STEP 数学 Ⅰ を解いてみた から直線 に下ろした垂線の足を H とすると, H in( 80 ) in より, S H in H 同様にして, S in, S in も成り立つ よって, S in 三角形の面積 ヘロンの公式 in in 辺の長

図形と計量

7 三角形の面積

三角形の面積1 △ABC の面積を S とすると，S bc A ca B absinC 2 1 sin 2 1 sin 2 1 _{= =} = 解説 B から直線 AC に下ろした垂線の足を H とすると， A c sin BH= より，S b bcsinA 2 1 BH 2 1 _{× =} =

A

B

C

c

b

A

a

B

_C

A

H

c

b

A

B から直線 AC に下ろした垂線の足を H とすると，

(

A

)

c A csin180 sin AH= °- = より，S b bcsinA 2 1 AH 2 1 _{× =} = 同様にして，S casinB 2 1 = ，S absinC 2 1 = も成り立つ。 よって，S bc A ca B absinC 2 1 sin 2 1 sin 2 1 _{= =} = 三角形の面積2 ヘロンの公式 3 辺の長さがa,b, cである三角形の面積 S は

(

s a

)(

s b

)(

s c

)

s S= - - - ただし， 2 c b a s= + + 導き方 A c b A bc S S 2 2 2 2 2 sin 4 1 sin 2 1 = ÷ ø ö ç è æ = = 　 　

ここで，sin2 _A+cos2 _A=1_より，sin2 _A=1-cos2 _A

また，△ABC において，余弦定理より， bc a c b A 2 cos = 2 + 2 - 2 よって，

(

)

bc a c b bc bc a c b bc bc a c b bc a c b bc a c b A 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 -+ -× -+ + = ÷÷ ø ö çç è æ _- + -÷÷ ø ö çç è æ ₊ + -= ÷÷ ø ö çç è æ + -= 　　　 　　　

A

B

C

H

c

b

A

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

{

} (

{

)

}

{

(

)

}

{

(

)

}

(

)(

)(

)(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 c b c b a c b a c b a c b a bc c b a c b a bc a c b a c b bc c b a bc a c b bc c bc b a bc a c bc b + -+ + + -+ + = -+ × -+ + + = -× -+ = × + -× -+ + = 　　　 　　　 　　　 　　　 ゆえに，

(

)(

)(

)(

)

(

)(

)(

)(

)

÷ ø ö ç è æ + + -÷ ø ö ç è æ + + -÷ ø ö ç è æ + + -+ + = -+ × + -× + + -× + + = -+ + -+ + -+ + = -+ + -+ + -+ + × = = c c b a b c b a a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b c b a c b a c b a c b a c b A c b S 2 2 2 2 2 2 2 2 16 4 4 1 sin 4 1 2 2 2 2 2 2 2 　 　 　 したがって， 2 c b a s= + + とおけば，S= s

(

s-a

)(

s-b

)(

s-c

)

と表せる。 三角形の内接円と面積 △ABC＝△ABI＋△BCI＋△CAI より，S= cr+ ar+ br= r

(

a+b+c

)

2 1 2 1 2 1 2 1

A

E

F

I

b

c

r

r

288 (1)

△ABC≡△CDA より，平行四辺形 ABCD の面積は△ABC の面積の 2 倍である。

よって，平行四辺形ABCD の面積を S とすると， 2 3 15 60 sin 5 3 2 1 2× × × × °= = S (2) 6 AD

BC= = より，△ABC の面積は 4 6sin135 12sin

(

180 45

)

12sin45 6 2 2 1_{× × °= °- ° = °=} よって，平行四辺形ABCD の面積は12 2

A

B

C

D

3

5

60°

A

B

C

D

4

6

135°

289 (1) △ABD の面積

(

)

2 1 2 1 2 2 45 sin 2 2 45 180 sin 2 2 135 sin 2 1 2 1 A ADsin AB 2 1 = × = ° = ° -° = ° × × = Ð × 　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 △BCD の面積 2 3 2 1 2 2 3 45 sin 2 3 2 1 C CDsin CB 2 1 = × = ° × × = Ð × 　　　　　　　 　　　　　　　 よって，四角形ABCD の面積は 2 2 3 2 1_{+ =}

A

B

C

D

1 3 2 2 ° 135 ° 45

(2) △ABC の面積

(

)

