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解
説
非線形システムの固有値
河野 佑*
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はじめに
線形システム制御理論において，固有値が重要な役割 を果たすことに異論はないであろう．安定解析に留まら ず，可制御性／可観測性解析，極配置／観測器の設計を 含めた幅広い問題が固有値・固有ベクトルを計算するこ とに帰着される．それでは，非線形システムまで視野を 広げてみるとどうであろうか．非線形システム制御理論 の構築においては，微分幾何学が主要なツールとして用 いられる[1,2]．微分幾何学は線形システム制御理論にお ける線形代数学の役割を果たし，“幾何学的”に解釈可能 な概念や結果は，微分幾何学の枠組みで非線形システム へと拡張されている．たとえば，不変部分空間の概念を 拡張することで，すでに1970年代には，非線形システ ムに対する可制御性／可観測性ランク条件や正準分解が 提案されている[1,2]． その一方で，“代数的”に定義されているからなのか， 固有値・固有ベクトルの概念はこれまで拡張されてこな かった．微分方程式論の分野では，古くは参考文献[3] に見受けられるように，Jacobi行列（正確には行列値関 数）の固有値（関数）を安定解析に利用しようとした研 究も存在する．しかしながら，Jacobi行列が座標に依存 することから，その固有値に意義を見いだすことは難し いように思われる． 近年，著者らは，固有値ではなく，固有ベクトルの幾 何学的な解釈に着目することで，固有値・固有ベクトル の概念を非線形システムへと拡張した[4–8]．本稿では その成果の一部について紹介したい．あくまで対象は非 線形システムであり，固有値の概念が明らかになったこ とで直ちに，線形システム制御理論の結果がすべて拡張 できるというものではない．非線形特有の難しさ（面白 さ）があり，それは固有値の性質にも現れる．そこで， 本稿では，線形と非線形との違いに注意して話を進めて いき，非線形固有値の着想やその制御理論への応用を紹 介することに説明の焦点をあてる．また，読者の範囲を 狭めることを避けるために，できる限り微分幾何学の用 語は用いない．このため数学的な厳密性を欠く表記があ∗ Faculty of Science and Engineering, University of
Groningen
Key Words: nonlinear systems, differential geometry,
eigenvalues. ることに注意されたい． 本稿の構成はつぎの通りである．2.では，線形代数学 の固有値・固有ベクトルとの関係に注意しつつ，非線形 システムに対する固有値・固有ベクトルの定義と性質に ついて述べる．また，未解決問題についても言及する． その後，3.では，応用研究として，最近の成果である， 非線形システムに対する対角化[4]と安定判別[6]，可制 御性／可観測性解析[7]，contraction理論[9]に現れる differential Riccati方程式の固有値分解法[8]を紹介す る．4.では，関連した概念として，Koopman作用素の 固有値[10]や非線形Hankel作用素の特異値[11]につい て言及する．
2.
非線形システムの固有値
2.1
線形代数学の固有値 非線形システムへと固有値の概念を拡張する前にまず， 線形代数学の固有値と固有ベクトルについて簡単に述べ る．通常，よく用いられるのは右固有ベクトルであるが， 説明のしやすさから，ここでは左固有ベクトルを扱う． 正方行列A∈ Rn×nを考える．複素数λ∈ Cと非零の 複素ベクトルv∈ Cn \{0}が vTA = vTλ (1) を満たすとき，λをA の固有値，v をλに対応する左 固有ベクトルという．なお，たとえAが実行列であった としても，一般に，その固有値と固有ベクトルは複素数 と複素ベクトルであることに注意されたい． 線形常微分方程式論における重要な結果として，行列 Aの固有値が，つぎの線形システムの安定性を決定する ことが知られている． d dtξ = Aξ (2) これは vTξ が微分に沿ってある種の不変性をもつ，す なわちつぎを満たすことに基づいて示される． d dt(v Tξ) = λ(vTξ) (3)2.2
