不規則合金の格子振動 : 短距離秩序の効果の計算機実験による研究 利用統計を見る

不規則合金の格子振動

―短距離秩序度の効果の計算機実験による研究―

         （昭和49年8月31日受理）

Lattice Vibrations of Random Alloys

高橋市郎

高橋健

-Investigation of the Effect of Short-Range Order by Computer

Experiments-IchiroTAKAHASHI TakeshiTAKAHASHI        Abstract  Using negative factor counting method proposed by Dean， which is rederived by adifferent method in this paper， the density of states for vibrations in one−dimensional random lattice with short−range order of atoms is calculated． Peaky structure found in the density of states changes systematically accordillg to the short−raIlge order of atoms but the positions of peaks do Ilot change． （

1．序

論  合金の格子振動の理論は，Taylor1）やSoven2）の 提案したcoherent potential近似（CPA）により，非 常に進歩した3）。CPAは一格子点近似であり，環境 効果や，クラスター効果や，短距離秩序度の効果を調 べることができない。これらの効果を調べるために， CPAを改良した種々の近似が提案されている4）∼8）。  一方，一次元格子振動模型に関してクラスター効果 が重要であることは，Dean9）により以前指摘された。 彼はNegative Factor Counting Method（NFCM） を用い，上記の模型について，原子配位が完全に無秩 序の場合に状態密度を求め，その状態密度にpeaky structureが現れること，この構造は局所的な原子配 位によることを示した。また同じ模型について， phase theoryによる理論的研究も堀や松田らにより 行われている10）。  NFCMは，一種の計算機実験であり，乱数を用い て与えられた原子濃度を持つ原子配位を決め，この配 位について格子振動の状態密度を正確に求める方法で ある。  われわれはこの方法を短距離秩序度（SRO）の在る 場合に適用して，合金の一次元格子振動の状態密度の 原子濃度や原子の短距離秩序度による効果を調べる。 そして近似理論で得られる結果とこの計算機実験の結 果を比較するための資料を用意する事を目的とする。

 第2節でNFCMの新しい導出を与える。第3節で

用いるSROパラメーターと状態密度の計算方法を説 明する。計算結果および議論を第4飾に与える。 2， Negative Factor Counting Method  N個の原子から成る一次元格子振動の運動方程式は   ［Mηω2−2γコUn十γUn＋1十γUn＿i＝＝O      （1）       （π＝1∼N，Uo＝UN＋、＝O）， である。ここでMnは格子点πの原子の質量で，確 率変数である。またωは角振動数，γは最近接原子間 の力定数，Unは格子点πの原子の変位である。変数 Un（n＝1・vN）の連立方程式（1）の係数でできる行列式 を零とおいたω2のN次多項式の根鋤（カ＝1∼N）が 格子振動の固有振動である。  状態密度D（ω2）は次式で与えられる。   D（の一揚δ（ω・一ω6）

  一一±露縛mE㎡＋iδ一tU多コーi （・）

積分状糎N（（v2）一㌦醐は（・）を用いてる魎果はDean9）により異揃法で得られてい

次のように表される。   N（（・2）一認禦ml砿（ω・＋‘δ一ω多）    一±え撫・ml・D・・1（ω・＋i・）∬−Hl，（・） ここで，∬はN×」Vの単位行列であり，丑もN×Nの 行列でその行列要素はHnm＝γ［M。Mmコー1／2［一δnm＋、 ＋2δnm一㌦仇．、コで与えられる。（3）式はHの形に注目 して次のように変形できる。まず，N×Nの行列 A≡（ω2＋iδ）∬−Hは次のように書き換えれる。   A≡（：ll：：：：）一（二ll：9）

・（；，鴛1鋼2）・ （・）

ここでA，、，A、2， A21およびA2，はそれぞれ1×1， 1×（N−1），（N−1）×1および（N−1）×（N−1）の 行列である。したがって   DetlA1＝An・Detレ4（N−1）1，       （5） と変形できる。ここでA（N”1）≡A22−A2、 A、、−1 A12 は（N−1）×（N−1）の行列である。A、， A1、−1A、2は Hの形から（1，1）要素のみ零でない。したがって       _{A（N”1）はA22と（1，1）要素のみ異なる値A22≡A22} −H21All−IH12をもつ。 A（N−1）について（4）および（5） と同様な関係を用いると

