不規則な形状初期不整を考慮した回転シェルの応力分布と分岐座屈荷重の統計的解析 : 摂動法とモード重畳法を用いた解析手法について

1

論　 文】 UDC ：624

．

074

．

4 日本建 築 学 会 構 造 系 論 文 報 告 集 第 394号

・

昭和 63 年12月

不 規 則

な

形

状初

期

不

整

を

考

慮

し

た

_回

_転

シ

ェ

ル

の

　　　

応 力分 布

と

_{分 岐座 屈}

_荷

重

の

_{統計 的解}

析

摂 動 法

とモ

ー

ド

重

畳 法 を

用

いた

解析 手 法

につ い て 正 会 員 正 会 員 正 会 員 正 会 員

武

村

松

加

　

　

　

史

藤

町

岡

藤

厚

＊

賢

＊ ＊

理

＊ ＊ ＊

郎

＊ ＊ ＊＊ 　 §

1．

序 　シェ ル構造 物の安全性 評 価におい て

，

応 力 分 布や 座屈 耐 力は基 本 的 な 情 報であり

，

実際に製作さ れ る構造物 自 身の特 性の正 確な評価が構造物の挙動 を予測 す る 上で重 要である

。

形 状の初 期 不 整 がシェ ルの応 力分 布 性 状 を乱 し

，

耐 力の低下を 招く可能 性の ある こ と が知 られ てい る1

−

S 〕

。

形 状 初 期 不 整 （以 下， 本 論 文では単に初 期 不 整 と言 う ）が シェ ルの応 力分 布や座 屈 性 状に与え る影 響は 種々 の シェ ル につ い て研 究が進め られ て き た

。

例えば

，

一

_{葉双曲 面 形 状の冷 却 塔の応 力分布の乱れ に} 関す る も の （例え ば文 献4）

〜

6）， 外 圧 を受け る部分球 形 シェ ル の 座屈荷 重の 低下に関 す る 研究な ど が 挙 げ ら れ る（文献 7），8） 近 年で は，

9

）など）

。

そ れ らの研究に よ り， 初 期 不 整が構 造 物に与える影 響の基 礎 的な現 象の解 明は か な り進 展し て い る

。

　

一

般に初 期 不 整は空 間に関 して不 規 則に分 布し

，

かつ

，

再 現 性のない ものと考え ら れ る。 こ の ことか ら

，

初 期 不 整を確 率

・

統 計 論 的に取 り扱うこ とは合理的であろう。 確率 論的 立場か ら初期不 整が シェ ルの_{構 造 特 性}に与え る 影 響 を検討す ること は実際の安全性評価に際し て重要で あり

，

設 計などの意 志 決 定の_際に有益な資料を与え る と 考え ら れ る

。

　初 期不整 を不規 則量 と し て取り扱い

，

シェ ルの耐 力の 統計 的評価を最初に試み たの は

Bolotin

’°｝ で あり

，

座 屈 耐 力が初 期 不 整を表 現 する確 率 変 数を含んで決 定さ れ る 場合の_耐力の確率密度 関 数の推 定につ い て述べ _{て い る} 。 し か し

，

初 期 不 整に よ る座屈耐 力の 陽 な関 数 表 示は 困難 である の が

一

般 的である

。

その_{後， 実 際}の_定量的 評価を 目指し

，

主に軸 圧 縮 を 受ける円筒シェ ルを 対 象に して研 究が進め ら れてき

tl

　ll

−

1s）

_。

_{そ れ らの研 究の ほと ん どは初} 昭和fil

，

62年 度日本 建 築学会 大 会に て

一

部発表

。

　 　‡ 清 水 建 設 （株 ） 工修 　 ＃ 名 城 大 学 　助 教 授

・

工博 　 1＃ 名古屋大学　教授

・

工博 　＊ ＊ ＊1 _{豊 橋 技 術 科学 大 学 　 教 授}

・

_{工 博} 　 　 　 （昭 和 63 年 Z 月 10日原 稿 受 理 ｝ 期 不 整 をシェ ル の周方 向に軸 対 称

，

あ るいは非軸 対称で 母 線 方 向に単 純 化され た 形状を考 慮し た数 値 解析を行っ たもの であるが， シェ ル の構 造 信 頼 度評価に関し て初 期 不 整の観 点か ら の有 益な情 報が得られ て い る

。一

方

，

座 古16｝_{は貯蔵タ ン クを対 象に}

_，

_{底 板の 腐 食に よる板 厚の不} 規 則 減少につ い て有 限 要 素法 を利 用して応 力分 布の統 計 的考察を行っ て い る。 　不規則な初期不整を考慮す る統 計 的 解 析 手 法とし て は

，一

般性が あり

，

かつ _{実 用 的な解 析 手 法が求}め られて いる。 解析 手 法と して は初 期 不 整の分 布 性 状に関して現 実の不 規 則 性を良く近 似しうる こ とが必 要で あ り

，

そ の 上で

，

実 際に数 値 計 算の実 行が可 能で な けれ ばな ら な い。 近 年

，

不確定 要 因を有 する系の応 答の統 計 的 解 析 を行 う 手法と して確率有限 要素法が提案さ れ

，

さ まざま な展 開 が み られて いる1η

_。

_{そこ で は 有 限 要素法 と 摂 動 法 が 組 み}

・

合わ さ れ て用い ら れ ている

。

そ の手法に よ れば形状の み な らず 内 部 材 料 定 数の ば らつ きの考 慮などさ まざま な問 題に適用で き るもの で あ る が

，

シェ ル の非線形 問 題の よ うな対 象で は

一

般に大 規 模な行 列 演 算 を要する

。

また

，

座 屈点まで の展 開は示 されてい ないため

，

初 期 不 整の観 点か らの シェ ル の信 頼 性 評 価に利 用で き るまで に は至っ て い ないと考え ら れる。 　 本 論ではモ

ー

ド重 畳 法によ り離 散 化された基 礎 式IS ）に 対 し て摂 動 法が組み合わ され て用い られ てい る

。

こ の場 合，初 期 不 整 をモ

ー

_{ドで展 開し てい ることに も} 関連し て， 効 率の よい計 算が可 能で あり

，

座 屈 点に関して も具 体 的 に統計的近 似 解が得ら れ て い る

。

な お

，

摂 動 法につ い て は弾 性安定 問 題に_対し多くの研 究が なされて お り

，

座 屈 荷 重の初 期不整に対す る敏 感度解 析に関して も

一

般論が 展 開され て い る19 ）

『

tZ ）

。

本 論で もこ れ らの 研 究 成果に 基 づい て座 屈 点 回りの_{展 開}を行っ てい る

。

　本 論 文では静的荷重を受け る弾 性の薄 肉 回 転シ〕

・

ルを 対 象に

，

不規則な初 期 不 整が シェ ル の応 力 分 布や 座屈荷 重に与え る影 響につ い て_統計 的な解 析 を行 うた め の モ

ー

ド重 畳 法＋摂動 法に基づ く解 析 手 法 を 具 体 的に示 す。 こ

一

₁₀₅

　

一

の手法で は

，

初 期 不 整は採用す る複数の モ

ー

ドの重ね合 わ せ で表現され， 軸 対 称

，

非 軸対称の区 別な く任 意の相 関が設 定で き る とい う意 味での

一

般 性があり

，

ま た

，

多 次 元 確 率変数を含む非 線 形 問 題において

，

現実的な計算 時 間で統 計 的 解析が可 能とな る

。

さ ら に

，

応 力や座屈荷 重の統 計モ

ー

メン トの み な らず， モ ンテカル ロ法の併用 に際し て もそ の シミュ レ

ー

ショ ン 効 率が大幅に向上す る

。

したがっ て

，

応 力分布や座 屈 荷 重な どの確 率 分 布の 推 定が

，

直接に非 線形 解析を繰り返 す 統 計シ ミュ レ

ー

シ ョン に要す る演算 時間に比ぺ て極めて小 規 模な計算で 可 能 となる。 こ の手法は， 例えば鉄 筋コ ン ク リ

ー

_ト造の 冷 却 塔な ど大型 の シェ ルにおい て問 題と な る自重や 風荷 重に_対す る応 力 分 布の初 期 不 整による乱れ の解析に も有 効であ る。 また， 古く か ら問題 と さ れてき た，

