ラッセルのパラドクスとフレーゲの論理主義

ラ ッセルのパ ラ ドクス とフレーゲの論理主義

田 畑 博 敏 (平成2年6月30日受理) `よ じ め に フレーゲの,「言語の哲学」ではなく「数学の哲学」を考えるとき

,ひ

とはある種の絶望感に襲わ れる。「数学の哲学」におけるフレーゲの仕事が,「今なお興味深いものではあるが

,根

本的な点で古 めか しい」(ダメット1))だけであれば, まだ しも救われる。 しか し,「ラッセルのパラ ドクス」に代 表される種々の論理的矛盾の発見によって,「算術は論理学に還元できる」 という

,フ

レーゲがその 生涯を賭けて遂行 しようとした「論理主義」のプログラムは破綻 した

,あ

るいはもっと悪いことに, そもそも「論理主義」は不可能である

,

という常識 (?)す ら存在するかに見える。 しか し

,果

たして その通 りなのだろうか ?「 論理主義」は完全に死滅 したのであろうか?この小論の目的は

,実

はそう ではないということ,「論理主義」は復活 しうる,少 なくとも論理的に再構成 しうるということを

,N.

コッキアレッラが最近提出した解釈のに拠って示すこと

,で

ある。以下

,小

論全体の概要を示す。ま ず

,フ

レーゲの「論理主義」に決定的打撃を与えたパラドクスのラッセルによる発見の経緯を見て(§

1),フ

レーゲ自身のそれについてのインフォーマルな説明を聞 く(§2)。 ついで

,フ

レーゲの体系に 即 して承盾が導出されることを確認 したのち(§

3),フ

レーゲの修正の試みにも拘わらず新たな矛盾 が出現 したという歴史的経過に触れる(§4)。 そうして

,新

たな反省に基づ く立直 しを図 り(§ 5),「論 理主義」を論理的に再構成する(§ 6)。 更に

,こ

の再構成された体系の (相対的な

)無

矛盾性 を確か めて(§

7),ひ

とまず

,結

論と見通 しに到る(§8)。

sl.パ

ラ ドクスの発見 まず

,フ

レーゲの『算術の基本法則』3)の中に

,論

理的矛盾 という形で発見 されたパ ラ ドクスがい かなるものであったか

,と

いうことを確認することか ら始めることにする。十年余 りに亘 ってなされ た文通の端緒 をなすフレーゲ宛の手紙 (1902年 6月16日付

)に

おいて

,ラ

ッセルはやや輿奮 した回調 でそのパラ ドクスに触れている。

敏 博 畑 「

Wを

,“それ自身に述語づけられない述語である

"と

いう述語だ とします。

Wは Wに

述語づけ られるで しょうか

?[Wが

Wに

述語づけられるとして も

,述

語づけられない として も

,そ

の] どちらか らも

,矛

盾が生 じます。 したが って

,Wは

述語ではない

,と

結論 しなければな りませ ん。同様 に

,一

つの全体 として見 られた ときの

,そ

れ 自身の要素ではない諸 クラスの

,(一

つ の全体 としての

)ク

ラスというもの も

,存

在 しません。以上のことか ら

,一

定の状況下では, 確定 した集合が一つの全体 を形成 しないことがある, と私 は結論 します。」4) ここでは

_,二

_{つの異なる形でパ ラ ドクスが述べ られている。一つは}

_,言

_{わば大雑把な形での}D「_述 語づけ」の語法で述べ られた矛盾であ り

,他

方は

,ク

ラス (ない しは集合

)に

関する「メンバー性」 の語法で述べ られた矛盾である。 第一の定式化 は大雑把なものではあって も

,そ

のような把握の背景 となる動機が きわめて異常 なも のであるとか

,ま

たは文法的に破格 な現象 を扱 うものだ, という訳ではもちろんない。た しかに

,通

常

,わ

れわれは言葉 によって

,言

葉以外の「 もの」や「 こと」 に言及する場合が多い。例 えば,“こ の りんごはまだ酸 っぱい

"と

_{か “こんど納入 されたワープロはE「字装置がよく故障する}

"等

々, と。 しか し場合によっては

,言

葉によって

,対

象 としての言葉その ものについて

,あ

るいは言葉のはたら きや性質について

,語

ることもある。例 えば,“「静かだ」 は形容詞ではな く形容動詞に分類 される" とか,“ギリシア語のアオリス トの用法はフランス語の単純過去のそれに似ている"等々_,と。したがっ て

,述

語 というものを

,そ

れ自身に述語づけられるか否かで分類することは

,当

然考えられる。述語 がそれ自身に述語づけられるのは

,述

語の表現 している性質が

,対

象 としての述語その ものにあては まるとき

,か

つそのときのみである。例えば,“日本語で表現で きる

"と

い う述語は

,れ

っきとした 日本語で表現 されているから,つ まり,こ の述語が表現 しようとする性質にそれ自身あてはまるか ら, それ自身に述語づけられる。 また “無臭である

"と

いう述語 も

,対

象 としてのこの言葉 。この述語そ の ものに匂いはないか ら

,そ

れ自身に述語づ けられる。 しか し,“lang"と いう ドイツ語 は

,

ドイツ 語の単語 としては “ιusammentreffend"や “deutschamenkanねch"に比べ ると決 して長 くはないか ら, それ自身に述語づけられるとは言えないであろうし,“甘味のある

"と

いう述語 も

,(比

喩的に使われ ないか ぎり

)そ

れ自身に述語づけられは しない。 こうして

,あ

らゆる述語 を

_,そ

れ自身に述語づけら れるものとそうでない ものとに分類 しようとすることは,さ して不 自然な企てではない。しか し,“そ れ自身に述語づけられない

"と

いう

,述

語分類のための言葉 を新たな述語 と認定 し(この認定 自体の 妥当性 はもちろん問題にな りうるが今 は問わない

),こ

の述語 について

,こ

れがいずれの部類の述語 に分類 されるか, と不用意に問 うた途端

,背

理 に陥るのである。すなわち,“それ自身に述語づけら れない

"と

いう述語がそれ自身に述語づけられるならば

,こ

の述語は自らが表現する性質

(=不

可 自 己述語性

)を

それ自身有 しているか ら

,そ

の性質によってこの述語 はそれ自身に述語づけられないこ とになる。逆に

,述

語 “それ自身に述語づけられない

"が

それ自身に述語づけられないな らば

,こ

の

ラ ッセルのパ ラ ドクスとフレーゲの論理主義

3

述語 は自ら表現 している性質 を有す ることになるか ら,「述語づけ」の定義によって

,こ

の述語はそ れ自身に述語づけられることになる。 こうして

,い

ずれに分類 されて もその反対の類に戻 されて しま う。 これは背理である。

それに対 して

,第

二の定式化では

,ク

ラスとその要素の関係

,す

なわち,「メンバー性 (要素性)」

の語法によって

,矛

盾の導出が語 られる。“要素aはクラス

Aの

メンバーである

"を

“a∈

A"と

_記 すならば

,今

日の標準的な語法 (第一階述語論理

)で

は

,以

下のような手順で矛盾が導かれる。まず, つ ぎのような

,内

包の原理(Comprehensbn Principle)と 呼ばれる法則が前提 されている, と考えられ る6):

(CP)

