爵 も ω + ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ : ・⋮ + 食 器 § ︿ 奮         喬 茎 8 一 十 自 謹 聴 "。+ 斜 § 8 。 十 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 十 貸 § も 鵠 く 餌 § の 条 件 の 下 に 、         ♪ き   十 含 8 心。 十 8 8 ω 十 ・: : ・: : ・: ・: : 十 身 聴 鵠 を 最 大 に す る こ と で あ る 。 行 列 表 現 に よ れ ば 、

︻羅

一毯

[雛

[穿

匙

と な る 。           社 会 主 義 経 済 と 資 源 配 分 入 門 ω                                                 六 三

          社 会 主 義 経 済 と 資 源 配 分 入 門   ω                         .                        六 四   こ の 問 題 に は π 個 の 未 知 数 ( π 種 の 生 産 物 の 産 出 水 準 ) と 解 個 の 稀 少 資 源 の 数 量 に 関 す る 不 等 式 の 制 約 条 件 が ふ く ま れ て い る 。   こ の 原 問 題 に 対 応 し て 、 、第 二 の 問 題 は 任 意 の 種 類 の 産 物 一 単 位 当 り の 投 入 資 源 の ﹁ 費 用 ﹂ が 、 生 産 物 一 単 位 当 り 利 潤 よ り も 小 で は な い と い う 条 件 の 下 に 、 現 在 の 資 源 投 入 総 量 が 最 小 に な る よ う に 、 各 種 資 源 の 評 価 黛 ご 欝 " 茎 " : ⋮ 受 ・ の 値 を 定 め る 問 題 で あ る 。 数 学 的 に は こ の 問 題 は 次 の よ う に 定 式 化 さ れ る 。         3 乾 一 十 禽 受 。・ 十 爵 一ヒ ω十 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ : ・⋮ 十 縞 蕊 一隻 ミ V ♪     ,  3 b・黛 一 十 § 時・書 士 a 器 3 十 ⋮ ・ ・⋮ ⋮ ⋮ ・⋮ ⋮ ⋮ 十 窺 謹 黛 蕊 V 8         ⋮  .・ ⋮ ● O  ・●  ・O ・ . ●・  ・ ●●  O. ・・ .・  . ・ O ● ・  ・ . ●●  ●. ・ . ●● ●● ●・ ・⋮ ●・ ●・ げ ・ ・ ●⋮ .・  .9 0● ・0         3 遭 3 十 禽 蔓 "・ 十 壽 蔓 ω 十 ・: ・⋮ ・: ⋮ : ⋮ ⋮ ⋮ 十 斜 § 黛 蕊 ︿ 2         ヒ V O の 条 件 の 下 に 、         ﹀ 黛 一十 S 塾・旨 十 卜 蔓 ω 十 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ : ・⋮ 十 墨 ミ 黛 蕊 を 最 小 に す る 問 題 で あ る 。 こ れ を 行 列 形 式 で 表 わ せ ば 次 の よ う に な る 。

羅

擁

壁

∵

臓

ノ   こ れ ら 二 つ の 問 題 を 比 較 し て み よ う 。 第 一 の 問 題 は 最 大 問 題 で あ り 、 第 二 の 問 題 は 最 小 問 題 で あ る 。 制 約 式 に つ い て み . よ う 。 第 一 の 問 題 の 制 約 式 に は η 個 の 未 知 数 と " 個 の 制 約 式 が あ る 。 第 二 の 問 題 の 制 約 式 に は 彿 個 の 未 知 数 と π 個 の 制 約 式 が あ る 。 し か も 不 等 号 の 向 き は 反 対 で あ る 。 第 一 の 問 題 の 制 約 式 の 右 辺 の 数 値 は 第 二 の 問 題 の 目 的 函 数 の 係 数 と な っ て お り 、 第 二 の 問 題 の 制 約 式 の 右 辺 の 数 値 は 第 一 の 問 題 の 目 的 函 数 の 係 数 と な っ て い る 。 第 二 の 問 題 の 制 約 式 の 係 数 行 列 は 第 一 の 問 題 の 制 約 式 の 係 数 行 列 と く ら べ て あ き ら か な よ う に 、 第 一 の 問 題 の 係 数 行 列 の 行 と 列 と を 取 換 え た 所 謂 転 置 行 列 で あ る 。 ご の よ う に 二 つ の 問 題 は 互 に 対 を な し て お り 、 目 的 函 数 の 解 の 値 も 等 し い 。 第 一 の 問 題 を 原 問 題 ( 空 目 9 中 。 ﹃ ﹃ ヨ ) あ る い は 直 接 問 題 と よ び 、 第 二 の 問 題 を 双 対 問 題 ( ∪ 二 9 ℃ δ げ 冨 ヨ ) と よ ぶ の は こ の 故 で あ る 。 こ の 問 題 で は 原 問 題 は 生 産 物 産 出 の 最 適 計 画 を 、 双 対 問 題 は 使 用 す る 稀 少 資 源 の 最 適 評 価 体 系 を 与 え る 。 こ の 最 適 評 価 体 系 が ﹁ 潜 存 価 格 ﹂ あ 6 い は カ ン ト ロ ヴ ィ ッ チ の ﹁ 客 観 的 に 条 件 づ け ら れ た 評 価 ﹂ で あ り 、 そ の 著 ﹁ 社 会 主 義 経 済 と 資 源 配 分 ﹂ に お い て 、 最 適 計 画 編 成 の 基 本 概 念 で あ る 。 そ の 国 民 経 済 の 計 画 編 成 に お け る 重 要 性 は 次 第 に あ き ら か に な る で あ ろ う 。 第 三 節   シ ン プ レ ッ ク ス 方 法   例 1 ・ 1 で は 二 変 数 の 場 合 を 平 面 図 で 表 ら は し ﹂ 視 覚 に よ っ て こ の モ デ ル の 最 適 解 を 理 解 す る こ と が で き た 。 し か し 平 面 図 形 に よ る 方 法 は 二 変 数 の 場 合 に か ぎ ら れ 三 変 数 に な れ ば 空 間 図 形 に よ ら ね ば な ら な い 。 更 に 三 変 数 以 上 に な れ ば 図 形 に よ っ て こ れ を 表 ら は す こ と が で き な い 。 そ こ で 多 変 数 の 場 合 の 線 型 計 画 法 の 一 般 的 解 法 と し て シ ン プ レ ッ ク ス 方 法 が G ・ ダ ン テ 憎 ヒ に よ っ て 創 案 さ れ た 。 こ の 方 法 の よ っ て た つ 理 論 は か な り 複 雑 で あ る が 、 ﹂そ の 実 際 的 適 用 は 算 術 的 操 作 を 必 要 と す る に す ぎ ず そ の 修 得 は 左 程 困 難 で は な い 。 以 下 こ れ を 具 体 的 な 数 値 例 に よ っ て 説 明 す る 。   ロ   伊 1 . 2   企 業 に よ っ て 生 産 さ れ る 三 種 の 生 産 物 A 、 B 、 C に 無 限 の 販 路 が あ る も の と 仮 定 す る 。 こ れ ら 三 種 の 生 産 物 の 産 出 水 準           社 会 主 義 経 済 と 資 源 配 分 入 門   ω       .                                          六 五

