滋 賀 大 学 教 育 学 部 紀 要 自 然 科 学 No.46 pp.27-42, 1996
27
余 弦 公 式 のn次
元へ の一 般化
佐 野 圭 太*・ 吉 川 亮 三**・
大 久 保 克 己
Generalization
of the Cosine
Formulas
Keita SANO, Ryozo YOSHIKAWA, Katsumi OKUBO
Abstract
Pythagoras'theorem and the second cosine formula are well known. The former is the special case of the latter and taught in the . junior high school. The latter and the first cosine formula are taught in the high school. In this paper, we prove the first and the second cosine formulas using the concept of the vector and generalize these formulas. First using the concept of p-vector and*一 〇perator we show a simple formula of the normal vectors to the boundary of a simplex , from which we get the generalized cosine formula. Next we invesigate the relation between Gauss'theorem and the above simple formula .
は じめ に
平 面 上 に 任 意 の 三 角 形ABCを と り、 辺BC, CA, ABの 長 さ を そ れ ぞ れa, b, cと す る 。 辺BC,
ウ ウ
CA, ABの 外 向 き の 法 線 ベ ク トル を そ れ ぞ れn、 , nb, n。 とす る と
う コ う
an,十bnb十cnc=0
で あ る 。 こ の こ と は 、 三 角 形ABCを90。 回 転 し た 図 を 考 え る こ と で 示 さ れ る 。 た と え ば 、 三 角 形 ABCを 点Aの 回 り に 時 計 回 り に90。 回 転 し た 三 角 形 をAB℃'と す
る と 、
ウ ゆ う や
ana=B'C', bnb=C'A, cnc=AB' だ か ら ウ う の
an,十bnb十cnc=B'C'十C'A十AB'
=酉'
=δ
と示 され る 。 た い へ ん直 感 的 で 、 高校 生 に も理 解 で きる 説 明 で あ る 。
こ の 関 係 式 は 、 こ こ で は 三 平 方 の 定 理 や 余 弦 公 式 を 導 く基 本 的 な
式 で あ る 。
甘 。
A
C
B'
【図11 '→ nc Bn a上 と同 様 な こ とが 三 次 元 空 間 内 の 四 面 体 に つ い て も示 す こ とが で き る。 つ ま り、四面 体ABCDに
*京 都市立伏見工業高等学校
**滋 賀県立八 日市高等学校
28 佐 野 圭 太 ・吉 川 亮 三 ・大 久 保 克 己
お い て 、 各 面 △BCD、 △ACD、 △ABD、 △ABCの 面 積 を そ れ ぞ れ S、,Sb, S、, Sdと お く 。 ま た 各 面 に 対 す る 法 線 ベ ク ト ル を そ れ ぞ う レ ロウ れna, nb, nc, ridと お く と レ ウ
Sana十Sbnb十Scnc十Sdndニ0
が 成 り立 つ の で あ る。 こ の 証 明 は 、 平 面 上 の 三 角 形 の 場 合 の よ う に
直 感 的 に示 す こ とが 難 しい 。
こ の 論 文 で は 、*一
作 用 素 やp一
ベ ク トル の 概 念 を 用 い て 、 上
と同 様 な 結 果 がn次
元 空 間 のn次
元 単 体 に対 して も成 り立 つ こ と
を示 し、 三 平 方 の 定 理 や 余 弦 公 式 を一 般 化 す る 。 更 に グ リー ン の 定
理 や ガ ウス の 定 理 との 関 係 を考 え る 。
第1節 p一 ベ ク トルA
。 。 。 B ___一 一 一 = C 【図2】D
Vを 実 数 体R上
のn次
元 ベ ク トル 空 間 とす る 。p(1≦n)個
のVの
直 積 ×… ×Vの
元 の 自由 和 の 集
合 を 〉
∼Vで 表 す 。 そ の 部 分 集 合 で 次 の よ う な元 で 生 成 され る部 分 集 合 を 〉
∼Vで 表 す 。
ゆ う や つ づ づ(V1,・ ・,v重 十vl,… , vp)一(V1,・ ・,Vi,・ 。・,vp)一(Vi,・ ・,v'i,… ,Vp) (1≦i≦P)
ゆ ウ (V1,・ ・,rv,,・ 。・, vp)一r(V1,・ ・,Vi,… ,vp) (1≦i≦P) ウ コウ や ウ ウ
(v、,・ ・,Vi,… , Vi,… ,vp)+(V1,。 ・,vj,… , Vi,。 ・・, vp) (1≦i〈j≦P)
