教育学研究科 数学専攻
浅野 剛史
1. はじめに 高等学校数学の課題とされる点について，山崎（2016） は次の点を挙げている． ・基礎，基本の確実な定着をさらに図る必要がある． ・社会における数学の有用性を実感していない． （山崎，2016，p.2） この課題が見られる単元として数学Ⅰの「三角比」が 挙げられる．浅野（2017）の大学生への三角比に関す る調査で次のような困難をもつ傾向がみられた . （１）三角比の拡張の理解が困難であること . （２）三角比が何の役に立つのかわかっていないこと . この 2 点に関しては , 先行研究においても指摘されて いることである（（１）は磯脇 ,1981, 長岡 ,2003,（２） は熊倉 ,2006）. 特に（１）に関して , 浅野（2017）は 意識調査の中で , 三角比を直角三角形の辺の長さの比で 定義することで，拡張の際に座標の定義への移行が困 難と感じる学生がいることを報告している . さらに長岡 （2003）は「（三角比を）直角三角形の「辺の比」とし て定義されているのがそもそもしっくりこない .」（長 岡 ,2003,p.33）と述べている . このような学生の体験や 先行研究の指摘から，三角比を直角三角形の辺の長さの 比で定義することに問題意識がある . そこで本研究では，三角比の学習の導入場面に焦点を あて , 上記の課題を克服する授業展開のあり方を実践授 業を通して述べることとする . ２. 研究の目的と方法 本研究の目的は，「単元「三角比」の導入場面において， 生徒が三角比の定義を直角三角形の辺の長さの比以外で とらえることができ，かつ三角比の有用性を実感できる 授業を設計し，実践授業を通して，それらが達成された かどうか調べること」である． この目的を達成していくために，研究の方法はまず先 行研究から三角比の導入場面における必要な活動や題材 を特定し，授業展開を示す . 次にこの授業展開を基に教 師Ａが授業を行い，授業における生徒の学習プリントの 記述や授業後のアンケートから目的が達成されたか考察 する．最後に，教師Ａの授業の反省をもとに教師Ｂが授 業を行い，課題が克服できたか検証する． なお，2 人の教師が行う意図として，上記の２つの目 的を達成するための授業展開の精緻化による . また，本 研究の一般化可能性を少しでも高めたいこと，すなわち 筆者のみが授業を行うのではなく，筆者以外の者が授業 を行うことで，その研究が他の授業者でも実践可能であ る1）という妥当性を少しでも高めたいことによる． 以降，直角三角形の長さの比は「比」と表現する． ３. 活動主義から得られる示唆と操作的活動の重要性 高等学校学習指導要領の数学科の目標においては「数 学的活動を通して」と記述されており，数学的活動の充 実が求められている . ではどのような活動が大切なので あろうか . そこで本研究では三角比の導入場面における 授業展開のあり方を考えるために活動主義に着目する . （１）活動主義から得られる示唆 平林（1990）は，子どものうちに「理解」をつくり だす具体的方策の一つとして「漠たる全体」から始める ことを提案している .「漠たる全体」の意味について平 林（1990）は以下のように解釈し記述している . ≪漠たる全体≫というのは，狭い意味では測定しよう としている対象であるが，広い意味では生活における限 界・抵抗あるいは問題の意識であり，哲学的にはアポリ アというべきものである．学習指導上では，すべての単 元，授業の冒頭にあるべき課題の自覚であり，その自覚 なくしては，学習指導は文脈を失い，子どもは学習の意 味を見失うのであろう . この「漠たる全体」に関して，James ＆ Dewey（1895）三角比の導入の授業展開に関する事例的研究 は「漠たる全体，単位，確立された全体，これが心理 的法則から決定された順序である」と述べている . この 文言は「測定」という活動に着目して構成された授業 過程の順序についてのことである . これに対して，平 林（1990）は「ここには，すべての数学的観念の形成 にも通用する，一般的な数学の学習順序が象徴されてい るとみることができる点で，この図式は，きわめて重 要な意味をもっているといわねばならない」と述べて いる . デューイの算術教育における図式を平林（1990） が「①漠たる全体→②分析→③確定された全体」として 一般化した . 