周期系における波動現象

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(1)学位論文題旦. こ周期系些おける波動現象. 専＿」匁虚血領壕教育9攻コ一ス：自然系コース理科. 学籍蚕畳二逃Lユ⑥1至旦. 主任饗塾迦ら鐡獲麩宜 it21i＄ijiL一一一2iCSIsUjllEes.

(2) 目次第1章序論……一一一……一一一一一u一一一一一一一一…一一一…一一一……一……1. 第2章実験方法一…一一…一一…一一…一一…一……一一一一一一一一一一一一4. 2亀1 実験装置一…一一一一一……一…一一一…一……一一一一一一一一4 （1＞リップルタンクー一t一一一一一一一一一一一一一一一一一一一…一一一…一5 （2＞造波器一一一一一一一一一一一一一一一一一・一一…一一一一一一一一一一一一一一5. （3）センサー一一一一一……一一一一一一一一一…一一一一一一一一一一一一一8 （4＞センサーの配置一一…一一一一一一一一一一一一一一一一M””’”一’一一”｝一9. （a＞造波器後方と前方の水波の相互干渉の実験一一一一一…一9. （b＞周期的な水深の変化における水波の振舞いの実験一…一9 （5＞キャリブレーションー一一…一一一一一一一一一一一…一一…一一一13 （6＞フィルタ・一・増幅器一一一一一一一・・一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一14. （7）記録装置一一一一一一一一一一一一一一一…一一一一一一一一一一一一一一一15. 第3章実験結果一一一一一一一一一………一……一………一一一………一…16 3，1 造波器後方と前方の水波の相互干渉の実験一一一一一一…一一一16 3，2 周期的な水深の変化による水波の振舞い一一一一…一一一一一…一19 第4章周期系における水波一一一一一一一一一一……一一一一…一…一…一…一一一25. 4．1 水波の分散関係一一…一一…一一一一一一一一…一…一一一…一一25 4，2 造波器後方と前方の水波の相互干渉一一・一一一一・“一一一一一…一一・・一一一一一一一一一33. 4．3 周期的な水深の変化による水波の振舞い一一一一一…一一一…一36 第5章まとめと結論一一一一一一一一一一一一一・一一一一一…一一一一一一一一一一一一一一一…一一一一一一一一一一一一一一41.

(3) 第1章序論水の波は我々の身の回りによく見られる現象であるが、何げなく見ているだけでよく注意して観察することはあまりない。注意して観察してみるといくつかの特異性に気がつく。たとえば船に乗って舳先に立つ波を見ると、初めに波長の短い波が水面を流れるように走った後、波長の長い大きな波がその後を追いかけていく。このように波の進む速さは、波の波長に依って異なっている。これを波の分散性という。. 一般に任意波形の波は、無数の異なった波長の正弦波の重ね合わせからなる。無数の異なった波長の正弦波は異なった速度で進むことにより無数の正弦波から構成されている波形は時々刻々変化する。池に小石を投げ込んだときにたつ波が減衰していくのも水の分散性によるところが大きい。水のような流体には一般に粘性がある。粘性とは流体の各部分にはたらく内部摩擦力である。水や空気のようなサラサラした流体ではこのような内部摩擦力の効果は小さく、近似的に無視できる場合が多い。粘性を無視した理想的な流体を完全流体という。更に気体に比べて液体はその体積変化が極めて小さいために、密度が常に一定に保たれていると仮定することができる。このような流体を非圧縮性流体という。水の波の現象は多くの場合、非圧縮性完全：流体の振る舞いとして理解することができる。. ］.

(4) 本研究では（1＞二つの隣…接した領域にたつ波に見られる干渉現象について実験を行い、次に（2＞水深が周期的に変化する場合の水波の振る舞いについて実験を行った。一般に波は水深が急激に変化したり、壁があったりすると、そこで反射波を生じる。反射波は入射波と干渉して強めあったり、弱めあったりする。このような現象のよく知られた例は、X線回折である。X線が結晶に入射すると、周期的な結晶構造によって反射された電磁波はおたがいに干渉して、ある特定の方向に強く回折される。水波の場合には電磁波と違ってその分散性がどのように現れるかが興味ある問題である。一般に完全流体の運動はオイラーの運動方程式を、与えられた境界条件のもとで解くことによって得られる。波の振幅が十分小さい場合、波の運動を決める方程式は線形となり、解析的に解が得られる。これに対して振幅が大きくなると方程式は非線形となり、その扱いは非常に難しい。線形な微少振幅波では、波形を構成する個々の正弦波は互いに独立であり、波の運動はその要素である正弦波の運動に帰着できる。非線形波では、それを構成する個々の正弦波は独立ではなく、互いに結合し、影響しあいながら運動する。本実験では波形のフーリエ解析を行うことによって個々の正弦波の分析を行い、非線形性の影響について考察する。.

(5) 本論文の構成は以下の通りである。第2章では実験方法および実験装置について述べる。ここでは特に、なるべく純粋な正弦波が得られるよう造波器に工夫を行った。第3章では得られた実験結果について述べ、第4章では水波の分散公式と、それに基づく実験結果の解析を行う。第5章では本研究によって得られた結果のまとめと結論を述べる。.