た だ し 、 士 は 任 意 の 実 数 で あ り 、Vg(k=1,…, p)は ベ ク ト ル 空 間Vの 元 で あ る 。 そ し て 集 合>C VPを 集 づ 合 ×Vで 割 っ た 商 集 合 を くVで 表 し 、p一 ベ ク トル 空 間 と い う 。(v、,…,Vp)を 含 む 同 値 類 をv、 〈… 〈 P P Vpで 表 す 。 定 義1.1 ベ ク トル 空 間Vに お け る 内 積 を(,)で 表 す 。 こ れ を 用 い てp一 ベ ク ト ル 空 間AVPに 内 積 〈,〉 を 次 の よ う に 定 義 す る 。 ゆ う ウ p一 ベ ク ト ル 空 間 くVの 任 意 の 元V1〈 … 〈Vp, w、〈… 〈Wpに 対 し て P ウ ウ ウ う う (V、,W、)(Vi, W2)…(V、, Wp) う う う ウ 〈薪、〈 ….ジ,,斎 、〈 ….斎,〉 、一(V・ ・W・)(V・ ・W・)"●(V・ ・W・) う う う ゆ う (V,,W、)(V,,W、)…(V,,W,) 注 意1.2 ベ ク トル 空 間Vに お け る 内 積(,)に 関 す る 正 規 直 交 基 底 を ウ e1, e2,'。', en とす る(以 下 で は 断 り な し に こ の 意 味 で 用 い る)。 い ま 薪1一 Σv・ 」さ・(・一 ・,…,P) 」冒1 と 表 さ れ て い る と す る と 、 定 義1.1よ り
余 弦 公 式のn次 元 へ の 一般 化 う ウ う う う ウ (Vi, Vi)(Vb V2)…(V1, V,) 〈▽1〈....薪,,マ1….マ,〉 、.(マ ・・す・)(マ ・・▽・)…(▽ ・・す・)' も レ ウ や (V,,V、)(V,,V2)…(V,,V,). Vl1 V、2…Vlp 12 V21 V22…V2P ≧O Vp1 Vp2…VpP ウ コ ゆ と な る 。 特 に 、 等 号 はV、,V2,…, Vpが 一 次 従 属 の 時 の 成 り立 ち 、 → ' → → V1〈 。●。〈Vp=0 の と き で あ る 。 注 意1.3 ベ ク ト ル 空 間Vに お け る 内 積(,)に 関 す る 正 規 直 交 基 底 ウ e1, e2,● 。●●●●, en に 対 し て
・`・
〈… ↑`・・… 〈… ・…
一{Z({i
O({i::::::::;;1::::r.IP'
が 成 り立 つ 。 命 題1.4v,=Ev,」ei(・ 一 ・,…,n一 ・)と す る と き 」=1 う (VI, V・) (V1, V2)…(V、, V。.、) ゆ の ウ ウ (V2,V・) (V2,V2)…(V2,V。.1)・・o・o●●o● ・・●●6●o■●● ●o●o●●●o●o●go● ら●●●●●●●● ●●●●●●
oo・●・・ ○・ ・o● ・●●o● ●●● ●● ●○●o●9●●,● ●●●●●●.● ●●● ●●●●・● ウ ゆ う (V。.・rVi)(Vn一 、, V2)…(Vn.1, V。.、) 2 V、1V、2…V、i-1 V、i+1… Vn1
一Σ V2' V22…
V2卜1 V21+1'●'V・n
1=1 V 11V。.、2…V。 一、i-1 V。.11+1…V。 一、n な る 関 係 式 が 成 り 立 つ 。 〈証 明 〉 ＼ 2930 佐野 圭太 ・吉川 亮三 ・大久保克 己
う ウ や ゆ ラ レ (V1, V1) (V1, V2) … (V1, Vn-1) う ラ う (V2, V1) (V2, V2) … (V2, Vn-1) つ づ り づ ・… ・… … … ・… … … ・… … … ・・… … ニ 〈V1〈 … 〈V。.1, V1〈 … 〈Vn.1>● ● o o ● o ● ● ● ○ ● ● ● ● ● O o ● ● ● ● ● ● o ● ● ● ● ● ● ■ ● o o o ● ・ ・ ● o ● ・ o ● ● ・ ● o ゆ う ウ ウ う (V。 一、,V、)(V。 一、,V2)…(V。.、,V。 一、) で あ り 、 {1,.・ ●,n}一{11,・ 。・,ln_1}ニi
・
・
一(1:の'●i-1,i+1:.●.●'㌦一
、)
とす る と
マ ・〈 … 〈 マ・一・一 Σ(E oieSn一 、 sgn(σ ・)V・'1…V・ 一・'・一1)さ ・〈 … 〈 さ・一1〈 さ … 〈 … 〈 葛 i=1 Vll V12…V、i-1 V、i+1… V、n nlV21 V22…Vyi-1 Vzi+1… V、n一 Σ … … … ・
・
… … … ・
… … …
i雷1 ●,●,● ・●●・・●●・●● ・●・o… o・o・・ ●・●・・… o・o●●●.ooo●o● ・.●
・・一・1V?一 ・2".・ ・一・'一'Vn-li+1● ●'・n-1
づ り り づ
'e,〈 … 〈e,_1〈e,+1〈 。・・〈en
と な る 。 こ れ と 注 意1.3と 合 わ せ て 命 題 の 式 を 得 る 。 定 理1.5n次 元 ベ ク トル 空 間Vのp一 ベ ク トル 空 間AVPは 、 実 数 体R上 の 。C p次 元 ベ ク ト ル 空 間
で あ る。
〈
証 明 〉 ベ ク トル 空 間Vに
お け る 正 規 直 交 基 底
ゆ う ウ e,,e2,'●', en に 対 し てマFΣv・」
さ・(・
一・,…P)
」=1 と書 け て い る と す る 。 す る と ("1) ・1〈… 〈㍉ 一V1・ ・… 。 ・嘱 、〈… 〈さ、p J1,..,1p=1 と → →' か け る 。 こ こ でe」 、〈 … 〈e」pは 符 号 を 除 い て (1。2) さi1〈・・。〈e,,,(1≦i1く … <1p≦n) の1つ と 一 致 す る 。 し た が っ て 、 任 意 のp一 ベ ク ト ル は(1.2)の 一 次 結 合 の 形 に 表 さ れ る 。余弦公式のn次 元への一般化 31
次 に(1.2)が 一 次 独 立 で あ る こ と を示 す 。 い ま
EC"…1Pさi1^…
〈ye,,=δ