池田（2007）は，この「漠たる全体」を「数学的概 念を内包する無意識の素地的活動」とし，ねらいを「作業・ 体験的活動が重視され，ここでの活動は，次に構成され る数学的概念が何を意味しているのかを考える際の，子 どもにとってもどれる場所になること」と述べている . 以上から，本研究では池田（2007）を参考に「漠た る全体」を「三角比の拡張を内包する無意識の素地的活 動」と定義する . （２）操作的活動の重要性 三角比の学習場面においてどのような活動が必要であ ろうか . 鹿野（2006）は，三角比の導入場面において 三角形を切り取るなどの手を動かす作業，つまり操作 によって生徒の理解を助けることを明らかにした . さら に，長尾（2007）は高校数学の授業において，操作的 活動を行うことで課題の持つ構造の本質的な理解を促す ことを明らかにした . 小山（1988）は操作的活動について「主に手を動か すなどの身体的な行動を通して，あるねらいのもとで考 えたり，あるいは数学的な関係や性質を導き出す活動」 と定義している．本研究においても操作的活動を小山 （1988）と同様の定義とする . これらの先行研究を参考に，手を動かす活動つまり操 作的活動を高校数学で取り入れることについて検討す る . まず操作的活動の重要性である．古藤（1982）は「数 学科の学習で生徒に真の理解をうながす一つの方途とし て，小学校のみならず，中学校・高等学校の指導におい ても “ 操作活動 ” が重要であることを主張したい」と述 べている . ここから操作的活動を高校数学に取り入れる ことが大切なことがわかる . しかし，操作的活動を取り入れる際に留意する点が ある . 平林（1982）は「あらかじめそれ（操作的活動） と数学的概念・知識・技能とのつながりが，きめ細かく 検討されていなければ，きわめて空しい教授学的努力に 終ってしまうであろう」と操作的活動の注意点を示した． さらに，小山（1988）は「重要なのは，具体物を対象 にした身体的行動そのものよりも，むしろ，その行動を 通して，あるねらいのもとで考えたり，あるいは，数学 的な関係や性質を導き出すということである .」と述べ ている . ここから何のために操作的活動を行うかを明確 にする必要がある . 以上から三角比の導入場面における授業の設計は次の 活動を軸とする . ・三角比の拡張を内包する無意識の素地的活動（漠たる 全体） ・数学的な関係や性質を導き出す操作的活動 ４．三角比の有用性 そもそも三角比は有用であるのだろうか . 教科書では 測量の場面が出てくるが , 本当に三角比が使われている のだろうか．このことを疑問に思った筆者は測量につい て国土地理院で調査を行った . （１）調査の実施要領 調査の目的は以下の通りである． 「高校数学で学習する三角比は実際に測量の場面で用 いられているのかを明らかにすること .」 調査は平成２９年２月１７日に国土地理院にてインタ ビュー形式で行われた．質問者は筆者である． 調査の内容は以下の 2 点である． ・ 現在行われている基本的な測量方法はどのような 方法か . ・ 測量では高等学校数学で学習する “sin” や “cos” を 用いているのか . （２）調査の知見 調査から得られた知見は次の 3 点である． ・ 現在は「GNSS 測量２）」が増えてきていること . ・ 現在は sin,cos を用いなくても機械で測量ができるこ と . ・ 測量は三角比がもとになっているため , 高校数学の三 角比の知識をもつことは大切であること . 以上より , 測量をする上で基本である三角比の考えを 持つことは有用であることがわかる．ここから , 生徒が 三角比の有用性を実感するために，導入場面において測