(6) 第2章実験方法この研究では、微少振幅波より少しずれたところで水波の水深の変化における位相速度の変化と干渉についての実験・考察を行った。干渉の実験においては、直方体の水槽（リップルタンク〉内を上下に振動する振動片により2つの領域に水波を発生させ、それぞれの領域の波がどのように干渉しあうかを、それぞれの領域に生じる波の振幅を測定することにより明かにした。また、水深の変化による位相速度の変化と干渉の実験においては、リップルタンクに水波を発生させ、アクリル板を周期的に並べることによりその進行方向の水深を変化させて水波の振舞いを測定した。. 2−1実験装置 2つの領域における水波の干渉の実験装置）オ；哉，．プフィ. 繋、振動装置. Pレター．〒コ1盟，，。騒. 鱒卜霧雨罐一爪白一一黒蜜冨. HP＝ンヒュー外. zll：lii. リ・プルタンク、壽片. x. “s“一. ’〆，く／／！. ／. 図2．1 4. ：.

(7) （1）リップルタンク表面の滑らかなアクリル板を使用したもので、内寸は、. 縦3000mm・横130mm・高さ50mmである。リップルタンクの一方の端には、反射波を消すために三角柱の金網にガーゼを巻いたものを置く。. （2）造波器本実験で用いた造波器の構造を図2．2に示す。造波器は、回転運動を上下運動に変える偏心軸をモーターの主軸に取り付け、これによって水に接した振動片を上下に振動させる仕組みとなっている。このとき、振動片の前後左右のプレをなくすため偏心軸から振動片へのジョイントにベアリングおよび軸受とシャフトを用い、振動片長さ微調節のため、両ネジ固定とした。モーターは、スピードコントロールモーター（オリエ. ンタル社製，M540−41）を使用し、トルクを大きくするためにギヤー比5：1のギヤボックスを接続した。. 振動片は、縦4cm、横12，85cm、高さ4cm のものを用いた。振動片／’. アクリル椴4枚接含. 継ぎ合せ面研磨. ／. “！. ’. ／. 40揃m. ／／ kl一．nvk一. ei［一 ‘＝. 128．5旧m. 5. 40吊旧.

(8) 一. A’s．. x’. 口＝二. ^. ノ 0. ノ. 0. ’. ＼ギヤー. 0 0. 一L．. 0. x．．．. w. ノ. L／. 一）｝v．r’N. 蛸＿．＿7U ＿魅瀦諭．ノ、〆き・滴. 細：1欝鳶. 郵. 図2，．2 造波器の構造と水波の振舞い. 6. ㌧幽レ. ／. へ“ vリンタ“. の.

(9) ノピ. @. （、＼. ノ. siuL. 堰f. 一ヨニ xx. スライド溝／. ／個定ナット〈r’. ／一. ／. ／. 一一 r．. 唄. “ また、モーター支持装置と振動片を一体化し、全体が前後に平行にスライドするようにした。こうすることにより、モータと振動片によって発生する振動片のプレがなくなり安定した水波を作り出すことが出来るようになった。. 7.

(10) （3）センサー図2．3にセンサs・一・・一の写真、および構造図を示す。こ. のセンサーは、水位の変化を水中に入れた2本の平行な電極間の電気抵抗の変化として読み取る。電極の間隔e 直径D（e．〉・D＞の円柱電極において、その水中での長さ. をZとすれば、電極間の抵抗Rは、近似的に. 1 2e reaZD. R（Z）＝一：一＝en−1；’一. という関係で表わすことが出来る。ここでσは流体の電気伝導率である。. 1吸｛じ『画 g. Z. Dニ0．3m. 4 ！. ＼. ＼、. ／. ＼. 3mm. ／. 属. 図2．3. 8.

(11) （4）センサーの配置造波器後方と前方の水波の粗互干渉の実験と周期的な水深の変化における水波の振舞いの実験においては、センサー及び振動片の配置が異なるので、各々について示す。. （a＞造波器後方と前方の水波の相互干渉の実験センサーの配置及び振動片の配置を図2，4に示す。. ’剛†暖．＿．、＿4、＿ D＿〆一. a. @. セ）サー2 ／ノー，！／. B. x_・ 3昼降駐. （A：振動片後方 B. a＝＝5Q， 1QQ血rn 振動片前方とする〉. 水深5Qmm 図2．4 （b＞周期的な水深の変化における水波の振舞いの実験センサー及び振動片・底板の配置を図2．5に示す． 2. o. 振動片. N. 3. ⊥⊥二＝＝力. … c9〈一1・・鐸麺1ンく・・ケ！・. 底板. 一fE一一一一 “fi de 150 pti sg’）e“’. J“ma一一一 E50 一図2 5. 9.

(12) 図において底板は水深を変えるために縦50，横13. Q，厚さ1Qmm，のアクリル板を2枚重ねたものを5 個リップルタンクに5Qmm間隔で周期的に配置し、センサーは0∼3の位置に配置した。かつ振動片は、リップルタンク底に板のない時の水波の波形が整うよう図2．6のように改良した。振動片. アクリル板4枚接合. 継ぎ合せ面研磨. ’一’ @一1. IbL’一．. 49mm， lR一二〆 “. 2。. ∠. 「1. 40田m. （喝H一『，‘一｝｝’r 128．5恥m 一→1. 図2．6 次に改良前の波形と改良後の波形を示す。. 改良前の波形（A＞においては正弦波と比べ山が鋭くなっており、フーリエ成分を見ると、基本波および1次高調波の周辺に側帯波が大きく現れている。改良後においては波形（B＞に見られるように純粋な正弦波に近く、基本波およびユ次高調波の周辺に側帯波は現れていない。. そのため各センサーの波形の変化をよりはつきりと捉えることが出来た。. 10.