一

_様な外 圧 を受け る部 分 球 形シ ェ ル の座 屈 荷 重の_変動に関する統 計 的な解 析などに も効 力を発揮す る

。

数値 計 算に際 して は_初期 不 整 振 幅が微 小で あ ることが条件と し て付さ れ る が， 比 較 的 広 範 囲の形 状の 回転シェ ル につ い て

，

具 体 的 に適 用 すること が可能で あ ると考え ら れ る。 た だ し

，

座 屈 荷 重の解 析で は

，

完全 形状シェ ル の分岐 座 屈 荷 重が初 期 不整によっ て変 動 する現象の みを対象と し て い る。 し た がっ て

，

取り扱 うシェ ルや荷重に よっ て は適 用に制 約 を伴い_， その適 用に は

，

解 析 対象の初 期 不 整 振 幅にも留 意す る必 要 が あ ろ う （完 全 形状シェ ル の分岐座 屈 荷 重が 初 期 不 整に よっ て変 動す る 場合

，一

般に座 屈 点は分 岐で は な く飛 移り座 屈 を 呈 す る

。

以下

，

本 論で は分岐

，

お よ び飛 移り座屈の_表現は完 全 形 状シェ ル に対す る もの と す る〉。

　

以 下

，

用い る手 法の概 要につ い て_{実 際}の数 値 解 析に必 要と され る部 分 を 中心に述べ る

。

さ らに_， 統 計 的 非 線 形 解析 を行う ための準 備と しての予備 的な解 析 と若 干の数 値 解析 例につ い て示すこと と す る

。

　

§

2．

摂動 法に基づく統 計的 非線形解 析 手 法 　

2．

1

初 期 不 整 を考 慮し た回転シェ ルの釣 合 式

　

回 転シェ ル の形 状， 変 位

，

外 力

，

応力を図

一

₁

_，

_Zにrs す。 均 質な等方弾性体の回 転シェ ル に 蓄 積 され る ひずみ エ _ネル ギ

ー yt，

外 力ポテンシャ ル

VE

は次式で表さ れ る24 ）

。

螺

・・

蕪 ）

か

（

1

）

　

　

　

＋N

（

　 1 賜

，

駕 　 ’ v

，

v 　 Jw

．

w

）

』

・

（

1

）

’

i

・

（

1

）

　　 　　　 　u

_，

包t

　　　

＋

NV

，

　 _v’

S

。sin 画 8 　　 　　　 　w

_，

ωi

…・

……・

………・

・

…・

……・

…

_（1）

一

₁₀₆

一

Z ，

1se

　 　

，

　 w

v

／

・ V 図

一

1 回転シェ ル の座 標

Y

　

Ns

　　　　　　　

Mse

蕾

潛

　 　図

一

2　回転シェ ル の外 力と応 力 　 　 　

f

呵

 

_小

，

・

，

・） … si…

ds − ・

・

（・） 　 　 　 ん こ こ に

，

_（u

，

v

，

ω）

，

（u’

，

　v’

，

ω’）は そ れ ぞ れ シェ ル中 央 面の 変 位

，

お よ び初 期 不 整で あ り， げ

，

g

， ん）は外 力の成 分で ある。 座標 （

S ，

θ）， S。 ，　g につ い ては 図

一

一

1 を 参 照さ れ たい

。

な お

，

（1＞式 中の微 分 演 算 子

L

，丹， N 弾 性定 数 行 列 澀 につ いて は付

一

1）に示す。

　

本 論文で は， シェ ル の変 位と初 期 不整 を境 界 条件を満 た すモ

ー

ドを用い て

，

次 式の よ うに級 数 展 開す る

。

（

1

圄

liii

黝

・一 … …

_…

（

1

圄

麟

一

一

_… こ こに， n は採用モ

ー

ド数，　

N

‘は

i

次モ

ー

ドの周方 向 展 開 次 数で あ る

。

at_，　

e

，は それ ぞ れ

，一

般 化変位お よび 初 期 不 整の各モ

ー

ドに対するパ ラメ

ー

タ

ー

で あり_{確率 変} 数と し て扱わ れ る

。

例え ば

，

臺（‘

＝

1

，

2

，…，

n）が零平 均の n 次 元

Gauss

分 布に従 う もの と す れば

，

その結 合 確 率 密 度関数ρ（

・

）は

，

ξの分散と共 分 散の行 列 を

C

として次 式で表さ れ る。

　

　

　

・・ξ・一 ，，。）n・

｝

1

。

II

・・ e・p

［

一

壱

1

ξ

r

［C ］

一

’

1

ξ｝

］

　　 　　　 　　　 　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

＋

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（5 ：1

　

（3）

，

（4）式 を 用 い る と

V

，

，

VE は次 式の よ

．

うに示さ れ る。　 　　 　 　　 　 　　 　 　　 　　 　 　　 　

1

v

，

→

鮎

（

・ん ＋

含畠

・んjke・・

・ ・

晶

・

A

… ，

e

・

e

・

）

at・’ ・

糟 鋤

（

_oA ‘，魔＋

3

　Σ］oA 、丿観ξ二 　 　 　 　 e

＝

且

）

一

　　　　

　

・

揺

翕

勲

・

AWkt

・ taJahat

’

・

・

…一 一

（・） 　 　 　 VE

＝

λΣ

Qtai

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

一

・

・

一

一

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（7 ） 　 　 　 t

＝

L こ こ で

，

λは荷 重パ ラ メ

ー

タ

ー

で あり， 外 力の各 成 分は （

f

。

，g

。

，

　

h ．

）を単 位 量とし て そ れ ぞ れ

f

；

Va

，　

g

＝ λg。

，h ＝

λ

h

。と表 され る。 係 数 。Av お よび

Q

‘などは， 付

一

2a ）に示す が

，

こ れ らの係 数は回転シェ ル要 素 を 用い た有 限 要 素 法により_計算する ことが で き る。

．

』

ポテン シ ャ ル エ ネル ギ

ー P

は （

6

）

，

（7 ）式の

V

，

，

V，で表さ れ

，

静 的 釣 合 式はポテン シャル エ ネル ギ

ー

の 停 留 原 理に より次式の ように得られ る

。

　 　 　

P ＝

詈V

｝

一

1！E

・

・

・

・

・

…

　

一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

r・

・

−r・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

8

）

、

　 　 　P，

＝

∂P／∂at

　　　　

一

象（

　o1冫‘　∫＋Σ］n　 　 　 　且

D

‘JIξt ＋Σ】Σnコ2D ‘短 ，ξ，ξL 　 　 k

＝

1　　 　　　　 卍

弓

lt11

）

α∫

　　

　　　

・

熊

（

DD ・Jlt＋

象

ID …

6

遍

・ 　 　 　 n　 　n　 　rt 　 　　 　 　十ΣコΣユΣユoDtJMaJ αicai

一

λ

Q

‘

＝0 ・

・

・

・

・

…

　（

9

） 　 　 　 J

＝

1ke1 多

＝

1 なお

，

上式に お ける 。D‘丿な どの係 数につ いて は付

一

2b ） に示 す

。

さ らに後の計 算の た め_tP の at に関す る高階 の微 分 を 求 めてお く

。

　P‘∫

＝

∂ 2P ／∂α‘∂α丿 　 　 　 n 　　　　　　　 n 　　n

　　 ニ

。

Dw

＋Σ、

DWt

ξh＋ Σ Σ2P 姆 犀蘇ξ1 　 　 　 　尾

己

1　　　　　　　　　h

諄

1t

＝

1

　　