５. 実践授業の背景と設計 「漠たる全体」及び「操作的活動」を三角比の導入場 面に取り入れる立場から，授業を設計していく．以下， 授業設計を行う上での視点，分析の視点，題材，操作的 活動の具体，実践授業の設計について述べていく . （１）授業設計を行う上での視点 授業設計を行う上での視点は，本研究の目的に沿って 次の 2 点とする . 1 点目は三角比の拡張の素地である．三角比の拡 張を生徒が理解することが困難とされている（長岡， 2003）．その三角比の拡張の学習指導を改善する手立て として導入場面における三角比の定義を比ではなく長さ として捉える研究がある（熊倉，2006）．ここから三角 比の導入において三角比の拡張の学習の素地となる場面 設定が必要である . 2 点目は計量の有用性である．学習指導要領では「取 り上げる場面などを工夫することによって，三角比や正 弦定理，余弦定理などが，図形の計量の考察や処理に有 用であることを認識させるようにする」と記述されてい る．このように三角比の有用性を認識させるためには取 り上げる場面を工夫することが必要であると述べてい る . （２） 分析の視点 分析の視点は本章（１）の視点に沿って，生徒の記述 物や授業後のアンケートから次の２点について考察する . ① 三角比の定義を「比」以外で捉える生徒がいるか . ② 計量の有用性を実感できていたか . 分析の具体は表１に示す . 表１：分析の具体 分析方法 ① 生徒の学習プリントを回収して，課題４「sin， cos って何だろう」の生徒の記述を考察する . ② 授業後のアンケートに「sin,cos が役に立つこと はどんなことだと思うか」という質問を設定する . ここで①の分析の視点の妥当性について検討する．ま ず「比」以外の定義には，「長さによる定義」と「半径 ｒの円もしくは単位円といった円による定義」が考えら れる．「長さによる定義」のよさについて，熊倉（2015） は「長さによる定義とすることで，鈍角や一般角へ拡張 倉，2015，p.238）と述べている．また，長岡（2003） は三角比を「辺の長さ」で定義したことで「初めの頃に 三角比の意味をつかめていないと思われる学生の割合 が従来よりも少なくなっていると感じられた．」（長岡， 2003，p.36）と述べている．ここから「長さによる定義」 は、三角比の拡張の素地となることがわかる．一方，「円 による定義」の場合においても 90°以上の角が意識され るという点で，三角比の拡張の素地となる．以上のこと から，三角比の定義を「比」以外で捉える生徒がいるこ とで，三角比の素地となること，すなわち，①の分析の 視点が妥当であることとする． また「比」以外で捉える生徒の人数について言及した い．実践授業において「比」以外で捉える人数の多い少 ないは問わないこととする．なぜならクラスの中で一人 でも「長さによる定義」や「円による定義」で捉えるこ とで，クラス全体への共有が可能になるからである．し かし，できる限り表１の①で示した課題「sin，cos って 何だろう」に対して，生徒が取り組みやすいような工夫 をしていく必要がある． また，分析の視点②に関しては本研究の目的で述べた とおりである．授業後にアンケートをとり，KJ 法によ り分析を行う． （３）題材 「伊能忠敬の地図作製」を基に作成した．その理由は 2 点ある． 1 点目は地図作製においては，斜辺と角度から水平距 離や垂直距離を求める必要による．地図作製の際は実際 に歩いた距離ではなく，水平距離を計測して，その距離 を地図上に記さなけれ ばならない（図１）．ま た，地図には等高線も 書かれているため，垂 直距離も計測する必要 がある . このように現 実場面とのつながりか ら三角比の有用性を実 感するきっかけになる のではないかと考えた． 2 点目は，三角比の拡張を考える際の具体となるから である．例えば，図２の場面である（ここの場面では 図１：伊能忠敬の勾配の測り方 （引用元：地図と測量の科学館）