、 1 ,投 入,価 値 社 会 主 義 経 済 と 資 源 配 分 入 門 第1・2表 資 源 各種生産物単位 当り資 源投 入係数 C B A 資源量 各 種 資 源 4 20 1 1 7 憾 2 1 5 10 5 2 24 80 10 6 原 料(キ ログ ラム) 材 料(キ ログ ラム) 第 一 種 設 備(単 位) 第 二 種 設 備(単 位) 8 12 18 生産物の単位価値 ・(千円) こ れ ら 制 約 式 の 下 で 、 生 産 さ れ る 生 産 物 の 総 価 値 額 、   シ ン プ レ ッ ク ス 方 法 に よ り 問 題 を 解 く た め に は 、 に 各 不 等 式 の 左 榎 に ス ラ ッ ク 変 数 (ω 一、 。厚 く 箇. 一節 玄 。 ・。) を 追 加 す る 。 て 四 つ の ス ラ ッ ク 変 数 鷺 ご 8 ヨ         α 3 十 刈 穂 "・十 戯 鞠 。 十 掬 凸         目 0 3 十 α 8 "。 十 N O 賢 ω十         ω                                         六 六 は 企 業 に 所 与 の 資 源 -原 料 、 材 料 及 び 二 種 の 設 備 1 の 数 量 的 制 約 に よ っ て 制 限 さ れ て い る 。 企 業 は 各 種 生 産 物 の 総 価 値 額 が 最 大 に な る よ う な 産 出 水 準 の 決 定 に 関 心 を も ウ も の ﹁ と す る 。 問 題 の 数 値 デ ー タ は 第 1 ・ 2 表 に 示 さ れ て い る 。                                                 こ こ で 設 備 一 単 位 に よ っ て 機 械 作 業 時 間 、 機 械 交 替 制 を 、 生 産 物 一 単 位 に よ っ て 製 品 一 個 で は な く 一 〇 〇 あ る い は 一 、 ○ ○ ○ 個 等 々 を 意 味 す る も の と す る 。                   カ   例 1 ・ 1 で こ こ ろ み た よ う に 第 一 、 二 表 の 条 件 を 数 学 的 に 定 式 化 し よ う つ 生 産 物 ム 、 B C そ れ ぞ れ の 未 知 の 産 出 量 を 8 一 り 爵 鴇 § と し ょ う 。 制 約 条 件 を 表 わ す 不 等 式 体 .系 は 次 の よ う に な る 。           α 穂 一十 刈 & 。。十 戯 & ω︿ bQ 海         H O 拳 十 α § 十 bo O 8 。︿ oQ O           α 参 十 b∂ 聴 噂。 十 穏 ω ︿ 昌 O                           、               ・             、           bσ 琶 一十 8 b・ 十 & ω ︿ ①                                                     ・  '                     H 。。 ◎ + H b。 § + 留 ω、 の 目 的 函 数 を 最 大 に す る の が 当 面 の 問 題 で あ る 。                   ま ず 初 期 の 不 等 式 体 系 を 方 程 式 体 系 に 変 換 せ ね ば な ら な い 。 こ の た め                               こ こ で ス ラ ッ ク 変 数 は 正 あ る い は 零 に 等 し い 。 全 体 と し   壽 り 及 び 勘 が 導 入 さ れ る 。 か く し て 次 の 方 程 式 を え る で あ ろ う 。             11 b◎ 魁 十 詣         闘 Q。 O O