＋2

嵩（

　 　

n ，DX ，＋Σ，P 嵩魔 蘆

6

　 　 8

＝

1

）

・_・ 　 　 　 　

ハ

　 　 れ 　 　＋3Σ Σ。D 嵩龍‘α億 α 匚 　 　 　 　意

＝

1 』 l P‘，赴

；

∂ 3P ／∂α君∂α」∂α褶

一

_・

_（

_・助・

_噛

_P

_嗣

・

噛

_轟 ・ P‘丿he＝ ∂ ．_{P ／} ∂α_‘∂_α丿∂αh∂at

＝6。D

_呂圭星

P

‘」htm＝

Pwktmn＝…＝0

・

…

_（10） た だ し

，

係数。

D

翫な どにつ い ては付

一

2c に示す

。

　

2

．

2　

回転シェ ルの変形

，

応 力の統 計 的 解 析

　

変形や応 力の統 計 的 解 析 手 法につ い て具体的に述べ る

。

以下では 初期 不整振 幅は小さ いもの と仮 定し，

一

般 化 変位ai を初期 不整パ ラメ

ー

タ

ー

e

，に より次式の よ う に

TailGr

展 開で き る もの と す る。

　　　　　　　　

n 　　 　α‘（

6

）

＝

α‘o＋Σ］　α‘aξa 　 　 　 a

＝

1

　

　　　

　　

＋

糟

か

・ ・輸 ＋

告

… ……・

・

一

（・・） 　　 　 　　 　 　 　　 　 （

i，

α

，b

，

…

； 1，2，

…

， π） 非 線 形のつ り合い式 （

9

）に上式を代入 す る と

6

の恒 等 式 が 得ら れ るが

，

以 下

，

その_結果につ い て初 期不整に 関する 3次までにつ い て_示す。 実際の数 値 解 析で は初 期 不 整の特 性に応 じ て適切 な次 数まで_採用 す ること に な る

。

　 ［完 全 形 状］ 　 　 　 n　 　 　 　 　　 　 　 　n　 　n 　 　 　Σ。

D

‘丿α」。＋Σ Σ。

D

、丿k α丿。α、。 　 　 　 Jm1　　　　　　　　　 丿

冒

［　鷺

＝

且 　 　 　 n　 　n　 　n 　 　 　 十Σ Σ Σ。

1

）tmaJoamo αto＝ λ

Qi

…・

……

（

12−

a） 　 　 　 　 J

＝

1k

＝

1e

＝

1 ［

1

次］ ［

2

次］ ［3次］ Σ

L

‘ノα丿。＋

L7 ＝

O

………・

……・

…・

・

…

（12

一

り） ノ

＝

1n 　 　 　 　n　 　n Σ］

1

」‘丿α ，  ＋Σ Σ

L

‘ノka」a α肋 ’

冨

1　　　　　　　　　 メ

昌

1尾

■

I 　 　 　 n 　 ＋2Σ 銘 α_∫ 。＋

Lfe＝

0

………

（12

−

c） 　 　 　 i

＝

l n Σ

L

、ノα，。b， ノ

鴇

塾 ＋

量熊

L… （・画 ＋・・帥 ・帚 　 　 　 n　 　 　　 　 　 　n　 　n　 　n 　 十3Σ

L

島α_鋤 十Σ Σ Σ

L

‘瑠 α丿aareba 己

。

　 　 　 丿

＝

】　　 　　　 　　　 丿

昌

1k

＝

匸tdl 　 　 　 　　 　 れ 　 　 　ね 　 ＋

3

Σ Σ

L

録α 丿。α 肋＋

3

Σ 班 α ∫。

＝0

　 　 　 丿

昌

1k

＝

置　 　　　 　　　 　　　 　　 ’

i1

　　 　 　 　

’

’

’

”鹽

’

’

”鹽

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

”

（12

−d

＞ 　　 　（‘

，

ゴ

，…

　

，

α

，b，…

　

＝

1

，

2

，・

・

  π〉 　代 数 非 線 形 方 程 式 （12

−

a）の解 α t。 は荷 重λ

Q

‘に対す る完 全 形 状シェ ル の

一

般 化変位で あ る

。

これ を 用 いて

L

、Jな どの係 数 が求め ら れ （付

一3

を参照）

，

以後は線 形 の方 程 式 （12

−b，

c

_，

　

d

）よ り，　aia，　at

。

b な ど が 順 次求め られ る

。

　次に

，

初 期 不 整に関 する確 率 変 数 ξの統 計 量 が 与え られる場 合の変 位の統 計 量 を 求める

。

　回転 シェ ル の母線方向 変 位 u につ い て

，

そ の期 待 値 と 分散は （

3

）式 よ り次の よ う に記述 さ れ る。 な お

，

変 位 v

_，

w につ いては 同様であ り記述を省略す る。 　 　 　 　 n 　 E ［u］

＝

Σ］

E

［α‘］UicOSN ‘θ

・

・

……・

…………・

（

13−

a） 　 　 　 　 i

＝

I 　 　 　 n　 　n

　 Va

τ［u］

＝

Σ　

Z

　

C

．。［at，α 丿］u，u，　cos 　

N

，θ　cos 　

N ；

θ 　 　 　 t

＝

1J

一

1 　 　 　

’

’

’

”「

一

’

’

’

’

”t’

’

”…’

’

’

’

’

’

”甲

’

”

（13

−b

） 上式 中の

一

般 化 変 位の_{統 計}量は次式で表さ れ る

。E

［

・

］

，Va

，　［

・

］

，

　

C

。v ［

・

］は そ れ ぞ れ期 待 値

，

分 散， 共 分 散の演 算 子を意 味す る。 次 式に初期 不 整の 2次まで考 慮し た 場合の

一

般 化 変 位の統 計 量 を 示すと， ・ _［・ 1］

一

・・＋

義

脳 ・

鎗

か

・R・

…一

（圃 　 　 　 n　　　　 　

C

。v［α 、

，

a」］

・

＝ΣΣ α 、。α 」bC

。

b

．

　 　 　 a

＝

1b

＝

皇

　　　　　　

＋

揺 轟妻

・… 謳 ・

一

働瑚

　　　　

　　

＋

糟

鱒

叱 ・α・ （R呶

一

・・R・ ・）

一

₁₀₇

一

　

　　　

　　

＋

培

齲 か

・・… d（

R

・b・rf

− R

・ ・

R

・d） 　　 　 　　 　 　 　　

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

”「

’

’

’

”一

’

’

’

’

’

”

（14

−b

） と な る。 こ こに μ

，C ，

　

R

は初 期 不 整パ ラ メ

ー

タ

ー

の統 計モ

ー

メ ン トで あ る

。

す な わ ち

，

　μa＝

E

［ξ壼］

，

　

C

． ＝

Cov

［

ea

，

ξ，］ 　　 　 　　 　 　 　　 　 　　 　 　 　　 　

・

…

　

一

・

・

・

…

　（

15

） 　

R

帥

＝E

［ξ

h

ξ。］，　

R

αbc

＝E

［ξむξbξ詣］，

…

な お

，

初期 不 整パ ラメ

ー

タ

ー

が （5） 式の ように モ デル 化 さ れ る 場合に は_，（14）式の破 線 を付し た項は零とな る

。

ま た （

15

）式で は

C

。。

＝R

。b とな り，

4

次モ

ー

_{メ ン ト}

Rab

、dは

2

次モ

ー

メン トに よっ て展 開さ れ る

。

　応 力の成分に よるベ ク トル ｝σ｝の期 待 値と分 散は ひ ずみベ _{ク ト}ル を

lel

と す ると， 次 式 として表され る

。

　　 　