ヨ

yVx(x∈

yPFx)…

……・・………・・………[1] (Xについての任意の述語 “

Fx"が

与 えられた とき

, Fで

あるこ とが

_,そ

れの要素たることの必要十分条件であるような

,ク

ラスy

I

が存在する)。 “Fx"と して特 に,“∼ (X∈

X)"(Xは

それ自身に属 さない

,Xは

それ自身の要素ではない

)を

取 る。 すると

,[1]よ

り が直ちに導かれる。この存在命題 [2]で 存在が主張されているようなクラスを,“

R"と

する。その とき

,[2]よ

り, (すべての ものについて, Rに属する (Rの要素である

)こ

とがそ れ自身に属 さない (それ自身の要素でない

)こ

とに対 して必要十分 である) となる。全称命題

[3]が

前提する任意の対象のうち

,特

に先ほどのクラス “

R"を

取 る (いわゆる全 称ケ」化

)と

,[3]よ

り, が出て

,こ

れか ら命題論理 (トー トロジーの変形)つによって,

RGR&∼

(R∈ R) が導 かれ る。 これは矛盾である。

4

田 畑 博 敏

§

2.フ

レーゲ自身のインフォーマルな説明

それでは

,フ

レーゲ自身は, ラッセルの発見 したパラ ドクスをどのように理解 し

,説

明したのであ ろうか?フ レーゲにとって,「述語づけ」は「概念への対象の帰属(fallen unter)」 という関係である。

「 aは

Fで

ある (対象

aが

性質Fを もつ)」 (Fa)と語ることは,「概念への対象の帰属関係」を主張 することである。 しか も

,フ

レーゲの場合

,ク

ラスは概念の外延 として登場する。フレーゲは

,F算

術の基本法則』第二巻の「あとが き」働の冒頭で

,パ

ラ ドクスの出現の経緯を, まず 日常の言葉使い によって

,(整

理すれI⇒ つぎのように説明している。 人間のクラスについて

,そ

れが人間であると主張するひとは誰 もいない。ここに,「それ自身に属 さない (それ自身の要素ではない

)ク

ラス」の例がある。 したがって, 「 ξはそれ自身に属さない (それ自身の要素ではない

)ク

ラスである」 という概念があることになる。そして

,こ

の概念の外延は, それ自身に属さない (それ自身の要素ではない

)諸

クラスのクラス ということになる。これを,「C」 とする。すなわち,

C=そ

れ自身に属さない諸クラスのクラス とする。 さて

,こ

のとき, Cは Cに 属するか? という問題が起 こる。 この問題に取 り組む際

,確

認 してお くべ き

,概

念 と概念の外延 としてのクラス との間で成 り立つ原則が

,二

つある。一つは,

(※)対象

aが

概念

Gに

帰属する(fЛttn unter)と き

, aは

その概念

Gの

外廷 ど

G(C)で

あるところ

のクラスに属する という原則であ り, もう一つは, (※※)対象

aが

クラスに属するとき

, aは

当のクラスがそれの外延 どG(ε)となっているところ の概念

Gに

帰属す る という原則である。

_"

さて

,Cは

Cに

属す るか?

(i)Cが

Cに属する と仮定する。この とき

,(※

※)によって

, Cは ,ク

ラス

Cが

それのタト延 となっているところの概念, すなわち,「ξはそれ自身に属 さないクラスである」 とい う概念に帰属する。言い換 えると

,Cは

C

ラ ッセルのパラ ドクスとフレーゲの論理主義

5

に属 さない。以上 によ り,

Cが Cに

属 す るな らば

,Cは

Cに

属 さない とい っことになる。 逆 に, (

)Cが

Cに

属 さない と仮定す る。するとこのとき

,Cは

それ自身に属 さないクラスの一つである。言い換 えると

,Cは

「 ξ はそれ自身に属 さないクラスである」 という概念に帰属する。それゆえ

,(※

)によって

, Cは

,こ

の 概念の外延であるクラス

,つ

まり

,そ

れ自身に属 さない諸 クラスのクラス

,す

なわち

Cに

属する。以 上により,

Cが Cに

属 さないならば

,Cは

Cに属する といっことになる。 こうして

,い

ずれにせ よ

,論

理的矛盾 (Cは

Cに

属 しかつ属 さない

)に

陥る。 §

3.矛

盾の形式的導出と原因の摘出 パ ラ ドクスについて 日常語でインフォーマルな説明をした後に

,フ

レーゲは,『算術 の基本法則』 の体系内部で矛盾が導かれることを

,彼

の概念記法(Begrffsschrrt)に よって示 している。そ してそ の過程で

,矛

盾の導出に使われた諸原理の中で「怪 しい」 ものを検討 し直す ことによって

,矛

盾発生 の原因を突 きとめようとする。それは以下のようになされる (フ レーゲ自身の記法や説明法 を今 日の ものに一部変更する)1の。 まず,“△はそれ自身に属 さないクラスである

"は

, ヨ

G(と G(ε

_)=△

&∼ G(△

)) と書ける。そこで,“それ自身に属さない諸クラスのクラス

"を

“

C"と

略記する:

C=か

ヨ

G(と

G(C)=α

&∼

G(α

))。 ・………(〒) すると

,こ

の略記法(〒)によって,“

Cは

それ自身に属さないクラスである

"は

, ヨ

G(占

G(C)=C&∼

G(C))

と表 現 さ れ る。(Vb),すな わ ち きF(ε

)=濃

G(α

)→ (Fx'Gx)に

よ って,

どF(ε

_)=濃

ヨG(と

G(C)=α

&∼

G(α

))

→

_(F(C)言

_ヨG(と

_G(C)=C&∼

_G(C))。

… 田 畑 博 敏

これと

_,上

の

(〒

うと

,基

本法則

(Ⅲ

a):(a→

。

)→ C(bl→

f la))の

事例

:

lF(C)●

ヨ

G(き

G(C)=C,∼

G(C)))→

(ヨ

G(き O(ε

)=C&∼

G(C))→

F(C))

および命爆論理によって

, ヨ

G(き

G(C)=C&∼

G(Cl)→

(き

F(C)=C→

F(C))。

……(■ ) (■)の

“

F"を

全称化して

,

ヨ

G(と

G(C)=C&∼

G(C))→

VG(と

G(0)=C→

G(C)),

_…………

(β )

つまり

,Cが

それ自身に属さないクラスであれば

,Cは

それ自身に属するクラスである。

他方

,基

本法則

(Ⅱ

b)ivF(Mβ

F(β ))→

Mβ

G(β

)に

より

,

VC(と

G(ε

)=C→

O IC))→

(ど

F(C)=C→

F(C))。 …

(γ)

“

F(ξ

)'を

｀

ヨ

G(`G(0)=ξ

&―

∼

G(ξ))'と

すると

,(γ)か

ら

,

VG(と

G(C)=C→

G(C))

→

_{[歳 (ヨ}

_{C(と G(ε}

_)=α

_&∼

_G(r)))=c→

_ヨ

_{G(と G(ε )‐}

_{C&∼ G(Cl)](δ}

) こ こで 上 の略 記 法(〒)に よ り

, '(ヨ C(ε

G(C)=α

&∼

G(')))=c.は

c=Cで

あ る こ と に注

意すると

,(δ

)か

ら

,

VG(占

G(C)=c→

C IC))→ ヨ

C(き

C(C)=C&∼

G(Cl) (ε

)

が出る

.。

つまり, Cがそれ自身に属するタラスならば

ICは

それ自身に属

.さ

ないクラスである。この

(ε)か

ら

,定

理αgl i(p→ ∼

p)→

∼

pに

よ

￨っ

て

,

ヨ

G(む

G(C)=C&∼

C(⑥

)。

………・

(ζ) (ζ)と (r)か

ら

VG(―

と

G(8)=C→

G(⑥

)。

……Ⅲ………中……中………

(7)