. 、 第1・3表  シ ン プ レ ック ス方 法 に よる直 接 及 び双 対 問 題 の解 蜘 1 一    -   3 {6 ﹃U﹂そOO82200Lα0,2

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儒  一 物 ﹂ 優 0 1 1  2 8     2 乃31800 嘱    4 86﹂404U乳q軌  1   一 1 勉 7 5 2 1 12     '4 ワ臼510。q 姻 1 1 笥 FO O 5 9 一  1 18 1 1 1 画 計 84 0 0 6281 4 0 ウ臼 ウ臼-ρ0    O O 4 強 β2β。42701  5 1 5 1 り0 に る 画け 数 計お変 4  5   6   7 劣労κズ C 4  5   1   7 κ劣κκ C 2   5   1   7 κκκ ズ C 2  5  1  3 κκ∬劣 C 物 産 生源 種資 各 と 料 料 備 備   設 設   種種   ーウ臼 原材第第 科料 A 備

脇

原材 生 第 B 料 A 備

鶴麟

生 材 生 第 B 料 A C 物物物 産産産 生材生生

㌘

画 ア 計 り ω ② ③ ω 社 会 主 義 経 済 と 資 源 配 分 入 門   ω .       α 聴 一 十 卜⊃ 爵 十 令 ω 十       十 壽     11 δ       悼 聴 一十 8 。。 十 h 。                十 8 剛 11 0     ス ラ ッ ク 変 数 の 経 済 学 的 意 味 は な に か 。 そ れ は 未 使 用 の 資 源 量 を 表 ら は す 。 未 使 用 の 資 源 量 を 追 加 す る こ と に ,   つ よ て 、 各 不 等 式 の 左 辺 は 制 約 さ れ た 資 源 量 と 等 し く な る 。 す な わ ち 、 不 等 式 は 方 程 式 に 転 換 さ れ る 。 若 し 、 計 画 が す で ・に 資 源 を 完 全 に 使 用 し て い る な ら ば 、 ス ラ ッ ク 変 数 は 零 に な る o   第 1 ・ 3 表 は 所 謂 シ ン プ レ ッ ク ス 表 で あ る 。 こ の 表 の 計 画 ヴ ア リ ア ン ト ω の 行 に は 初 期 条 件 が 示 さ れ て い る 。 第 1 ・ 2 表 と 第 1 ・ 3 表 の 計 画 ヴ ア リ ア ン ト ω の 行 を み る と 最 初 の 記 入 の 原 則 を 容 易 に 理 解 す る こ と が で き よ う 。   ﹁ 原 料 ﹂ の 行 に は 原 料 の 制 約 数 量 二 四 キ ロ グ ラ ム と 生 産 物 A 、 B 、 C 一 単 位 当 り 原 料 の 投 入 係 数 、 5 、 7 、 4 が 記 入 さ れ る 。 す な は ち 、 原 料 投 入 の 方 程 式 、                                   ,       bこ 昏 H α 8 一 十 刈 & さ。 十 蔭 R ω 十 8 ↑ . が 記 入 ざ れ る 。 他 の 各 種 資 源 に つ い て も 同 様 で あ る 。 ・ ト ま た C の 行 は 目 的 函 数 の 行 で あ っ て そ の 係 数 が 記 入 さ                             六 七