E

［σユ

＝ll●E

［ε］

・

…

　

9・

・

…

　

一…

　

一・

・

…

　

一一・

・

・

・

…

　（16

−

a） 　 　 　 n　 　 n 　　 　 Va

「

［σ』

＝

Σ Σ huhtit　C°v［εh ε」

………

（16

−b

） 　 　 　 」

＝

lh

＝

1 　 　 　 （

i，

ゴ

，

　

h

＝ 1

，

2

，…



，

6_）

hw，

ε‘は そ れ ぞ れ定 数 行 列 丑 お よびひずみベ ク トル の 要 素であ る

。

ひずみ

，

お よび 応 力ベ _{ク ト}ル は次 式に示 すu ｝ 。 　　 　

1

ε1

，

ε，

，…，

ε、

1

・＝

i

_ε 。

，

εθ

，

ε。，，x。 ，x。， x。誌

　　　

｛σ t

，

σ2

，…

　，

σs｝＝

INs

，

　

Ne，

2Nse

，

　

Ms，

　

Me，

2Mse ｝

　　 　 　　 　 　 　　

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（17 ） なお_， 変 位 や 応 力の各 成 分の確 率密度 関数の推 定は_， 初 期 不 整パ ラ メ

ー

タ

ー

の_{標本集 合}を数 値 的に生 成し， （11） 式 を 基に モ ンテ カル ロシミュ レ

ー

ショ ン手法 を併 用すれ ば， 簡 単 な代 数 関数の演算の繰り返し に帰着す る

。

　以上に述べ た応力分布の乱れに対する解 析 を 行 う際

，

変 位 場を適 切に近 似す るモ

ー

ドの選 択が重 要である。 例 えば

，

完 全 形 状シェ ル の自 由 振 動モ

ー

ドな どを 有 限 要素 法に よっ て求めて用い る こと は有 効で あ り

，

付

一2a

） に示す係 数の積分や_， 変 位，応力の計 算に も 都 合 が よい

。

さ らにそれ らの モ

ー

ドに加えて

，

完全形状シェ ル の_線形 解 析から得 られ る変位場を採用す ることは解析 精度の向 上に お い て効 果 的であ る。 　2

．

3

分 岐 座 屈 荷 重の統 計 的 解 析 　本 節で は

，

不 規 則な初 期 不整に よ る弾性座 屈 荷 重の変 動に_関す る統 計 的 解 析 法につ い て述べ る。 序に述べ た よ う に， こ こで は完 全 形 状 シェ ル の分 岐 座 屈 荷 重の初 期 不 整に よ る変動 を考 察 対 象と して い る。 以 下に示す手法は シェ ルの形 状や荷 重 分 布

，

それに初 期 不整の分布形状や 振 幅の特 性に よっ て

，

完 全 形状シェ ル の分岐座 屈荷重の 変 動で説 明 可 能と み な さ れ る問題に適 用され_， 有 効であ る

。

な お

_，

解 析 対 象 と する シェ

’

ル が低い荷 重 レベ ル で飛 移 り座 屈が生 起する よ うな場 合に は適 用 性の点で問題 と な ろ う

。

こ の点につ い ては後に 3

．

L2 で も述べ _{るこ と に} す る

。

　

2．

3，

1　 釣 合 式と座 屈 条 件 式の表 示 　初 期 不 整 を有す る回 転 シェ ル の座 屈 条件は

一

般に次式

一

₁₀₈

一

の よ う に表さ れ る

。

　　　

IP

‘Jl

＝0−・

・

…

　

一

・

・

一・

…

　

9・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一一

s・

・

…

　

〔18 ） こ こ に

，

Il

は行 列 式の値を示す 。 　次に_， 取 り扱い を 容 易にする ために初 期 不 整を含む シェ ル の変 位を完 全 形 状シェ ルの 釣合曲線を基準と す る 量に_変換する。 これ は

一

般化 変位at に対して 次 式の δ‘ で示 され る。 　 　 　δ‘

＝

al

−

aiO

…

　

’

・

…

　

一・

・

…

　

一幽

・

・

噛

・

・

凾

曁

…

　

9・

噛

9・

9・

・

一・

・

9・

（

19

） な お

，

上式の α‘。は （12

−

a＞式の解

，

す な わ ち完 全 形 状 シェ ル の釣 合 式 を 満たす

一

般 化変位で あり

，

確 定量で あ る。 さ らに

，

δ‘を

，

前 出の完 全 形 状 シェ ル の接線剛性 Lw の固 有ベ ク トル か ら な る直 交 行 列 ［Tij］を用い て_再 度 変 換 する ことにする。 これ は

，

完 全 形 状シェ ル の座 屈 条 件を示 す 接 線 剛性 ［

L

“］（

＝P

‘ilc）を対角化す る た め であ る。 座標変換し た後の 変位 qtと 径‘の 関係は次式の よ うに_記述 され る_。 　 　 　a尸 Σ T“q」

………・

…・

……・

・

一 ・

…・

・

…・

・

…

（20） 　 　 　 　 丿

＝

［ こ こに

，TtJ

は次式に示す ように ［

L

‘，］の固有 値tOab に 対 応す る固有ベ ク トル の成分で あ る。 な お

，

こ こで は ［

L

“］は対 称 行 列で あ る。 　 　 　 n　 　n 　 　 　Σ Σ

L

、∬、。

Tib＝

ω。b （ω。b

；

O；aキ

b

〕

……

（

21

） 　 　 　 t

＝

1丿

il

　 完全 形状の解at。

，一

般化変位 α ‘お よび初 期不整パ ラ メ

ー

タ

ー

畠につ い て も そ れ ぞ れ同様な変換 操 作に よ り 次 式を得る。 　 　 　 れ 　 　 　α_‘。＝ Σ

T

‘，β丿。

…・

………噛

・

……・

…………・

（22

−

a） 　 　 　 J

＝

1

　　　　　

n 　 　 　α‘＝ Σコ　

T

‘j（β」O十

q

丿）

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　　（22

−

b） 　 　 　 　 」

”

1 　 　 　 れ 　 　 　

e

、

＝

Σ　T、Jη」

…・

……・

一 …一 ……一 …・

・

（22

−

c） 　 　 　 　 J

＃

1 こ こ で β‘。

，

ηtは そ れ ぞ れ

，

座標変換後の完 全 形 状の釣 合 式 を満た す変 位

，

初 期 不 整パ ラ メ

ー

タ

ー

で ある

。

　 初期不整を有す る回転シェ ル の釣合式 （

9

＞式お よび 座 屈条 件式 （

18

）を （

22

）式に よ り座標 変換し

，

得ら れ る式に左か ら ［

T

“］の 転置行 列を乗じる。 釣合式お よ び座 屈 条 件 式は次 式の よ うに得ら れ る。 以 後

，

座 標変換 後は

P

‘のよ うに

，

一

記 号 を付 けて示 す）。 ・t（・・　o・　A）

一

象（

亜

・

義

・脇 ＋

舘

渇 晒 ・・

）

ua

’ ・＋

q

’｝ ＋

熊

（

_壘 ＋

義

・E・

嗣

奪9’・＋q’

1

・（

fi

・・＋q・〕 　 　 n　　 　n　　 　n 　十Σ Σ ΣoE ‘，St（β」0十qJ＞（β犀0十qD （βio十ω 　 　 丿

コ

1魔

日

11

＝

1

−

　

一

λ_γ≧

；

0　　　　　　（i

；

1

，

2，

…

　