(13) 改良前（A），1］. t十／，t l l． fit．rl，，，，. HO. 1’tl. ヘヒ。. x，i・ ilt. ド. It｝s. tiK. 1 ’t. 1. 1”1，. ’s， l. Si. Tl. t. v. t｝. t. t. l. 軌. ・一一. ヨ. s. k. s 1. 1. II. ，. is. ”’ s’. 1’ i. lsz’. 冒. @il. 1’i. 副L山！蜜議＿ム了ガ＿＿. t. 1，. N ”’ ii. N，. 冗. 、ゴ. 一． E，. ヤ、. 一→一噌ヒー輔一一tHH. P一・一・r一一一十・一・→傅・トー鴨→一一ろ・†一一管一. 1一. 1．. CH1. 噂＿■一＿r＿印＿一二L匡＿騨＿噛＿＿一＿＿＿＿【卿．. ．. む. ハ. s. 1’1. 1’1 1’. 1. ．5. i1. “1 ”sl，. i1. 1. 1 1i. l. 1. i. トπナ！ハ・し∼ 臼. 与. ートー争. 一t一■一’一→．一寸一一. ．．J．. bu・. 蜜剛」畑r一. L rkl. t r“”1， 1’ i’ 1i. 幽■. ハ. “・，. t. C一．， H2. ハ. 1−. ’. s. ノ. ノ. ’. 鼻4. li. 1．，一ノ. iLLLt． I’. 1㍗一L−L1窟. ・．一，IH一“k一. ’S tl ii. ’L・S a ．’. 一一一一’一”一 Vr’. nハ即1ハぴ. ’5. 凸. i・ 1，. 目. ’CH. 3・. i’. 昌. 員．。一≠一！邑：」学L9一唱 ?E髄’. ヨ. 巳. ／’ ’llt” ttl｝1 ht．t−k・一ti−ttls／．r’4一・’1’ILH一”一’一’一”’””’ ”i t＝一，S ’…” ’…. ＿山」乱皇1. ，. s’. ’S’ii，．il ’ tif. lr一’ ’ ！t・“ ’，，i. 11.

(14) 改良後（B）. ICHO 隠. i””““. のロも 1’、㌔．幽. 1 t”．一. 11ゴ㍉，. 1 ’1. tl ’一II. le ’Stl. 1” ’. 「、. 1. ，. ㌧ノ. n． tt. ア. ロコ. 」. 煤C. t ” L i h一一一t＋一→掃t l 豊. 1，． ld ほ. ロ. 叱. の」. ．、層」’齢餉. ’ 1 ｛. ロ. ．’鰯. ㌦㌔. ｝・’. 5. rlヨ. 5. 11コ. CH1 11‘t“””ll. ，，f”，，ltl. lt’t. il，一. 月. “ ’l. 1. 一一lrヤ．. ll’ 1，，. 1’ I. 1臼1 誹. @’lltit. ll. le. ｝. ’s．． I. I．. ’t lt. LL．． t“. h．t ．ll −L一 tt ’■. 一．．． 1 ㌧．ノ鴨｝■’. kド. C．IH2 ノへ㌦. あ！、9t. ，1．. `. l l 8 置. l’. ’l l. e. j t”t’. ﾌ. 1 ，. 臼／L｛⊥1 1. et’・．．rt一．．t． t i“. I ”“一t一一1. ，. 、一ノ. w. ’. ㍉ノ. ．一一．L．．ge ll．ヨ. 臼. 一je一一”／“”titl. 」噌」｝. CH3 lnl. ■」暉. 凸. el一. ゴ’㌧. @’1’il ；’ ”ll. ，li ’1，，. t’ tl. ll. ll ’. 画ヨコll ■. 撃. iS ．（tt. サート†一一り］1＿ t. 1一’ lt一｛ s“t，“r 1’Se. 噸■ tl’ ’ts 馬. 曳．．4’. 』門”. ，ゴ t． J. 1．，L’ 「」の「一t一一. 一t. 1 1［i］. ’t’ ．1 、’、■噛騨・. 甫’. i2.

(15) （5）キャリブレーションキャリブレーションに関しては、電源の変動、およびセンサー同士の相互干渉を考慮に入れ、使用する全てのセンサーを同一水槽にいれた状態で個々のセンサーを調整した。その結果、誤差は1Q％以内になったeまた、水質によりセンサーのバラつきがでるために水質を考慮に入れる必要がある。水道水を使用するのであるが、水の色がほぼ透明になるまで水を出して使用しなくてはならないe センサー1. センサー一〇. 水面㊦上下6皿n 振動させる. 静止. センサー0を上下方向に6mm振動させたときセンサー1におよぼす影響を測定した。つまりセンサー0を 6mm振動させることによりその影響がセンサー1にどのように現れるかを測定した。センサー1に出力される波の振幅がセンサー0による影響と考えセンサー1に出力される波形の振幅を測定した。センサー0を周波数を変え上下に振動させることにより波高6mmの正弦波が描かれる。’その波形に応じた減衰した波形がチャンネル 1に現れる。. 13.

