被積分関数の滑らかさによる
数値積分公式の誤差の評価について
0
1
1
t
h
e
e
r
r
o
r
e
s
t
i
m
a
t
i
o
n
s
o
f
num
む
i
c
a
li
n
t
e
g
r
a
t
i
o
1
1
s
corresponding t
o
t
h
e
smoothness o
f
i
n
t
e
g
r
a
n
d
s
稲 山 久 也 * 樋口功↑
Hisaya INAYAMA Isao HIGUCHI
Abstract
By the wide use of personal computers，もhepractical value of numerIcal inte -gration methods乱rerecognized乱gain. 1n吐lIsp札per
，
we consider the classical andfamous integration formulas組 dshall give the error estimations correspollding to the smoothness of integrands.
1.序
原 始 関 数 が 容 易 に は 求 め ら れ な い 関 数 の 近 似 積 分 公 式 と し て7区 分 求 積 法1中 点 法3台 形 法7シ ン プ ソ ン 法 が 古 く か ら 知 ら れ て い る 。 昨 今 の パ ソ コ ン の 普 及 に よ り ? と れ ら の 有 効 性 と 実 用 性 が 見 直 さ れ て い る 。 一 般 に 数 値 解 析 の 書 物 に 記 載 さ れ て い る 近 似 積 分 公 式 の 誤 差 は ? 分 割 数 を η とすると?区 分 求 積 法 でO(
土
)
， 中 点 法 お よ び 台 形 法 でO
(
告)であり，分割数を2n
とすると，シンプソ ン法でO(
去)となっている。 被 積 分 関 数 が 十 分 滑 ら か で あ る 場 合 ? 被 積 分 関 数 は 必 要 な 次 数 ま で テ ー ラ ー 展 開 出 来 る こ と か ら そ れ ら の 評 価 式 が 導 か れ る が ヲ 滑 ら か さ が 少 な い 場 合 は ? 低 次 の テ ー ラ ー 展 開 し か 出 来 ぬ た め ， そ の 滑 ら か さ に 応 じ て 誤 差 に 変 化 が 生 じ る こ と が 分 か っ た の で ? 以 下 に 報 告 す る 。 *情報通信工学科 ↑ 自 然 斜 堂 教 室8 愛知工業大学研究報告，第
3
3
号A
，平成1
0
年，Vo
.13
3
-A
，M
a
r
.
1
9
9
8
2
.
底分求積法の誤差
関 数f
(
x
)
は 区 間[
a
，
b
]
で連続であるとする。α
[
，
b
]
をη 等 分 し て ， そ の 分 点 を 順 にX
o
= α<
X
l
<
..・ <X
i
-
l
<引 く ・ ・<
X
n =b
とし，区間の幅をんーと
-2
n とする。Ln
=f
(
叫ん
+f(Xl)h+"'+f(
九 一l
)
h
=，
L
'
f
(
X
i
-
l
)
ん
と置くとヲf
(
x
)
の 一 様 連 続 性 か ら7J
込
Ln
=
t
f
(
x
)
d
x
が成り立つロ こ の よ う に ? 長 方 形 の 面 積 の 和Ln
の 極 限 と し て 定 積 分J
:
f
(
x
)
d
x
を 求 め る 方 法 が 区 分 求 積 法 ( 皿easurationby p
a
r
t
s
)
である。 連 続 関 数f
(
x
)
に 関 す る 分 割 数 η の と き の 区 分 求 積 法 の 誤 差 をEn
とする。 す な は ちEn
=En
(
f
)
=l
bf
(
x
)
d
x
-
L
n
と置く。 次 の 定 理 が 示 す 通 り ? 区 分 求 積 法 の 誤 差 は ? 関 数 の 滑 ら か さ に 依 存 し な い ロ定 理
l
任 意 のkと
l
に対しうf
(
x
)
ECk[a
，
b
]
で あ れ ば い つ で も 、 、 I ノ1
一
n
o
一
=
一
、 、 、 白 目 'J ， f ナ l d 〆 ， ' ' 、 、 nE
が成り立つ。 証 明 は，
f
(
x
)
に 平 均 値 の 定 理 を 使 っ て 簡 単 に 得 ら れ る 。注意1.