          社 会 主 義 経 済 と 資 源 配 分 入 門   ω                                                       六 八 れ る 。 目 的 函 数 が 利 潤 最 大 で あ れ ば 、 そ の 係 数 ( こ ζ で は 一 八 、 一 二 、 八 ) は 一 単 位 当 り 利 潤 で あ り 、 そ の 係 数 が 負 に な . れ ば 、 そ れ 以 上 産 出 量 を 増 す こ と は 総 利 潤 を ひ き 下 げ る こ と に な る 。   シ ン プ レ ッ ク ス 表 の ﹁ 計 画 ﹂   ( 許 容 解 、 実 行 可 能 解 ) の 列 の 変 数 は 一 定 の 数 値 を と る 。 す な わ ち 、 8 一 11 P 爵 11 ρ 爵 11 P き H bΩ 倉 8 。 n O。 ρ 穂 。 H μ P & 司 n ① で あ る 。 あ き ら か に 、 こ の 計 画 に は す べ て の 基 本 的 変 数 ( 聴 ご 爵 " 爵 ) は 入 っ て い 毎 い 。 一 方 ス ラ ッ ク 変 数 は 各 種 資 源 の 所 与 の 数 量 と 同 じ 数 値 を と る 。 ス ラ ッ ク 変 数 は 資 源 の 未 使 用 量 を 示 す 変 数 で あ る か ら こ の こ と は 生 産 が 全 然 行 は れ ず ( し た が っ て 各 種 資 源 が 全 く 生 産 に 投 入 せ ら れ な い で 、 遊 休 状 態 に あ る こ と を 意 味 す る 。 生 産 が 全 く 行 は れ て い な い か ら 当 然 目 的 函 数 で あ る 利 潤 σ 値 は 零 で あ る 。 シ ン プ レ ッ ク ス 方 法 の 初 期 条 件 は こ の よ う な 状 態 か ら 出 発 す る 。     9            '    ・   さ て 問 題 を 解 く 過 程 で 、 最 適 計 画 が え ら れ る ま で 、 計 画 に 基 本 的 変 数 が 遂 次 導 入 さ れ る 。 こ の 際 各 段 階 で た だ 一 つ の 変 数 を 導 入 す る 。 そ れ と 同 時 に あ る 一 つ の 変 数 が 基 底 か ら 排 除 さ れ る 。 結 果 と し て ﹁ 計 画 ﹂ に は 問 題 の 制 約 条 件 の 数 に 等 し い 変 数 が ふ く ま れ る こ と に な る 。   最 適 解 に 至 る 第 一 段 階 と し て 基 本 変 数 の 中 か ら 任 意 の 変 数 を 計 画 に 導 入 す る こ と が で き る が 、・ 目 的 函 数 で 最 大 の 正 の 係-数 を も つ 基 本 変 数 を 生 産 に 導 入 す る こ と か ら 出 発 す る の が 妥 当 で あ る 。 あ き ら か に そ の 様 な 変 数 は 亀 ( そ の 係 数 は 一 八 ) で あ る 。 ・こ れ は 生 産 物 A を ま ず 生 産 に 導 入 す る こ と が 、 他 の 生 産 物 B 、 C を 導 入 す る よ り も 自 酌 函 数 を 大 に す る こ と を 意 味 す る 。             、 .          ` ﹁                                  、 ・   か く し て 第 一 段 階 で 計 画 に 変 数 勘 ( 生 産 物 為 ) を 導 入 す る 。 こ の 生 産 物 為 の 産 出 水 準 に つ い て ど れ だ け の 数 量 の 産 出 計 画 を た て る べ き か 。 .遣 れ ば あ き ら か に 資 源 の 所 与 の 数 量 と 投 入 係 数 に 依 存 し て い る 。 各 種 の 制 約 資 源 に つ い て こ れ を 検 討 し て み よ う ゆ 原 料 に つ い て は 生 産 物 A の 生 産 は 心。 蔭 + α H 膳 .。。 単 位 が 、 材 料 に つ い て ぱ ℃。 〇 + 日 O H 。。 単 位 が 、 第 一 種 の 設 備

は 邑 十 〇 H bΩ 単 位 が 、 第 二 種 設 備 に つ い て ば ① 十 b。 H ω 単 位 を 生 産 す る こ と が で き る こ と を 示 し て い る σ あ き ら か に 生 産 物 為 の 生 産 は 二 単 位 の 生 産 に よ っ 、て 第 一 種 設 備 を 完 全 使 用 し た こ と に な り 、 他 の 資 源 が 未 使 用 で あ っ て も 、 そ れ 以 上 生 産 物 A を 生 産 で き な い 。 と こ ろ で 第 一 種 設 備 の ス ラ ッ ク 変 数 は 魂 で み る か ら 変 数 銑 を 計 画 に 導 入 す る 代 り に ス ラ ッ ク 変 数 端 rを 基 底 か ら 外 せ ば 、 第 一 種 設 備 は 完 全 に 使 用 さ れ る こ と に な り 、 そ の 結 果 鞠 は 零 に な る 。   列 苅 ( 導 入 さ れ る 変 数 ) と 行 輪 ( 除 外 さ れ る 変 数 ) の 交 点 に あ る 初 期 の 表 の 数 字 五 は ゴ ジ ッ ク 活 字 で 書 か れ て い る が 、 こ れ が 所 謂 転 回 要 素 ( 空 く9 匹 ・ ヨ 。三 ) で あ る 。   い ま 第 1 ・ 3 表 の ② に 移 る 。 変 数 勘 ( 生 産 物 A ) が 計 画 に 導 入 さ れ る か ら 、 初 期 ヴ ア リ ア ン ト を 完 全 に 再 計 算 し 直 す 必 要 が あ る 。 ま ず 最 初 に 導 入 さ れ る 変 数 の 行 が 計 算 さ れ る ( 表 に お い て 矢 印 で 示 さ れ る ) 。 そ の 計 算 は 初 期 ヴ ア リ ア ン ト 端 の 行 の す べ で の 要 素 を 転 回 要 素 -数 5 i で 割 る こ と に よ っ て え ら れ る 。 ﹁   瑚 の 行 を 計 算 し た 後 、 表 の ﹁ 計 画 ﹂ の 列 が 再 計 算 さ れ る 。 生 産 物 A の 2 単 位 の 生 産 は 第 ・一 種 の 設 備 だ け で な く 他 の 投 入 資 源 の 一 定 の 支 出 を 意 味 す る 。 他 の 投 入 資 源 の 未 使 用 の 数 量 を 表 は す ス ラ ッ ク 変 数 銑 、 端 及 び 勘 も 生 産 物 A の 2 単 位 の 生 産 に よ っ て 使 用 さ れ 減 少 せ ね ば な ら な い 。 ω の ④ の 列 爬 示 さ れ て い る よ う に 生 産 物 且 の 一 単 位 の 生 産 に は 原 料 は 五 キ ロ グ ラ ム 使 用 さ れ る ゆ 生 産 物 五 は 2 単 位 生 産 さ れ る か ら 原 料 は 一 〇 キ ロ グ ラ ム 使 用 さ れ る 。 と こ ろ で 初 期 条 件 に お け る 原 料 △ の 所 与 の 未 使 用 数 量 は 二 四 キ ロ グ ラ ム で あ る か ら 、 鼠 11 b。 軽 r ㎝ × b。 H μ 倉   と な る 。 同 様 に 材 料 に つ い て は 、 ♪ H 。。 O -H O × b。 H ① P 第 二 種 の 設 備 の 未 使 用 は 、 鷺 ↓ 11 0 1 b。 × 卜。 H 卜。 と な る 。 こ れ ら の 数 値 が 励 の ﹁ 計 画 ﹂ の 列 に 記 入 さ れ る 。     ﹁ 計 画 ﹂ の 列 を 計 算 し た 後 、 シ ン プ レ ッ ク ス 表 の 残 余 の 列 を 再 計 算 せ ね ば な ら な い 。 こ こ で ま ず ﹁ 計 画 ﹂ に 入 っ て く る 変 数 の 行 と 同 じ 変 数 の 列 の 交 点 は つ ね に 一 で あ り 、 残 余 は 零 ,で あ る ( こ こ で 零 は 記 入 し な い ) 。 例 へ ば 第 一 段 階 で ﹁ 計 画 ﹂         ノ      ロ に 入 っ て く る 変 数 は 銑 、 端 、 輪 、 苅 で そ れ と 同 じ 変 数 の 列 の 交 点 は 一 で 残 余 は 零 で あ る 。           社 会 主 義 経 済 と 資 源 配 分 入 門   ω                     、                        .        六 九