，

n）

・

・

・

・

・

・

・

…



一…

_（23＞

　

　 　 　 　　 　 　 　n　 　 　 　n　 　n

IP

，，（（〜‘，

　

η‘）

1

＝

loE

‘ノ十 Σ：】量

E

‘∫αηα十 Σコ

　

Σコ2Etdrb ηaηb 　 　 　

−

　　 　a

蕁

］　　 　 　　 　　 　 　　 a

＝

1　b

”

1

　　　

・ ・

翻

_並

唱

臨

躯

　　　

＋ ・

自

（

_・

E

・

f

・・it＋

轟

疏 漁

海

　　　　　

n

　

　

n

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

n

　

　

n 　 　 　＋3Σ Σ。

E

翫漁 。β‘。＋6Σ Σ。左飜星β産。qt 　 　 　 　 t

＝

11vl 　 　　 　 　　 　　 　 　　 鳶

il

置

薈

l 　 　 　 n　 　n

　　　

＋3Σ Σ 。ErJhi　qtq星

1

； 0

，

　

（i； 1

，

2

，…，

　n） 　 　 　 　 t

＝

1t

亭

1 　 　 　　 　 　 　　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

r・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

…

　（24 ） 以下の記 述で は

，

（24）式を単に △（qi

，

ηJ）と表す こと にする

。

上式は （21＞式を考 慮 すると次 式の ように書く ことができる

。

　 　 　 れ　　　　　　　n 　　 n

　A

（q、， η、）

＝

1t

・w ＋Σ、

E

、、。ηa＋Σ Σ　、

Envb

η。ηb 　 　 　 a

＝

1　　　　　　　　　am且b

■

1

ギ

・

齲

・跏

蝿

・ ・

葱

固

・＋

嵩

IE 嵩

祕

　 　 　 　 n 　 　　n 　 　 　　 　　 　 　　 　　 　 　　 　　 　 　　n　　n

　　

十6Σ Σ oE あ覧β

魔

oq ，十3Σ Σ。EZktqkqtl 　 　 　 it

＝

1t

＝

1　　 　　　 　　　 　　　 　　　 it

＝

1t

＝

L 　 　 　　 　 　 　　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

7・

・

…

　（

25

） こ こ に

，

E

，

γ などの係 数につ い ては付

一

4 ）を参照の こ と とする。 な お

，

（23）

〜

（

25

）式で下線部分 は， 完 全 形 状シェ ル に対 する項を指 し てい る。 　2

．

3

．

2　統計 的近似解析手法 　こ こ では

，

座 屈 荷 重の変 動を初 期 不 整パ ラメ

ー

タ

ー

で 豪示 する際の取 り扱い を容易に す る た め に， 変位 qi， （

i

＝

₂

_，

₃

_，…，

n ＞

，

荷重パ ラ メ

ー

タ

ー

λ

，

お よび初 期 不整 η、を変 位

qi

と初 期 不整 η、

，

（∫掌 2

，

3

，…，

　n ）に よっ て 次の よ うに

Tailor

展 開でき る も の と す る

。

　　　

q

・（q・

，

・・｝

−

q・q・＋

負

鯆 ＋

去

… ……・

・

（・6

−

・）

　　　

・（・・

，

・，）

一

・ … qi＋

毒

・’・J＋

券

・

・ …・

・

（26

−b

＞

　　　

・1（q・

，

・_・［）

−

B

・q・＋

鶏

β

・

・」＋

壱

・

・

… ……・

（26

−

c） 上 式 を釣 合 方 程 式

，

座屈条件 式に代入 し て摂 動 法 を適 用 する。 　こ こ で

，

座 屈 原 点

，

す な わ ち完全 形状回転シェ ル の座 屈 点におい ては次の ような表現がで き る

。

　　　

P‘

lc

＝

0

，

　

　

　　

（

i＝

1

，

2

，●

・

 

　

n）

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（

27−

a＞

　　　

△

lc

＝

0

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

tt…

　

t・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

tt・

・

・

・

・

・

…

　

（27

−b

） 　上 式は

，

完 全 形 状の場 合の静 的 釣 合

，

お よ び座 屈条 件 を示 し て い る

。

そ の解 λ。

1

肌 β‘。

IY

は そ れ ぞ れ

，

完 全 形 状 回転シェ ルの 座 屈 荷重

，

お よび 座 屈モ

ー

ドを表して い る。 た だ し， これ らの完 全 形 状シェ ル の解は （23）

，

（24） 式か らの数 値 解 析に よ り求める の で は な く

，

（12

−

a_）の 非線形 代 数 方 程 式 を解い て

，

座 屈 点を求め るこ とに よっ て得ら れる。 各 係 数 などの座 標 変 換は その後に行う。 非 線 形 解 析はこ の

一

回の みであ る

。

な お以 後の記 述 中， 記 号 C「 は座 屈 時の値を意 味す る もの と す る

。

　摂 動 法に基づ く近 似 解の_{展 開 過 程}の_{記 述}は_省略し， 最 終的な解と_， それを求め るため

．

に必要な係 数 を示すこ と に す る

。

摂 動 法の弾 性 安 定 問 題に関す る基 礎 的な手 法に っ い ては文 献19 ）

−

23）に述べ _られ て いる

。

　

表示の_簡潔化の ため， 完 全

形

状シェ ル のポテ ン シ ャ ル エ ネル ギ

ー

に関する係 数 を

，

以 後

，

係 数M で書き直し て使用 することにする

。

　　　

Ml’

＝

｛

葱

1

・

＝

・・’r ° （片 ノ）

．

．

．

…．

…．

……

（28 ）

　　　M

‘ノκ

＝P

，丿尾

lc

，

…

こ こ では同時 座屈は取り扱わず

，

し た がっ て座 屈 点で は （21 ）式に お い て 1つ の固 有 値が零とな る

。

以 下

，

M，丿 の添字は零固有値に対し て 1とおくこと とし， し た がっ て （21）

，

（24）

，

（25）

，

（28｝式 を 考 慮する と座 屈 点にお いて 　　 　Mu

＝

ωll

＝

0

…・

………・

…・

…・

…

：

……一

一

（

29

） と示さ れ る

。

ほ か の係 数は次の よ う な意 味を持っ て いる

。

これらの _値を求める ことで最 終的 な 近 似解が得ら れ る

。

、

Mr 一

鋤

1

。

噛

脇 ・＋

黯

恥 照 ・ 趣尸

咢

1

。

一一

_7・ ・

　　　　

∂2

戸

、 M・J・

＝

∂q。∂q丿

Mh

＝ ∂2戸、 ∂ηa∂qJ ∂ip ‘

＝

₂

・

，Er」，十6Σ］oE あ莞

4

乳o c　 　 　 l

コ

1

1

　 ， 一 ・

E

・Ja ・

盞

GE

脚 ＋ iEUJalBi ・

　　　

Mf

・_一

．

_∂nb∂

_；

l

　

c −

2

群

嗣 ・ 　 　 　　 　 　 　　 　

…・

………・

・

…・

・

…・

……

（30 ） 　 上 記の 係 数に よ り座 屈 点 を分 類す れば

一

般に

M

，

・

・

O が本 論で取り扱 う分 岐 座 屈 を 示 す。 さらに

，

い わゆる非 対 称 分 岐座屈に対 し Mm ≠0

，

対 称 分 岐座屈に対 し て

．

Mill

＝

O

と な る 。 　分岐座 屈条 件よ り導か れ た係数の最終 的な値を次に示 す

。

　 　 　β、＝

07…P……・

……・

・

…・

………・

……・

・

・

…_（

31−

_a） 　 　 　βα

＝− Mf

〆

Ml ，

　　（a

；2，3，…，

　n＞

・

…

　