4 3 15 2 3 2 15 60 sin 2 15 60 180 sin 2 15 120 sin 5 3 2 1 B BCsin BA 2 1 = × = ° = ° -° = ° × × = Ð × 　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 △ACD の面積

(

sin D 0,sin D cos D 1

)

D cos 1 10 D sin 5 4 2 1 D DCsin DA 2 1 2 2 2_{Ð Ð > Ð + Ð =} -= Ð × × = Ð ×  　　 　　　　　　　 ここで，△ABC において，余弦定理より，

(

)

(

)

7 2 1 30 34 60 cos 30 34 60 180 cos 5 3 2 25 9 BCcos120 BA 2 BC BA AC 2 2 = ÷ ø ö ç è æ-× -= ° -× -= ° -° × × -+ = ° × × -+ = 　　 　　 　　 　　 よって，△ACD において，余弦定理より， 5 1 5 4 2 49 25 16 DC 2DA AC DC DA D cos 2 2 2 -= × × -+ = × -+ = Ð 　　　　 　　　　 ゆえに， 6 4 5 1 1 10 D cos 1 10 D DCsin DA 2 1 2 2 = ÷ ø ö ç è æ -= Ð -= Ð × 　　　　　　　　 　　　　　　　　 よって，四角形ABCD の面積は 4 6 4 3 15 ₊

補足 △ACD の面積をヘロンの公式を使って求めると， 4 DA 5, CD 7, AC= = = より， 6 4 4 3 1 8 4 2 4 5 7 5 2 4 5 7 7 2 4 5 7 2 4 5 7 = × × × = ÷ ø ö ç è æ + + -÷ ø ö ç è æ + + -÷ ø ö ç è æ + + -× + + 　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ヘロンの公式 3 辺の長さがa, b,cである三角形の面積 S は S= s

(

s-a

)(

s-b

)(

s-c

)

ただし， 2 c b a s= + +

A

B

C

D

° 120 3 4 5 5

290 (1) △ABC において，余弦定理より， B cos 4 2 2 16 4 B BCcos 2AB BC AB AC2 2 2 Ð × × -+ = Ð × -+ = 　　　 B cos 16 20- Ð = ・・・① △ACD において，余弦定理より， D cos 12 13 D cos 3 2 2 9 4 D CDcos 2DA CD DA AC2 2 2 Ð -= Ð × × -+ = Ð × -+ = 　　　 　　　 ここで，四角形ABCD は円に内接しているから，

(

)

B cos B 180 cos D cos Ð -= Ð -° = Ð 　　　　 よって，AC2 ₌13₊12cos_ÐB _・・・② ①，②より，20-16cosÐB=13+12cosÐB 4 1 B cosÐ = \ これを①に代入すると，AC2 ₌16 _\AC=4 (2) △ABC の面積 15 4 1 1 4 B cos 1 4 2 2 1 B sin BC BA 2 1 2 2 = ÷ ø ö ç è æ -= Ð -× × = Ð × 　　　　　　　　 　　　　　　　　 または ヘロンの公式より， 15 1 1 3 5 4 2 4 4 2 4 2 4 4 2 2 2 4 4 2 2 4 4 2 CA 2 CA BC AB BC 2 CA BC AB AB 2 CA BC AB 2 CA BC AB = × × × = ÷ ø ö ç è æ + + -÷ ø ö ç è æ + + -÷ ø ö ç è æ + + -+ + = ÷ ø ö ç è æ + + -÷ ø ö ç è æ + + -÷ ø ö ç è æ + + -× + + 　　　　 　　　　　　 　　　　 　　　　　　 　　　　 　　　　　　

△ACD の面積 4 15 3 4 1 1 3 D cos 1 3 2 2 1 D sin DC DA 2 1 2 2 = ÷ ø ö ç è æ -= Ð -× × = Ð × 　　　　　　　　 　　　　　　　　 または ヘロンの公式より， 4 15 3 2 2 2 3 4 3 2 2 3 4 4 2 2 3 4 2 2 3 4 DA 2 DA CD AC CD 2 DA CD AC AC 2 DA CD AC 2 DA CD AC = ÷ ø ö ç è æ + + -÷ ø ö ç è æ + + -÷ ø ö ç è æ + + -+ + = ÷ ø ö ç è æ + + -÷ ø ö ç è æ + + -÷ ø ö ç è æ + + -× + + 　　　　 　　　　　　 　　　　 　　　　　　 よって，四角形ABCD の面積は 4 15 7 4 15 3 15+ =