            社 会 主 義 経 済 止 資 源 配 分 入 門 ` ω                       、                            七 〇 . 次 に 新 し 塾 計 画 ヴ ァ リ ア ン ト の 任 意 の 係 数 値 を 計 算 す る た め に 飲 め 三 つ の 数 を 発 見 す る 必 要 が あ る 。 そ の 手 順 は 次 の よ う で あ る 。                           .㎏C   ω   求 む る 係 数 値 に 対 応 す る 位 置 に あ る 以 前 の 計 画 ヴ ア リ ア ソ ト の 係 数 値 。   ω   求 む る 係 数 値 の 以 前 の ヴ ア リ ア ン ト と 同 一 行 に あ り 且 つ 新 に 導 入 ざ れ る 変 数 の 列 に あ る 係 数 値 。           ・   ㈹   新 し い 計 画 ヴ ア リ ア ン ト で 求 め る 係 数 と 同 じ 列 で 且 つ 新 に 導 入 さ れ た 変 数 の 行 に あ る 係 数 値 ( こ の 係 数 値 は 既 に 計 算 済 み で あ る )。   以 上 ω ω ㈹ 三 つ の 数 を 発 見 し た 後 、 ω で え た 数 か ら ㈲ 、 ㈹ で え 允 二 つ の 数 の 積 を 減 じ た 結 果 え ら れ る 数 値 が 求 む る 係 数 -値 で あ る 。                                   .                                    ・     い ま 上 記 の 手 順 に 従 っ て 、 新 し い 計 画 ヴ ア リ ア ン ト の 範 の 列 の 係 数 の 計 算 を 実 行 し よ う 。 ω は 最 祝 の 求 む る 係 数 は 角 の 、行 に あ り 、 前 の 計 画 ヴ ア リ ア ン ト で は こ の 位 置 に 7 が あ る 。 こ れ が ω に 応 ず る 数 値 で あ を 。 次 に ㈹ は 以 前 の ヴ ・ア リ ア ン ト ' に お い て 同 一 行 銑 に あ り 、 且 つ 新 に 導 入 さ れ る 変 数 勘 と 同 じ 列 に あ る 数 を 求 め る 。 こ の 数 鳳 5 で あ 6 。 最 後 に 、 ㈹ で 新 た に 導 入 さ れ た 変 数 値 期 の 行 と 新 し い ヴ ア リ ア ン ト に お け る 列 碗 の 交 点 に あ る 数 値 を 求 め る 。 こ れ は nO ﹄ で あ る 。 .ω の 数 か ら 、 σ ㈹ ⑳ で え 光 数 の 積 を 引 け ば 、 刈 一 O × O ﹂ H O と な る 。 ﹂か く し て 求 め ■た 数 値 5 が 列 碗 と 行 η に お け る 新 し い ヴ ア 、リ ア ン ト ・に 記 入 さ れ る 。 次 の 係 数 値 ( 鞠 の 行 と 吻 の 列 の 交 点 ) は ω の 数 は 5 で あ り 、 ㈹ の 数 は 10 で あ り 、 -㈲ の 数 は O 躯 で あ る 。                                                                                                 ノ 故 に 求 む る 係 数 値 は α 1 μO × O ﹂ H 同 と な る 。 次 に 求 む る 係 数 値 は 勘 の 行 で あ り 、 ω の 数 1 1 、 ㈹ の 数 は O 、 ㈹ の 数 は O ﹂ で あ る か ら 、 μ l N x O ﹂ 睦 O b と な る 。 同 様 に し て ` の 行 の 係 数 も 計 算 さ れ る 。 こ れ は 、 ω の 数 は 這 、 ㈹ の 数 は 18 、 ㈹ の 数 は O ﹂ で あ り 、 ・し た が っ て 、 這 -戸 。。 × O ﹄ H ( .。。 と な る 。 す べ て の 係 数 値 の 計 算 に あ た っ て 、 伺 と ㈹ の 数 は 変 化 す る が 、 価   の 数 は 不 変 で あ る 。 噛