(16) つまり、センサーQがセンサー1に及ぼす影響を（センサー1の波高値〉／（センサーOの波高値〉で表わした。. （a＞センサーを個々にキャリブレーションした場合 1．71nm 1，7÷6・一〇，28 よって289／o影響（b＞使用するセンサーを同一水槽に入れキャリブレーションした場合. O、6mm ◎．6÷6言O。1. よって10％影響. したがって使用するセンサーを同一水槽内にいれキャリブレーーションをしたほうが精度のよい結果が得られる。. （6）フィルター・増幅器 10kHz波形信号を捉え、水波の波形として出力するためのフィルター及びその信号を増幅する増幅器のブロック図を図2．7に示す。. 翌図2．7. センサー受信端より入ってきた信号は、半波整流され平滑された後Opアンプにより増幅され出力される。. i4.

(17) （7）記録装置波形記録装置のブロック図を図2．8に示す。フィルター・増幅装置より出力された波形をA・Dコンバータにより変換しコンピューターに取り込み、フロッピィーディスクに記憶する。. 次に、フロッピィーディスクに取り入れられたデータに各センサーの感度を加味し波形及びフーリエスペクトル図を出力させる。. オシロスコープは、センサーの変動を監視できるように取り付けてある。. 甲レ塵：オシロス. コープ. コン. ピュータ. ▼ ドへプリン・. ター i. 図2．8. 15. フロッピーディスク.

(18) 第3章実験結果 3．1 造波器後方と前方の水波の相互干渉の実験この実験においては、振動片後方の面積の変化によって起こる水波の振舞いとそれによって生じる振動片前方（図2．4＞の水波の干渉効果について、振動片後方の面積と振動数を変えて水波の振幅について測定し分析した。振動片後方の面積を一定にし、振動片の振動数を変えて波形をコンピュータに取り込み波形の観測をするという方法を5回繰り返した。波形をプリンターに描かせ、波高値を測定し、フーリエ解析を行って水波の周波数と波高値の平均を求めた。. 図2．4において振動片後方（A領域〉と振動片前方（B領域〉の水波の振舞いは本来同じはずである。しかし振動片前方においては水波の進行方向には領域が広いため水波が減衰するまで障害はないが、後方においては領域が狭いため壁で水波の反射が起こり、振動片後方と前方とで水波の干渉が起こる。. 図3。 1にa＝5cm，図3．2にa＝1Qcmのグラフを示す。. （a＞ a；5cmのとき図3．1において振動片前方のB領域における波高値が大変小さくなっているときには、振動片後方のA領域における波高値が反対に大きくなっているという現象が見られる。また振動数を変えていぐと、その逆の現象も現れている。. 16.

(19) これは、振動片前方の波の振動と振動片後方の波の振動とが互いに影響しあって、共鳴現象を起こしていることを表わしている。このグラフではその現象が2Hzと3、5 ∼4Hz付近にでていると考えられる。 a＝5cm 3． 00. 振動片前方の波高1. 一雫. 2． 50. 振動屠波高. 方の. ■ 一. 一〇. 値. 国町. 2．00 ＼、，. ＼、. ＼屋. A、. 1． 50. A. 0. ／” ／鴨. 唱 ■. ＼＼ 1． 00. 融願. 唱霞. 一｝エノ／. 蜀. @. “. o． or o. ■ 疇. 〆. び＼〕6. 昌. L. 口. o． oo. 胴. 墜. e． eo 1． oo 2． oe 3． oo 4． oo s． oo 6． oo. 目z 図3． 1. 17. 華.

(20) （b＞ a＝10cm この場合、2Hz，3、5Hz付近に共鳴現象が現れていると考えられる。. f. a ＝ 1 0 c rn. 1． 40. 一T M「「. 1． 20. 1． oe. 振動屠. 1司. 方の但. O． 80 田／. U O． 60. Xx／八. 0． 40. 0． 20. ／／ 1’ ／” ，，，t 1 ／. 振動片前方の渡. 高. 0． oo. O． OO 1． 00 2． 00 3． 00 4． 00 5． 00. Hz. 図3，2. 1g. 二. 一『｝一. u.

(21) （2）周期的な水深の変化による水波の振舞い水波は水深によってその進行速度が変化する。そこで水深を周期的に変化させた場合、水波はどのような振舞いをするかを実験した。振動片前方に進む水波において、その進行方向の水深を周期的に変化させ、またそれぞれについて振動数を変化させ、入射波、反射波、透過波の関係について水波の振幅を測定し分析した。水深を一定にし、振動片の振動数を変えて波形をコンピューターに取り込み波形の観測をするという方法を5回繰り返し行った。波形をプリンターに描かせて波高値を測定し、フーリエ解析を行って水波の周波数と波高値の平均値を求めて実験データとした。. 図3、3に水深2．5crn，図3．4に水深3，Qcrnの測定結果を示す。ここで入射波はその水深において底に板がおいてないときのセンサー0の位置での振幅であり、入射波：＋反射波は周期的に底に板をおいたときのセンサーQの位置での振幅そして透過波はその時のセンサー. 3での振幅を表わす。また比chOのグラフは入射波＋反射波を入射波で割って比をとったものである。また、図3。5は水深2．5Cmでの励起状態にあるときのフー・リエ図、図3．6は水深3．Ocmでの励起状態のフーリエ図を示す。. 19.