         N

  DetlA1＝Al1・A22・DetlA（N−2）1， となる。A（N’2）は（N−2）×（N−2）の行列である。 この手続きを繰り返し用いれば

      N N

  DetlA1＝＝ ll Ann，      （6）       ％＝1 と表せる。ここで

  会≡篇一輪、互＿古．試己一N），｝

       （7） （3）へ（6）を代入すれば積分状態密度は   N（ω・）一誌・m蕊1・互一

   一還θ（一？￥nn）・   （・）

と表される。ここでθ（x）はx＞0なら1，x＜1な ら0の階段関数である。（8）の第2番目の等式は次のよ うにして証明される。δ→0＋のときもしImA脇が正       _{で零に近づくなら，（7）の関係からImAn＋1。＋、は正} で零に近づくことがわかる。またlmAiiは正で零に 近づく。したがってすべてのπについてImA。nは正 で零に近づくから（8）の等式が成立する。  すなわち負のA。nの個数を求めればN（ω2）が求ま り，それを微分することによりD（ω2）が求まる。 3．短距離秩序度のパラメーターおよび状態密度   の計算方法  簡単のため，AとBの2種の原子から成る二元合金 を取り扱い，AおよびB原子の濃度をそれぞれ認およ びy＝1一エとする。最近接格子点にAB対が見出さ

れる確率をxsYとする。したがってAAおよびBB

対の見出される確率はそれぞれx（1−sy）および or （1−sx）となる。ここでsはSROパラメー一一・Lター で，s＝1のとき系は完全に無秩序であり， s＞1ある いはs＜1のとき系は最近接格子点に異種原子あるい は同種原子が来易くなる。定義から O≦sf｛9Min（1／x，1／y）である。  与えられた濃度およびSROをもつ原子配位は乱数 を用いて次のように作られる。o≦P，＜1なる一様乱 数を発生させ，P、〈xならA原子をP、≧エならB原 子を一番目の格子点に置く。次にOS｛P2＜1なる一様 乱数を発生させる。一番目の格子点がA原子のとき， p2＜syならB原子を， P22），yならA原子を二番目 の格子点に置く。もし一番目の格子点がB原子のと き，P2＜sxならA原子を， P，2）sxならB原子を二 番目の格子点に置く。以下同じ手続きを繰り返して各 格子点の原子を決める。  全てのN個の格子点の原子が決ったら，あるω2に ついて（7）を用いて順次A。nを計算し，負であるものの 数からN（ω2）を求める。状態密度はD（ω2）＝［N（ω2） −N（ω2−4ω2）コ／4ω2の関係から求める。 4．計算結果および議論  質量比をM．／M，・＝1／3，格子点の数をN＝24，000 とした場合について計算を行った。また4ω2／ω2A（ωン ≡4γ／MDはO．02とした。乱数はその一様性等を検 定したものを用いた。  A原子の濃度がx・＝O．9，0．5および0．1の場合に 得られた計算結果をそれぞれ図一1，2および3に示 す。用いられたSROパラメーターsは各図の中に示 されている。  AまたはB原子のみから成る系の状態密度は，良く 知られているよらに，ω2／（v2A＝0∼1または0∼3の 間にU型で与えられる。図一1，2および3の（1）は5が 小さい場合で同種原子が最近接格子点に来易く，その 結果できたクラスターの振動による状態密度はAまた はB原子のみによるものと良く似ている。sを増すと 、

0．8 0．6 ㌻ さo．4 0．2 0 0．8  O．6 ㌻ 零 o．4 る  0．2 0 0．8 1 ω2^ω7 2 （1） s＝0．01 3 1 （3） s＝0．6 ー 1 ／ 1 0．6 零 o・4 ｝1｛ 0．2 1 ω2^tO，t2 2 3 （5） 刀≠P．1 0 0．8  0．6 ぎ T o．4 ｝ES  O．2 O O．8  0．6 s＜ 零，．4 二  〇．2 0 0．8 0．6 零o．4