非線形固有値の定義 本節では，非線形システムの固有値について，定義の 着想に焦点を当てながら紹介する．その前に誤解のない9 ように，非線形システムの固有値は状態変数の関数であ ることを強調しておく．本来，固有値関数とよぶほうが 正確かもしれないが，便宜上，固有値とよぶ．固有ベク トルに関しても同様である．このように，本稿では状態 変数の関数を扱うが，これらはすべて無限回微分可能で あるとする． つぎの非線形システムを考える． ˙x = f (x), f :Rn → Rn (4) 線形システム制御理論は，微分幾何学を用いることで非 線形システムへと拡張されている．そのアプローチに対 する（あくまでも著者の）大雑把な解釈を述べると，非 線形システムの解x(t)に沿った線形システム d dtξ = ∂f (x(t)) ∂x ξ (5) を解析することで，元の非線形システムの性質を明らか にしようというものである．すなわち，大域的な性質を 犠牲にする代わりに，(2)式と(5)式を比較することで， 線形システム制御理論を拡張しようというものである． 固有値の拡張にもこのアイデアを用いる． 線形システム(2)の固有値と固有ベクトルは，任意の ξ に対して(3)式を満たす定数 λと定数ベクトルv と 解釈できる．(2)式と(5)式を比較すると，(5)式は定数 行列Aではなく，xを引数にもつ行列値関数∂f (x)/∂x を扱っている．そこで定数と定数ベクトルの代わりに， スカラー値関数λl(x)とベクトル値関数v(x)を導入し て，(3)式をつぎのように拡張する． d dt(v T(x)ξ) = λ l(x)(vT(x)ξ) (6) 左辺を(4), (5)式を用いて計算すると， d dt(v T(x)ξ) = (∂v(x) ∂x f (x) )T ξ + vT(x)∂f (x) ∂x ξ (7) となる．したがって，(6), (7)式よりつぎが成り立つ． (∂v(x) ∂x f (x) )T ξ + vT(x)∂f (x) ∂x ξ = λl(x)(v T(x)ξ) 上記の議論において，xやξが任意であることから，非 線形システムの左固有値をつぎのように定義する[5–7]． 【定義 1】 ある開部分集合 U⊂ Rn 上で，スカラー 値関数λl: U→ Cとベクトル値関数v : U→ Cn\{0}が (∂v(x) ∂x f (x) )T + vT(x)∂f (x) ∂x = λl(x)v T(x) (8) を満たすとき，λl(x)をU 上の∂f (x)/∂xの左固有値， v(x) をλl(x) に対応する左固有ベクトルという．もし くは，単に非線形左固有値，左固有ベクトルとよぶ． 線形の場合と同様に，たとえf (x)が実数値関数であっ たとしても，(8)式の解 λl(x) とv(x) は複素数値関数 になりうる．したがって，定義1において，非線形固有 値や固有ベクトルの値域をCやCn に取っている． 固有値の拡張手順は安直に思われるかもしれないが，定 義1は微分幾何学的に正当なものである．詳細は割愛し て結論だけ述べると，この定義は微分1形式vT(x)dxが 1次元の不変codistribution[1,2]に属することを意味す る．これは線形代数学の左固有ベクトルが，1次元の不変 部分空間に属することに対応する．なお，codistribution は，微分幾何学における中心的な概念である．それにも かかわらず，固有ベクトルとの対応はこれまで注目され てこなかった．したがって，従来の概念の特殊ケースで あるにもかかわらず，非線形固有値に関しては魅力的な 問題が山積みである．その一部については2.4で述べる． 左固有値と同様にして，右固有値を定義する[4,6,7]． 【定義 2】 ある開部分集合U⊂ Rn上で，スカラー値 関数λr: U→ C とベクトル値関数w : U→ Cn\{0}が −∂w(x)∂x f (x) +∂f (x) ∂x w(x) = λr(x)w(x) (9) を満たすとき，λr(x)をU 上の∂f (x)/∂xの右固有値， w(x)をλr(x)に対応する右固有ベクトルという．もし くは，単に非線形右固有値，右固有ベクトルとよぶ． 左固有値とは異なり，右固有値の定義式(9)におい て，第1項の符号はマイナスである．この符号の違い は，非線形固有ベクトルと微分幾何学を結びつけるう えで重要である．ここでも詳細は割愛するが，符号が マイナスであることから，右固有ベクトルが1 次元 の不変distribution[1,2]に属することを示せる．不変 distributionも不変codistributionと同様に，不変部分 空間を拡張した概念である． つぎに，線形代数学の固有値と非線形固有値との関係 を考えよう．原点を平衡点(f (0) = 0)とすると，非線形 左固有値の定義式(8)は，原点で以下のようになる． vT(0)∂f (0) ∂x = λl(0)v T(0) したがって，非線形左固有値の原点での値は，Jacobi行 列∂f (0)/∂xの線形代数学における固有値と一致する． これは上で述べたように，非線形固有値が実数値関数と は限らないことも意味する． 他方，線形システムに対し ては，線形代数学の固有値が非線形固有値に含まれるこ も簡単に確認できる[7]． 本節の最後に，非線形固有値の計算例を示す． 【例題 1】 つぎの非線形システムを考える． ˙x1= x1+ x1x2 ˙x2= x2 このシステムに対して，非線形左固有値と左固有ベクト