三角比の導入の授業展開に関する事例的研究 崖のような地形でみられることがある）．上からみた AB の長さを調べる際に水平距離（CD` の長さ）を引かなけ ればならない . この引くという行為と cos120°＝1/2にな ることを関連させることができると考えた （４）操作的活動の具体とその効果 次の①から④の操作的活動を取り入れる（図３）. ①方眼紙の下の方に下線を引く . ②半径 10cm の半円を描く . ③下の図のように角度を合わせて， 中心から円まで線を 描く . ④線と円との交点から垂直に線を下ろす . 10cm にした意図は，課題の 10m と単位は異なるが， 10 を揃えるためである．これにより，縮図から水平距 離を求めやすくなる． この活動を行うことによる効果は，三角比の定義を考 える上での一つのモデルとなることである．教科書での 三角比の定義は最初，直角三角形の「比」で行われるが， この定義を最初に行うことで三角比の拡張への移行が困 難となる（長岡，2003）. しかし，導入段階で半円のイ メージを持つことで「三角比の拡張」の素地となる . つ まり三角比を座標としてみることの素地となる． 操作的活動のあとに生徒自身で cos とは何かを考える 活動を取り入れる . これにより「比」だけでなく，「長 さによる定義」や，「円を用いた定義」とさまざまな考 えが出てくることが予想される . （５）実践授業の設計 三角比の導入場面を想定した授業設計は表２である . 本研究では生徒に定義を提示するのではなく，生徒が 「sin，cos とは何だろう．」と主体的に考える（主体的な 学びを意識した）授業を設計する． 表２：授業の設計 活動の概要 導入 伊能忠敬の測量方法を考察する . 活動 1 課題１「斜辺距離が 10m，勾配が 30°のと きの水平距離」を求める．その後，操作的活 動を行う . 活動２ 課題２「斜辺距離が 10m，勾配が 24°のと きの水平距離」を求める . 活動３ 課題 2 から誤差が生まれることを実感す る . そこで，課題１のように正確に水平距離 を求めるにはどうすればいいかを考える . 活動４ 関数電卓を用いて cos30°と cos24°の値を確 認する . この値が何を表しているのかを考え る . ここで活動間の接続について述べていく . ① 導入→活動１ ここでは伊能忠敬の測量について簡単に述べたあ と , 勾配がある場合の測量を実際に考えてみよう , と いうことを契機に活動１に移る . ② 活動１→活動２ 活動１では中学校の学習で解決できる特別な直角三 角形の比である 30°を扱う．しかし，測量は 30°のよ うにきれいな値が出るとは限らない．そのことを契機 に勾配が 24°である課題 2 に移る . ③ 活動２→活動３ 活動２では勾配が 24°の場合の水平距離を求める が , 答えに誤差が出てしまうことが予想される．この ように誤差が出てしまうと正確な日本地図が作成でき ないことを契機として，正確に水平距離を求めるため
活動３ののち，実際に伊能忠敬はこのような場合ど うしたのかということを契機として，生徒に電卓を渡 し，sin,cos とは何かを考える活動４に移る（実際の 伊能忠敬の測量では割円八線図３）を用いて様々な勾 配の場合の測量を行っていた（保柳 ,1974）が，90° 以上の三角比も探求できるという点から関数電卓を使 用する）. ６. 授業の実際 6-1 実施要領 実践授業は，平成 29 年 2 月に神奈川県内の国立大 学附属中学校の中学校 3 年生 2 クラス（41 名，33 名） を対象に行われた．中学校 3 年生を対象とした理由は ２点ある．１点目は三角比の学習をする上で必要な学習 事項（相似な図形や三平方の定理）を終えているからで ある . 2 点目は，系統学習の時代において，現在高等学 校の内容である三角比も，中学校から扱われていたから である . 福森（1997）は系統学習の特徴を数学的内容 の系統化と水準の上昇を取り上げ「現在は高等学校の内 容である三角比も，中学校から扱われる（後略）」と述 べている．ここから三角比を中学校でも扱えることがう かがえる . また，授業を行った教師は 2 クラスで異なる．そ の理由は，本研究の一般化可能性を少しでも高めた いからである（詳細は第２章）．最初の授業では授業 を設計した筆者（教師 A）が行い，普段数学の授業 を担当する附属中学校の数学の教員（教師 B）が参 観する．そして教師 A の授業の反省をもとに教師 B に授業を行ってもらい，授業の改善が促されたのか 考察する． 6-2 教師 A による授業の実際 導入：伊能忠敬の測量の話題から勾配がある場合の地図 上での距離の求め方を考える . 導入では教師がモニターを用いて，生徒と対話をしな がら伊能忠敬について確認した．さらに伊能忠敬がどの ように測量していたか確認した後，教師が勾配がある場 合の地図上での長さについて生徒に考えさせた . 図４：勾配がある場合の図を示したスライド （１）活動１の概要 勾配がある場合の測量について全体で確認したあと， 教師により，次の課題が提示された．
