金子真
機構学
筋肉 きん にく
モータ＋センサ
関節にモータがついている場合の角度の取り方
1
θ
2
1
θ
絶対系にモータがついている場合の角度の取り方
2
(x, y)
順問題
y
x
(
1 2)
1cos
cos
θ
+
θ
+
θ
=
l
l
x
(
1 2)
1sin
sin
θ
+
θ
+
θ
=
l
l
y
x
y l l 1 θ 2 θ (x, y)順問題（簡単）
)
,
(
θ
1θ
2 を与えて(x, y)を求めるMov e A t o B A B
逆問題の必要性
y
x
モータが関節に埋め込まれている場合 2θ
1θ
？
(
1 2)
1cos
cos
θ
+
θ
+
θ
=
l
l
x
(
1 2)
1sin
sin
θ
+
θ
+
θ
=
l
l
y
x
y l l 1 θ 2 θ (x, y)逆問題
手先位置を与えて関節 角度を求める．)
,
(
θ
1θ
2？
(
1 2)
1cos
cos
θ
+
θ
+
θ
=
l
l
x
(
1 2)
1sin
sin
θ
+
θ
+
θ
=
l
l
y
x
y l l 1 θ 2 θ 1 1 1 2 1 2sin
sin(
)(
)
dx
= −
l
θ θ
d
−
l
θ θ
+
d
θ
+
d
θ
1 1 1 2 1 2cos
+ (
)(
)
dy
=
l
θ θ
d
l
θ θ
+
d
θ
+
d
θ
1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2sin
sin(
)
sin(
)
cos
cos(
)
cos(
)
d
dx
l
d
dy
θ
θ θ
θ θ
θ
θ
θ θ
θ θ
θ
−
−
+
−
+
=
+
+
+
d
θ
d
x
=
J
J
（ヤコビ行列）
(x, y)x
y l l 1 θ 2 θ -1J
d
θ
=
d
x
(
if
J
≠
0
)
+
−
−
−
=
2 1 12 12 1 12 12 1θ
θ
d
d
lc
lc
lc
ls
ls
ls
dy
dx
1 1 1 1
=
cos
θ
,
s
=
sin
θ
c
(
1 2)
12(
1 2)
12=
cos
θ
+
θ
,
s
=
sin
θ
+
θ
c
−
−
−
−
=
12 1 12 1 12 12 1-J
1
J
ls
ls
lc
lc
ls
lc
{
1 12 12 12 12 1 12 12}
2J
=
l
−
s
c
−
s
c
+
s
c
+
s
c
2 2sin
θ
l
=
d
θ
d
x
=
J
(x, y) + − − − = ∴ + + = + − − = 12 12 1 12 12 1 2 1 12 1 1 2 1 12 1 1 ) ( ) ( lC lC lC lS lS lS d d lC d lC dy d d lS d lS dx J θ θ θ θ θ θ ) cos( , cos ) sin( , sin 2 1 12 1 1 2 1 12 1 1 θ θ θ θ θ θ + = = + = = C C S S
θ
J
x
d
d
=
0 = 2 2 sinθ
l∴
θ
2=
n
π
0 = J特異姿勢：２リンクロボットの場合
手先位置・姿勢(x, y, φ)に対して特異姿勢を求め図示せよ．
0 = J 0 = 2 2 sin
θ
l∴
θ
2=
n
π
課題１： 解答 + + + − − − − − − = ∴ + + = + + + + + = + + − + − − = 1 1 1 123 123 12 123 12 1 123 123 12 123 12 1 3 2 1 3 2 1 123 2 1 12 1 1 3 2 1 123 2 1 12 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( lC lC lC lC lC lC lS lS lS lS lS lS d d d d d d d lC d d lC d lC dy d d d lS d d lS d lS dx J θ θ θ φ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ ) cos( ), cos( , cos ) sin( ), sin( , sin 3 2 1 123 2 1 12 1 1 3 2 1 123 2 1 12 1 1 θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ + + = + = = + + = + = = C C C S S Sθ
J
x
d
d
=
特異姿勢が存在しない２次元３自由度ロボットは
存在するか？
３リンクロボットの２リンクロボットに対する
運動学的優位性は？
３リンクロボットの２リンクロボットに対する
運動学的優位性は？
３リンクロボットの２リンクロボットに対する
運動学的優位性は？
1
θ
α β γ 6θ
5θ
4θ
3θ
2θ
)
,
,
,
(
1 2 6 6θ
θ
θ
γ
=
f
5( ,
1 2,
,
6)
f
β
=
θ θ
θ
4( ,
1 2,
,
6)
f
α
=
θ θ
θ
1( ,
1 2,
,
6)
x
=
f
θ θ
θ
2( ,
1 2,
,
6)
y
=
f
θ θ
θ
3( ,
1 2,
,
6)
z
=
f
θ θ
θ
θ
∆
=
∆
x
J
=