ところが

,命

題

(ζ)と(7)は

矛盾であ―

る。誤りは法則

lVb)に

しかありえない。したがって

,(Vb)は

偽であるにち―

がいない。

ラッセルのパ ラ ドクスとフ レーゲの論理主義 こうして

,フ

レーゲの探索によって捜査線上に浮かび上がって きた最有力の容疑者 (矛盾 を引 き起 こした原因

)は ,法

則(Vも

),す

なわち

(Vb):む

F(C)=濃

G(α

)→

(Fx PGx)・・・・・・・― ・・・・・― ・・・・・… [6] とい う原理であ った。 これは

,ま

さに以前か らその 自明性 につ いて フ レーゲ 自身が懸念 を抱 きなが ら も基本法則 とせ ざるを得 なか ったユ1)と ころの法則(V):

(V):む

F(ε

_)=汐

G(α

)=Vx(Fx#Gx)…

………・[7] の半分:ど

F(C)=か

_{G(α )→}

_Vx(Fx,Gx)と

_{同値である。実際}

_,矛

_{盾 を引 き起 こした原因であ} る法則(Vb)の否定形が

,直

接 に他の諸原理か ら導 けるのである。(上の導出が

(Vb)の

誤 りである ことの間接証明ならば

,今

度は同 じことの直接証明が与 えられることになる。

)こ

の直接的な(Vb)の 否定の導出について

,フ

レーゲはまずインフォーマルに説明 した後

,二

通 りの形式的な導出を実行 し てみせ る。1動_{以下 に}

_,そ

のインフォーマルな説明を聞こう (形式的導出の方 は省略する)。 まず

_,値

域(Wertverlauf)と い うもの一一 これの特殊例が概念の外延である一― は

_,そ

の存立 に疑 わ しい点があるので,F算術の基本法則』

I巻

§25での一般的な第二階関数 “Mβ φ(β)"の記法 を使 っ て,

かヨG(ど

G(C)=α

&∼

Mβ ヨ

G(Mβ

G(β

) (α

)),す

なわちCは

,

β

&∼

G(β

)) Ｇ   〓

で置き換える。基本法則

(Ⅱ

b)i VGMβ G(β )→

MβF(β)で

,第

二階関数 “

Mβ

φ

(β

)"と して

,

“Mβ φ(β)=a→ φ(a)"を 取 り,第一 階 関 数 “F(ξ )"と し て ,“ ヨG(Mβ G(β )=ξ &∼ G(ξ ))"

を取 る。すると,(Ⅱ

b)の

事例 としてつ ぎのことが成 り立つ :

VG(Mβ

G(β

)=a→

G(a))―

→_{[Mβ ヨ}

_G(Mβ

_G(β

_)=β

_&∼

_G(β

))

→ヨ

G(Mβ

G(β

)=a&∼

G(a))]。 これは “p→

(q→

∼

p)"と

いう形なので

_,対

偶 と巾等律 より

,つ

ぎの “

p→

∼

q"を

得る:

VG(Mβ

G(β

)=a→

G(a))→

∼

_[Mβ

_ヨ

G(Mβ

G(β

)=β

&∼

G(β ))=a]。

・

……

(μ)

Mβ

_ヨ

G(Mβ

G(β

)=β

&∼

G(β

))=a→

ヨ

G(Mβ

G(β

)=a&∼

G(a))。

………

(ν ) 再び

,対

偶 に よ り

敏 博 畑 簡単のために,“ヨ

G(Mβ

G(β

)=ξ

&∼ G(ξ

))"の

代 わ り に “MβF(β

)"と

お くと,(ν)は

,Mβ

F(β

)=Mβ

F(β

) 先件が削除されて

,結

局(ノ)よ り,

“

F(ξ

)"と おき

,“

a"の

代わり

F(Mβ F(β

))と

なっているから

, に   ↓

F(Mβ

F(β

))

を得る。すなわち

,第

一階関数

F(x)が

アーギュメントのときの

,第

二階関数

Mβ

φ

(β)の

値

MβF(β) が, もとの第一階関数 に帰属す る。 他方

,す

ぐ上 と同 じ置 き換 えに よって,(ν )か ら, ヨ

G[Mβ

G(β

)=Mβ

F(β

)&∼ G(Mβ

F(β

))]

を得る。すなわち

,第

二階関数

Mβ

φ

(β)の

アーギュメントとなったとき

,F(ξ

)が

そうなったと

きの値Mβ

G(β

)と 同 じ値MβF(β)を 取 る(ie MβF(β

)=Mβ

G(β

))が, しか し

,こ

の値Mβ

G

(β)つまりMβ

F(β

)は

,そ

れ自身 [≧G(ξ

)]に

1よ帰属 しないところの概念G(ξ )が存在する。言 い換えると, 1ア ーギュメントの第一階関数をアーギュメントとして取るすべての第二階関数Mβ φ (β)に対 して

,つ

ぎのような二つの概念F(ξ

),G(ξ

)が存在する:

Mβ

F(β

)=Mβ

G(β)であるが

,F(Mβ

F(β))かつ∼

G(Mβ

F(β ))である, つ ま り, Mβ

F(β

)=Mβ

G(β

)―→[F(Mβ F(β

)'G(Mβ

F(β

))]で

はない! ここに

_,法

則(Vb):と

F(C)=浅

G(α

)→

(FxユGx)の反例 が存在す る。 こうして

,フ

レーゲは

,法

則(Vb)の否定を他の法則か ら直接に導 くことによって

,矛

盾発生の真 の原因を

,こ

の法則(Vb)と断定するのである。 §

4.修

正 と新 しい矛盾 法則(Vb)の否定形 に到 る導出過程 を観察することによって

,フ

レーゲは

,(Vb)の

反例 となる二つ の概念――すなわち

,そ

れ らの外廷 は同一であるカド

,そ

のタト延が一方の概念 には帰属 して も

,他

方の 概念には帰属 しないような二つの概念一― に,「概念 φの外延である」 という (第二階の

)概

念が関 与 していることに気づ く。これまで「外延」の同一性の基準 は,〔7]の 法則(V)によって与えられて いたが

,(V)の

半分である

(Vb)(=[6])が

否定 されるか ざり

,い

まや新 しい基準が要求 される。 フレーゲは

,そ

れをつ ぎの ものとする: 「一方の概念の外延が他方の概念の外延 と同一であるのは, まさしくつ ぎの場合である

,す

なわ ち

,第

一の概念に帰属する対象が

,そ

の第一の概念 自身の外延 を除 き

,す

べて第二の概念 に帰

ラ ッセルのパラ ドクスとフレーゲの論理主義

9

属 し

,ま

た逆 に

,第

二 の概念 に帰属す る対象が

,そ

の第二 の概念 自身の外延 を除 き

,す

べ て第 一の概念 に帰属す る場合」。1め す る と

,法

則 (V)に 取 って代 わ るべ き もの は, (V′

):

む

F(C)=

濃

G(α

)

'Vx[xキ

ど

F(C)&xキ

か

G(α

)→

(FxPGx)]…

…[8] であ り

,矛

盾の元凶と見られた(Vb)に取って代わるべ きものは, (V′

b):と

F(C)=か

G(α )→

[xキ と

F(C)→

(Fxユ

Gx)]…

・[9] となる。このとき

,確

かに

,以

前のような形 (§

3参

照

)で

の矛盾は

,防

止することがで きる。(実際, こういう風 になる。F(ξ)を

,ヨ

F(ど

F(C)=ξ

&∼ F(ξ

)),つ

まり “ξはそれ自身に帰属 しな い概 念 のタト延"と し

,c=う

ヨF(きF(ε

)=α

&∼

F(α ))とす る と,(V′b)よ り

,C=占

G(α) → [CキC→ ヨF(ど

F(C)=C&∼

F(C))ユ

G(C)￨]。 こ こで

,Cキ

Cは常 に偽 で あ るか ら

,こ

の 式 は常 に真 で あ る。 す なわ ち

,そ

こか ら矛盾 が 出 る こ とは阻止 され た。) フレーゲはこの修正 によって,『算術の基本法則』 の体系が維持で きると考 えたようである。 とこ ろが

,後

になって

,フ

レーゲの修正案(V′b)に対応す る法則 を含 む体系か ら矛盾が導 けることが見出 された。1つ クヮインは,(v′ b)のクワイン版である,

Vy[yキ

文

F(x)→

(y∈支

F(x)'F(y))]…

… … … …[10]

(概念

Fに

対応す るクラス抽象体支F(x)以 外 のすべての ものは, このクラス抽象体 に属するときかつそのときのみ

, Fで

ある) とい う仮定 と

,少

な くとも二つの対象が存在することを主張する という仮定

,お

よび基本的 と思われる他のい くつかの定義か ら

,矛

盾 を導いて見せた。1働 §

5.論

理主義は死んだ

?