(22) （a＞水深2．5cmについて. 水深2．5cm 黶B一一入射波. @. 一一一9」一一入射波＋反射・一φ一一透過波. ／. 濃. 1．60. 1．40 1．20 1．00 ，i O．80. ／. ／. i）. 威. 武. 口‘. D，∠ ．. O．60. ■、、. 一. 旧 _口. 0．40. ＿. 咋＼・. ．圏一−〆■ ■. 0．20 0．OO Lr．. ＼. ∼6一一∼一←. ■. ◆一◆臨．. ◆『一◇＼. @ セ＼. 覧. ○一一一■. h−「．’ ゆ一←. 3．00 4．00 5．00 6．00. O．OO 1．OO 2．00. Hz. 比CHO. 励起. 2． 00 1． 80. 一. D一. 一. ／醒. ＼ ■ 1． 60. ＼. 1． 20. 陰. 一己. 1． 40. ■∼. 働. 1． 00. 戸一. 0． se. _. O．60 0． 40 0． zo. e．eo. o． oe L eo 2． oo. 3． 00 4． 00 5． 00 6． 00. Hz. 図3，3. 図3．3のグラフでは、. 1．5Hz付近に反射波の励起が見. られる。. 2e.

(23) （b＞水深3cmについて水深3cm ?. 波. 、. 入射渡、、＼、r. 入射波＋反射. 、、．、. L6‘）. 一. 、．幽. ◆ 透過波. 、、9. @L40. 、. 、. @1．20. 〆コ＼隠＿. @LOO. 賜. 馴■r、、．噛、■. ｴ0．80’｝》 O．60. 1■＼. _. 「闇. ∠プ. @0．40. 嗣. 一. @0．20. 」◎r4㌧. へ辱. 、瓶. 、＼. ゾ. ｛一〇一禰畦. @0．OO 0．OO. @. 1・00. 2。00. 3．00. 4。00. 5．00. 6．. H2. ㌧. 〆. 比CHO ．励曜. 1．80. 1．60. L40 1．20 1．00. 0．80. マ「. 0．60. 口. ’ ！. 闘ダ. @／昌’. 0．40 G．20 0．oo. O．OO 1．00 2．00. 2．eo 4．oo s．oo 6．oo. Hz. 図3．4. 水深3cmでは、 1．9Hz付近で励起が見られる。. 21.

(24) 水深2．5Cm1．5H：zのフーリエ図. 底に周期的に板をおいたと. 底に板をおかないとき. き. CH. CHO. 1 1 、、：：轟. CH1. 1. ’口＝〕. Ci H！. ），，．，1. 1 ’II 1｝. CH2. でH2 Jl. i ．一. 罫＝. ．1’1”Tl ．. j. CH3. CH. 9. P ? l. ＝：i. l〔3. EE・. 図3．5 zz. 1冒.

(25) 水深3Cm1．9Hzのフーリエ図. 底に周期的に板をおいたと. 底に板をおかないとき. き. GHO. CH〔1. ＿」 h甑！L＿」＿＿＿. 彗. − 』. 、州. 1盲. ＿. 炉「. 叫ぎ鵡一苗 L. ・. 「，. 「. 一『一. 一一『一．. CH1. CHl 一. ユ. ・」L響山＿」旧. ず・L一一「盲. CH2. CH2. 一. ㎞血ぎ漕． 1壱. ＿：鑓竺⊥「噛一 ρ. GH3. 「. GH葛．. 署一」r盲. 」. 図3．6 23. 1臼.

(26) 図3，5において、底に板を周期的においた場合のフーリエ図と板をおかなかった場合のフーーリ工図を比べてみると、板をお. いた場合高調波および側帯波の励起が顕著に見られる。このよ. うな様子は、図3，3において2．9Hzのところでも大きく現れている。. 図3．6においては、図3，4で見られるような顕著な変化は現れていないe波高値に変化が見られるが、フーリエスペクト. ルにおいてあまり変化が見られないのは位相速度と波数が水. 深によって変化するためであると考えられる。. 24.

(27) 第4章周期系における水波 4。1 水波の分散関係水面にたつ波のような流体の運動は、オイラーの方程式と呼ばれる流体力学の基礎方程式に従わなくてはならない。流体の運動がこの方程式の解として決定されるためには、さらに流体領域の境界面において適当な境界条件を指定しなければならない。非粘性の極限である完全流体においては流体内部で接線速度の不連続、すなわち滑りが許されるので境界面においても滑りを抑止することは一般に不可能である。よって完全流体に対する境界条件としては、流体が境界面に沿って流れることすなわ. ち、流体の速度Vと境界面の速度Uとの法線成分の一致（v ・ n＞＝‘一一（u・ n＞. （4， 1＞. だけを要求する。ここにnは境界面の法線ベクトルを表わす。静止境界面では境界条件は、. （v・n＞＝o. （4． 2＞. となる。（4．1＞と（4．2＞は、完全流体に対してだけ当て. はまる条件であって、非粘性境界条件あるいは、非粘着条件と言う。. 25.