1≦i1く… 〈IP≦n ウ ウ と 仮 定 す る 。 こ れ とe」i・…^ejpと の 内 積 を と る と Cll」2'●'1v=0 を 得 て 、(1.2)は 一 次 独 立 で あ る こ とが わ か る 。 定 理1.6n次 元 ベ ク トル 空 間Vの 一 次 独 立 な べ ク トル マ1,▽2,…,マ 、を 辺 に も つ 平 行2n面 体 の 体 積 の2乗 は 、 1 ..2 ___ ..n 12 V I V1 ●'● V1 <マ、.….マ。,薪、._.薪 。> V2iV22"'・ ・n V。1V。2…Vnn で 表 さ れ る 。 〈証 明> nに 関 す る 帰 納 法 に よ る 。 n=1の と き は 明 ら か 。 づ n-1の と き は 成 り立 っ て い る と 仮 定 す る 。 ま ず 、V1, V2,…, Vn-1の 張 っ て い る(n-1)次 元 部 分 空 間 の 正 規 直 交 基 底 を ウ う ノ ノ ノ el,ez, '●㍉ en_1 に 取 り替 え る 。 こ れ にe'、 を 付 け 加 え て レ う う e,1,e'2, 。・・, e'n_1, e/nがn次 元 ベ ク トル 空 間Vの 正 規 直 交 基 底 に な る よ う に と る こ と が で き る 。 そ こ で の
さ・
一Σa、・
ず、(・
一・,…,n)
」=1 と す る と 行 列(a,')は 直 交 行 列 で あ る 。 こ の 新 し い 基 底 で 訊 ,マ2,…,マ.を 表 し て み る 。 k=1,…,n-1に 対 し て ロ ハ薪・
一Σv・・
さ・
一ΣV・・(Σa・
・
ず、)一
Σ(V、1a、
・)8、
i=1 1冨1 1=1 1冨1 ウ で あ り 、Vk(k=1,…, n-1)はe'k(kニ1,…, n-1)で 張 ら れ る 空 間 内 に あ る の で ず.の 成 分 は0で あ る 。 よ っ てΣv・
・a'一
〇
1=132 佐 野 圭 太 ・吉 川 亮 三 ・大 久 保 克 己 で あ る 。 次 に 、 ロ 薪。一 ΣV。1さ ・一 ΣV。1(Σa・jδ ・')一 Σ(V・ ・a・・)さ'・ 1=1 1=1 1=1 童冨1 で あ る 。 そ こ で , i ↓ e i k / V ・ ▽ 山 回 F V と お く と v'11 v'12 … v'n1-1 0 v'21 v/22 … v/2n噂1 0 v'。 一11Vi。.12…v'。 n-1-10 V'。1 V'。2…V'nn-1 V'nn 1 2 nV I V1 '" Vl V、1V22…V2 V。1V。2…V。 a、1a、2…a、n
a21 a22… na2
a。1a。2…8nn と な る 。 さ て 、Vk(k=1,…,n-1)を 辺 に も つ 平 行2(n-1)面 体 の 体 積 の2乗 は 仮 定 よ り V'、1 V'、2…V'、n-1 V'21 V'22…V'2n-1 V'n_11 ノ 2Vn_1 0 0 ・ V'。 一、n-1 で 表 さ れ る 。 こ の 平 行2(n-1)面 体 を 底 面 と し た と き のVg(k=1,…,n)を 辺 に も つ 平 行2n面 体 の 高 う う さ・は 、1(v。,e。')1=IVinnlで あ る 。 故 に 平 行2n面 体 の 体 積 の2乗 は 、
IVnlZ
V'、1V'、2…V'、n-1 V2'1 V'22…V'2n-1 V'n一 、V'。 一 、2…V'。 n-1-1 v' V11 '12… v'、n-1 0 v'21 v'22…v'n-1 02 V/n_11 0 Vll V12 V21 V22 '一2V n o● , 0 n'●' V l n'。' V 2 V。1V。2…Vnn 2 v'。n-1-10 Vnn 2 1a , 1a 2 2 Venn O o '11 0 v'2' 0 0 V'、2… V'1n-1 V2'2… V'2n-1 Ov'n. V11 '。一12…v'。 一 、n-1 v'、 V、2…v'、n-1 0 v'21v'22…v'"一1 0z ノV n_1 ノV n-1 a12…a、n a22…a2n 1 2 na n an '●' 8n v'。 一、2…v'。 一1n-10 V'。.、2…V'。.、n-1 V'nn 2 V、1V12…Vln V21 V22…V2n 1 2 nV n Vn 。●。 Vn 2 2 2 と な り、 証 明 で き た 。余弦 公 式 のn次 元 へ の 一 般化 33 系1.7n次 元 ベ ク トル 空 間Vの 一 次 独 立 な ベ ク トル す1,マ2,…,薪 、 を 辺 に も つn次 元 単 体 の 体 積 は 、 次 の 式 で 表 さ れ る 。 す な わ ち 、 定 理1.6の 平 行2n面 体 の 体 積 の1!h!倍 で あ る 。
V、1'V、2…V、n
+⊥V21V22●'●V・n
『n!o ・ o ・ o ● ・ ● ● o ・ ● ● ● ● ● ● ● 1 2 n V n Vn ●●● Vn 〈証 明> nに 関 す る 帰 納 法 に よ る 。 n=1の と き は 明 ら か で あ る 。 n-1の と き ま で は 成 り 立 つ と 仮 定 し 、 定 理1.6と 同 じ よ う に 基 底 を 取 り 換 え る 。 マ1,マ2,…,薪 。一、 を 辺 に も つ(n-1)次 元 単 体 の 体 積 は + 1 『(n -i)! '1V 1 /1V 2 ,2 ,n-IV 1 ●。' V1 ノ ,n-1V 2 。。' V2 ' 1 ' 2V n_1 Vn_1 '。' V'n_1n-1 で あ り、 こ れ を 底 面 と し た と き のn次 元 単 体 の 高 さ はIV'。nlであ る 。 し た が っ て 、 n次 元 単 体 の 体 積 は frlvlnnltn-1/IVinnlnJO ・d・ ・ ±1
一告1岬1・
(。
圭1)!