A

B

C

D

2 4 3 2

291 (1) △ABC において，余弦定理より，

(

)

13 60 cos 6 10 60 180 cos 6 10 120 cos 1 3 2 1 9 B BCcos 2AB BC AB AC2 2 2 = ° + = ° -° -= ° × × -+ = Ð × -+ = 　　　 　　　 　　　 　　　 これより，△ACD において，余弦定理より，

(

)

3DA DA 9 60 cos 6DA DA 9 B 180 cos DA 3 2 DA 9 D DAcos 2CD DA CD 13 2 2 2 2 2 -+ = ° -+ = Ð -° × × -+ = Ð × -+ = 　　 　　 　　 よって，DA2 _-3DA_-4₌0 _すなわち

(

_DA+1

)(

_DA-4

)

₌₀ ゆえに，DA> より，0 DA= 4

四角形ABCD の面積は△ABC の面積と△ACD の面積の和と等しいから，

求める面積は

(

)

4 3 15 2 3 2 15 60 sin 2 12 2 3 60 sin 2 12 60 180 sin 2 3 60 sin 3 4 2 1 120 sin 1 3 2 1 D DCsin DA 2 1 B BCsin BA 2 1 = × = ° ÷ ø ö ç è æ + = ° + ° -° = ° × × × + ° × × × = Ð × + Ð × 　　　　　 　　　　　　 　　　　　 　　　　　　 　　　　　 　　　　　　 　　　　　 　　　　　　

A

B

C

D

3 1 3 ° 120

(2) △ABC において，余弦定理より， B cos 2 2 3 B cos 2 1 2 2 1 B BCcos 2AB BC AB CA2 2 2 Ð -= Ð × × -+ = Ð × -+ = 　　 　　 △ACD において，余弦定理より，

(

)

B cos 2 4 9 B 180 cos 1 2 2 2 1 8 D DAcos 2CA DA CD AC2 2 2 Ð + = Ð -° × × -+ = Ð × -+ = 　　 　　 よって，3-2 2cosÐB=9+4 2cosÐB 2 1 B cosÐ = -\ これより，ÐB=135° また，ÐD=180°-ÐB=45°

四角形ABCD の面積は△ABC の面積と△ACD の面積の和と等しいから，求める面積は

2 3 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 DCcos45 DA 2 1 BCcos135 BA 2 1_{× × °+ × °= × × × + × × × =}

A

B

C

D

1 2 2 2 1

292 内接する正n 角形の面積 正 n 角形は，外接円の中心 O と頂点を結ぶことにより， 合同なn 個の二等辺三角形に分割できる。 よって，その1 つの二等辺三角形を△OAB とすると， n ° = ÐAOB 360 ，OA= OB=rの頂角は n ° 360 より，△OAB の面積は n r sin360° 2 1 2 ゆえに，求める面積は n nr n r n´ °= sin360° 2 1 360 sin 2 1 2 2

B

A

O

n ° 360 r r

外接する正n 角形の面積 正 n 角形は，内接の中心 O と頂点を結ぶことにより， 頂角が n ° 360 のn 個の合同な二等辺三角形に分割できる。 そこで，その1 つの二等辺三角形を△OAB， O から辺 AB に下ろした垂線の足を H とすると， AB⊥OH より，H は辺 AB と内接円の接点だから，OH=r また，二等辺三角形の性質より， AB 2 1 AH= \AB=2AH n n ° = ° × = Ð = Ð 360 180 2 1 AOB 2 1 AOH よって，△OAB の面積は n r n ° = ° × = × = × × = × OH 2AH OH AH OH OHtan180 tan180 2 1 AB OH 2 1 2 ゆえに，求める面積は n r n 2tan180°

O

B

A

H

n ° 180 r

293 (1) △ABC の面積を S とすると，

(

)