f
(
x
)
がα
[
刈 上 で リ プ シ ツ ヅ 連 続 で あ れ ば } や は りι
(
f
)
=O
(
と)が成り立 つ。f
(
x
)
が 単 に 連 続 で あ る 場 合 の 誤 差 の 評 価 式 を 筆 者 等 は 知 ら な い 。3
.中点法の誤差
区 間α
[
，
b
]
をn
等 分 し て ， 分 点 をX
i
=α
+
i
(
b
-α
)
/
n
(
i
=
0
γ
・"n
)
分 割 幅 をh
=(
b
ーα
)
/
n
とする。Mn
=
Mn
(
f
)
=
f
(
Xo:
2 /
X
1
)
九十"
-
.
f
(
止 主
)
h
+
.
.
.
+
f
(
と 己 主)
h
=
ε
f
(
与 と
i
)
h
J ¥2 '
.
J ¥2 /
~ と置きM
n を積分f
:
f
(
x
)
d
x
の 近 似 値 と す る 方 法 を 中 点 法(midpoitr
u
l
e
)
と 育つ。 中 点 法 に 関 し で も3任 意 の 連 続 関 数f
(
x
)
に対し，次の等式が成り立つ。J
込比
=
l
bf
(
x
)
d
x
連 続 関 数f
(
x
)
に関する?分割数が η の と き の 中 点 法 の 誤 差 を EM，nと す る 。 す な は ち EM，n=
EM，n(
f
)
=
l
bf
(
x
)
d
x
-
M
と置く。 次 の 定 理 が 示 す 適 り3中 点 法 に よ る 誤 差 の 評 価 は，
f
(
x
)
がC
1級 で あ る 場 合 とC
2級 以 上 である場合とで，差が生じる。定 理 2
.
f
(
x
)
ε
C
k[α刈 と す る 。 (1)k
=1
な ら ば EM，
n = E M，
n(
f
)
=O(~) ，
(2)kと
2
な ら ば EM，n = EM，n(
f
)
=O(
会
)
である。証明.
第i
番 目 の 区 間[
X
i
-
1
'x
;
]
に お け る 誤 差 をE
，
M
nと書き，
F
(
x
)
=f
f
(
x
)
d
x
と 置く。(
1
)
k
=1
のとき。 平 均 値 の 定 理 よ り ? 次 式 を 満 た すC
i
，
d
i
ε
(
X
'
-
l
，
X
i
)
が存在する。(
3
.
1
)
E
，
r
1
n=
ぷ
;-1f
(
x
)
d
x
-
f($;-~+x;)h =F(x
，
)
-
F
(
X
i
-
1
)
-f
(年字引
h
=f
(
X
i
-
1
)
h
+
会
r
(
c
川
2一{f(九1
)
+
f'(di)~}h
z与
{
f
'
(
C
i
)-f
'
(
d
i
)
}
10 愛知工業大学研究報告，第33号A，平成10年， Volお山A，Mar. 1998 関 数
f
'
(
x
)
は 連 続 だ か ら，
I
f
'
(
x
)
1
の 最 大 値 をC
と置くと，EM
，n =I
.
:
i
=
1
E
'
M
川 よって (3.1)よりIEM
，n
l
~与 I.:i=1Ifヤi)
-
f
'
(
d
i
)
1
三
号
I
.