±1 n!(n-1)!
'1 '2V 1- V1 ,1 ■2V 2' V2 '1 '2 'n-1V 1- V'1 ●●' V1 '1 '2 'n-1V2 V Z '●' V2・ o ・ ・ o ● ● o ● o o o ● ■ ● ● ● ● ● ○ ● ● ● ● ● o o ● ● ●
' 1 ' 2 ' n-1V n-1 Vn_1 "●Vn_1 ノn-1'●' V1 'n-1'。' V 2
・ ● ・ ● ● o … ● . ● ● ● ・ ● ● ● ● ・ ● ・ ● o ● ● o ● o ● ノ ノ ノ n-1V n-1 Vn-1 鱒' Vn_1 1 2 nV I V1 '●' Vl 1 2 nV 2 V2 '" V2 ● ● ● ・ … 墨 ・ ● ・ o ● ・ ● ● り ● 1 2 nV n Vn '" Vn 噂 と な る 。
第2節
*一 作 用 素
定 義2.1向 き の 定 ま っ たn次 元 ベ ク トル 空 間 ▽ に お い て 、 一 次 独 立 な ベ ク トル 魂(k=1,…,n う 一1)に 対 し て、 記 号v、 × … ×v。一、で 次 の よ う な 条 件 を 満 た す ベ ク ト ル を 表 す 。 う (1)ベ ク ト ルV1× … ×v。 一、の 大 き さ は 、 ベ ク ト ルyVk(k=1,…, n-1)を 辺 に も つ 平 行2(n-1)面 体 の 体 積 に 等 し い 。34 佐 野 圭 太 ・吉 川 亮 三 ・大 久 保 克 己 ウ ウ (2)ベ ク ト ルV1× … ×Vn一 、は 、 ベ ク ト ルVk(k=1,…, n-1)の す べ て に 垂 直 で あ る 。 う ウ (3)n個 の ベ ク ト ルv、,…,v。 一、, v、 × … ×v。 一、は ベ ク ト ル 空 間Vの 向 き と 一 致 す る 。 う つ づ こ の よ う に 定 義 さ れ た ベ ク ト ルV1× … ×Vn-1をV、,…, V。一、の 外 積 と い う 。 ウ 命 題2.2 ベ ク ト ルViの 成 分 をv童k(kニ1,…, n)と お く と 、 定 義2.1の 外 積v、 × … ×v。 一1の 第k成 分 は V11'V12…V、k-1 、k+1… V、n (一1)k+n V21 V22…V、k-1 V2k+1… nV2 V。_11V。.12…V。.、k-1 V。一、k+1…V。 一、n で あ る 。 〈証 明 〉 づ 上 記 の 成 分 を も つ ベ ク トル をwと お く とk=1,…,n-1に 対 し て V、1 V、2…V、 ト1 V、i+1… V、n ・繭 一 ￡ ・一 … 一 ・、・.v21v22'"v21-1v2i+1"●v' 1冨1 ニ(一1)n+1 Vn_11 Vn_12 Vkl Vk2 Vll V12 V21 V22 ト1 ●●● V n_1 。" V n k nO。● V l n'" V 2 V。 一 、1V。 一 、2…V。 一、n i十1V n_1 ・o・ =0 Vn_1n と な り 、.yVg(k=1',…, n-1)に 垂 直 で あ る こ と が い え た 。 づ ま た 、 ベ ク トル の 大 き さ は 、 命 題1.4よ り ベ ク ト ルVk(k=1,…, 体 の 体 積 に 等 し い こ と が わ か る 。 最 後 にw=Σwieiと お き 、 行 列 式 を 展 開 す る こ と に よ り 置=1 V、l V、2…vin. V、1 V、2…V、i-1 V21 V22…Vn2
一Σ V21 V22 … V21-1
V。.、1V。 一、2…V。 一、・ 重富1 V。一、1V。 一、2…V。.、i-1 WI W2 … wn n-1)を 辺 に も つ 平 行2(n-1)面 i十1 n ●●● VlV l i十l n ●'● V 2V2 V。 一11+1…V。 一 、n 2 >0 う と な り 、v、,…, v。一1, wは ベ ク ト ル 空 間Vの 向 き と 一 致 す る こ と が わ か る 。 ウ ウ 以 上 よ り こ のWがV1× … ×V。_1で あ る こ とが わ か る 。余 弦 公 式 のn次 元へ の 一 般化 35
づ
定 義2.3 向 き の 定 ま っ たn次 元 ベ ク トル 空 間Vの 正 規 直 交 基 底 をe,,e2,…, e、 と し、 e、〈e2〈,
… 〈e、で 向 き が 与 え ら れ て い る と す る 。 こ の と き(n-1)一 ベ ク トル 空 間 か らn次 元 ベ ク トル 空 間 へ の 写 像*で 、 基 底 に 対 し て 次 で 与 え ら れ る も の を 考 え る 。 *(一ie,、〈 ・∴〈 さ1。.、)=・g・(・)さ、n
ただ ・・・