(

)

r r c b a r S 2 15 6 5 4 2 1 2 1 = + + = + + = 　 　 また， 4 7 15 5 4 2 36 25 16 1 10 2 1 10 cos 1 5 4 2 1 sin 2 1 2 2 2 2 2 2 = ÷ ø ö ç è æ × × -+ -= ÷÷ ø ö çç è æ + -= -× × = = 　 　 　 　 ab c b a C C ab S よって， 4 7 15 2 15 =r 2 7 = \r 補足 ヘロンの公式から S を求めると， 4 7 15 2 3 2 5 2 7 2 15 6 2 15 5 2 15 4 2 15 2 15 2 2 2 2 = × × × = ÷ ø ö ç è æ -÷ ø ö ç è æ -÷ ø ö ç è æ -= ÷ ø ö ç è æ + + -÷ ø ö ç è æ + + -÷ ø ö ç è æ + + -+ + = 　 　 　 c c b a b c b a a c b a c b a S

(2) △ABC の面積を S とすると，

(

)

(

)

(

)

r r r A bc c b r a r c b a r S 14 15 13 2 1 15 2 1 8 7 2 64 49 2 1 15 cos 2 2 1 8 7 2 1 2 1 2 2 = + = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + ÷ ø ö ç è æ-× × × -+ = ÷ ø ö ç è æ _{+ - +} = + + = + + = 　 　 　 　 　 また， 3 14 2 3 28 120 sin 8 7 2 1 sin 2 1 = × = ° × × = = 　 　 　 A bc S よって，14r=14 3 \r= 3

294 (1) 3 10 2 3 20 60 sin 5 8 2 1 sin 2 1 = × = ° × × × = = 　 　 　 C ab S (2) 余弦定理より， 7 49 2 1 80 89 60 cos 5 8 2 25 64 cos 2 2 2 = = × -= ° × × -+ = -+ = 　 　 　 　 C ab b a c (3)

(

)

(

)

r r c b a r S 10 7 5 8 2 1 2 1 = + + = + + = 　 　 (1)より，S=10 3だから，10r=10 3 \r= 3 (4) 正弦定理より， R C c ₂ sin = 2 3 2 7 60 sin 2 7 sin 2 × = ° = = \ 　　 　　 C c R

295 △ABC＝△ABD＋△ACD であるから，AD=xとおくと， ° × × × + ° × × × = ° × × 15 sin30 2 1 30 sin 10 2 1 60 sin 10 15 2 1 _{x x} より， 2 1 15 2 1 2 1 10 2 1 2 3 10 15 2 1_{× × × = × × × + × × ×} x x 両辺を4 倍し，整理すると，150 3=25x \x=6 3 ゆえに，AD=6 3

A

B

_D

C

15 10 _x ° 30 ° 30

296 △OAB の面積= OA×OBsin45° 2 1 △OBC の面積= × °= OB×OCsin45° 2 1 135 sin OC OB 2 1 △OCD の面積= OC×ODsin45° 2 1 △ODA の面積= × °= OD×OAsin45° 2 1 135 sin OA OD 2 1 よって，四角形ABCD の面積は ° ×OBsin45 OA 2 1 _{+ OB×OCsin45°} 2 1 _{+ OC×ODsin45°} 2 1 _{+ OD×OAsin45°} 2 1

(

)

(

)

(

)

{

}

(

)(

)

2 7 7 4 4 2 BD AC 4 2 OD OB OC OA 4 2 OC OA OD OC OA OB 4 2 OA OD OD OC OC OB OB OA 2 45 sin = × × = × = + + = + + + = × + × + × + × ° =

O

A

D

4 7 45°

297 (1) 正弦定理より， C c A a sin sin =

(

)

{

}

(

A B

)

A c B A A c C A c a + = + -° = = \ sin sin 180 sin sin sin sin 　　 　　 (2)

(

)

(

A B

)

B A c B c B A A c B ac S + = × + × = = sin 2 sin sin sin sin sin 2 1 sin 2 1 2 　 　 298 (1) 底面を△OBC とすると， 底面積= 2 2 2 2 1_{× × =} 高さOA=2 よって， 3 4 2 2 3 1_{× × =} = V (2) △ABC は 1 辺の長さが2 2 の正三角形であるから， 3 2 60 sin 2 2 2 2 2 1_{× × °=} = S (3) OH 3 1 × = S V ， 3 4 = V ，S=2 3より， 3 3 2 3 OH= = S V