(28) 水の波においては、水の運動が静止状態から始まるものとするとラグランジェの渦定理によって運動は渦無しでなければならない。. 渦無し流では、速度Vはあるスカラー閲数Φを用いて v＝＝ gradO＝（u，v， w）（4， 3＞. “＝亜 v＝酋，，＝亜放 dytJ）z （4， 4＞ここで質量保存の法則より. Ov OM」. div v＝＝’ 一’十」十一：一L’ ＝O. dr dy Oz （4． 5＞. ところで境界条件は、水底と水面の両方において課さなければならない。水底においては、固体境界面における非粘性境界条件. （gradrp＞ n＝：O （4． 6＞. ここで添え字のnは水底面の法線ベクトルnの方向を表わす。. Z6.

(29) 水面においては、水面を表わす方程式を y；η（x，z， t＞. とすると変形する境界面の境界条件は。＝迦＋陣榊塑. di dr Oz （4． 7＞で与えられる。ここで式（4．4＞を式（4．7＞に代入することにより. 亜＝塑＋些如＋亜塑 dy Ot 0．y （］］ix Oz r？z （4， 8＞と書ける。. またオイラーの運動方程式は次のように与えられる。. 讐＋号一1圃＋9ツィ（1）. （4．9＞. ただしρは流体Q密度、pは圧力、 gは重力加速度、 f（‘）（4．10＞は任意開数である。特に水面においては、圧. 力Pは大気圧Peに等しいから、（4．9＞式右辺の任意開数を. f（t）＝ム. pと選べば、水面y；ηでは、. η＝一端一下i圃. （4，一11＞. となる。. 式（4．11＞を式（4．8＞に代入するとηとΦの2次の項が現. れ非線形の境界値条件となる。. 27.

(30) このような非線形境界条件を含む境界値問題は一般に取り扱いが難しいが波の振幅が極めて小さい場合には、その運動が1次の微少量と考えてよい。このとき、式（4， 8＞と（4．11＞より. pm 02￠」. Y＝@O，. d・iil一，一. @＋g−tAT一＝ o. （4． 1 2＞. oo dy. y＝一h， L．：＝ O. （4， 13＞. となり線形化された境界条件がえられる。波の形は式（4， 11＞より. 梱＝一 P〔響L. （4， 1 4＞. で与えられる。. 今、波として座標xおよび時間tについてcos関数で変化する正弦波を考える。 op （x， y， t＞＝：op （y＞ cos （kx一一一一tot＞. 28. （4， 15＞.

(31) ここで、k／2πC＞Q＞はx軸方向に含まれる波の数（波数）. であり波長λはその逆数λ＝2π／kで与えられる。. また、周期はその逆数T＝2π／ωで与えられ、COS関数の変数kx一ωtは波の位相を表わす。同一一一位相、 x一（ω／k＞t＝・. 一定の点のX座標は、時間とともに速度G；ω／kで移動する。この。を位相速度という。振幅Φ（y＞に対する方程式は、式（4．15＞を式（4．5＞. に代入すると. 券＝一k2e・（y榔岡＋繋蝋醐＝（02￠. 一一 k2tu）cos（k．v 一 utO．y2）＝・（4，16＞. よって（∂2Φ／∂yり一バΦが0とならなくてはならない。ここで. 奄撃撃戟^icos（ke−op. t一，一，，’. C’ 黶f. 鼈黶h. ＝ lc〈C，ek’ 一C，e−k’）cos（in 一一 at）1 一＝“Oh. （4， 17）. （C 1，CZは定数〉. を考え q〆しC26た乃＝O. q二面髭おく。このとき￠（y）＝ li’1 （ek（y’h）＋e−k（y＋k））. ＝C…h（ん圃〉. （4． 18＞. 29.

(32) となり（1＞＝（」cosh［k（y＋h）1c・os（kx“ 一一（’ot）. （，tl．！ 9＞. となる。波の形は、式（4．i4＞より n＝一A g． in （kx−a）O. （Lg，， 20＞. （1：t （lv），t t J N. A＝一一cos蝋刷. g. （4， 21＞. ただしAは水面波の振幅である。 ωとkとの関係式は、式（4．19＞に式（4．12＞. を課せば. （D ＝ Vl］？． ill“LEi’iiil’（’iif，一z）一. （4． 22＞. ・÷鷹繭1＝際面事. （4． 2 3＞. となり、式（4．23＞は位相速度。が波数kまたは波長λと共に変化することを示している。一一．4般に任意波形の波は、. 無数の異なった波長の正弦波の重ね合わせからなると考えられ、無数の異なった波長の正弦波は異なった速度で進むことより無数の正弦波から構成される波形は時々刻々変化する。このことを波の分散といいこのような性質を示す媒質を分散性媒質という。. ［｛ e.

(33) C：位相速度波長または波数の関係式を分散関係という。また、式（4．23）に表面張力γを考慮にいれた関係式は、次のように与えられる。. 『團剛）. （4．一24＞. 15℃の水では、γ＝73dyn／cmρ二19／crn∼9・＝980cznv／ S2である。. 図4，25図4．26は分散関係のグラフである。. 31.

(34) 分散関係グラフ. 振. Hz. 動10 数. 水深 h＝2．5cm. 8 覧. 鰯. 口. 口. ■瞳. ■■. 願. 水深 h＝0．5cm. 口. 覧. 6. 竃. ，. s N. 4. N. N 2. N. N. N N 、噸隔. ●剛● ■幽⊃. 一一一 t一｝一一一b 一一一一e一 e＝一. o. 10. 20. 30. 40. 50 60 波長. 図4．1. 3a. cm.