  次 に 鞠 の 列 の 新 し い 計 画 ヴ ア リ ア ン ト の 係 数 を 求 め よ う 。 ω と ㈹ の 数 は 以 前 の ヴ ア リ ア シ ト の 鞠 と 苅 の 列 か ぢ と ら れ る 。 ㈹ の 数 は O b で あ る 。 こ れ を 計 算 す れ ば 遂 次 求 む る 係 数 の 値 が え 膨 れ る 。 す な わ ち 、 そ れ ら の 係 数 値 は 、         戯 1 α × O ・卜⊃ 11 ω り  b◎ O -HO × O 恥 " H QQ " .         H -b◎ × O ・b⊃ 11 0 .ρ   . Q。 l H ◎。 × O b " れ .心   同 様 に 非 基 底 変 数 端 ( 計 画 ヴ ア リ ア ン ト か ら 苅 と 交 替 に 排 除 さ れ る ) 分 列 の 計 算 が な さ れ る 。   第 二 段 階 ㈲ の 再 計 算 終 了 後 新 し い 計 画 ヴ ア リ ア ン ト を 得 る 。 そ こ で は 生 産 物 A の 2 単 位 が 生 産 さ れ 、 第 一 種 の 設 備 は 完 全 に 使 用 さ れ る が 他 の 予 備 が 残 る 。   こ の 第 二 段 階 で 、 目 的 函 数 で あ る 生 産 物 の 価 値 額 は H 。。 × 悼 " ω O ( 畷 ω 9 0 0 0 )   と な る 。   こ こ で 次 の 問 題 が 生 ず る 。 計 画 を 更 に 改 善 す る こ と に よ っ て よ り 人 な る 生 産 物 を え る こ と が で き る で あ ろ う か 。   こ の 解 答 は 新 し い ヴ ア リ ア ン ト に お け る ご の 行 を 視 察 す れ ば 、 そ の 答 を う る .で あ ろ う 。 も し こ の 行 に 正 の 数 が 存 在 す る な ら ば 、 こ れ に 対 応 す る 変 数 を 計 画 に 導 入 す れ ば 、 生 産 さ れ る 生 産 物 の 総 価 値 額 を た か め る こ ど が で き る 。 計 画 ヴ ァ リ ァ ン ト ② で は 行 ` は 二 つ の 正 の 数 を ふ く ん で い る 。 そ の 中 よ り 人 な る 数 幽 .c。 を 選 ぶ こ と が 合 理 的 で あ る 。 こ れ は 次 の 段 階 に は 変 数 あ ( 生 産 物 B ) を 計 画 に 導 入 す る こ と が 妥 当 で あ る こ と を 示 し て い る 。   ま ず 第 一 に 生 産 物 A が す で に 計 画 に ふ く ま れ て い る こ と を 考 え て 、 生 産 物 β の 何 単 位 を 生 産 す る か を 決 定 し な く て は な ら な い 。 こ の た め に 計 算 第 一 の 段 階 ω で や っ た と 同 様 の こ と を 行 え ば よ い ゆ す な わ ち 、 ﹁ 計 画 ﹂ の 列 の 数 を 新 に 導 入 す る 変 数 勉 の 列 の 対 応 す る 係 数 で 割 る 、 か く し て え た 値 の 中 最 小 の 数 値 を 選 ぶ の で あ る 。   計 算 結 果 と し て 次 の 値 を う る 。

 

 

 

 

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最 初 の 数 値 が 最 小 の 値 で あ る 。 し た が っ て 新 計 画 で は 生 産 物 B の b。 .。。 単 位 以 上 は 導 入 さ れ え な い 。 す な わ ち 、 原 料 が 制 限           社 会 主 義 経 済 と 資 源 配 分 入 門 ω                                                 七 一 ﹂