――反省 と展望―― それでは

,新

たな矛盾の出現 によってフレーゲの体系は崩壊 し

,彼

の「論理主義」は死んだことに なるのであろうか?以下で私は

, N.コ

ッキアレッラに拠 って

,そ

うではないこと

,論

理主義の再構 成が可能であることを示 したい。 その前にまず

,フ

レーゲの論理主義がいかなるものであったか, という反省か ら始め よう。フレー ゲの論理主義は,

餃 博 畑 (1)算術 (実質上

,幾

何学を除 く全古典数学

)の

諸概念は

,純

粋に論理的な概念によって定義できる, (2)算術の諸法則は

,純

粋に論理的な演繹によって

,基

本法則から導出できる, の二点に要約される。ここで注意すべ きことは

,算

術がクラスに関する「メンバー・シウプの理論」 に遠元されるのではなく,「述語づけの理論」に還元されるということである。つまり

,フ

レーゲの 言 う「論理」はクラスの理論ではな く

,第

二階述語論理である, ということである。 さて

,算

術はさまざまの “もの

"を

取 り扱 う。フレーゲは

,不

飽和性をその特徴 とする「関数」と, 飽和性をその特徴 とする「対象」 という,「関数 対 対象」の基本的区別を設定 し

,更

に関数の間 にレベルの差を設けた。 しか し

,対

象の間にはレベルの差は設けていない。そして

,算

術 を実際に展 開するに際しては

,高

階の関数の直接的な扱いを避けて

,関

数と対象の基本的区別に帰着させようと する。例えば,(1)第二階の概念に第一階の概念を対応 させ,(2)第一階の概念に値域(Wertverlauf)と 呼ばれる特殊な対象(関数としての値域が外延である)を対応させる。(例 :「

4の

平方根が存在する」 に対 して,「概念 “4の 平方根

"は

充たされる」力減寸応する。

)す

なわち

,フ

レーゲによれば,「第二 階の関数は一定の仕方で第一階の関数によって表現 され

,そ

してその第二階関数のアーギュメントと して現れる第一階関数は

,そ

れの値域によって表現される (『算術の基本法則』§25)。 すなわち,

VQヨ

F∀

G[Q(G)'F(と

G(C))]・

………[12] である。このように

,概

念に対 して二重の相関物――第二階の概念に対応する第一階の概念

,お

よび 第一階の概念に対応する値域 という対象一― をフレーゲは設定 した。このことの集約的宣言が

,法

犀」

(V):

である。つ ま りここでは

,右

辺での第一階概念間の相互包含 という第二階概念が

,左

辺で

,そ

れら第 一階概念に対応する対象 としてのこれらの概念の外延

(=値

域

)の

同一性 という

,第

一階の概念で置 き換 え可能である

,と

主張 されている。 しか し

,先

に見たように

,こ

の法貝Jこそ

,パ

ラ ドクスの元凶 であった。 パラ ドクスを避けつつ

,以

上のようなフレーゲの論理主義の要求 を満たす体系 には, どのようなも のがあるであろうか ?フ レーゲの『算術の基本法則』の体系には

,命

題論理の外

,つ

ぎの四つの基本 法貝1がある1° : (■a)i VxFx→

Fa (Ⅲ

b)iVF(Mβ

Fβ

)→

MβGβ (Ⅲ

):G(a=b)→ G(VF(Fb→

Fa))

(V):む

F(C)=と

G(α

)'Vx(FxPGx)

(Ⅶ

):

ιε(a=ε)。 パラ ドクスが出ない程度にはこの体系 より弱 く

,

しか も

,そ

れ以外の点では

,フ

レーゲの論理主義 を 実行 しうるに十分なほど強い体系があるだろうか?節を改めてそれを取 り扱 うことにする。

ラ ッセルのパ ラ ドクスとフレーゲの論理主義

11

§

6.論

理主義の再編成に向けて さて前節では

,フ

レーゲのいう「論理」の体系として

,彼

自身の第二階述語論理の体系が提示 され た。このフレーゲの体系 とほぼ同程度の強さを持ち

,

しか も

,①

(フ レーゲの体系での(Vb)に対応 して

)パ

ラドクス発生の原因となる内包の原理(CP)に考察の焦点を絞ることができ

,②

明示的に(CP) を原理としている他の体系 との比較がしやすい,という点で優れている第二階述語論理の体系として, 以下の体系を用意する。171 命題論理 (トー トロジー)

(Al)Vu(φ

→ ψ

)→

〈Vuφ ttVu″)・………uは個体 または述語変項

(A2)φ →Vuφ ……・……… … … …… ……… uは

'の

中に 自由 には現 れない個体 または述語変項 (A3)ヨx(a=x)・……… aは 単称名で ここにxは 自由には現れない

(LL:ライプニ ッツの法則

)a=b→

(φ tt ψ) ………

a, bは

_{単称 名で, ″は}aの_{い くつか を}bで置 き換 えて式 φか ら得 られ る式

(CP:内

包 の原理

)ヨ

FコVxl… Vxn[F(xl,・・・

,xn)言

φ] ………… Fnは φに自由には現れず

,xl,…

,xnは φに自由 に現 れる互いに異 なる個体変項 推論規則:モ ドゥス・ポネンス

(MP)卜

α

,卜

α→ β⇒卜β 普遍汎化

(UG)卜

φ⇒卜Vuφ ここで

_,概

念 (一般 に関数

)の

相関物 を表現す る工夫

,す

なわち

,フ

レーゲの「概念の外延」 : ど_{F(ε )に相当す る工夫 として, λ抽象体(λ ―abstract)を 導入する。(むろん}

_,

_{λ記号はフレーゲの} ものではないが

_,複

合述語の表現 として気息記号がついた と

(C2=1)の

ような記法 をフレーゲは用い ている(PVc p 161 ff)。 フレーゲにとって,この記法は「名詞化 された述語」を意味 しない。その点, λ記号 を導入 す る こ とはフ レーゲか ら離 れ る ように思 われ るが

,こ

れ は フ レーゲの ど

G(C)

とき

G(C)の

両方の役割 を兼ね備 えることがで きると同時に

,法

則(V)をも救 えるのである。§

7参

照。

)こ

の λ抽象体 は

,つ

ぎの λ変換原理(λ ―cOnversbn P nciple)に従 う。10 (λ ―Conv) これ を一般化す ると,

[λ xl・

・。

xn

φ

](al,中

●

,an)→ φ(a1/xl,…

,an/Xn)