(35) （2）造波器後方と前方の水波の相互干渉図4、1のように縦bcm 横acmの長さの枠にゴム膜が張られている太鼓を考える。 yi. l”× ／. 1 一 N＞〈1. 1 ／ ×．. hze 1 ’×．j x 図4．2 θの角度で振動が伝わっているとすれば、結晶からの反射と同じように考えるとy＝O，y・＝bで互いに打ち消し合うには、2bβ1nθが波長λの整数倍になるときだけである。よって m 2，＝＝ 2一 b sln9 rn ＝O， 1， 2一， 3 ・・．．. 同様にxについても nA＝2asln9 n＝O， 1， 2， 3・…. となる。この場合一定のモードとして成立するためには、㎡θ＝. う. i劉. 。…θ＝. ゐ. k釜ア. 曲・θ一・θ＝ k号）軸＋傷プ＝1. 3 ：，1，.

(36) よって、図4．1の長方形の膜にたつ固有振動の波長は、. 1 4a2 n2 4b2 m 2. A2 ＝ ny十. （ 4． 2 5＞. となる。水波においても同様の関係式が成り立つと仮定するとk／2π＞0は単位長さ当たりに含まれる波の数を表わし、波長はその逆数λ叢2π／kで与えられるからこれを4．25式に代入すると. （姦ア÷墨. よって 2n’ J“2 m. k ＝ z． i：．：一．一＋：．：一．：，一一. a2b2. （4， 2 6＞. が得られる。. この関係式を使って、造波器後方と前方の水波の相互干渉の実験を分析してみる。この実験では、領域Aの大きさを変えて共鳴の起きる周波数、振動数を測定した。領域Aが a ＝5cm b；13cm のとき図3，1より2． OHzと3．. 5∼4，0Hz 付近に、共鳴が見られる。一方式（4，26＞と分散公式（4．24＞より. 3，4.

(37) n＝ O， m ＝＝ 1：A ＝2 6c m， f ＝＝ 2． 2Hz. n＝ 1， m＝O：A ＝： 10c m， f ＝ 4， OHz. n ＝＝ O， m＝2：A ：13cm， f＝3， 5Hz n＝ 1， m＝1：A＝ 9． 3c m， f ＝ 4， 2Hz n 一一 2， m ＝＝ O：A ：5． Ocm， f ＝＝ 5． 9Hz. に固有振動のモードがあることがわかる。したがって2H z付近では、（n：0，m＝1＞のモードが、3．5Hz∼4， OHz付近では、（n＝1，m；0＞，（n＝0，m＝ 2＞，（n＝1，m＝1＞のモードが励起されていることがわかる。. 領域Aの大きさが、a＝10cm b＝・13cmのとき図3．2より. 2Hz付近と3．5Hz付近に共鳴が見られる。また、式（4．2 6＞を用いると、固有振動のモードは、 n ＝O， m＝ 1：A＝26c m， f ＝ 2， 2Hz n ＝1， m ＝： O：A ＝20c m， f ＝； 2， 7Hz. n ＝＝ O， m ＝＝ 2：A＝13cm， f＝ 3． 5Hz n ＝1， m ＝＝ 1 ：A＝16cm， f ＝＝ 3． IHz. n＝2， m ＝＝ O：A ＝＝ 10cm， f＝ 4． OHz. となって、2Hz付近の共鳴は（n＝O， m・1＞モード、3．5Hz 付近の共鳴は（n＝O，m・・2）のモードが励起されていることがわかる。. 15.

(38) 4．3 周期的な水深の変化による水波の振舞い一般に波は、境界条件が変化する場所を境にして反射波を生じる。反射波は入射波と、あるいは反射波どうしで干渉しで強めあったり弱めあったりする。このような現象のよく知られた例はX線回折である。 X線が結晶に入射すると、周期的な結晶構造によって反射された電磁波は入射波と干渉して、ある特定方向に強く回折される。. エ1繋 ?黶E一一一一一一一一一一一一一e一一一一・一一一iL一・一一一e一一一一一一一一一一一一一・一一一一一一一・一. 図4．30結晶によるX線回折図4．30 のように、原子配列面の間隔をdとし、X線の波長をλ、X線の入射角をθとすると、隣接した原子面で反射されるx線の光路差は、2dsinθであり、これが波長の整数倍、すなわち 2dsine. ＝n， n＝1，2，・一・・. A. （ 4． 3 1＞. ならば反射X線は強めあう。式（4．31＞をブラッグの反射条件という。. 36.

(39) さて水波においては、波の波長λおよび速度Cは水深によって変化する。その関係は式（4．23＞，（4．24＞で与えられている。図4．32のように、周期（e・＋e2）で水深. が規則的に変化している水路を波が進む場合を考える。. ho 12. 1，. 図4．32. 式（4．23＞により、水深が浅い所では深い所にくらべて. 波の波長は短くなる。その様子を模式的に書いたものが図4．33である。. ／へ）程ヘノ1＞＼／ L／rJ一ろ」図4．33. このときBで反射された波は、Aで反射された波に比べて2（el＋e2）だけ余分に走ることになる。. 3， 7.