299 △ABH はÐAHB=90°の直角二等辺三角形だから，AB= 2AH よって，正方形ABCD の面積は_AB2 _=2AH2 したがって，正四角錐の体積をV とすると， 2 PH AH2 3 2 2AH PH 3 1 _{× = ×} = V

これと，ÐAHP=90°の直角三角形PAH において，AH a= sinq，PH a= cosq より，

q q q q sin cos 3 2 sin cos 3 2_{a a}2 2 _a3 2 V= × =

P

A

B

C

D

H

q a

300 (1) 正三角形BCD の面積= 4 3 9 60 sin 3 3 2 1_{× × °=} ・・・① A から正三角形 BCD に下ろした垂線の足を H とすると，△ABH，△ACH，△ADH は斜 辺の長さが等しくAH を共有する直角三角形だから，合同である。よって，BH=CH=DH これより，H は正三角形 BCD の外接円の中心，BH は外接円の半径ということになり， 正弦定理より， 2BH 60 sin 3 ₌ ° 2sin60 3 3 BH = ° = \ よって，△ABH において，三平方の定理より，AH₌ AB2 _-BH2 ₌ 9_-3₌ 6 _・・・② ゆえに，①，②より，正四面体ABCD の体積= 4 2 9 6 4 3 9 3 1_{× × =} これと，正四面体ABCD の体積= V4 より， 16 2 9 = V 補足：H は△BCD の重心でもある。 H が外心であるということは，H は各辺の垂直二等分線の交点である。 二等辺三角形の底辺の垂直二等分線は，頂点を通るから，頂点から底辺に引いた中線 でもある。したがって，正三角形の場合，垂直二等分線の交点すなわち外心と中線の 交点すなわち重心が一致する。ということは，H は△BCD の重心でもある。 すると，上図において， 2 3 3 BC 2 3 BM= = BM 3 3 2 BH= = \

A

B

C

D

H

3

M

3 3 3 3 3

(2) △BCD を四面体 OBCD の底面にとると，底面積は 4 3 9 ，高さは内接球の半径r だから， r r V 4 3 3 4 3 9 3 1_{× × =} = また，(1)より， 16 2 9 = V よって， 16 2 9 4 3 3 ₌ r 4 6 = \r これより，球の表面積= p p 2 3 4 r2 = ，球の体積= p p 8 6 3 4 _r3 ₌ 解説：「正四面体ABCD の体積＝4×四面体 OBCD の体積」の導き方 導き方1 内接球と各面との接点をH, E₁, E₂,E₃とすると， 3 2 1, OE , OE OE OH, は内接球の中心 O から各面に下ろした垂線かつ内接球の半径だから，

O

A

B

C

D

H

E

1

E

2

E

3 r r r r

導き方2 △AHM と直線 BE において，メネラウスの定理より， 1 EA ME BM HB OH AO_{× × =} ・・・①

H，E はそれぞれ△BCD，△ACD の重心だから，BH：HM = AE：EM = 2：1

よって， 3 2 1 2 2 BM HB ₌ + = ・・・② 2 1 EA ME = ・・・③ ①～③より， 1 2 1 3 2 OH AO_{× × = \AO：OH = 3：1} ゆえに，AH：OH = 4：1 すなわちAH=4OH したがって，底面を△BCD とすると， 正四面体ABCD の高さは四面体 OBCD の高さの 4 倍だから， 正四面体ABCD の体積＝4×四面体 OBCD の体積

O

_E

A

B

C

D

H

M

O

E

A

B

H

M

301 (1) 球の半径をr とし，立体を底面と平行に球の中心を通るように切断すると， その断面は，3 辺の長さが 5,6,7 である三角形に半径 r の円が内接している図になる。 △ABC の面積を S とすると，

(

)

r r S 5 6 7 9 2 1 _{+ + =} = ・・・① 5 6 2 15 6 5 2 7 5 6 1 15 B cos 1 15 B sin 6 5 2 1 2 2 2 2 2 × = ÷÷ ø ö çç è æ × × -+ -= Ð -= Ð × × = 　 　 　 S 6 6 = ・・・②

A

B

C

I

6

7

5

r

r

r

補足 S をヘロンの公式から求めると， 6 6 7 2 7 6 5 6 2 7 6 5 5 2 7 6 5 2 7 6 5 = ÷ ø ö ç è æ + + -÷ ø ö ç è æ + + -÷ ø ö ç è æ + + -+ + = 　 S (2) 表面積 = 側面積＋2×底面積