.    ,    . 艦           社 会 主 義 経 済 と 資 源 配 分 入 門 ω                                                 、 七 二 的 な 資 源 で あ る こ と を 示 し て い る 。 そ こ か ら 変 数 碗 ( 生 産 物 β ) が ﹁ 計 画 ﹂ に 導 入 さ れ 、 そ の 代 り ス ラ ッ ク 変 数 剣 が 非 基 底 変 数 と し て 排 除 さ れ る 。 か く し て ヴ ア リ ア ン 手 ㈲ で は 列 碗 と 行 銑 の 交 点 に あ る 数 5 が 転 回 要 素 で あ る 。           、    '   さ て 第 ⑧ 段 階 の 計 画 ヴ ア リ ア ン ト に 移 る こ と に し ょ う 。 ま ず ヴ ア リ ア ン ト ② の 銑 の 行 の 各 係 数 を 転 回 要 素 で 割 っ て 、 新 に 導 入 さ れ る 変 数 32 の 行 を 計 算 し ょ う 。 そ れ ら は ヴ ア リ ア ン ト ㈲ の 侮 の 行 の 数 値 と な る 。 次 ぎ に ﹁ 計 画 ﹂ の 列 の 数 値 を 計 算 し ょ う o 生 産 物 B は b。 ド 。。 単 位 生 産 さ れ る か ら 、 ﹁ 計 画 ﹂ の 列 の 数 値 は 、 上 か ら b。 '。。 " O O l H × b。 ・。。 1ー ミ ・b。 鳩 N l O ム × b。 ・。。 11 0 ●o。 。。 " b。 L O b × b。 ●。。 H 卜 置 の 数 値 を え る 。 次 い で ω 、 ㈹ 、 ㈹ の ル ー ル に よ り 非 基 底 変 数 鞠 、 ㊧ 、 輪 の 列 を 再 計 算 す る こ と が で き る 。 新 し い 計 画 は 生 産 物 A の O ●。。 。。 単 位 と 生 産 物 β の b。 .。。 単 位 が 生 産 さ れ る 。 そ し て 生 産 物 総 価 値 は 、                                 r         目 co × O ・○。 Q。 十 お × b◎ ●◎o " ら O ﹂ 斜 と な り 、 第 ② 段 階 の 計 画 ヴ ア リ ア ン ト 三 六 よ り も 一 三 ・ 四 四 だ け 大 で あ る 。 あ き ら か に 第 ω 段 階 の 計 画 ヴ ア リ ア ン ト よ り も 改 善 さ れ た 計 画 と 云 え る 。   計 画 を 更 に 改 善 す る こ と が で き る で あ ろ う か 。 こ の た め に ヴ ア 炉 ア ン ド ⑧ の ` の 行 を み る と 変 数 範 の 列 に 正 の 数 値 が 存 ・ 在 す る 。 こ 九 は 変 数 鞠 ( 生 産 物 C ) を 計 画 へ 導 入 す れ ば 、 生 産 物 の 総 価 値 の 増 大 に 導 く こ と を 意 味 す る 。 計 算 に よ っ て 変 数 娩 を 変 数 勘 に 代 っ て 導 入 す る こ と が 妥 当 で あ る 。 し た が っ て 転 回 要 素 は O ﹄ Q。 で あ る 。 以 前 と 同 様 の 手 続 に 従 っ て 計 画 ヴ ァ リ ア ン ト ⑧ か ら 計 画 ヴ リ ア ン ト ㈲ へ 移 行 す る 。   生 産 物 C は ﹁ 計 画 ﹂ の 列 の 数 値 を 輪 の 列 の 対 応 す る 数 で 割 る こ と に よ っ て 、   b。 G。 + O ・① 11 戯 ・① S 零 ●b。 + 旨 ム H ω b 。。 噛 い 薩 + O ﹄ 。。 " ω に よ っ て 、 そ の 最 小 値 が と ら れ る か ら 23 ( 生 産 物 C ) は 3 単 位 生 産 さ れ る こ と に な る 。 次 い で 計 画 ヴ げ リ ア ソ ト ㈲ の 生 産 物 C の 行 が 計 算 さ れ る 。 ヴ ァ リ ア ン ト ω の ﹁ 計 画 ﹂ の 数 値 は 、 生 産 物 C が 三 単 位 計 算 さ れ る か ら 、