斜辺距離が
， 勾配が
°のときの水
平距離の長さは何 ですか？
【課題１】
課題が提示されたあと，すぐに答えを出したり，周囲 と比を確認したりする生徒がみられた．教師が生徒を指 名して，生徒が全体に向けて説明を行った（図５）. そこで教師が全体に「30°の時の水平距離が分かった 理由は，三角形の何が分かっているからですか」と問 う . すると，生徒から「比」という意見が出された . 次に，教師が方眼紙を配り，「５章（４）」の操作的活 動を行うよう指示した．それにより縮図ができ，斜辺が 10 のときの水平距離を視覚的に捉えることを可能にし た（図６）. （２）活動２の概要斜辺距離が
， 勾配が
°のときの水
平距離の長さは何 ですか？
【課題２】
課題２が提示されると，生徒は「（求めることは）で きない .」という発言をした．そこで教師が周りと相談 しながら課題解決するよう生徒に促した． すると方眼紙に縮図を描く生徒が見られた . 教師は「方 眼紙に書いている人がいるね .」と全体に投げかけると， そこから方眼紙に縮図を描く生徒が増えてきた．このよ うに，課題１の答えである 5 √3を確認するための方眼 紙が，課題２を解決するための道具に変化していった． その中で教師が生徒を指名して，板書させた（図７）. 生徒が記述した板書を説明する前に，教師が課題２を 解決するために，方眼紙の図つまり縮図を用いているこ とを確認した .三角比の導入の授業展開に関する事例的研究 次に板書した生徒が既習内容である三平方の定理を用 いて値が正しいか確認したことを他の生徒に伝えた（図 ７）. その後，教師が生徒に答えを確認したところ，という ように答えにずれが生じた４）（図５）. 図５：課題１と課題２ （３）活動３の概要 教師が地図を作る際には部分と部分をつなぎ合わせる ため，誤差が大きいとずれてしまうことを説明した . そこで，課題３が提示され，課題１のように正確に水 平距離を求めるにはどうすればいいかを教師が生徒にア イデアを求めた（図６）.
課題２の水平距離をより正確に測るには？
【課題３】
個人による追及ののち，全体共有が行われた .「ひた すら計算する .」「もっと細かい定規で測る .」という発 言がみられた（図６）. 図６：操作的活動と課題３ （４）活動４の概要 生徒に関数電卓が配布され cos24°，sin24°，cos30° の値が確認された（図７）．生徒が何の値か気になって いる様子であった．そこで教師が「sin30°はどんな値に なりますか？」ときくと，ある生徒が「0.5」と答えた . 生 徒が値を調べてみると，になり，他の生徒から「すごい， なんでわかったの .」という発言があった . そこで教師 により，次の課題が提示された .sin，cos ってなんだろう？
【課題４】
電卓で 30°や 24°の sin や cos 以外の値を出して帰納 的に考える生徒や，半円が書かれている方眼紙と電卓 を行ったり来た りしながら考え る生徒など，課 題４を探求する 姿 が み ら れ た． 「cos100°がマイ ナスってどうい うことだろう」と発言している生徒がおり， 90°以上の 値についても探求する様子がみられた . 最後に課題２の答えが 10 × cos24°になることを確 認して一連の活動を終えた . 6-3 教師Ａの授業の結果と分析 分析の方法は本稿「第５章（2）」で述べたとおりで ある．生徒の学習プリント及び授業後のアンケートから 得られた結果は次の通りである． （１）三角比の定義を長さとして捉えた生徒は 7 人，半 円もしくは円で定義している生徒は 2 人である . （そ の他の回答としては , 誤った定義をしている生徒が 4 人 , 無回答の生徒が 28 人であった .） （２）「三角比の有用性について記述していた生徒は 41 人中 27 人である（表３）.」 （２）は具体的に「sin,cos が役に立つことは何だと思 いますか .」に対して「地図をつくるとき」や「細かく 測るとき」といった記述がみられた．質問に対するこの ような生徒の記述を筆者と教育学専攻の大学院生が，KJ 法により分類した．その結果，表 3 のようなカテゴリー が抽出された． 見い出されたカテゴリーに従い，筆者と大学院生が独 立にデータのコーディングを行った．結果を表 3 に記す . なお，両者の評定一致率は 100％であった . 図７：生徒の記述と課題４地図 9 人 測定 4 人 建築 1 人 細かい計算 3 人 縮図 1 人 求値 3 人 大学受験 4 人 無理数との関連 1 人 辺の比のわかりやすさ 1 人 わからない・無回答 14 人 それぞれについて考察する． まず（１）に関してはなぜこのような定義が出てきた のかについて考察する．活動１で行われた操作的活動に よって生徒が方眼紙に半円を描き，活動２では生徒がそ の方眼紙を道具として用いた．さらに活動４ではその道 具について生徒が探求するという行為の対象化が行われ た．つまり，操作的活動という行為が課題４において対 象化したことになる . このように，教師側から与えられ た操作的活動という行為を，生徒が道具として扱い，さ らに生徒が対象化することによって，三角比を直角三角 形で定義するだけでなく，斜辺を１としたとき長さと捉 えるといった定義（図８）や円を用いた定義（図９）が 生徒から発見されたことが推察される . 図８： ， を長さ で定義（生徒の記述） 図９：円を用いた定義 （生徒の記述） また授業の感想の中で「cos96°がマイナスになって 困った .」と記述した生徒がおり，このように生徒が困っ たことを問いとして授業の中で取り上げることで，問い が連続する授業展開が期待される（図 10）. 図 ：生徒の記述 ば , sin, cos が「地図をつくるとき」に有用と記述した 生徒がいた．このことは，伊能忠敬の題材を用いて水平 距離を求めたことによると推測する．また sin, cos が「細 かく測るとき」に有用であると記述した生徒がいた．こ のことは , 課題３において「より正確に測るにはどうす ればいいか .」という課題に取り組んだことによると推 測する．単元が約 22 時間の「図形と計量」の導入の 1 時間で約 65％の生徒が三角比の有用性を認識してくれ たことから，ある程度目的が達成された． 6-4 教師Ａの授業の改善点 授業の様子や課題４の記述から，生徒は三角比の定義 を考えるのに困難が生じている．そこで次の 2 点の改 善を行う . 1 点目は操作的活動を活動４の前に位置づけることで ある．授業の中で操作的活動は三角比の拡張の素地にな るため，有効であると考える．しかし，授業の流れの中 で操作的活動は唐突であった印象がある．そこで，活動 １のあとではなく，活動３のあとに「課題１と課題２の 値が一目でわかる図を書く」ということを契機として行 い，半円のイメージをつけることで，課題４の探究がし やすくなると考えた . 2 点目は cos のみを考えることである．課題４の無回 答がクラスの半数以上を占めていたことから，sin,cos の二つを同時に考えるのは困難を招くと考える．そこで， cos １つのみを考えることによって，生徒が思考しやす くなるのではないかと考えた . 6-5 教師 B による授業の実際 導入：伊能忠敬の測量の話題から勾配がある場合の地図 上での距離の求め方を考える . 教師がモニターを用いて，生徒と対話をしながら伊能 忠敬についてクイズ形式で確認した．その後，伊能忠敬 が作成した地図とそれ 以前の地図を比較して， 伊能忠敬の地図がどれ ほど正確であったか確 認した . 次に伊能忠敬がどの ように測量していたか に つ い て 直 線 の 場 合， 曲線の場合と順番に説 図 ：板書（左）
三角比の導入の授業展開に関する事例的研究 明していき，勾配がある場合の地図上での長さについて 生徒に考えさせた . （１）活動１の概要 勾配がある場合の測量の仕方について確認されたの ち，プリントが配布され，課題１が提示された .