…

（

31−b

） 　 　 　　 　Σ 傚H ∫（

− Mf

＋

M

｝

Mf

／

Ml

｝／ω，，

I

　 　 　 　 J

＝

t 　　 　 　λ

。

＝

　 　 　 ホ 　 　 　 n 　　 　　　 　

，

　 　　 　 　 　　 　 Σ

M

囗，

M

，／ω 〃 　 　 　 丿

＝

2

　　　　

・ ＋Mf

，

− MgMl ，

／

ML

_＿＿．

_＿＿……

（32 ）

．

　 q‘。； ←

Mf

＋

MIMf

／

Ml − M

｛

− M

、λ。）／tOii 　 　 　 （i

＝

2

，

3

，

　

…

　

，

　n）

・

・

・

・

・

・

…

　（33）

’

　 次に

，

非 対 称 分 岐 座 屈に関する第

一

近 似 解につい て導 か れ た結 果を示 す。

　　

　

圃 ・

（

　π　　　　　　　　

．

Σ　

M

、wM ，／ω ，」 丿

目

2

）

−

1

・

：

…・

…・

…・

・

一 ・

_（・4） 　 　　qn＝＝

− M ‘

λ

，

／ωil

……・

・

……・

…………・

…・

…

（35）

一

₁₀₉

一

　　

μ广

纛

（

M

… ＋

勲

砿漁 伽

　　

　　　

・・

蘯

_{臨 ・}1

）

Mr

・

＝

i

（Mvi ・M・W） 　 　 　 　

・

・

・

・

…

　

r−・

・

…

　

r9−・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

韓・

・

《36）

　　

　

・・

一

土

協 礁

碗 ｝

1／2

………一 …

_糊 得ら れ た近 似 解 を用い て座 屈 荷重の_統計量を求め る。 た だし， （37 ）式に表 され るよ うに

2

価と な る た め

，

以後

，

座屈荷 重と し て は低い値を取る こと と し

，

その_{統 計}量 を 次に示す

。

　 ま ず

，

期 待 値 を求 める と

，

　 　 　 n 　

・

　 E ［λCT］

＝

λ01雲「

−

i

λ匚レ

1

十Σコ

G

，μ丿

………・

・

…・

（38） 　 　 　 丿t2 とな る。 こ こに

，

　 　　（｝丿； Σ】λi　

Tjt

　

一

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（39） 　 　 　 5

巴

1

　

　

　

五

一

〉

傷下

・

［

1

齲

跼

鬥

甲

…・

…

（… ただし

，

　　　

F，

＝

1

，

Fa

＝

＝一

βa

　　　

〔αキ1）

………・

…・

（41 ） を意 味し てい る。 し た がっ て， 次 式の期 待 値が必 要で あ る

。

f

・

− E

［

1

義

酬

1／2

］

・

・

・

・

・

・

・

・

・

………・

……・

_（・2） 　 　 　

ny

　　　　 n 　　 　

F

α＝ Σ

FlT

．

…・

…・

………・

……・

…・

・

（43 ） 　 　 　 1

ロ

1 　 座 屈 荷 重に関 する分 散 を求 める と

，

次 式 を得る

。

　

　　

v

・ ・［・ ・ ’

1

一

饗

∫一 ・；

Ai

　

　

　

　

　

　

　

−

₁

_・

₁

藩

ん・

繊

α 輪 　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（44） し たがっ て， 分 散の計 算に は以 下の 2つ の値 を 求 める必 要 が あ る。 　 　 　 n　 　

ヨ

　　 　

fll

＝

Σ F。μ。 　 　 　 a

＝

1

　　　　　　　

・

∵

・

・

…

　

曾

・

…

　

（45 ）

　

　　

fm

−

E

［

Σn 　

F

−

　 　 　 1 ノ2n。金　 ΣλbξD α

冒

聰　 　 　 　b

＝

1

］

　次に対称 分岐座屈の場 合に は

，

前述の_条件

Mm

＝

0

を 考慮して以 下の よ うに_表さ れ る。 　　 　λ1

＝0・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（46

−

a）

　　　

qJl

＝

0

　

　　

（

i＝

2

，

3

，…

　，

n｝

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（46

−

b

） 　 上 式より

，

対 称 分 岐 座 屈の場 合は座 屈 荷 重の第

一

近 似 解が_{簡 単 化}さ れ

_，

_（

32

_）式に よ り_既に_得 られ たことにな る。 統 計量 に関しては 〔

38

｝

，

（44 ＞式 におい て λ、

＝0

と お く こと に よ り

，

求め るこ と ができ る

。

　以上に_示し た手法に よ り， 微 小な初期不 整を有する回 転シェ ル に対 して統計 的座 屈解 析が効率良く実 行で き る

。

ま た

，

座 屈 荷重の確率 分布の推定にモ ン テ カル ロ法

一

₁₁₀

一

　 　 　 ゆ

　 　 　 　perfect 　　　　　　　　　imperrec ヒion

　 　 　 geometry 図

一

3　初 期 不 整と座 屈荷 重の確 率密度関数 （1次 元の初期 不 整 　 　 　確 率 分 布か ら座 屈 荷重確率分布へ _{の 写像 ）} ⊆L「コ Φ 　 目 ゴ 　oo う σ

ドr・

け

《 　 cτ λ imperfect 　　sensiti 　 nH ン

卩

P

．

d

・

を併 用する場 合

，

完 全 形 状シェ ル の各 分 岐座屈 荷 重に対 し

，

個々 の初 期 不整標 本につ い て最も低い値 を 選 別 す る ことによっ て最 終的な 分布形 が推 定さ れ る

。

この様子 は 初期不整パ ラメ

ー

タ

ー

が

1

次 元の確 率変数の場 合にっ い て図

一

3に模 式的に示され る

。

　§

3．

数 値 解 析 を通 した検 討 　3

．

1 統 計 的 解析のた めの予 備 的 考 察 　こ こ で は

，

統 計 的 非 線 形 解 析を行 うための準 備とし て

，

モ

ー

ド重 畳 法 と摂 動 法の組み合わせ による手 法の近 似の 精 度につ いて定 量 的な考 察 を行 う

。

シェ ルの形 状

，

荷 重 分布

，

お よび 初 期 不 整の形 状と大き さによっ て精 度は異 な り， そ の

一

般的な考察は困 難さを伴う が， 以下で は， 対 象 を限 定し て

，

初 期 不 整に関す る パ ラメ

ー

タ

・

一

を1次 元 とし て示す

。

　

3．

1

．

1 応 力 分 布に関 する検 討 　

2．2

に示し た初 期 不 整に よ る変 位や応 力の乱れ につ い て

，

図

一

4 に示す よ う な 回転

HP

シェ ル の 自重 時に お け る応 力 分 布 を 取り上 げる

。

_初期不整のない完全 形状シェ ル の面 内 応 力 分 布は図

一

5に示 す と おり である

。

こ こで 仮 定す る初 期 不 整は シェ ル の 回転 方 向に軸 対 称 （周 方 向 展 開 次 数 N

＝

O）および非 軸 対 称 （N ≠0）の_{帯 状}の も の であり

，

図f に図 示 するものである

。

　 図

一

7には

，

初 期 不 整 中 央 点で の母 線 方 向お よび 回 転 方 向面内 応 力の_初期不整振幅に よ る変化を示し てい る

、

， f

．

22

．

321 ・（Z／57233 ）2

　　

E

−

2

．

1．105 くtf／

。

2 ）

，

。

・

1 ／6 図

一

4 　 　 　 単 位 ；m ） z

詈

H　　　　　　　　　t：冨0

，

661

；

：

_；

：

：

て

｝

1

；

；

：

；

　 　 　 t

．

30

．

564

，

ρ

・

2

，

4 （tf ／。 3 ） 解析対 象の回 転HP シェ ル の幾 何 形 状 （全 体 形 状と殻 厚

，

，

−

　