P 。ぴ I O ・⑦ × い 1ー ピ   α 唖 ・b。 1 旨 ﹂ × 。。 11 伊 O .。ひ 。。 1 ( l O ・O 心 ) 兄 ω M 一 に よ っ て 計 算 さ れ る 。 計 画 ヴ ァ リ ア ソ ト ω で は 生 産 物 A 、 B 、 C は そ れ ぞ れ 一 、  一 、 三 単 位 生 産 さ れ る 。 次 い で ヴ ァ リ ア ン ト ㈲ の 非 基 底 係 数 、  勘 、  碗 、  ④ の 列 の 係 数 値 を 先 の ω 、 ㈲ 、 ㈹ の ル ー ル に 基 づ い て 算 定 す る 。 そ れ は 第 L ・ 3 表 の ヴ ァ リ ア ン ト 俗 に 記 入 し た 数 値 と な る 。 ヴ ァ リ ア ン ト ㈲ か ら あ き ら か な よ う に 、 , 生 産 物 五 、 B 、 C の 一 、  一 、 三 単 位 を 生 産 す る こ と に よ っ て ﹂ 原 料 、 第 一 種 、 第 二 種 , の 設 備 は 完 全 に 使 用 せ ら れ た が 、 材 料 に つ い て は 五 キ ロ グ ラ ム の 数 量 の 未 使 用 資 源 が あ る こ と に な る 。 生 産 物 の 総 価 値 額 は 、         .                                      、                        層        .          ﹂         H × ド Q。 十 H × お 十 ω × Q。 11 鰹 ( 賦 課 り O O O ) ・ と な る 。 こ れ は ヴ ァ リ ア 琶 ト ㈲ に 比 べ て 四 五 、 六 〇 〇 円 、 だ け 増 加 し た こ と に な る 。 ヴ ァ リ ア ン ト ㈲ の C 行 は す べ て 負 数 で あ っ て 正 数 が な い 。 し た が っ て こ れ 以 上 生 産 計 画 を 改 善 し え な い 。 す な わ ち 、 最 適 解 に 達 し た こ と に な る 。 こ の 最 適 計 , 画 で は 生 産 物 且 、 ﹂ B 、 C が 各 一 、 一 、 三 単 位 生 産 さ れ 、 総 収 益 ( 価 値 ) は 五 四 、 0 0 0 円 と な る 。 置 上 記 の 最 適 計 画 で は 三 種 の 生 産 物 が 導 入 せ ら れ た 。 し か し あ ら ゆ る 場 合 に 連 続 的 に 各 種 の 生 産 物 を 導 入 す れ ば 、 計 画 が 改 善 さ れ る と 考 え て は な ら な い 。 新 に 生 産 物 を 導 入 す る こ と に よ っ て 、、 以 前 に 導 入 し た 生 産 物 の い く ら か を ﹁ 追 い 出 す ﹂ こ と に な る 。 こ れ が 目 的 函 数 の 見 地 ( こ の 場 合 生 産 物 の 貨 幣 価 値 額 の 最 大 化 ) か ら 云 っ て 有 利 で な い 場 合 も 生 じ う る 。 そ れ 故 任 意 の 変 数 を 計 画 に 導 入 す る こ と が 妥 当 で あ る か ど う か と い う 問 題 は 行 ` 分 指 標 を 考 慮 し て は じ め て 解 決 し う る 。 そ れ が 正 の 数 で あ れ ば 、 対 応 す 惹 変 数 を 導 入 す る こ と に よ っ て 目 的 函 数 の 値 は 増 大 し 、 負 の 数 で あ れ ば 目 的 函 数 の 大 き さ は 減 少 す る 。 零 で あ れ ば 効 果 は 不 変 で あ る 。 更 に 行 ご の 数 は 導 入 さ れ る 生 産 物 一 単 位 毎 に ど れ だ け 目 的 函 数 の 大 き さ が 変 化 す る か を 示 し て い る 。 例 え ば 、 上 記 の 計 画 ヅ ァ リ ア ン ト ⑧ に お い て ご の 行 、 範 の 列 の 交 点 に あ る 数 値 ピ α b。 は 変 数 鞠 ( 生 産 物 C ) を 計 画 に 導 入 す れ ば 、 生 産 物 C の 導 入 各 一 単 位 毎 に 一 、 五 二 〇 円 だ け 生 産 物 の 総 価 値 額 の 増 大 を も た ら す 、 こ と             社 会 主 義 経 済 と 資 源 配 分 入 門   ω   、                .  .                      七 三

ノ             社 会 主 義 経 済 と 資 源 配 分 入 門 ω                       ・              .        七 四   を 示 し て い る 。     さ て 以 上 で 我 々 は シ ン プ レ ッ ク ス 方 法 を 用 い て 原 問 題 の 最 適 解 を 求 め る こ と が で き た 。 今 度 は 原 問 題 か ら 双 対 問 題 に 眼   を 転 じ よ う 。 原 問 題 は 、               .                    ,                                      ,           α 穂 一 十 ﹃ 穂 b。 十 低 § ︿ bo 合           δ 8 一 + α 爵 十 トひ O 爵 く o。 P           α 旦 十 トこ 爵 十 爵 く 目 9 '           付 き 十 爵 十 壽 く ,◎           D 一V 9 爵 ︾ P 釜 ︾ 9 き ︾ O   ,   の 条 件 の 下 に 、                                     ・                            ・            '           μ 。。 3 + μ b。 爵 + 。。 釜 耀 を 最 大 に す る 問 題 で あ っ た 。 こ れ に 対 し 双 対 問 題 は 、         q 兄 一十 H ξ 噂・ 十 α セ ω 十 卜Ω 旨 V 一 Q◎ 葡         堂 + 留 + 黛 + 忌 y ・。 "         軽 曾 十 卜。 e ゆ。 十 隻 ω 十 曾 V Q。 噂         曾 ︾ 9 欝 V ρ 3 V ρ 3 V O   の 条 件 の 下 に 、         湛 3 + 。。 O 書 + H O 壽 + ① 畠 凸 を 最 小 に す る 問 題 と な る 。 . ・     と こ ろ で こ の 双 対 問 題 の 解 は 四 種 類 の 潜 在 価 格 ( 客 観 的 に 条 件 づ け ら れ た 評 価 ) の 体 系 を 与 え る 。 こ の 双 対 問 題 の 最 適   解 を う る た め に 新 た に 表 を 作 っ て 再 計 算 す る に 及 ば な い 。 原 問 題 の 最 適 ヴ ァ リ ア ン ト に 潜 在 評 価 の 体 系 が 既 に 与 え 航 れ て   魅 る か ら で あ る 。 こ の 様 に シ ン プ レ ッ ク ス 方 法 に よ れ ぽ 、 対 に な っ た 一 方 の 問 題 の 最 適 解 を う れ ぽ 、 対 に な っ た 他 の 問 題