(40) e・の部分での波長をパ、ちの部分での波長をλと. すると、AとBで反射された2つの波が強めあうのは、｛S’，＋St’＝n， n＝i，2，’’’” （4． 34＞. という条件が満たされる時である。そこで 4＝. 汲ｿ＋e2 （ 4． 3 5＞. とおくと、2dがX線回折の場合の光路差に対応するものであるeしたがって反射波が強めあう条件は2d・nλ、すなわち㈲ち＋ち嵩会嬬n・…1・2・一（4． 3 6＞. となる。そこで、第3章で得られた実験結果を、この式によって分析してみる。この実験での4・＝ち零5αηである。. 38.

(41) （1＞hD＝：2．5cm ， h1＝・O．5㎝の場合、図3．4において. f＝1．52Hz の所で反肘波が強く励起されている。分散公式（4．24＞あるいは図3．3より、この振動数の波の波長は. hD＝2．5cmのところでλ＝31．3㎝ h1＝0・5Cmのところでλ＝＝14・6㎝であることがわかる。したがって式（4．36＞の左辺は、 4＝㈲ち＋e2. ＝儒＋1〕×5. ＝＝15． 7. また右辺は、n21のとき企＝i塑＝15．7。膨. 2 2. となり、式（4．36＞がよく成り立っていることが結論できる。. 3， 9.

(42) （2＞同様にho＝3cm， h 1＝＝1αnのとき、図3．4において. f＝・1．89Hzの所で反射波が強く励起されている。分散公式より波長は、. he＝：3㎝のところでλ＝26・7㎝. h1＝＝1Cmのところでλ；16．7cm となる。したがって式（4．36＞の左辺は 4＝. 汲ｿ＋e2. ＝（援＋1）×5. ＝＝13， 2. また右辺は、n・＝1とおいて 126．. 7. ：：．．．＝一・．13．4. 2 2. となって、この場合も反射公式（4．36＞がよく’成り立っている。こうして水波においても、波の分散関係を考慮することにより、ブラッグの反射条件に対応した関係が成り立っていることがわかった。. 40.

(43) 第5章まとめと結論水波においては、位相速度Cは波数kまたは波長λと共に変化する。位相速度と波長または、波数の関係式を分散関係といい、次式で与えられる。. r爾爾 15℃の水では、γ＝73dyn／cmρ ・19／cm39 ＝＝ 9 8 Q c．m．／ S2 e. 本研究では、リップルタンク中における造波器後方と前方の水波の相互干渉と周期的な水深の変化による水波の振舞いについての定量的な実験を行い、その現象に関する分析を行ったe （1＞造波器後方と前方の水波の相互干渉について. 横a㎝縦b㎝の領域の水面にたつ波の波数kは、紀零π1丞＋！虻. b2 層02 で与えられる。. 実験の結果をこの式に当てはめてみると 2Hz付近では、（n＝Q，m＝＝1＞のモードが、3．5Hz ∼4、OHz付近では、（n＝＝1，m＝0＞，（n＝Q，m. −2＞，（n；1，m；1＞のモードが励起されていることがわかる。 2Hz付近の共鳴は（n；0， m＝＝1＞モード、 3、. 5Hz付近の共鳴は（n・＝0， tri＝ 2＞のモードが励起されている. ことがわかる。.

(44) （2＞周期的な水深の変化による水波の振舞い一般に波は境界条件が変化する場所を境にして反射波を生じる。反射波は入射波と、あるいは反射波同士で干渉し強めあ、つたり弱めあったりする。この現象でよく知へられた例は、X線回折である。 X線の場合入射角をθとすると（2dsinθ／λ＝n：n＝・ 1，2，3… ）ならば反射X. 線は強めあう。これをブラッグの反射条件という。水波においては、波の波長一λおよび速度Cは水深によって変化する。そこで、水深が周期（ち，e2＞で規則的に変化している水路を波が進む場合においての反射波の振舞いについての現象を測定し、解析した。その結果e1の部分での波長をλ’ 、ちの部分での波長をλ 4＝. 汲ﾖ＋e2. とおくと、2dがX線回折の場合の光路差に対応するものである。これよ・り反射波が強めあう条件は、2d＝n λ すなわち㈲ち＋e・＝会・・砿一. となる。この関係が水深2．5cm、 Q．5㎝のとき、および 3 cm，. 1cmのときによく成立することが実験的に確かめ. られた。. 42.

(45) 参考文献（1）. 霜田光一、伊藤信隆、中込八郎＝波動の実験（波のふるまいにおける. 類似性）講談社（1973）. （2）. 中真一：水波における非線形効果（兵庫教育大学修士論文）（19. 92）. （3）. 山内恭彦、平田森三、富山小太郎翻訳監修：PSSC物理上巻、岩波. 書店（1967）（4）. 佐藤光1物理学実験ll「水波の実験」、兵庫教育大学自然系物理（1 984）. （5）. 今井功＝流体力学前編、裳華房（1983）. （6）. 巽友正二流体巾学、培風館（1983）. （7）. 南茂夫：マイコン・パソ：コンによる科学計測、CQ出版社（197 5）. （8）. 富山小太郎訳：ファイマン物理学、岩波書店（1991）. （9）. 岡村延夫：OPアンプ回路の設計、 CQ出版社（1975）. （1 Q）. 谷内俊弥：流体力学の世界、朝倉書店（1990）.

(46)