:
i
=
1(
C
+
C
)
<
Ch
2n
く〔主=必と
c
- n 従 っ てf
(
x
)
ε
C
1[α
，
b
]
な ら ば，
EM
，n=
O(
士)が成り立つ。(
2
)
k三
2の と きa 平 均 値 の 定 理 お よ び (3.1)よ り ， 次 式 を 満 た す 引 が(
C
i
，
d
i
)
ま た は(
d
i
，
C
i
)
内に容在する。EL
，n =号
{
f
勺
i
)-
f
'
(
d
i)}=
与
1
"
(e
i
)
(
Ci一位)
従 っ てIEM
，n
l
=
与
ε
i
=
1
I
i
"
(
e
i
)
(
C
包 -d
i
)
1
三号工
:
i
=
1
Dh
三
与
nD=
知
tD
ζこで，
D=m
砿1
i
"(
x
)
1
であるロ 従 っ てf
(
x
)
εC
k
[
a
，
b
]
(
k
と
2
)
で あ れ ばEM
，
n=
O
(
お と な る と と が 示 さ れ た 。4
.台形法の誤差
区間α
[
，b
]
を η 等 分 し て ? 分 点 をX
i
=a
十i
(b
ーα
)
/
n
(
i
=0
，1
，・."n
)
，
分 割 帽 を ん =(b-
α
)
/
η
とする。T
n=
九
(f)=;Mo)+
仇 ) } 十 川
1
)
+
パ
z
か
+
{
f
(
X
n-
l
)
+
仇)}
=~ ~i=l
{
f
(
X
n-
1
)
+
f
(
x
n)} と置き，
T
，
π を積分J
:
f
(
x
)
d
x
の 近 似 値 と す る 方 法 を 台 形 法(
t
r
a
p
e
z
o
i
d
l'u
l
e
)
と言う。 台 形 法 に 関 し て も1任 意 の 連 続 関 数f
(
x
)
に対し7次の等式が成り立つ。l
込九(1)
=
l
bf
(
x
)
d
x
連 続 関 数f
(
x
)
に関する1分 割 数 が η の と き の 台 形 法 の 誤 差 をET
，nと す る 。 す な は ち九=九(1)
=
l
b削
d
x
一九
と置く。 台 形 法 に よ る 誤 差 の 評 価 は1中点法と同様で，f
(
x
)
がC
1級 で あ る 場 合 とC
2級 以 上 で あ る 場 合 と で7差が生じる。 すなはち次の定理が得られる。定理
3
.
f
(
x
)
ε
C
k[α，b
]
と す る 。 こ の と き であるロ(
1
)
k
=
1
ならばET
，n=
ET
，n(
1
)
=
o
(
士
)
，
(
2
)
kと
2な ら ばET
，n=
ET
，n(
1
)
=
o
(
告
)
証明.
第z
番 目 の 区 間 に お け る 誤 差 をE
ん と 書 く 。 またf
(
x
)
の 原 始 関 数 をF
(
x
)
とする。(
1
)
k
=1
のとき。f
(
x
)
ε C
1，
F
(
x
)
ε
c
2 だから1平 均 値 の 定 理 お よ び テ イ ラ ー の 定理より3 次 式 を 満 た すC
i
，
d
i
ε
(
X
i
-
l
'
x
;
)
が存在する。(
4
.
1
)
E'y，n= ぷ~1
f
(
x
)
d
x
-H
f
(
X
i
-
l
)
+
f
(
x
;
)
}
=
F
(
X
i
)
-F
(
X
i
-
1
)
-
~{f (Xi-1)
+
f
(
x
;
)
}
12 愛知工業大学研究報告p 第
3
3
号A
，平成1
0
年，V
01.3
3
-A
，M
a
r
.
1
9
9
8
=F
'
(
X
x-
l
)
(
X
i
-X
i
-
l
)
+
会
F叩
i
)
(
X
i-X
i
_
1
)
2
-
j
{
仇
-
1
)
+
f
(
X
i
-
d
+
f
'
(
d
;
)
仏一山)}
=f
(
X
i
-
1
)
九十与f
'
(
C
i
)-
H
2
f
(
X
i
-
l
)
+
1
'
(
ム
)
h
}
=
与
{
f
'
(
C
i
)-
f
'
(
d
;
)
}
関 数f
'
(
x
)
は 連 続 だ か ら，
M
=m
a
x
l
f
'
(
x
)
1
とおくと，(
4
.
1
)
よりI
E
T
，n
l
=I
L
i
=
l
Ey
，n
l
三
号
L
i
=
l
I
f
'
(
c
;
)
-
f
'
(
d
i
)
1
三
号
2
:
i=l(M
+
M)
三
Mh
2n
= M(b- α)2~ 従 っ て!