・…
…止
・
瞬
・
畑
一…
一(1:1:::::1=1'1)・
…
こ れ をlinearに ベ ク トル 空 間 に 拡 張 す る 。 こ の 写 像 を*一 作 用 素 と い う 。 命 題2.4 *一 作 用 素 は 、 ベ ク ト ル の 長 さ を 保 存 す る 。 〈証 明 〉 注 意1.3よ り わ か る 。 ウ う 命 題2.5 一 次 独 立 な ベ ク ト ルV1,…, v。一1に 対 し て 、 ウ ウ ウ *(V、 〈 … 〈Vn.1)ニV1× … ×Vn-1 〈証 明 〉 命 題1.4と 定 義2.3よ り わ か る 。 第3節 2次 元 平 面 こ の 節 で は 、"は じ め に"で 示 し た こ と を 第2節 で 準 備 し た こ と を 用 い て 証 明 す る 。 次 元 が 高 い 場 合 も 同 じ方 法 で 示 す 。 そ こ で 、2次 元 平 面 に 異 な る3点A,B, Cが 図1の よ う に 与 え ら れ て い る と す る 。 BC, CA, AB つ づ づ に 垂 直 な 外 向 き の 単 位 法 線 ベ ク トル をn。,nb, n、 と す る 。 第2節 で 定 義 し た*一 作 用 素 は 、2次 元 の 場 合 に は 、 そ の ベ ク トル を 正 の 向 き に90。 回 転 し た ベ ク トル を 対 応 させ る こ と に な る 。 い ま 、屈.配.繭
』
諮A1冷
Am
A
2
だか ら両辺 に*一 作用素 を作用 させ る と
(3・1) 1屈1三 、+1配1ヨ 。+1蕊1丑 、一 δ と な る 。 大 変 シ ン プ ル な 証 明 で あ る 。 同 様 に 、 右 の 図 の よ う なm角 形A、AZ…Amが あ る とす る 。 各 辺A、AZ, A2A3,…, Am-1Am, Am A、 に 垂 直 で 外 向 き の 単 位り づ ベ ク ト ル をn,,n2,…, nmと す る と う ウ AIA2十A2A3十 … 十Am_1Am十AmA,ニ0 が 成 り立 つ 。 こ れ に*一 作 用 素 を 作 用 させ る と 響一一 一 → 一一夢 一一一一■) 一一ウ → 一r一 一一一夢 →
＼
ノ
㌫
lAIA21n1十IA2A31n2十 ・・十JAM_,Amlnm_1十IAmAllnm=・0 が 示 さ れ る 。 こ れ も 見 事 で あ る 。〆
↓
【図3】↓
魂
漏
36 佐野 圭太 ・吉川 亮三 ・大久保 克己
また こ の 証 明 は 、m角
形 を 三 角 形 に 分 割 して 、 そ れ ぞ れ の 三 角 形 に(3.1)を 用 い て 、 そ れ らの 和 を
と る方 法 も考 え ら れ る 。 こ の 証 明 の場 合 に は 、 三 角 形 が 基 本 的 な 図 形 で あ る こ とが う ま く認 識 で きる
良 い 例 で あ ろ う。
さ て 、(3.1)よ り
づ の づ つ づlABInc=一IBCIna-ICAInb
と変 形 し、 両 辺 を共 に そ れ 自 身 との 内 積 を 取 る と
ゆ ゆ う う う う JAB12=IBCI2十ICAI2十21BCIICAI(nb, nc)と な る 。 そ 午 で 、ABニc、 、 BC=a, CAニbと し 、 ∠ACBの 大 き さ をCで 表 す と 上 式 は CZニa2十b2-2ab cos C と な り、 第2余 弦 公 式 を 得 る 。 特 に ∠ACB=90。 の と き は CZ=a2十b2 と な り、 三 平 方 の 定 理 を 得 る 。 り ま た 、(3.1)の 両 辺 とn、 と の 内 積 を と り、 ∠ABCをBで 表 す と の の り
一IABI
cosB十IBCI-ICAI
cosC=0
す な わ ち 第1余
弦 公 式
a=ccosB十bcosC
を得 る。
これ らは 、 既 知 の 結 果 を新 しい 概 念 を用 い て 、 しか も シ ン プ ル な 関 係 式(3.1)か ら導 か れ る こ とは
生 徒 に と っ て も興 味 ・関心 を持 た せ ら れ る 内 容 で は な い だ ろ う か 。
第4節 3次 元 空 間
この 節 で は 、2次 元 で 成 り立 つ こ とを1つ 次 元 の 高 い 空 間 に拡 張 す る 。
ゆ づ づ レ四 面 体OABCに お い て 、 OA=a, o$=b, OC=cと す る 。 こ こ で はa, b, cが 右 手 系 で あ る と 仮 定 し て お く。 す る と 、
(4.1) (言一 芒)〈(右 一 さ)=蓋 く 言一 ヨ〈 さ一 さく 右