(V海 ―

Conv) vxl―

・

Vxn([λ

となる。 また

,

λ抽象体が述語変 (定

)項

で あることを主張す る

,つ

ぎの法則 を定める。

12日

畑 博 敏 そ して

,

λ抽象体 を含む第二階述語論理のための論理文法 を明確 に定める。それは以下の ものであ る。 タイプ0の表現は単称名 を

,タ

イプ 1の 表現は命題形式 または整成式 を, n≧ 1な るタイプn

+1の

表現 は ■項述語 を表す として

,タ

イプnの有意味表現MEnをつ ぎのように帰納的に定義 する:

(1)任意の個体変 (定

)項

aにつ きa∈

MEO,任

意の

n項

述語変 (定

)項

Fnにつ き

Fn∈

MEn+1

およびFn∈ MEσ

(2)a, b∈ MEOならば

,(a=b)∈

MEl;

(3)π G MEn+1かつal,中●,an∈ MEOな らtゴ, π (aL・・・,an)∈ MEl;

(4)φ ∈MElかつxl,…・

,xnが

相異なる個体変項ならば,

[λ xl・・・xn φ

]∈

MEn十二;

(5)φ∈MElならば∼ φ∈MEl;

(6)φ, ″∈MElならば,(φ→ ″

)∈

MEl;

(7)φ ∈MElかつ

aが

個体 または述語変項な らば

,Vaφ

∈MEl; (8)φ∈MElならば,[λ φ

]∈

MEσ

(9)n>1な

ら1ゴ

,MEn⊆

MEO。 さて

,既

に述べたように

,こ

の体系においてパ ラ ドクス発生 に直接関わるのは内包の原理(CP), すなわちヨFnvxl…

Vxn[F(xl,・

・・_{,xn)→ φ}

_]で

_{ある。なぜ なら}

_,こ

_{の原理 こそ}

_,任

_{意の条件 φに} よって創 られる新 しい述語の存在 を主張 しているか らである。そこで,(CP)を含意 し1",しか も(CP) より単純で λ抽象体 を含む式: (CP λ

)ヨ

Fn([λ xl… xn φ

]=F)

に考察 を集 中す る。(これは

,フ

レーゲが

,C=濃

ヨG(ど G(ε

)=α

&∼

G(α))とおいたことに 相当する一―§3の(〒)参照。

)こ

うすることによって

,パ

ラ ドクス発生の原因を, ス抽象体 に関す る 内包の原理

,す

なわち(CP λ)に

,集

中的に求めることが可能 となる。 ところで

,パ

ラ ドクスを防 ぐ には

_,関

数

,ひ

いては概念間にあるとフレーゲが見な している階層構造 を反映するような

,表

現間の 構文論的な次元差 (層別化stradicahon)を

,特

に(CP λ)に現れる λ抽象体 に対 して

,設

定せねばな らない。そこで

,大

雑把 に言って

,つ

ぎの三段階の層別化2の を

,一

般 に λ抽象体

,お

よびその中の 述語 (λ 抽象体 も含む

)と

項に対 して

,用

意する: (i)同次層別化 :項どうしはすべて同次元

,述

語 とλ抽象体 は項 より丁度一次元高い ; (■)単純層別化 :述語 “

="の

両辺 に現れる項 どうしは同次元,その他の項 どうしは同または異次元, 述語 とλ抽象体 はそれ らに伴 う項の最大次元 より丁度一次元高い ;

ラッセルのパ ラ ドクスとフレーゲの論理主義

13

いう累積層別化 :項どうしは同または異次元

,述

語 とλ抽象体はそれ らに伴 う項の最大次元 よ リー次 元以上高い。 (i)の層別化が最 も厳 しく,いうが最 も緩やかである。すると

,例

えば

,層

別化 な しではパラ ドクスを生 み出す

,(cP

λ)の事例である式 :

ヨF([λ

x∃

G(x=G&∼

G(x))]=F)

は

_,累

_{積的に層別イ}というされてはいるが

,単

純にもtiガ 同次的にも(i)層別化されていない。また

,パ

ラ ドクスを誘発すべ く

,更

に巧妙に仕組 まれた(CP λ)の事例:

ヨF(λ

z[λ xyヨ

G(x=G&∼

G(y))](z, z)]=F)

も

,累

積的伸うかつ単純に( )層別化 されてはいるが,同次的には(i層牙U化されていない。そ して確かに, これ ら[13],[14]か らはパ ラ ドクスが導けるのである。21)し_たがって

_,パ

_{ラ ドクスを防 ぐためには} , (CP λ)は一一 ゆえに(CP)は一―

,同

次的に層別化 されていなければならない。そ して

,こ

の「同次 層別化」の条件 は

,パ

ラ ドクス防止 を目指すか ぎり

,

λ抽象体 にのみ課せ られるだけで十分である。 すると

,フ

レーゲの「論理主義」再構成のための基礎 となるわれわれの体系 は

,名

詞化 された述語 を含み

,同

次的に層別化 された(hbmogeneouЫ y strahfied)λ_{抽象体 を持つ第二階述語論理 とい うこと} になる。 これを,(λ HST*)と略記する (“

*"は

式 中に現れる λ抽象体が同次層別化 されているこ とを示す)。 すなわち, (λ

HST*)=(命

題 論 理

*)十

(Al*)+(A2*)十 (A3*)+(LL*)

十(λ 一

COnv*)十

(CP λ*)十(Id*)十

MPtt UG

さて

,こ

の体系(λ HST*)の無矛盾性 につ いて は

,以

下の こ とが わか ってい る。単項述語づ けをメ ンバ ーシ ップと見 なす ことよ り,(λ HST*)は

,ク

ワインの集合論NFを少 し修正 した

, R.ジ

ェ ンセ

ン(Ronald Jensen)の体系NFU(New Foundation wtth ttrdements)2動 に相対的に無矛盾である。ところ で

_,ジ

ェンセンは

NFUが

弱ツェルメロ集合論2働_{に相対的に無矛盾であること}

_,す

_なわち

,

(%)弱

ツェルメロ集合論が無矛盾 な らば

,NFUも

無矛盾 で あ る

(♯

)弱

ツェルメロ集合論が無矛盾ならば

,(λ HST*)も

無矛盾である

敏 博 畑 とい うことが帰結す る。 §

7.相

対無矛盾性 ところで

,(LL*)と

(λ ―Conv*)と か ら

,一

般化 されたフレーゲの基本法則 :

(Vb*)[λ

xl・・・xn φ

]=[λ

xl・・・xn ψ]→

Vxl… Vxn(φ

#ψ

)…

……[15] が,(ス HSTキ )において導 ける。20そして

,フ

レーゲの診断によれば

,こ

れがパ ラ ドクス発生の張本 人であった。 しか し,(♯)によって, もし弱 ツェルメロ集合論が無矛盾ならば

,(Vb*)か

ら矛盾は出 ないことになる。つ ま り

,わ

れわれの体 (λ

HST*)で

は

,法

則 (Vb工

)は

生 き残るのである。 しか し,(Vbキ

)の

逆命題である

(Va*):

Vxl…

Vxn(φ

'ψ

)→

[λ xl…xn

φ

]=[λ

xl…xn

ψ

]…

… …

[16] は 一 ― こ れ は 外 延 性 の 原 理 (Principle of Extensionaltty:Ext*)で あ る が 一 ― ,(λ HST*)か ら は 導 けない。 しか し

,フ

レーゲ に とって

,こ

の外延性 の原理 は論理 の基本法則 の一つ であ った。2① す なわ ち

,こ

の原理 はで きるか ぎ り確保 してお くべ き法則 の一つ だ とフ レーゲは確信 していたのであ った。 ゆ えに

,こ

の原理 も再構成 された「論理主義」 の体系 に加 えることにす る と

,結

局 の ところ

,わ

れわ れ はつ ぎの結論 に到達す る。 フレーゲの「論理主義」の再構成

=(λ

HsT・

_)十

(Ext*) さて この と き,(λ

HST*)十

(Ext*)の無 矛 盾 性

,お

よび, どの程 度 この体 系 に算術 を還 元 で き るか とい うこ とは

,ク

ワイ ンの集 合 論

NFの

,ジ

ェ ンセ ンに よる ヴ ァ リエ ー シ ョンで あ る

,NFUと

の 関係 に掛 か って くる。 これ につ いて は

,つ

ぎの こ とが わか って い る。 まず, x∈

y,Dfヨ

F(y=F&F(x))