響

’ 　 　

ー

ノ ’

1

，

／

F

／

／

’ z （m）

／

’

／

’

’

ノ t100

．

0 　 　 　

一 一一

Ns フ5

．

O 　 　 　 　Nθ 50

．

O 2S

．

0 　

一

40

．

0　 　 　 　

−

20

．

O　 　 　　 O

．

0　　10

．

O 　 　　 　　str・s・ … ultant  （tf ／・）

_．

_．

図

一

5　完 全 形 状シェ ルの面内 応 力 分 布 （自重 作用時 ｝

．

ノ

u工

＝

vl

＝

0

　　

・エ

・

÷

_｛…

 

（Z

−

h）

一

・｝9・・…

　　　　　　　　

（2

・

30 ・

，

噛

一

陽

） 図

一

6　仮 定し た帯状の初期不整 形状 表

一

1

・

HP シェ ルの応 力解析で採 用し たモ

ー

ドの内容 i Ni adopted 　modes 123

−

789

−

₁₃

00224 free　vibrationa ］

．

　mode 　〔1st）

linear 　solution （FEM ）

free　vib

．

　modes 　（lst

−

5th ）

imperfection shape

free 　vib

．

　modes 　（1st

−

5th ）

i；

　

mode

　

no

・

　

’

　

Ni ，

　

harmonic

　

no

・

同 図 中

，

FEM と記さ れ た各点は_有限要素法の み で解 析 し た結果を示 し

，

perturbationと示さ れ た曲 線で図 示さ れ た値はモ

ー

ド重 畳＋摂 動 法に初 期 不 整の 3次まで を考 慮して_{計 算}し た値である

。

な お_， 採 用モ

ー

ドにつ い ては 表

一1

に示す ように_， 完 全 形 状シェ ル の 自由振 動モ

ー

ド に

，

完全 形 状シェ ル の線 形 解 と初 期 不 整 形 状に比例す る モ

ー

ドを加えたもの である

。

　図

一7

よ り

，

殻 厚 を超え る非 軸 対 称 初 期 不 整に対して は

_，

非 線形性が 現 れて い ることが指 摘され るが

_，

_{3 次}ま で の摂 動 近 似は非常に良く有限要素 法に よる値に追 随し て い る。 ま た

，

初期不整の振 幅 が 殻 厚 程 度で あるな ら ば （か な り 大 きい と考え られ る値で あ る ）

，

初 期 不 整が 回 転方 向に軸 対 称， 非 軸 対 称 分 布で ある にか か わ らず

，

初 期 不 整に関 する 1次まで の近 似で十 分であ ることを示 唆

一

3匸

一

2匸　 　 　

一

t Ns （しf／m） t 2【 3t 　 ξ ・　 　N

＝

OO 　 鬪

罠

2

，

e

＝

0

°

ロ　　　闘

冨

2　

，

e

＝

goo

．

国 θ （しf／m） 儀

、

　 　 　

−

2t

　

、

一

匸 2 に 2t

’

ノ

、

_「

て）

、

　　、

s

一

2

一

／

’

3し

／

’

’

／ o1

’

一

6

−

8

、、

_、



_、

　　　つ

、、、

〆

_一

、

、 1o ξ 図

一

7　帯 状の初 期 不 整による面 内応 力の変 化 （初 期 不 整 中央点） 5helx ・　

・

2　 　 　 o10 （tf _〆皿2＞ 0

璽

工39（m） 　

＝

　6 図

一

8　解析対象の周 辺固 定さ れ た偏 平 球 形シェ ル の幾 何 形 状 し て い る。 　3

，

1

．

2　 分 岐 座 屈 荷 重に関す る検 討 　2

，

3に示 し た_完全 形 状シェ ル の分岐 座 屈 荷 重の変 動の 解 析 精 度につ い て， 図

一

8に示す周辺固定され た偏 平 球 形シェ ルが

一

様な外 圧 を 受け る場 合の考 察につ い て述べ る

。

こ こ で は シェ ル パ ラ メ

ー

タ

ー

λ3

！

6の シェ ルを対象 と するが

，

_．

こ の場 合の完全 形状シェ ル の最小分岐座屈 荷 重は周 方 向 展 開 次 数

N ・

＝2

の場 合で ある。 　図

一

9に は自 由 振 動モ

ー

ド比 例 形 初 期 不 整を仮定し た 場 合の結 果 を示す

。

座 屈 荷重は_{古典 座}屈荷 重に_対す る比 で表し てお り， 図 中

direct

は モ

ー

_{ド重 畳 法に より離 散} 化さ れ た釣 合 式から求 め た値

，

ま たpe【turbedと示さ れ た実 線は さ らに摂 動 近 似され た もの で ある

。

（a）

，

（

b

） には そ れ ぞ れ軸 対 称 （

N −

O）お よ び非 軸 対 称 （N ＝ 2_） の各1次モ

ー

ド比 例 形の初 期 不 整を仮 定し た場 合を示し た

。

こ の よ うに初 期 不 整の形 状によっ て近似の程度は変 化 してい る。 同 図 （a）は

，

完 全 形 状 シヱ ル の分岐 点か

一 lll一

o

，

a O

．

T0

，

6 0

．

5 　 　 　 O　direct 　ごr　 cl λ　／λ 　 　 　

一

perturbed 　 　s_l

　

．

1

　

° 　

コ

　 　 　 　 　l ・

　

1

‘N

’

°

’

剛 　

一

〇

．

ユ　　　 0

．

0 　　　　 0

．

1

一

　　　　　　　

皿a。［。エ_］／・

　

　　

　

xcl

−

、、

耋

k

・） （・／・・2 　 （a） o

．

8 0

．

了 0

．

60

．

5 λc「_／λci 　 　 　 　 ■ ． ・ の

1

’ ・ ． i1 鯉

・

1st ｝ 　

一

〇

，

1　 　 　 0

．

O　 　 　 　O

．

1

−

　　　　　　　

max ［v エ

yt

　 　 　 （b） 図

一

9　分 岐 座 屈 荷重の初期 不 整 敏 感 度の例 （N

＝

O

，

2nd お よび 　 　 　N

＝

2

，

1st　mode 比 例 形 初 期 不 整 ） 　 　 　 imperfectien 図

一

10　飛 移り座 屈 を 考 慮しないた めに起こ る座 屈 荷 重の確 率 　 　 　 分 布の誤 差 ら連続し た値に対して良い近似を示し てい る

。

左 側の大 き く低 下 するモ

ー

ド解は本 論では考 慮 して い ない 。 同 （

b

＞は初 期不整の振 幅の_増大に伴っ て 近 似の良く ない 例で ある

。

実 際に は複 数の初 期 不 整パ ラメ

ー

タ

ー

に関 す る_多次 元 空間で こ れ らの敏 感度が_問題と なる

。

いずれ に せ よ

，

こ の解 析 対 象で は初 期 不 整の 最 大 振 幅は殻 厚の

10

％ 程 度 以 下の必 要 が あ ろ う。

一

_ll2

一

　な お

，

既に述べ た よ う に

，

本論で は完全形状シェ ル の 飛 移り 座屈 荷重の _変動 は 考 慮 していない た め

，

初 期不整 振幅が大きい_場合に_{統 計解析}に_際し て も その影響 が現れ る場合が ある

。

こ の性 状 を 模 式 的に図

一

10に示し た

。

完 全 形 状シェ ル の飛移 り座 屈 荷 重の敏 感 度 曲線 ：図 中   ） が考 慮さ れ な い場 合の座 屈 荷 重 全 体の確 率 分 布へ の影 響 を示 して い る。 な お