が 成 り立 っ て い る 。 各 面 △OBC、 △OCA、 △OAB、 △ABCの 面 積 を そ れ ぞ れS。 、Sb、 S。、 S。 と し、 各 面 に 垂 直 で 外 向 き の 単 位 ベ ク う う ウ ト ル をn、,n6、 n、、 noと す る 。(4.1)の 両 辺 に*一 作 用 素 を 作 用 さ せ る と ウ ウ う ウ 2Sonoニ ー2Scnc-2Sbnb-2Sana と な り 、 (4・2) S(流o十Sc這c十Sbnb十Sana=δ を 得 る 。
B
。
/
〃
/
、 ' ' ' 、 , 丈 C ・ ! ! ! ! / ! ! ノ 【図4】O
余弦 公 式 のn次 元へ の 一 般化 37
四面 体 に 成 り立 つ(4.2)を 用 い る と、2次
元 に お い て 多 角 形 に対 し て成 り立 つ こ と を示 した 同様 の
方 法 で 、 多 面 体 に対 して 同 じ様 な 関 係 式 が 成 り立 つ こ と も示 せ る。 こ れ に よ り空 間 に お い て は 四 面 体
が 基 本 的 な 図 形 と考 え られ よ う。
こ の 場 合 も平 面 で 余 弦 公 式 や 三 平 方 の 定 理 を導 い た と 同様 の こ とが 考 え られ る。(4.2)よ
り
つ づ Sono=一Scnc-Sbnb-Sana と な り、 両 辺 の そ の 式 自 身 と の 内 積 を と る と (So)2=(Sa)2十(Sb)2十(Sc)2 ゆ う 十2ScSb(nc, nb)一←2SbSa(nb, na)十2SaSc(na, nc)と な る 。 △OBCと △OCA、 △OCAと △OAB、 △OABと △ABCの な す 角 を そ れ ぞ れ θ,、 OA、 BBと す る と上 の 式 は
(So)2ニ(Sa)2十(Sb)2十(Sc)2
-2ScSbcosθA-2SbSacosθc-2SaSccosθB
と な る 。 こ れ は 第2余 弦 公 式 の 拡 張 で あ る 。 特 に 、 θcニOA=BB=90。 の と き
(So)2=(Sa)2十(Sb)2十(Sc)2
と な み 。 つ ま り 、 右 の 図 の よ う な 立 体 に お い て 直 角 三 角 形 △OBC、 △OCA、 △OABの 面 積 と △ABC の 面 積 の 間 に 成 り立 つ 関 係 で あ り 、 平 面 上 の3平 方 の 定 理 に 対 し て4平 方 の 定 理 と言 っ て も よ い で あ ろ う 。
ま た 、 △ODB、 △OBC、 △OCAの そ れ ぞ れ が △ABCと な す 角 を そ れ ぞ れ η、、 η、、 ηbと し、(4.2)
づ の 両 辺 とnoと の 内 積 を と る と So=Sccosηc十Sbcosηb十S"COS77、 を 得 る 。 こ れ は 第1余 弦 公 式 の 拡 張 で あ る 。
第5節
n次 元 空 間
2次 元 、3次 元 で 成 り立 つ 事 柄 を 一 般 化 す る 。n次 元 単 体 のOA、AZ…A、 で(n-1)次 元 単 体 のOA、 …A,.1Ai+1…A.の 体 積 をS,と し 、 外 向 き の 単 位 づ 法 線 ベ ク トル をn,(iニ1,…,n)と す る 。 ま た(n-1)次 元 単 体AIA2…A、 の 体 積 をS。 と し 、 外 向 き の ロ レ 単 位 法 線 ベ ク ト ル をn。 と す る 。 こ こ で 、OA,=Vi(i=1,…, n)と お く。 適 当 に 頂 点 を 取 り換 え る こ と う ウ に よ りv、,V2,…, Vn-1, v.は ベ ク ト ル 空 間Vの 向 き と 一 致 し て い る と し て よ い 。 ウ い ま 、(n-1)一 ベ ク ト ル(vrv。)〈(V2-V。)〈 … 〈(Vn-1-V。)を 考 え る 。 ウ う ウ ウ ウ (V1-V。)〈(V2-V。)〈 … 〈(V。 一1-V。) 一 マ・〈 薪・〈 … 〈 嵐 一・一 Σ 薪・〈 … 〈 す・一、〈 馬 く 転 、〈 … 〈 マ_、 k=1
が 成 り立 つ の で 、 両 辺 に*一 作 用 素 を作 用 させ る と、
38 佐野 圭太 ・吉川 亮三 ・大久保克 己