と定 義 す る こ とに よ り

,ジ

ェ ンセ ンの集 合論

NFUは

,(λ

HST*)十

(Ext*)に 含 まれ

,逆

に

_,単

項 述 語 づ け を

NFUの

メ ンバ ー シ ップ と解 釈 す る こ とに よ り

,単

項 (λ HST*)2の 十 (Ext*)￨よ

NFUに

含

まれ る。 したが って

,単

項 (λ

HST*)十

(Ext*)と

NUFは

同等 で あ る。 しか る に単 項 (λ HST*)

十 (Ext*)と全 (λ

HST*)十

(Ext*)は共 無 矛 盾

,す

な わ ち

,一

方 が 無 矛 盾 の と きか つ そ の と き の み他 方 も無 矛盾 で あ る。 この こ と と,§ 6の最 後 のパ ラ グ ラ フで の ジ ェ ンセ ンの結 果(%)とか ら,

ラ ッセルのパ ラ ドクスとフレーゲの論理主義

15

(♯♯

)(λ

HST*)十 (Ext*)が

無矛盾 ◇

NFUが

無矛盾 弱 ツ ェルメロ集合論が無矛盾 ⇒ (λ

HST*)十 (Ext4)が

無矛盾 §

8.結

話と前途偕見 こうして

,フ

レーゲの「論理主義」の体系を (λ

HST*)十

(Ext*)と 定めることによって

,法

則 (Vb)が救われ

,ま

た

_,NFUに

相対的に (したがって弱ツェルメロ集合論に相対的に

)無

矛盾性が確 保で きた。算術の論理への遠元 も

,NFUが

それを実行で きる (と想定 される

)の

と

,少

なくとも同 程度には

,実

行可能である。281これで

,フ

レーゲの「論理主義」はひとまず再構成できたと言える。 ところで

,以

上見てきたように

,フ

レーゲは第二階述語論理を「論理」 と考えているが

,

しか し, これが「論理」と呼ぶに最 もふさわしい体系であるのかどうか

,こ

れはまた別の問題である。特に, 現在「論理」 という語で普通に理解されている第一階の述語論理との

,表

現力の比較一―「完全性」 その他の,体系のもつ構文論的`意味論的諸性質がどれほど成 り立つのかという問題を含めて一― は, 「論理主義」を実行する観点から見ても

,重

要な論点となろう。 しか し

,そ

れを検討することは

,今

後に残された筆者の課題 としたい。 誰

1)Mtthael Dummett,“ Frege`PhユoSophy",in T切 ケカ921,οケル″E″_{り 胞}s,Harvard U P(1978),88。 勝Б訳 :マイケ ル・

グメ ッ ト『真理 とい う謎』 藤 田晋吾訳,勤草書房 (1986),45買。]

2) Nino B Cocchiarella,“ Frege,Russell and Logicism:A logical Reconstruction",in L Haaparanta&J Hintikka(eds),

F″ど,s夕″ケll￠stz￠ど,D Reidel(1986),pp 197-252。

3)Gotdob Frege,Cη ttvttjz9'￠γス万ι力tlt所″(1893-1903),以下CCAと略記 す る。 また,頁づ けはOImsからの復刻 版 (1966)に よる。[英訳 (抄訳):T力￠B,stじと,ωs 9/4万ι力ITD加じ,tranu by M Furth,Uni oF Calfornia Press(1964),以下 BLAと日唇言已。]

4)G Frege,町sM″dt・力c″ιtれ￠γβ万″ c力S),Fdix Mdner(1976),以下Vflと略記す る。[英訳:PJtt力dψPDT''ι

'″,M″脇 ￨￨, サ￨ひっι働陸 勁 」ヮησ?,Badl Blackwe■(1980),以下列だ と略記。]

5)実

際,この手紙 に対す るフ レーゲの ラ ッセル宛返信(1902年 6月22日付)￨こおいて,フレーゲはこの定式化 を “不正確 な"もの と評 している。14/B ss 212 215,PA/rO pp 131 133。

6)フ

レーゲ 自身 もこの内包 の原理 を前提 していた。 とい うの は,この原理の第二階述語論理一一 後述 の ように フ レーゲ の体系 は これである (§5参ЛR)一― での対応物であ る, ヨFnvxl…VXn(F(xl,…,x.)●φ

) (φ

にFは自由には現 れない) は,GGスでの フ レーゲの基本法則 (Ⅱ

b)iVF(Mβ

F(β ))→MβG(β )のバ リエ ーシ ョンである,

16田

畑 博 敏 VFn″→ ψ[φ/F(xl,…,xn)] から,ψ として ∼_{vxl…Vxn[F(xl,… ,xn)「φ]を取ることによって} ,

∀

_Fn∼VXl…_{VXn[0(xl,… ,xn)'φ ]→}

∼

vxl…Vxn[φ

ごφ

] Vxl…Vxn[φ ど φ

] vxl…

VxR[φ 「 φ]→ョFnvxl…VxR[F(xl,… ,xn)Pφ] ヨFnvxl…

_vxn[F(xl,…

_,xn)Pφ] の ように導けるか らである。

7)念

のために変形過程を書 くと,

(pギ∼

p)s(p→

∼

p)&(∼

p→p)「 _(∼p▽∼

p)&(∼

∼p∨

p),∼ p&(p▽

p),p&一

p

8)GG4 ss253 265,BL/1 pp 127 143。

9)原

則(※)および(※※)を合わせ ると,“F(a)ra∈長F(x)"と なるが,これはGcスの定理である。 これの導出には,後 述する問題の法則 (V)が使われる。GG4§ 54,s73,§ 55,s75, またBLス pp 123-126参ЛR。 10)GGA s256 uf,BLス p130 ff。 11)GGA sv _{,BLA pp3-4参照。} 12)GGス s257■f,BL4 p 133 ff。 13)GGA s262 uf,BLA p 139 ff参_照。 14)クヮインによれば,フレーゲの修正案か ら矛盾が出ることを1938年_{にレスニェウスキーが示 したことをソボチ ンスキー}

が報告 している。w v Quine,“On Fregeる Way Out",Flrt″ ,LXIV(1955),pp 145-159,れ _{Klemke ttd),島 scJs伽形v,} Ulliv Of H _{nds Press(1968),pp 485-501,の 註14参照。}

15)Quine,Op c■ pp 492-493。 _{矛盾導出の過程は以下のようになる。 まず,フ レーゲの修正案のクワイン版 として} ,つ

ぎの ものを置 く:

Vy[yキ 又F(x)→ (y∈貫F(x)「F(y))]・_………(1) そ して,少_{な くとも二つの対象 を仮定する。すなわち}, ヨxヨy(xキy)O… ……… ……… …・_{・………・く2)} さらに,“V",“ A",“ ι",“

W"と

_{いう四つのクラス抽象体 を} V=支

(x=x)…

… … … (全体 クラス) A=支 (xキ

x)…

……… _{(空クラス} ) ιz=支 _{(x=z)・ ………(zから成る単元 クラス} ) W=貫VZ(x∈z&z∈ x→x=z)・ ……… (包含・被包含同一) と定義 し,この四つに対応する(1)の事例,またはその全称化 を用意する。 まず_, ゼzとWから