ルの定義式(8)はつぎのようになる． [ ∂v1(x) ∂x1 (x1+ x1x2) ∂v2(x) ∂x2 x2 ] +[v1(x) v2(x) ][1 + x2 x1 0 1 ] = λl(x) [ v1(x) v2(x) ] この式を満たす非線形左固有値λl(x)とそれに対応する 左固有ベクトルv(x)は，たとえば， λl(x) = 1 + x2, v(x) = [ 1 −x1 ]T λl(x) = 1, v(x) = [ 0 1]T と求まる．つぎに，非線形右固有値と右固有ベクトルの 定義式(9)は以下のようになる． − ∂w1(x) ∂x1 (x1+ x1x2) ∂w2(x) ∂x2 x2 + [ 1 + x2 x1 0 1 ][ w1(x) w2(x) ] = λr(x) [ w1(x) w2(x) ] この式から，右固有値と右固有ベクトルとして， λr(x) = 1 + x2, w(x) = [ 1 0] T λr(x) = 1, w(x) = [ x1 1 ]T が求まる．この例題の場合U =R2 である．
2.3
非線形固有値の性質 線形代数学における固有値の性質と関連付けて，非線 形固有値の性質を二つ紹介する．まずは，非線形固有値 が非線形の座標変換z = φ(x) で不変なことを示す．た だし，φ : U→ Cn は微分同相写像[1,2]，すなわち，全 単射かつφとφ−1 が無限回微分可能であるとする． 記号T (x) := ∂φ(x)/∂xを用いて，変換後の非線形シ ステムはつぎのように記述できる． ˙z = ¯f (z) := (T (x)f (x))|x=φ−1(z) (10) (10)式において，f (z)¯ のJacobi行列を計算すると ∂ ¯f (z) ∂z = ( n ∑ i=1 ∂T ∂xi fi+ T ∂f ∂x ) T−1 (11) となる．表記の簡単化のため省略したが，右辺の引数は すべてx = φ−1(z) である．以降でも適宜，引数を省略 する． 線形代数学の左固有ベクトルと座標変換の関係に基づ いて，¯v(x)をv(x) = TT(x)¯v(x)満たすものとして定義 すると，(8)式の左辺はつぎのように変形できる． ( ∂v ∂xf )T + vT∂f ∂x = (∂(TT¯v) ∂x f )T + ¯vTT∂f ∂x = (∂¯v ∂xf )T T + ¯vT ( n ∑ i=1 ∂T ∂xi fi+ T ∂f ∂x ) さらに，x = φ−1(z)に注意して，(10), (11)式を用いる と，つぎが得られる． (∂¯v ∂xf )T T + ¯vT ( n ∑ i=1 ∂T ∂xi fi+ T ∂f ∂x ) = (∂¯v(x) ∂z f (z)¯ )T T (x) + ¯vT(x)∂ ¯f (z) ∂z T (x) これを(8)式の左辺に代入し，両辺に右から T−1(x) を 掛けると，つぎが成り立つ． ( ∂¯v(x) ∂z f (z)¯ )T + ¯vT(x)∂ ¯f (z) ∂z = λ(x)¯v T(x) したがって，λ(φ−1(z))は非線形左固有値であり，左固 有値は座標変換で不変である．右固有値に関しても同様 である． つぎに，線形代数学の固有値とは異なる性質を紹介す る．実は，非線形固有値は，一般に無限個存在する．(8) 式の両辺にスカラー値関数a : U→ C\{0} を掛けると a (∂v ∂xf )T + avT∂f ∂x = (∂(av) ∂x f )T −vT∂a ∂xf + av T∂f ∂x= aλv T となり，整理すると (∂(av) ∂x f )T + avT∂f ∂x= ( λ +1 a ∂a ∂xf ) avT (12) が得られる．この式が意味することは，v(x)が非線形左固 有ベクトルであれば，そのスカラー倍a(x)v(x)も左固有 ベクトルであるということである．このこと自体は，線形 代数学における結果の自然な拡張である．しかしながら， 対応する左固有値はλ(x)+(1/a(x))(∂a(x)/∂x)f (x)へ と変化する． 固有ベクトルのスカラー倍によって固有値が変化する ことは， 非線形固有値を扱いづらくする．この問題は， 適当な同値関係を導入することで解決できる[7]． 