(5・1) (薪、一号。)×(マ、一 マ。)×… ×(薪 、一 号。) コユ ー マ・×マ・× … ×マ。.・一 V1× … ×マ・∠1×マ。×マ・+・×…Xマ ・一・ k=1 と な る 。 ま ず 、 右 辺 の 項 を 書 き 換 え る 。k=1,…, n-1の と き つ づ り つ づ つ づ w1, v、,…, v。1ニ(一1)(n-k'kiv、.、,…, v。, v1,・ ・㌧v、.1, v、1 だ か ら う ウ ウ の (n-1)!Sink=(一1)(n-k)k+lvk+1× … ×Vn×V1× … ×Vk-1 =(一1)(n-k)k+1(一1)(n-k)(k-1)(一1)n-k-1 V1× … ×Vk-1×Vn×Vg+1×'。'×Vn-1 つ づ づ つ づ ニV1× … ×Vg_1×Vn×Vk+1× ●●'×Vn_1 と な り 、 ま た う う V1× ・・。×Vn_1ニ ー(n-1)!Snnn で あ る 。 左 辺 の 項 に つ い て は 、 づ づ つ づ つ づ つ づ り り lV、, V、,…, V。 一、, V。1ニIV、 一V。, V、 一V。,…, V。.1-Vn, V。1 だ か ら 、 う う ウ ウ (V1-vn)〈(V2-Vn)〈 。・・〈(Vn_1-Vn)=(n-1)!Sono と な る 。 し た が っ て 、(5.1)は(5.2)
謡..謡
一碧・、
・、
k=1 の 形 に 表 さ れ る 。こ こ で(n-1)次 元 単 体OA,…A;一,A,+1…A.と(n-1)次 元 単 体OA,…A」 一、A,+、…A。(1≦i<j≦n)の 成 す 角 を θi」で 表 す 。(5.2)の 両 辺 の 内 積 を と る と (5.3) ・
(S・)・
一Σ(S,)・
i=1 と な る 。 更 に 、 θ1jニ90。(1≦i<j≦n)が 成 り立 っ て い る と き(5.3)は (5.4) ' ・(S・)・
一Σ(S;)・
1冨1 と な る 。 こ れ は(p+1)平 方 の 定 理 と も 言 え る も の で あ る 。 ま た 、(n-1)次 元 単 体A1…A.と(n-1)次 元 単 体OA,…A五.1Ai+1…An(i=1,…, n)と の な す 角 を そ れ ぞ れ ηiと お く と 、 前 節 と 同 様 に し て 第1余 弦 公 式 の 拡 張 で あ る余弦 公 式 のn次 元へ の一 般化 39 η S O ρ S ・ ▽ 乙 H 一﹁ S を 得 る 。
第6節
曲面 へ の 一 般 化
こ れ ま で 余 弦 定 理 や 三 平 方 の 定 理 のn次 元 へ の 一 般 化 を 考 え 、(5.3)や(5.4)を 導 い た 。 こ こ で は 別 の 方 向 で の 一 般 化 を 考 え る 。 先 に 三 角 形 や 四 面 体 に お い て(3.1) や(4.2)の よ う な 関 係 が 成 り立 つ こ と を 示 し た が 、 こ れ を 閉 曲 線 や 閉 曲 面 に 一 般 化 す る こ と を 考 え る 。 xてs),y(s)をsに 関 し て 微 分 可 能 な 関 数 と す る 。2次 元 平 面 に お い て 、(x(s),y(s))(0≦s≦a)を 弧 長sを パ ラ メ ー タ ー に も つ 右 の 図 の よ う な 閉 曲 線(i.e.x(0)=x(a), y(0)=y(a))と す る 。 こ の と き 、 接 ベ ク トル は う t=(dx/as, dy/Us) で あ り 、 外 向 き の 法 線 ベ ク トル は 、 (6.1) nニ(dy/ds,一dx/as)で あ る 。 曲線 に 沿 っ て 法 線 ベ ク トル の和 を考 え る と
【図5】今
n
!尤
五・・一∫}(・・淑・,一・・週 ・)・
・一(∬(・ ・
廻 ・)・
・,一π(・ 調 ・)・
・)
一([・(・)]3一[・(・)1)一
δ
を 得 る 。 こ れ は(3.1)の 拡 張 で あ る 。 こ こ で グ リ ー ン の 定 理 を 思 い 起 こ し て み る 。 い ま 、 図6の よ う に 、 グ リ ー ン の 定 理 の 成 り立 つ よ う な 、 区 分 的 に な め ら か な 閉 曲 線Cお よ び こ れ に 囲 ま れ た 領 域Dが 与 え ら れ て い る と す る 。 閉 曲 線C に は 領 域 を 左 に 見 る よ う な 向 き 付 け が 与 え ら れ て い る とす る 。 い ま 2つ の 関 数P(x,y)、 Q(x, y)はDUC上 でC1級 と す る と ∬(・P/∂ ・+・Q/∂ ・)・・〈 ・・一 ∫(… 一Q・ ・) が 成 り 立 つ 。 そ こ で ベ ク・ト ル 場v=(P(x,y), Q(x,y))と し 、 曲 線 Cの 法 線 ベ ク ト ル(6.1)を 用 い る と 五(輸 ・・一 五{・(dy/d・)一Q(・V・ ・)・・一 五(Pdy-Q・ ・)と書 け る の で
(6.2)
∫ 五(・P・∂・+・Q/∂・)・
・〈 ・・一∫(葡
…
りと表 せ る 。 特 にvが
定 ベ ク トル と す る と左 辺 は 常 に0で
あ り
D
【図6】40 佐野 圭太 ・吉川 亮 三 ・大久保 克己