VzVy[yキ ιz→ (y∈ ιzPy=Z)]・ ……・_{・………・(3)}

Vy[yキ W→ (y∈Wご vz(y∈z&z∈ y→y=z))]………(4)

とな し,つぎにVとAについては以下が直ちに対応する [∵ (y∈vユy=y)「y∈V,およびyキA→ (y∈A ttyキy) とy=yよ りyキA→∼ _{(y∈A),これと対偶から}

_]:

Vy(ytt V→y∈V)…_{………・(5)} ∀y(y∈ A→ y=A)。………・………・………… ………Ⅲ……・………(61

13)から,全称例化でvy[yキιy→ (y∈ ιyPy=y)]とy=yよ り,

Vy(y+ι y→y∈ ιy)。 ………・₍₇₎

また, x∈y&y∈ ιz&yキ ιzとお くと,(3)よ りy∈

`zry=zだか ら,

ラ ッセルのパ ラ ドクスとフレーゲの論理主義

17

ここで, とy=Aとお くと,(7)よ りyキA→y∈ A。 ところで(6)からy∈A→ y=A。

それゆえ,

vy(ι

y=A→

y=A)。 ……… ……… ……… (9) もしtz=zとお くと,(3)よ りyキ Z→ (y∈zPy=z)だか ら,yキz→∼ (y∈z)。 対偶 により,y∈Z→y=z。 ゆえに,

VzVy(多=ιZ&y∈z→y=2)………10 もし

V=Aと

すると,(5)の対偶 よ り∼ (y∈

A)→ y=Aで

あるが,(6)よ りy∈A→

y=Aだ

か らデ イレンマにより

vy(y=A),す

なわちすべての対象が唯―のクラスAであることになって(21に矛盾する。ゆえに背理法によ りVキA。 このことか ら(5)と(9)により,

A∈V, ゼVキA, ιιVキ A… ………1つ

(3)でyをA,zを ιVと す るとAキ tιV→ (A∈

[`VPA=ι

V),これ とtけの右の二つか ら,∼ (A∈ _`ιV)。 しか しこつの左端 より

,A∈ Vo ttV=Vと

すれば矛盾。ゆえに,背理法によって,

`ゼVキ V…… … … …・

…Ⅲ………・・………・―llか QOでzを ゼyとすると, ty=ι ιy&y∈ ty→y=ιy。 ゆえに, とy=ι ゼyを仮定するとy∈ ゼy→y=ιyとなるが,他方

(7)の対偶か ら∼ (y∈ ιy)→y=ty。 ・・.デイレンマより, `y=y。 まとめて,

vy(ty=ι

ιy→y=ι y=ι ry)・ ……… ……… '¨ ―l131

QDと10から背理法により, ιVキ ιιVを 得 る。そ してこれから再びDと背理法によって ιιrVキιιV……… 10 ここで, ゼ `VキWかつ∼ (ι ゼV∈

W)と

仮定する。すると,14)でyをιιVとお くことで ヨz(ι ιV∈ z&Z∈ ιιV&ゼ _`V■z)。 これ より,(8)でxを

_``V,yを

z,zを ιVに 取 ると, ιιV∈ ιVかつ ιゼVキゼV。 これ と,(3)でyを ι`V,2をVに 取ることから, ιιV=Vを得る。 しか し,こ れはこかに矛盾。それゆえ,背理法により, ιι

_V=W∨

ιιV∈

W…

………Ⅲ……Ⅲ………Ⅲ……Ⅲ……… ………10 ここで, ι

W=Wと

仮定す る。す ると10でyを とιV,zをWに取 って, とをV∈W→ `ι

V=W,こ

れ と10からデ イレン マによ り, ιι_V=W。 しか しこの とき,lnによってtWキW。 以上 より, ι

W=W→

_`WキW。 ゆえに,(p→∼p) →∼pに_より ιWキW………Ⅲ… ………Ⅲ………… ………10 これと,(71でyをWに取 るとWキ ゼW→W∈ ιWを得ることか ら, W∈ ι_W…Ⅲ_………Ⅲ……… ……… …………・tう 10と,(4)でyを とWと取 ることとか ら, ιW∈W'VZ(ι WCZ&Z∈ ι_W→ ιW=Z)・… … … …10 10でzをWと取 り縮 小 す る と,ι W∈W→ (ιW∈W&W∈ ゼW→ とW=W)。 そ れ ゆ え,も し ιW∈ Wと仮 定 す る と,こ の 式 の 後 件 の対 偶 よ り ιWキW→∼ (ゼ W∈W&W∈ ιW)と な るが,10,lDIこよ って, ∼ (ιW∈W)。 ……… ………・…… Ⅲ………Ⅲ………Ⅲ……… 19 これ と,101こ よって,10の右辺 の否定,ヨz(ι W∈Z&Z∈ ιW&ιWキ z)が出る。 これ と,(8)でxを ι

W,yを

z,zを

W

と取 るこ ととか ら, ιW∈W。 これ は10と矛盾す る。 16)GG/1 ss 60-61,BLA p105の §47を参HR。 17)この体系 は最初 タルスキーに よって考案 され,Vuφ→ φ(普通例化)も公理 の一つ であ ったが,この式が他 の公理 か ら導 けるこ とが カ リシュ とモ ンタギ ューに よって示 されてい る。D Kalish and R Montague,“On Tarskl'S Formariza―

敏

畑

18)λ 変換 につ い て の一 般 的記 述 につ い て は,Abnzo Church,勁 ￠傷,"Jfげ助脇 b力 C卿97st伽,P nCetOn U P(1941)参_{照 。}

19)(LL)から,[λ xl―・xn']=F→ _Vxl¨・_{Vxn([λ xl・}・・xn φ](xl,…,xn)'F(xl, …_{・, xn))。 (v/λ} ―COnv)よ り, Vxl…Vxn([λ xl… xn φ](xl,…

,xn)Pφ

)。 従 って,[λ xI…xn φ

]=F→

_{Vxl… vxn(F(xl,… ,xn)「φ} )。 存 在例化によ り,[λ xI…xn φ

]=F→

ヨFnvxl…_{Vxn(F(xl,… ,xn)Pφ)。 こ れに普遍汎化 を施 し述語論理の法則} によ り,ョFn([λ xl・・・

xn']=F)→

_ヨFnvxl…Vxn(F(xl,… ,xn)'φ )。 これか ら,本文の次行で導入 される_(cP λ),すなわちヨFn([λ xl… xn φ

]=F)に

より,(CP),すなわちヨ

Fn(F(xl,…

,xn)'φ

)が

出る。 20)厳_{密には層別化の定義 はこうなる。式 またはλ抽象体 φが同次的に層別化 されている}

(hOmogeneOuゞy strat ed)の

は '(φが λ抽象体ならば φ自身 も含めて)中に含 まれている項,述語, λ抽象体の集合に対する,以下のような自然 数の付値tが存在するとき,かつそのときのみである: (1)すべての項a, bに_{対 して, もし}

(a=b)が

_{,中に現れていれ嗚 t(a)=t(b)oす} なわち,等号 のlul辺に現れる 項 どうしはすべて同次元である。

(21n≧1な るすべてのnに_{ついて,すべての}n項_{述語表現 πとすべての項al,… ,anに対 して, もしπ (al,… ,an)}

が φに現れている整成式ならば,lr)it(萄)=t(ak), 1≦ j,k≦

n,か

つ lHl t(π)=t(al)十 ユ。すなわち,一般 の述語表現に伴 う項 どうしはすべて同次元であ り (=(Tl),か つ,述語表現その ものの次元は項の次元 よ り丁度一次 元高い (=(Hll。 13)すべてのm∈ωにつ き_{,すべての個体変項xl,…,xm,お} よびすべての整成式 ″に対 して, もし[λ xl…xtt ψ