(

)

6 36 6 6 2 18 3 6 4 2 7 6 5 2 = × + × = + + + = r S 体積 = 底面積×高さ 48 3 6 4 6 6 2 = × = × =S r (3) 球の表面積：三角柱の表面積＝ p 3 32 ：36 6 ＝8 ：p 27 6 (4) 球の体積：三角柱の体積＝ p 27 6 64 ：48 ＝8 ：p 27 6 ＝球の表面積：三角柱の表面積 補足 球の表面積＝_{4 rp} 2_， 三角柱の表面積＝側面積＋2×底面積＝2r

(

a+b+c

) (

+r a+b+c

)

=3r

(

a+b+c

)

よって，球の表面積：三角柱の表面積＝4pr：3

(

a+b+c

)

球の体積＝ 3 3 4_pr 三角柱の体積＝底面積×高さ＝ r

(

a+b+c

)

×₂r=r2

(

a+b+c

)

2 1 よって，球の体積：三角柱の体積＝4pr：3

(

a+b+c

)

ゆえに，球の体積：三角柱の体積＝球の表面積：三角柱の表面積

302 三平方の定理より，OB=

( )

2 5 2 +42 =6 よって，OP= 3

O

P

A

B

4 5 2 4 // //

直円錐の側面を母線OB から切り開いてできる扇形を OBB' とすると， 弧BB'の長さは，直円錐の底面の円周の長さと等しいから，2p ×4=8p 一方，扇形の中心角の大きさをx とすると，弧 BB'の長さは° p p 30 360 6 2 x = x ° ° ´ × よって， p 8p 30 = x より，x=240 したがって，側面図は下図のようになる。 ゆえに，△AOP において，余弦定理より， 7 3 18 45 120 cos 3 6 2 3 6 AP 2 2 = + = ° × × -+ = 　　 　　

P

B’

A

B

O

3 6 120 ° ° 120

303 (1) 14 2 1 2 4 7 6 2 6 5 3 5 2 6 5 3 3 2 6 5 3 2 6 5 3 _{÷= × × × =} ø ö ç è æ + + -÷ ø ö ç è æ + + -÷ ø ö ç è æ + + -+ + (2) 4 15 3 2 1 2 3 2 5 2 9 4 2 4 3 2 3 2 4 3 2 2 2 4 3 2 2 4 3 2 _{÷= × × × =} ø ö ç è æ + + -÷ ø ö ç è æ + + -÷ ø ö ç è æ + + -+ + ヘロンの公式 3 辺の長さがa,b, cである三角形の面積 S は

(

s a

)(

s b

)(

s c

)

s S= - - - ただし， 2 c b a s= + + 導き方 bc A S S 2 2 sin 2 1 ÷ ø ö ç è æ = = 　

A

B

C

c

b

A

a

B

_C

よって，

(

)

bc a c b bc bc a c b bc bc a c b bc a c b bc a c b A 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 -+ -× -+ + = ÷÷ ø ö çç è æ _- + -÷÷ ø ö çç è æ ₊ + -= ÷÷ ø ö çç è æ + -= 　　　 　　　

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

{

} (

{

)

}

{

(

)

}

{

(

)

}

(

)(

)(

)(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 c b c b a c b a c b a c b a bc c b a c b a bc a c b a c b bc c b a bc a c b bc c bc b a bc a c bc b + -+ + + -+ + = -+ × -+ + + = -× -+ = × + -× -+ + = 　　　 　　　 　　　 　　　 ゆえに，

(

)(

)(

)(

)

(

)(

)(

)(

)

÷ ø ö ç è æ + + -÷ ø ö ç è æ + + -÷ ø ö ç è æ + + -+ + = -+ × + -× + + -× + + = -+ + -+ + -+ + = -+ + -+ + -+ + × = = c c b a b c b a a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b c b a c b a c b a c b a c b A c b S 2 2 2 2 2 2 2 2 16 4 4 1 sin 4 1 2 2 2 2 2 2 2 　 　 　 したがって， 2 c b a s= + + とおけば，S= s

(

s-a

)(

s-b

)(

s-c

)

と表せる。