J
6 1 1 1 θ θ ∂ ∂ ∂ ∂f f 6 6 1 6 θ θ ∂ ∂ ∂ ∂f f ６自由度ロボットの場合
θ
J
x
d
d
=
=
z y xz
y
x
d
θ
θ
θ
x
=
2
1
2
1
2
1
W
W
E
E
S
S
d
θ
S1 S2 E1 E2 W1 W2 6 6× ∈ R J0
det
J
=
0
2])
1
Sin[
2]
Sin[
1](
Sin[
1]
Sin[
2 3 3 2l
E
W
l
S
+
l
E
+
S
=
l
-l1 l2 l3 l4x
J
θ
d
d
=
−1６自由度ロボットの特異姿勢
0
2])
1
Sin[
2]
Sin[
1](
Sin[
1]
Sin[
2 3 3 2l
E
W
l
S
+
l
E
+
S
=
l
-① ② ③ E10
1]
Sin[
E
=
①肘特異姿勢π
n
E
1
=
（n ：整数）６自由度ロボットの特異姿勢
0
2])
1
Sin[
2]
Sin[
1](
Sin[
1]
Sin[
2 3 3 2l
E
W
l
S
+
l
E
+
S
=
l
-① ② ③0
1]
Sin[
W
=
②手首特異姿勢π
n
W
1
=
W1 （n ：整数）６自由度ロボットの特異姿勢
0
2])
1
Sin[
2]
Sin[
1](
Sin[
1]
Sin[
2 3 3 2l
E
W
l
S
+
l
E
+
S
=
l
-① ② ③ ③肩特異姿勢0
2]
1
Sin[
2]
Sin[
3 2S
+
l
E
+
S
=
l
S2 E1 l2 l3６自由度ロボットの特異姿勢
f
x f y f
l
=
y xf
f
f
l
1θ
θ
2 1τ
x
y
0
)}
sin(
sin
{
)}
cos(
cos
{
1 1 2 1 1 2 1−
θ
+
θ
+
θ
+
θ
+
θ
+
θ
=
τ
f
yl
l
f
xl
l
0
)
sin(
)
cos(
1 2 1 2 2−
θ
+
θ
+
θ
+
θ
=
τ
f
yl
f
xl
−
+
−
−
=
y xf
f
lc
ls
lc
lc
ls
ls
12 12 12 1 12 1 2 1τ
τ
1 1 = sinθs s12 = sin(θ1 +θ2) c1 = cosθ1 c12 = cos(θ1 +θ2)
x f y f
l
=
y xf
f
f
l
1θ
θ
2 1τ
x
y
−
+
−
−
=
y xf
f
lc
ls
lc
lc
ls
ls
12 12 12 1 12 1 2 1τ
τ
1 1 = sinθs s12 = sin(θ1 +θ2) c1 = cosθ1 c12 = cos(θ1 +θ2)
Jを使って表すと・・・
f
τ
tJ
=
+
−
−
−
=
2 1 12 12 1 12 12 1θ
θ
d
d
lc
lc
lc
ls
ls
ls
dy
dx
θ
x
Jd
d
=
仮想仕事の原理
θ
∆
x
∆
f
τ
θ
τ∆
=
∆x
f
)
(
∆
x
=
l
∆
θ
l
/
τ
=
f
仮想仕事の原理による
τ
=
J
tf
の誘導 e jW
W
=
f
x
τ
θ
t td
d
=
f
θ
tJd )
(
=
f
θ
t tJ
d
=
f
τ
tJ
=
∴
だから (1) 関節アクチュエータがする仕事 2 2 1 1θ
τ
θ
τ
d
d
W
j=
+
(
)
=
2 1 2 1τ
τ
θ
θ
d
d
τ
td
θ
=
(2) 手先力がする仕事dy
f
dx
f
W
e=
x+
y(
)
=
y xf
f
dy
dx
f
x
td
=
x
y l l 1 θ 2 θ (x, y)課題：２リンクロボットに対して次の問いに答えよ
ロボット先端に(fx, fy)=(1.0, 1.0)[N]発生させるためには関節トルク を何[Nm]加えたらよいか．]
[
1 m
=
6
/
2 1θ
π
θ
=
=
)
,
(
τ
1τ
21 θ 2 θ ) , (θ1 θ 2 問題１． (1)ヤコビ行列Ｊを求めよ． (2) 特異姿勢を与える を求めよ． リンク長： ＊リンクの幅は無視してよい． x y l l 1 θ 2 θ (x, y) 問題２ ロボット先端を(Δx, Δy)=(0.1, 0.1)[m]移 動させるのに必要な各関節の角度変化 を求めよ． ] [ 1 m = 6 / 2 1 θ π θ = = ) , (∆θ1 ∆θ 2
1 θ 2 θ ) , (θ1 θ 2 １．ヤコビ行列Ｊを求めよ． ２．特異姿勢を与える を求めよ． リンク長： ＊リンクの幅は無視してよい． x y l l 1 θ 2 θ (x, y) ロボット先端を(Δx, Δy)=(0.1, 0.1)[m]移動させる のに必要な各関節の角度変化 を 求めよ． ] [ 1 m = 6 / 2 1 θ π θ = = ) , (∆θ1 ∆θ 2
1 θ 2 θ ) , (θ1 θ 2 １．ヤコビ行列Ｊを求めよ． ２．特異姿勢を与える を求めよ． リンク長： ＊リンクの幅は無視してよい．
,...)
1
,
0
(
0
)
sin(
2 1 2 1=
+
=
=
−
n
nπ
θ
θ
θ
θ
特異姿勢を与える関係式|J|=0よりx y l l 1 θ 2 θ (x, y) ロボット先端を(Δx, Δy)=(0.1, 0.1)[m]移動させる のに必要な各関節の角度変化 を 求めよ． ] [ 1 m = 6 / 2 1 θ π θ = = ) , (∆θ1 ∆θ 2 -1