]が

φ 中に現れていれば,￨,t(xJ)=t(xk), 1≦ j,k≦ mかっ_{,l_lt([λ xl… xn ψ])=t(xl)+1。 すなわち} , λ抽象体内 部に現れる述語表現 に伴 う項 どうしもすべて同次元であ り (=?功, λ抽象体全体の次元は,それ ら内部のJJtの_次元 より丁度一次元高い (=ll)。

もし,以上の規定か らlr)と?,を落 とし,伸)とllをより弱い要求 :t(π)=1+max tt(al), ¨・_{, t(am)]およびt([λ} Xl・・・Xm ψ])=1+max[t(xl),¨・_{,t(xm)]で置 き換 えるとき,すなわち,述語 “}

_="の

両辺 に現れる項 どうしのみ が同次元で,一_{般の述語表現および λ抽象体 に伴 う項 どうしは同次元でも異次元で もよく,}

また述語表現 とλ抽象体の 次元 はそれ らに伴 うい くつかの項の持つ最大次元 よ り丁度一次元高いとき, φは単純 に層 別化 されている ( mply stradaed)と 言 う。また(イ〉?うと共に(1)も落 とし,(Hl,l― lを更に弱い要求:取aX[t(al),…_{,t(an)]<t(π )お}ょび

max[t(xl),¨・_{,t(xm)]<t([λ xl・}・・xm ψ])で置 き換 えるとき,すなわち,項どうしの次元は同次元で も異次元でも よく,ま_{た述語表現 とス抽象体 の次元はそれらに伴 うい くつかの項の持つ最大次元よリー次元以上高いとき}

, φは累積 的に層別化 されている (cumuladvely strattned)と_{言 う。}

21)[13]か らはつ ぎのようにして矛盾が出る。まず,λ xョ

G(x=G&∼ G(x))=Fと

_{お く。ライプニ ッッの法則:(LL)}

とλ変換原理により, ヨ

c(x=c&∼

c(x)),F(x)。 (i)F(F)の とき。ョ

c(F=G&∼

G(F))。

F=G&∼

G(F)と

すると,∼ F(F)が出て矛盾。(1)∼F(F)のとき

,vG(F=G→

G(F))で_ある力ヽ

F=Fだ

_{か ら,F(F)が}

出て矛盾。 [14]からの矛盾 はこうなる。[λz[λ xyヨ

G(x=G&∼

G(y))]](z,z)=Fと _{お くと,(LL)と λ変換原理か ら,[λ}

xyヨ

C(x=c&∼

G(y))](z,2)'F(2)で _{ある。(i)F(F)の とき,[λ xyヨ}

_G(x=G&∼

_{G(y))](F,F)で}

ある か ら,再び λ変換原理によ り,ヨ

G(F=G&∼

G(F))。

F=G&∼

G(F)とお くと,∼

F(F)が

出て矛盾。い)∼ F

(F)のとき,∼ [λ xyヨ

G(x=G&∼

G(y))](F,F)で

_{あるか ら, λ変換原理により,∼ョ}

G(F=G&∼

c(F)),

すなわち

VG(F=G→

G(F))。 F=Fだから

,F(F)が

出て矛盾 となる。

22)ク_{ヮィンの集合論NFは,“}∈"を_{原始述語に取 る第一階述語論理 をベースとして}

,量化の公理以外 に,外延性の公理 i Vz(z∈xPz∈y)→

x=yと

,xn∈xnキ_1という形で層別化 された内包の原理_{:ヨy∀x(x∈yPF(x))を}

もつ集合 論である。クヮインによれ吼 “yが非 クラス,つまり個体の ときは,x∈yは「xは個体yで_{ある」のことだと解 してよ}

ラ ッセルのパ ラ ドクスとフレーゲの論理主義

19

なわち,メ ンバーをもたない原要素 (urdement)aが

, a=lalに

なって しまう。これは一種の変則状況であると言 わざるを得ない。 この変則状況を打開 して原要素に しかるべ き地位 を与 えるため,外延性の原理 を,(ヨ z(z∈

x)&V

Z(2∈XどZ∈y))→

X=yの

形 に制限 した ものがNFUである。NFについては,W V O Quine,“ New Foundadons for Mathemaical Logば,in F7o/1,とοξtc,ケ駒崩歩げ 駒￠ω,Harvard U P(1953)[邦 訳 :「数P■論理学の新 しい基礎」, クワイ

ン『論理学的観点か ら』 中山浩二郎・持丸悦朗訳,岩波書店 (1972),10卜123頁]を,NFUについては,註24)で示 すR Jensenの論文 を参照。

23)弱ツェルメロ集合論 とい うのは,“∈"と “

="を

述語 に持 ち,1908年にE.ツェルメロ(Emst Zermdo)が与えた 集合論の公理の うち,外延性,対 ,和 ,巾の各公型 と,制限された分出公理:ヨyVz(2∈ yPz∈x&φ)をもつ集合論 のことである。制限された分出公理 とは,条件 φ中のすべての量化子が何 らかの集合に制限されていること,すなわち,

φ中に含 まれる量化の表現が,Vx∈y″あるいは,ヨx∈ yψの形 を取 っているものを言 う。

24)Ronald Jensen,“ On the Consistency of a slight(?)MOdinCatiOn Of Quine's Ar9ν F92t″ど,ιl伽s",み″ιJtFS9 1 9(1968),

pp 250-263。

25)(LL*)よ り,[λ xl・・・xn φ

]=[λ

xl・・・XR ψ

]→

([λ xl…xn φ](xl,…

,xn)P[λ

xl…xn ψ](Xl,…,xn))が出 るが,これに (λ ―Conv*)を適用 し,更にUG,(Al*),(A2・)から,[λ xI…xn φ

]=[λ

xl…xn ψ]→Vxl…∀xn

(φPψ)が導ける。 26)フ レーゲの体系において,外延性の原理i Vxl…

Vxn('Pψ

)→ [λ xl…xn φ

]=[λ

xⅢ…xR ψ]に相当するのは, 法則 (Va),すなわち∀x(FttPGx)→ と

F(C)=占

G(α

)で

ある (GG4§52)。 この (Va)は,パラ ドクス発生の原 因 である (Vb):と F(。

)=と

G(α

)→

(FxPGx)と同値 な式 : とF(ε

)=と

G(■

)→ Vx(FxPGx)の

逆命題 であ り,これら二つの式の連言:きF(ε

)=と

G(α

)'Vx(Fx'Gx)を

フレーゲは論理の基本法則 (V)と して認 定 していたのであった (§3, 5参照)。 27)単項 (λ HSTキ)とは,登場する述語表現 を単項述語 に制限 した (λ HST*)の部分体系である。 28)小論ではもっぱら,パラ ドクスの防止 とい う観点に的を絞 ったので,算術 を論理に遠元するとい う,「論理主義」 を 実行することについての細かい条件 を考察す る余裕がなかった。これは今後の課題 としたい。 [付記]小論 は,第三十九回西 日本哲学会

(1988123-4

於福岡大学)において行った研究発表「Frege・ パ ラ ドクス ・論理」の車稿に加筆修正 して成ったものである。発表当日,会場で鋭い質問の矢 を投 じて争者 を当惑 させ奮起 させた水 崎博明 。飯田隆の両氏 をは じめ,拙い発表 をお聴 き下 さ り有益 なア ドバ イスな与えられた詰先生 。諸先輩方,常々筆者を 励 まし学ぶこと ,知 ることの厳 しさと楽 しさを示 して下 さる松永雄二先生に,感謝の言葉を申 し述べたい。