，

解 析に用い たモ

ー

ドは表

一

2中で N

＝

　O

，

2

，

4の もの である

。

　3

．

2 分岐座屈 荷重に関す る統 計 的 解 析 例 　 本 論で示し た

，

統 計 的 非 線 形 解 析 手 法を用い て行っ た 数値 計算例につ い て

，

_仮定と結果 を中心に述べ る （応 力 分布の 乱 れの_{統 計 的 解 析}につ い ては紙 面の_{都 合}上省略 す ること と す る）。 こ こ で は前 節

3．

1．

2

同 様

，

現 在まで多 くの実験的

，

解析 的研究の対 象と さ れて きた周 辺 固定の 偏 平 球 形シェ ルが

一

様な外圧 を受け る際の分 岐 座 屈 荷：重 の変 動 を取り上 げて い る。 解 析に用い たモ

ー

ドにつ い て は表

一

2を参照さ れ た い。 　 本 解 析 例では

，

シェ ルの周 方向に軸 対 称

，

お よ び非 軸 対称に わ た る多数の_{初期 不}整 成 分が存 在す る場 合を取り 上 げる

。

仮 定 した初 期 不 整 振 幅は （5）式に示した零 平 均

Gauss

分 布に従い

，

そ の空 間 分 布 特 性は図

一

11に示 す もの である25｝ 。 な お振 幅 特 性として

，

シェ ル面に対 す る最 大 値の統計量 を表

一3

に示す。 　本論で示し た手法に より分岐座 屈荷重の _{相対 頻度分布} は図

一12

に示す ように得ら れ た。 特 定の形の初 期 不 整 （例えば座屈モ

ー

ドに近い形）の み が卓 越するよ うな場 合を除け ば

，

こ の ような unimodal な分 布を示 す もの と 判 断 され る。 な お

，

図 中の 曲線は参 考に積 率 法に より対 数 正 規 分 布 を 当て はめた確 率 分 布である。 また

，

同 図 （

b

） 表

一

2 偏平球 形 シェ ルの 座屈 解 析で採 用し たモ

ー

ドの内 容 …

　 　

？

撻

e

＄

、

諜

呈

。na 、 。 。des ， ユ

ー

56

−

89

−

lll2

−

1415

−

₁₇ 01234

凸

lsし　

一

　5th lst 　

−

　3rd lst

−

　3rd lst

−

　3rd lstニ

ー

　3rd i；　mOde 　no

・

t　Ni ；　harmonic 　no

・

表

一3

　仮 定 した初 期 不 整の振 幅 特 性 （シェル面にお け る絶 対 値 　 　 　に関 する最 大 値

1

m。 。

．

lw

エ

【

。 。　a 　 SU 。E。 。e ave 「age standard

deviation

　0

，

016 　　〔m）

〔　0

．

ll5

・

t　）

　0

．

004 　 （m）

　

一

4 ×10 　 5

．

0 4

．

0 3

．

o 2

．

o LO D

．

o

両

　 o

＝

6B

_＝

8° Sn50 臼L40 臼

＃

20 ｛a ） 4　　i 0

．

2 0

．

1 0

．

0 1

．

0 prob

．

fittinq Ourve 亡Or　10q

．

−

nOrmal diStribution presentmethod

一

‘司 λrt 　　 　 　　 　cl 　　 Cr 　　　　／λ

＝

〔λ 　　　　　　　　 ｝ 0

巳

4　　 0

●

5 　　 0

▼

6 　　0

．

7　　0

．

8　 　0

凾

9 阿 ×工o

冒

3 　 4

，

0 3

．

0 2

．

0 1

．

0 O

．

0 0　 　 　1　 　 　2　 　 3 ・1

・

1

・ エ・ 。 ・ ig 　 　 i

回

o （in　meter ） N

冨

O　　　　　　　N

＝

1　　　　　N

＝

2　　　　N

＝

3　　　　　N

＝

4 i 1 　 56Bglll2141517 　 　 　 mode 　nO

．

〔b［ 　図

一

11　仮 定し た初期不整の_分布特性 　（a_{）各 開角}ご との_{周方向余弦展開係 数} 　（b｝各モ

ー

ドご との初 期 不 整 　パ ラメ

ー

タ

ー

の標 準 偏 差 0

．

0 　 　 　 関 数

−

3 　 　 　 　0

．

4　 　0

．

5 　　0

．

6 　 　D

凸

7　　0

．

8 　 　0

．

9 図

一

12　本手法に よ り求めk分 岐 座 屈荷重の確率分布と信頼度 0

．

2 0

．

1 prob

．

　 　 　 　cl 　 O

．

0 　 　 　 0

．

4　 　0

●

5　 　0

．

5　 　0

・

7　 　0

．

8　 　D

．

9 図

一

13 直接の非 線 形 解析の繰り返 しか ら得ら れ た座 屈荷重の 　　　 確率分 布 （飛移り座屈 を考 慮

一

斜線部分） di−eotsimulation 噺 perfect1

　

、

・

・

／、・ に は_{信 頼}度 関 数の算 定 例を示し た。 こ の 計算例では

，

95 ％ 以 上の信 頼 度 を 得る には

，

作 用 荷 重は古 典 座屈荷 重 の約 60 ％ 程 度 以 下の必 要が あ ること_がわ か る

。

確 率 分 布の推 定に は摂動 近似を 用い

，

3000 サン フ ル の モ ンテ カル ロ シ ミュ レ

ー

ショ ンを行っ た

。

本 手 法によれ ば

，

極 め て短い計 算 時 間で可 能 と なり

，

お およその 目安と して

，

約

20MIPS

の ス カ ラ

ー

cpu で約 3秒の計 算 時 間で あ る。 　図

一

13に は

，

直 接に非 線 形 解 析を繰 り 返 すこと に よ り座屈荷 重の確 率 分 布 をシ ミi レ

ー

ショ ンし た数値解析 例を示す。 モ

ー

ド重 畳に より離 散 化 され た （

9

）式の釣 合 式と

，

初期 不 整の統 計 量に基づい て各 標 本ご とに座 屈 解 析を行っ た もの であ る

、

採 用モ

ー

ドや初 期 不 整の設定 条 件は前 述の計算例と 同

一

で あ る

。

図 中， 斜 線 部は完 全 形 状シェ ルの飛移り座屈の変 動に対 応し

，

本 論で示 し た 手法で は考 察の対 象と さ れ な い。 この例で はシェ ル 面に お ける初 期 不 整の最大値が殻 厚の ll％ 程 度の 期 待 値 を 持 ち 比 較 的 大き な値が設定され て い る ため， 完全 形状 シェ ル の飛 移 り座 屈に連 続な斜 線 部の生起確率は約

9

％ で あっ た

。

初 期 不 整 振 幅が小さ く な ると

，

さ ら に その生 起 確 率は低く な る。 　 §

4．

結 　び 　 不 規 則な初 期 不 整 を有 する回 転シェ ル を対 象と して

，

変位と応 力 分 布， およ び分 岐 座 屈 荷 重の変 動に関す る統 計 的 数 値 解 析 を 行う手 法 を提 示し

，

若 干の数値 計 算を通

、

し て検 討 を加え た

。

得ら れた結 果を以 下にま と め る。

　

（1 ） モ

ー

ド重 畳 法と摂 動 法の組み合わ せ に

_．

よっ て

，

不規 則な初期不整 を含む問 題に関して統 計 的 表 現 を得る こ と ができ た。 こ の手法に よ れば 微 小 な振 幅の初 期 不 整 に対 して

，

_応力 分布や分岐座 屈荷重の_変動に_関する統 計 解 析を 効率 良く行うこ

ど

が で き る

。

確 率 分 布の推 定に際 して モ ンテカル ロ法 を 併 用 する場 合に も

，

非 線 形 解析は π

113 一