斜辺距離が
10m， 勾配が 30°のときの
水平距離の長さは何
m ですか？
【課題１】
個人解決の時間が与えられた．ほとんどの生徒がすぐ に課題を解決していた．そこで教師が生徒を指名して板 書させた．書き終えたのち，教師が「考えも含めて，な ぜ 5 √3 になるのかお願いします .」と板書した生徒に 説明を求めた．生徒は 「斜辺の距離が 10m で A ＝ 30°で 90°なんで 直角三角形の比が１： ２： √3 だ か ら， こ こ が 5 √3 に な り ま す .」 と答えた．その後，教 師 か ら 5 √3 の だ い た いの値についての確認 が行われた . （２）活動２の概要 「常に 30°のようなきれいな値が出るとは限らない」 という教師の発問から次の課題が提示された .斜辺距離が
10m， 勾配が 24°のときの
水平距離の長さは何
m ですか？
【課題２】
生徒が「わかんない .」と発言した．個人追及の時間 の中で，教師から「分 度器使っている人が 多いかな .」という発 言があった．その発 問をきっかけとして 手を動かす生徒が増 えてきた．しばらく して，教師が二人の 生徒を指名して板書 させた . 板書したのち，教師が「わかんないっていう人は二人 のを参考にしてください .」と発言した . （３）活動３の概要 生徒が説明したのち教師が「9.15，9.13 以外にも値 が出た人いますか？」という発問をした．すると生徒が 「9.09」と答えた . そこで教師が「伊能さんは困ったんですよ . 何に困っ たと思う？」という発問から生徒が「ばらつきがある .」 と答えた．その発言から縮図での課題解決は誤差が生ま れてしまうことが確認された．そこで課題３が提示され た .課題２の水平距離を求めるためにどのような方
法を利用していたか？
【課題３】
この課題に対しては生徒から「人工衛星」や「高さ」 という発言がみられた．さらに生徒の「比」という発言 から，課題１が比によって課題解決がされたことを教師 が全体で確認した . そのあと，方眼紙が配布され操作的活動が行われた . （４）活動４の概要 教師が課題３の答えが電卓に潜んでいること，実際に は電卓ではなく表であることを説明した．電卓が生徒 に配布され cos24°，cos30°， cos0°，cos90°の値が確認さ れた．そこで教師により，課 題が提示された .cos ってなんだろう？
【課題４】
生徒が課題に取り組み，一 連の活動を終えた . ７．知見と今後の課題 本研究の目的の一つは「生徒が三角比の定義を直角三 角形の辺の長さの比以外でとらえたか調べる」ことで ある．教師 A，B の授業はともに生徒が三角比の定義を 「比」以外で捉えていたことから，達成できた．特に教 師 B の授業においては，長さで捉えた生徒が 30％以上， 無回答が 6 人（長さ 11 人 ,「比」7 人 , 誤った定義 9 人 , 無回答 6 人）と，教師 A の授業の改善がみられた．も う一つの目的は「生徒が三角比の有用性を実感し得たの かを調べる」ことである．記述の中には 14 人の無回答 図 ：板書（中の左） 図 ：板書（中の右） 図14：板書（左）有用性について記述していたことより，ある程度目的が 達成された . 今後の課題は，操作的活動の必然性を高めることであ る．生徒にとって，どうして半円を作図しないといけな いのかということが見えにくく（授業 B では改善がみ られた面もあるが），教師側が一方的に活動させたよう に感じる．そこで当初は三角比の拡張の場面に提示する 予定であった，勾配が 120°の場合の水平距離を求める という課題を導入場面に設定することで，半円（90°よ り大きい角を含む）が意識されると考える．このことを 修正・検討し，さらに実践授業を行い，生徒が操作的活 動を行う必然性を感じられたかどうか調べることを今後 の課題とする． 注 １）生徒の実態に応じては，授業設計の精緻化をする必 要がある． ２）人工衛星の電波を受信して位置を求める方法 . ３）現在における三角比表 . ４）cos24°=0.91354…という曖昧な数値のため , 正確 に測ろうとしても縮図であると誤差が出てしまうと推 測する . 引用・参考文献 浅野剛史（2017）.「三角比に関する数学的洞察を促す 操作的活動とその意義」，第 45 回全国数学教育学会， 発表資料 . 福森信夫（1997）.「単元学習から系統学習への変革」，『20 世紀数学教育思想の流れ』, 産業図書 . 平林一榮（1990）.「数学教育の活動主義的展開」，東洋館 . 保柳睦美（1974）.「伊能忠敬の科学的業績」, 古今書院 . 池田敏和（2007）.「数学的活動を軸とした数学的概念 磯脇一男（1981）.「三角比の鈍角への拡張の指導」， 日本数学教育学会誌，第 63 巻，第 11 号，pp.264-265. 熊倉啓之（2006）.「学ぶ意義を実感させる三角比の指 導に関する研究」，日本数学教育学会第 39 回数学教 育論文集，pp.335-360. 熊倉啓之（2015）.「sine，cosine の定義の指導に関す る考察」，第 48 回秋期研究大会発表収録，pp.237-140. 古藤怜（1982）.「数学科における学習指導」，共立出版 . 国土地理院（2016）.「地図と私たち」. 小山正孝（1988）.「数学教育における操作的活動と 思考実験」．『教育学研究紀要』，中国四国教育学会， pp.255-260.
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