(・,五
蓋・
・)一
・とな…
の臆 性・り
粛 ・
・一δ
を 得 る 。 し た が っ て グ リ ー ン の 定 理 の 特 別 な 場 合 が(3.1)と 考 え ら れ る 。 な お 、(6.2)を 座 標 を 用 い な い 形 に 表 す と(6・3)
∬
…(薪)・S=(▽
,ヨ)・
・
と 書 け る 。 た だ し 、dSお よ びdsは そ 凡 そ れ 面 積 要 素 お よ び 線 素 で あ る 。 次 に(4.2)と ガ ウ ス の 発 散 定 理 の 関 係 に つ い て 考 え る 。 3次 元 空 間 に お い て 、 ガ ウ ス の 定 理 が 成 り 立 つ よ う な 領 域 を ρ と し、 そ の 境 界 をSと す る 。9US 上 でC1級 の 関 数P(x, y, z)、 Q(x, y, z)、 R(x, y, z)に 対 し て∫ ∫ 五 、s(・P/∂・+・Q・ ∂y+・ ・/∂・)・・〈 ・・〈 ・・一 ∫fPdy〈 ・・+Q・ ・〈 ・・+… 〈 ・・
が 成 り立 つ 。 こ の 右 辺 をV=(P(x,y, z), Q(x, y, z),R(x, y, z))を 用 い て 変 形 す る 。 境 界 面Sの 十 分 小 さ な 領 域Uは 局 所 的 に2つ の パ ラ メ ー タ ーs、tで XニX(S,t)、 y=y(S, t), Z=Z(S, t) と 表 さ れ る 。 し た が っ て 接 ベ ク トル は (∂X/∂S,∂y/∂S,∂Z/∂S), (∂X/∂S,∂y/∂S,∂Z/∂S) だ か ら 単 位 法 線 ベ ク トル は
五一(墓審 一基 袈 蓋 警 一{諸審 器 警 一{発{発)・J(・,・,…,・),
J(x,y, z;s, t)ニ で あ る 。 さ て こ こ でだ か ら
墓 審 一{鍛2+塞
祭 一{雑2+{雑
一{籍2
dx=(∂x/∂s)ds十(∂x/∂t)dt dyニ(∂y/∂s)ds十(∂y/∂t)dt dzニ(∂y/∂s)ds十(∂z/∂t)dt dy〈dz={(∂y/∂s)(∂z/∂t)一(∂z/∂s)(∂y/∂t)}ds〈dt dz〈dx={(∂z/∂s)(∂x/∂t)一(∂x/∂s)(∂z/∂t)}ds〈dt dx〈dy={(∂x/∂s)(∂y/∂t)一(∂y/∂s)(∂z/∂t)}ds〈dt で あ る 。 す る と余 弦 公 式 のn次 元 へ の 一般 化 41
∬Pdy〈
・・+Q・ ・〈 ・・+…
〈・・
∬(・{(・
・β ・)(・
・/∂
・)一(・
・
β ・)(∂y/∂
・)}
+Q(∂z/∂s)(∂xβt)一(∂x/∂s)(∂z/∂t)}・・{(・V・・)(∂y/∂
・)一(∂y/∂
・)(・V・・)})・・〈・・
一∬(マ
・H)J(・,・…,・)・・〈・・
だ か ら(6.2)は よ く知 られ たベ ク トル解 析 で の ガ ウス の 定 理 の形
∫∫∫6…(マ)・V=∫
五(茄)dS
つ と 書 け る 。 た だ しdVお よ びd5は そ れ ぞ れ 体 積 要 素 お よ び 面 積 要 素 で あ る 。 特 に 、 vが 定 ベ ク ト ル で あ る と き 、 左 辺 は0で あ り、(薪,∬蓋・
・)一
・
サvは 任 意 で あ る こ と よ り
∫五HdS一
δ
が わ か る 。 し た が っ て 、 ガ ウ ス の 定 理 の 特 別 な 場 合 が(4.2)で あ る と 考 え ら れ る 。 最 後 にn次 元 の ガ ウ ス の 定 理 に つ い て み る 。 n次 元 ベ ク ト ル 空 間 で 、n次 元 の ガ ウ ス の 定 理 が 成 り 立 つ よ う なn次 元 領 域 を 」2。、 そ の 閉 じ た 境 界 を ∂9。=S、 と す る 。 ∫2。us。上 でC1級 のn個 の 関 数P,(x、, X2,…, x。)(i=1,…, n)に 対 し て 危 Σ(∂P,/∂x・)dx・ ・…^d・♂一 ∫§ΣP耐 ・・…^dxn〈dx'・ … 〈dx'一1 i=1 】=1 が 成 り立 つ 。 こ こ で ベ ク ト ルv=(P,,P2,…, P。)を 用 い て 表 す と2次 元 、3次 元 の 場 合 と 同 様 に臨 …6)・馬一ム(葡 ・
臨
と 書 け る 。 た だ し 、nはS。 の 法 線 ベ ク トル で あ り、dVnお よ びdS。 は そ れ ぞ れn次 元 体 積 要 素 お よ び(n-1)次 元 面 積 要 素 で あ る 。 ウ こ こ でvは 定 ベ ク トル と す る とdiv(v)=0だ か ら(で,ム蓋
・跳)一
・
づを得 る 。vの 年 意 性 よ り
42 佐 野 圭 太 ・吉 川 亮 三 ・大 久 保 克己