5

0．2 1 ω2^ω7 2 （2） s＝0．2 3 i （4） 刀≠P 1 ω2／ωβ 2 3 （6） s＝1．11    1      2      3      0       1      2     ω2／ω42      ω2／ω『 図一1x＝O．9の場合に計算で得られた状態密度。用いられたSROパラメーター5は各    図に示されている。 3 ／

0．8 0．6 ぎ 零 o．4 tS O．2 0 0．8 0．6 ㌻ ぎo．4 tS 0．2 0 0．8 0．6 ㌻ 亙α4 0．2 1 ω2^ωβ 2 （1） s＝ O．Ol 3 （3） 3＝0．6 1       2  ω2／呼 ii 馴 3 （5） 刀≠P．6 0．8 0．6 ∨ 零α4

5

0．2 0 『 （2） 刀≠O．2 0．8 O．6 ぎ ’S o．4 11｛ 0．2 0 0．8 0．6 ㌻ 3α4 O．2 1 ω2^ωξ 2 3 （4） s二1 ．｜ 1

一剖

@   ／‖

i ㎡

1

1       2  ω2／ω7 3L （6） s＝1．98   0       1      2      3      0       1      2

       ω2／ω7       ω・／ω？

  図一2 x＝O．5の場合に計算で得られた状態密度。用いられたSROパラメーターsは各      図に示されている。 3

0．8  0．6 もく 零 o．4

6

 0．2  0 0．8 0．6 ㌻ 零α4 ES 0．2一 0 0．8 （1） s＝0．01 ｜ F 1 ω2^ω？ 2 3 O．8  0．6 ㌻ ES o．4

5

 0．2 （2） s−0．2

＼

0 0．8 1 ω2^ω』 2 3 （3） s＝0．6 1 ω2^c・．？ 2

↓

3  0．6 べ 零 50・4 0．2 （4） 3＝1

岬／

 0．6 ∨ ひ 30．4  0．2 （5） s＝1．1

‖

ti     0 0 0．8 0．6 TO・4 言 0．2 1 ω2^ωf 2  （6） s＝1．11 3

｝

   1      2      3      0       1      2

     ω2／ω了      ω・／ω？

図一3x＝0．1の場合に計算で得られた状態密度。用いられたSROパラメーターsは各   図に示されている。 3． ♂

peaky structureが現れる。 ピークの高さはsと共 に増大する。状態密度が零である領域もSと共に増 す。またその領域はB原子の濃度が大きいほど現れに くい。ピークの形は濃度や5と共に著しく変化するが， その現れる位置はこれらによらず一定である．このこ とは状態密度のピークを与える振動は局所的な原子の 配位のみによること9），そして濃度やSはその配位の 見出される確率のみに関与することを考え合わせると 理解できる。  図で，s＝・1は完全に無秩序の場合の結果であり， Deal19）により調べられた場合に対応する。図一2は等 しい濃度の場合である。s＞1の場合，すなわち異種 原子が近接格子点に来易くなる場合の結果には，規則 二元合金の音響的振動と光学的振動に対応する状態密 度が現れている。特に図一2−（6）では上記2種の振動と 不純物準位との区別が顕著である。       謝   辞  有益な議論をしていただきました，林英輔助教授， 安井勝講師に感謝致します。資料の整理，原稿の清書 等をして下さった秋山輝子嬢にお礼を申します。 文 献 1）D．W． Taylor：Phys・Rev・156（1967）1017・ 2） P．Soven：Phys・Rev・156（1967）809・ 3） B．Velicky， S． Kirkpatrick and H・Ehrenreich：   Phys． Rev．175（1968）747． 4） F．Cyrot−Lackmann and F・Ducastelle：Phys・   Rev． Letters 27（1971）429． 5） B．G． Nickel and J・A・Krumhansl：Phys・Rev・   B4（1971）4354． 6）J．A． Blackman， D． M． Esterling and N・F・Berk：   Phys． Rev． B4（1971）2412． 7）M．Tsukada：J． Phys． Soc・Japan 26（1969）684；   32 （1972） 1475． 8）LTakahashi and M・Shimizu：Prog・Theor・Phys・   51 （1974） 1678． g） P．IDean：Proc． Roy． Soc． 254（1960）507；260   （1961） 263． 10）例えばJ．Hori：Spectral Properties of Disordered   Chains and Lattices（Pergamon Press， Oxford，   1968）．