(
X
)
ε
C
1
[
α，
b
]
な ら ば，
ET
，
n =O(~) が成り立つロ
(
2
)
k
と
2
のとき。F
(
x
)
に 関 す る3
次 の テ ー ラ ー 展 開 か ら う 次 式 を 満 た す Ciε(
X
i
-
l
，
X
i
)
が存在する。F
(
X
i
)
-F
(
X
i
-
l
)
=F
'
(
X
i
-
l
)
(
X
;
-x
i
-
1
)
十
会
F
吋
X
i
-
l
)
(
X
i-X
←
1
)
2十
会
F
川(
C
i
)
(
X
i-X
i
_
l
)
3
=f
(
X
i
-
1
)
九十!
f
'
(
X
i
_
l
)
h2
+
会
f
勺
τ)
h
3
f
(
x
)
に 関 す る 2次 の テ ー ラ ー 展 開 か ら ? 次 式 を 満 た すd
i
E(
X
i
，
X
i
-
l
)
が存在する。!
(
X
i
)
=!
(
X
i
-
l
)
+
!
'
(
X
i
-
l
)
(
X
i
-X
i
-
l
)
+
会
f
"
d
i
)
(
X
i-X
i
_
l
)
2
=!
(
X
i
-
l
)
+
!
'
(
X
i
-
l
)
ん
+
会
f
吋
d
i
)
h2
ゆ え に
Eb= ぷ~1
f
(
x
)
d
x
-
~{f(Xí-1)
+
f
(
x
，
)
}
=F(
町)-
F
(
X
'
_
l
)
-
~{f(X ，)
+
f
(
X
i
-
l
)
}
=
f
(
X
i
)
+
~f' (Xí_1)h2
+
会
f
的 i
)
h2
-5{f(224
十f
(
町一1
)
+
f
'
(
九l
)
h
+号
f
引
i
)
}
=*
f
的
i
)
ん
3 _U
吋
d
i)九3 関 数f
吋
x
)
は 連 続 だ か ら，
K
=m
a
x
l
f
吋
x)
1
と置くと1 全 体 の 誤 差 はI
E
T
，n
l
=
12
:
;
=
1
Ey
，n
l
=ん
3
1
2
:
;
=
l
U
f
的
i
)-
t
1
"
(
d
i
)
}
1
三九
3
1
2
:
;
=
1(
F
<
+
V
<
)
I
=会
Kh
3xn
=会
K(b
ーα
)
3
会
と 評 価 さ れ )f
(
x
)
ε
c
k
(
k
三
2
)
な ら ば，
ET
，π =O(
去)であるととが示されたロ14 愛知工業大学研究報告，第
3
3
号A
，王子成1
0
年，Vo
1.3
3
-A
，Ma
r.1
9
9
8
5
. シンプソン法の誤差
区聞いうb
]
を2
η
等分して?分点をX
i
=α+
i(b-
α
)
/
(
2
η
)
(
i
=0
，'・，
.
2
n
)
，
分 割 幅 をh
=(
b
ーα)
/
(
2
n
)
とするロS
2
n
=S
2
n
(
1
)
=
引
{
f
(
x
o
)
+
4
f
(
x
l
)
+
f
(
X
2
)
}
+
{
f
(
X
2
)
+
4
f
(
X
3
)
+
f
(
X
4
)
}
十 十{
f
(
X
Z
n
-
2
)
+
4
f
(
X
2
n
-
l
)
+
f
(
X
2
n
}
]
=~
I
:
:
i
=
1
{
f
(
X
2
i
-
2
)
+
4
f
(
X
2
日)
+
f
(
X
2
包
)
}
と置く。S
Z
n
を積分:
J
f
(
x
)
の 近 似 値 と す る 方 法 を シ ン プ ソ ン 法(Symps
Ol内r
u
l
e
)
と言う。 シ ン プ ソ ン 法 に 関 し で も7 任 意 の 連 続 関 数f
(
x
)
に対し? 次 の 式 が 成 り 立 つD比 九
(f)=
lbf(X)dX
連 続 関 数f
(
x
)
に関する3分 割 数 が2
n
の と き の シ ン プ ソ ン 法 の 誤 差 をES
，2
n
で表す。 す な は ちE
仙=E
ω
(
1
)
=
l
b
削
d
x
ー ら
(
f
)
と置く。 シ ン プ ソ ン 法 に よ る 誤 差 の 評 価 は ? 中 点 法 や 台 形 法 の そ れ と は 異 な り，
f
(
x
)
がc
1級 で あ る 場 合 ，C
2 級 で あ る 場 合 ，C
3 級である場合? お よ びc
4 級 以 上 で あ る 場 合 で は ? 差が生じるととが分かった。 すなはち次の定理が得られる。定理 4
.