【定義 3】 あるスカラー値関数a : U→ C \ {0}が存 在して，つぎが成り立つときに，スカラー値関数の組 (b,c) : U→ C×CはLf-相似であるという． b(x) = c(x) + 1 a(x) ∂a(x) ∂x f (x) Lfの由来は，Lie微分(∂a(x)/∂x)f (x)が一般にLfa と記述されることによる．なお，Lf-相似は同値関係であ る．したがって，非線形固有ベクトルをa(x)倍すると， 固有値がλ(x)からλ(x) + (1/a(x))(∂a(x)/∂x)f (x)へ11 と変化するが，それらはLf-相似の下で同値である． 行列値関数 M,N : U→ Cn×n に対しても，各点で正 則なT : U→ Cn×nを用いることで，L f-相似は N (x) = ( ∑ i=1 ∂T (x) ∂xi fi(x) + T (x)M (x) ) T−1(x) と定義できる．線形代数学における行列の相似と同様に， Lf-相似は非線形システムの座標変換と密接な関係があ る．実際，N (x) = ∂ ¯f (φ(x))/∂z, M (x) = ∂f (x)/∂xと すると，(11)式が得られる．したがって，Lf-相似は，線 形代数学における行列の相似を拡張した概念である．
2.4
非線形固有値に関する未解決問題 非線形固有値に関しては多くの未解決問題があり，そ の中でも最も重要な問題は，存在性に関するものである． 現時点では，非線形システムが必ず固有値・固有ベクト ルをもつことは保証されていない．線形代数学の場合で も，定義式そのものから存在を証明することは難しく， 特性方程式を介することで存在性の証明が行われる．ま た，関連して，左固有ベクトルと右固有ベクトルに対応 する固有値が等しいことも，特性方程式を用いて示され る．したがって，非線形固有値についても対応する特性 方程式が明らかになれば，固有値に関する研究が飛躍的 に発展し，存在性の証明だけでなく，計算手法の確立ま でもが可能になると期待される． 次節で紹介するが，非線形の場合でも，固有値と対角 化の関係は整理されている．しかしながら，Jordan標 準形の拡張に関しては課題が多い．三角化ですら，変換 可能であるための必要十分条件[12]が導出されているに もかかわらず，すべての非線形システムが三角化可能で あるかどうかは明らにされていない．非線形固有値とい う新たな切り口から，座標変換と標準形の関係を見直す ことも今後の課題である．3.
非線形システムの固有値を用いた解析
非線形システム制御理論における，非線形固有値の応 用例を三つ紹介する．3.1
対角化と安定判別 線形代数学において，1次独立な固有ベクトルをn本 もつ行列は単純であるといわれ，これは対角化可能であ ることの必要十分条件である．非線形システムの場合に は，さらに付加的な条件が必要である．本節では，まず 対角化のための必要十分条件について述べる．その後， 対角化後のシステムと非線形固有値との関係から，非線 形固有値を用いた安定性の十分条件を紹介する． 単純性は，非線形システムへと自然に拡張できる[7]． 【定義 4】 非線形システムが，U 上の各点でR上1 次独立な左（もしくは右）固有ベクトルをn本もつとき， システムは単純であるという． なお，n本の1次独立な非線形左固有ベクトルと右固 有ベクトルの存在は同値である．さらに，システムが単 純なとき，左固有値と右固有値の集合は等しい[6]． 非線形システムが単純であると仮定して，対角化につ いて考える．まず，左固有値λi(x) (i = 1,...,n)に対応 する1次独立な左固有ベクトルを vi(x) (i = 1,...,n) と し，行列値関数T (x)を T (x) :=[v1(x) ··· vn(x) ]T と定義する．非線形固有値を導入するうえで用いた(6) 式に立ち返ると，解に沿った線形システム(5)は座標変 換η = T (x)ξ を行うことでつぎのように対角化できる． d dtηi= λi(x)ηi, i = 1,...,n (13) この変換が元の非線形システム(4)に対して意味を成すの は，あるベクトル値関数φ(x)が存在して，∂φ(x)/∂x = T (x)，すなわち∂φi(x)/∂x = viT(x) が成り立つ場合で ある．これは可積分性条件[1,2]とよばれ，微分幾何学で はたびたび現れる． 可積分性を仮定し，座標変換 z = φ(x) を元の非線形 システムに施す．(13)式より，変換後のシステム(10)は つぎを満す． ∂ ¯fi(φ(x)) ∂zi = λi(x), i = 1,...,n ∂ ¯fi(z) ∂zj = 0, i̸= j すなわち，f¯i はzi のみに依存する．したがって，座標 変換z = φ(x)により， ˙zi= ¯fi(zi), i = 1,...,n (14) が得られ，非線形システムは対角化される．さらに， d ¯fi(zi)/dzi(i = 1,...,n)は非線形固有値である．以上を まとめると，つぎの定理が得られる[6]． 【定理 1】 開集合U 上で非線形システムが対角化可 能であるための必要十分条件は，システムがU 上で単 純であり，かつ各左固有ベクトルがあるスカラー値関数 の勾配となっていることである． 右固有ベクトルによる同様の条件については，参考文 献[4,6]を参照されたい．非線形の場合でも，適当な座 標変換のもとでシステムの性質は保たれるため，対角化 後のシステム(14)を用いることで，元のシステムの安定 解析が可能である．ここでは詳細を参考文献[6]に任せ， 非線形固有値を用いた安定判別の条件のみを紹介する． 【定理 2】 システム(14)が平衡点をもつとし，その 平衡点を内部に含む連結開集合 V ⊂ Cn を考える．こ のとき，すべての i = 1,...,n に対して，V 上の各点で d ¯fi(zi)/dzi の実部が負であれば，V はシステム(14)の 吸引領域である． 上の定理において，d ¯fi(zi)/dzi は非線形固有値である．したがって，これらの非線形固有値に対して実部の 符号を見ることで，安定解析が可能である．
3.2
PBH
テスト 固有値や固有ベクトルを用いた可制御性／可観測性の 判別方法は総じて，Popov-Belevitch-Hautus(PBH)テ ストとよばれる．非線形固有ベクトルを用いることで， 非線形システムへとPBHテストを拡張できる．より一 般の場合については参考文献[7]に任せ，ここでは最も 初等的な結果について述べる． 【定理 3】 つぎの1入力の非線形システムを考える． ˙x = f (x) + g(x)u (15) このとき，システム(15)がある適当な開集合U 上で局 所強可到達[1,2]であるための必要十分条件は，任意の ∂f (x)/∂xの左固有ベクトルv(x)に対して， vT(x)g(x) = 0 が（U 上で恒等的に）成り立たないことである． 【定理 4】 つぎの1出力の非線形システムを考える． { ˙x = f (x) y = h(x) (16) このとき，システム(16)がある適当な開集合U 上で 局所可観測[1,2]であるための必要十分条件は，任意の ∂f (x)/∂xの右固有ベクトルw(x)に対して， ∂h(x) ∂x w(x) = 0 が（U 上で恒等的に）成り立たないことである． 線形の場合と同様に，上の定理は，非線形システムに 対するランク条件と正準分解を用いて証明される．線形， 非線形にかかわらず，ランク条件と比較したPBHテス トの利点は，理論的な解析を容易にできる場合があるこ とである．たとえば，線形システムに対して，不可制御 な固有値がフィードバック制御で不変なことは，PBHテ ストを用いて示された．非線形の場合でも，同様のこと を上の定理 3を用いて示せる[7]．3.3
固有値分解法 非線形システムに対して，平衡点への収束性ではなく， 解軌道の組の収束性を解析するContraction理論[9]が知 られている．この理論では，行列値関数X : U→ Rn×n に対するつぎのdifferential Riccati方程式 ∑ i=1 ∂X(x) ∂xi fi(x) + X(x) ∂f (x) ∂x + (∂f (x) ∂x )T X(x) −X(x)R(x)X(x) = −Q(x). (17) が重要な役割を果たす[8,13]．ただし，R,Q : U→ Rn×n は既知の行列値関数である．たとえば適当な条件のもと で，システム(15)に対する安定化制御器は，解X(x)を 用いてu =−∫gT(x)X(x)dxと構成できる[8]． しかしながら，(17)式は非線形の偏微分方程式であり， 解くことはもちろん，その解析ですら難しい．他方，線 形システム制御理論におけるRiccati方程式は，非線形 代数方程式であるにもかかわらず，十分な解析がなされ ている．これは，Hamilton行列を用いた解の構成手法， いわゆる固有値分解法[14]のおかげである． 参考文献[8]では，differential Riccati方程式(17) に対して，非線形の固有値分解法が提案されており， ここではその結果を紹介する．まず，Hamilton行列 H : U→ R2n×2nを H(x) := [ ∂f (x)/∂x −R(x) −Q(x) −(∂f(x)/∂x)T ] と定義する．つぎに，非線形右固有値の定義を一般化す る．