f
(
x
)
ε
Ck
[
い]とする白 之のとき(
1
)
k
=
1
な ら ばES
，2
n
=
ES
，2
n
(
f
)
=
O(~)
，(
2
)
k
=
2
な ら ばES
，2
n
=
ES
，2
n
(
f
)
=
O(
会)
，(
3
)
k
=
3
な ら ばES
，2
n
=
Es
，z
n
(
f
)
=
O(
会)
，(
4
)
k
三
4
な ら ばES
，2
η =ES
，2
n
(
f
)
=
O(
会)
である。証明.
区間[
X
2
i
-
2
'X
2
;
]
に 於 け る シ ン プ ソ ン 法 に よ る 誤 差 をE
，
s
'
2
n
と書く。 またf
(
x
)
の 原 始 関 数 をF
(
x
)
とする。(
1
)
k
=
1
のとき。F
(
x
)
E
C2
だからF
(
x
)
に 関 す る2
次 の テ ー ラ ー 展 開 よ り ， 次 式 を 満 た すα
i
E(
X
2
←
2
，
X
2
i
)
が存在する。F
(
X
2
i
)
-F(
均 一2
)
=
F
'
(
X
2
.
-
2
)
+
会
F
"
(
向)
(
X
2
i-X
2
←
2
)
2
=2
h
f
(
X
2
i
-
2
)
+
2
h
2
f
'
(
α
i
)
f
(
x
)
ε
C1
だからf
(
x
)
に 関 す る 平 均 値 の 定 理 よ り3 次 式 を 満 た す んε
(
X
2
←
2
，
X
2
i
-
1
)
お よ び CiE(
X
2
i
-
2
'
X
2
i
)
が存在する，f
(
X
2
i
-
1
)
= f
(
X
2
i
-
2
)
+
f
'
(
b
i
)
h
f
(
X
2
i
)
=f
(
X
2
←2
)
+
f
ヤ
;
)
2
h
区間[
X
2
i
-
2
)X
2
i
]
に 於 け る 誤 差E
S
，2
n
を計算すると，Et
，2
n
=J
:
2
2
L
2
f
(
x
)
d
x
-
~{f(X2←2)
+
4
f
(
X
2
i
-
1
)
+
f
(
X
2
i
)
}
=F
(
X
2
i
)
-F
(
X
2
←
2
)
-
~{f(X2i-2)
+
4
f
(
X
2
i
-
1
)
+
f
(
X
2
.
)
}
=2
h
f
(
X
2
i
-
2
)
+
2
h2
f
'
(
向)
-
H
f
(
X
2
i
-
2
)
+
4
{
f
(
X
2
i
-
2
)
+
f
'
(
b
川}
+
{
f
(
X
2
←
2
)
+
f
'
(
c
i
)
2
h
}
]
=
号
{
6
f
'
(
α
i
)-
4
f
'
(
b
i
)
-2
f
'
(
C
i
)
}
I
ES
，2
n
I
=I
E
:
'
=
l
Et
，2
n
l
=
与
I
E
:
'
=
1
{
6
f
'
(
α
.
)
-
4
f
'
(
b
i
)
-2
f
い
)
}
I
壬
号
x
12M x
n
=
M(b
ーα
)
2
t
従 っ てk=l
の と きES
，2
n
(
f
)
=
O(
と)となる。16 苦手知工業大学研究報告9 第