これは，(9)式のJacobi行列∂f (x)/∂xをH(x)へ と置き換えることで，以下のように行われる． −∂w(x)∂x f (x) + H(x)w(x) = λr(x)w(x) ただし，Hamilton行列のサイズから w の要素数が n ではなく，2n であることに注意されたい．以上の準備 のもとで，つぎが成り立つ[8]． 【定理 5】 Hamilton行列 H(x) が U 上の各点で 1次独立な非線形右固有ベクトルを n 本wi: U→ C2n (i = 1,...,n)もつと仮定し，行列値関数V,W : U→ Cn×n をつぎのように定義する． [ V (x) W (x) ] :=[w1(x) ··· wn(x) ] もし，V (x) が U 上の各点で正則であれば，X(x) := W (x)V−1(x) はdifferential Riccati方程式の解である． この定理において，非線形右固有ベクトル w(x)は複 素数値関数であるため，得られるX(x)も一般に複素数 値関数である．そこで，参考文献[8]では，X(x)が実数 値関数となるための十分条件が非線形右固有ベクトルを 用いて導出されている．さらには，正則性，対称性，準 正定性に関する十分条件も得られている．正則性に関し ては，3.2のPBHテストを用いることで，非線形システ ムの局所可到達性や局所可観測性と結びつけられている．4.
関連した話題
非線形固有値のより一般的な概念は，非可換代数学で 見つけることができ[15,16]，その知見は非線形固有値の 解析に役立つ．非可換代数学では，行列に関する非可換 な特性多項式も定義されており，これは非線形固有値と 関連があるように思われる．しかしながら，非可換代数 学では，ほぼすべての点で成り立つ性質に焦点が置かれ ており，結果が成り立たない特異点のようなものが存在 する．著者の感覚では，それらは平衡点であることが多13 く，結果の取り扱いには十分に注意が必要である． 他方，非線形固有値に関連した概念として，Koopman 作用素[10]の固有値が挙げられる．Koopman作用素は， 非線形システムの解軌道を用いて定義される線形作用素 であり，その固有値と固有関数は， ∂ϕ(x) ∂x f (x) = λϕ(x) (18) を満たす複素数λ∈ Cとスカラー値関数ϕ : U→ Cと解 釈できる．(18)式のxによる偏導関数を計算すると， (∂v(x) ∂x f (x) )T + vT(x)∂f (x) ∂x = λv T(x) (19) となる．ただし，vT(x) := ∂ϕ(x)/∂xである．(19)式は， λを定数とした場合における，非線形左固有値の定義式 (8)である．したがって，Koopman固有値は非線形左固 有値の特殊ケースであるといえる． 非線形システムの平衡実現と結びつけて，非線形 Hankel作用素の特異値が定義されている[11]．しかしな がら，不変distribution/codistributionとの関係は自明 でない．したがって，非線形特異値や非線形固有値とい う名前から関連があるように思われるかもしれないが， 一般にこれらは異なる概念である．
5.
おわりに
本稿では，著者らが近年提案した非線形システムの固 有値について紹介した．いくつかの解析や設計の問題が 非線形固有値・固有ベクトルの計算に帰着できることを 示したものの，これらは偏微分方程式の解であり，実用 面での課題は残る．これにはHamilton-Jacobi方程式に 通ずるものがある．理論面においても，線形システム制 御理論における固有値と比較すると，その概念を導入し た段階にすぎない．もちろん，線形システムに対する結 果を拡張していくことも重要ではあるが，非線形特有の 性質を解析するためのツールとしても，非線形固有値が 役立つことを期待している． 謝 辞 本稿の内容は，京都大学 大塚敏之教授とともに，著者 が進めてきた研究に基づくものであり，本稿についても 貴重なご助言をいただいた．記して謝意を表したい． (2017年4月4日受付) 参 考 文 献[1] H. Nijmeijer and A. J. van der Schaft: Nonlinear
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[7] Y. Kawano and T. Ohtsuka: PBH tests for nonlinear systems; Automatica, Vol. 80, pp. 135–142 (2017) [8] Y. Kawano and T. Ohtsuka: Nonlinear eigenvalue
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