博 士 （ 理 学 ） 久 保 英 夫
学 位 論 文 題 名
Global existence of classlcal solution of Cauchy problem for nonlinear wave equation
（非線型波動方程式に対する初期値問題における古典解の存在定理）
学 位 論 文 内 容 の 要 旨
偏 微 分 方 程式 論 の な かに 双 曲 型 方程式 とぃう大 きな分 野があ る，単 独の波 動方程 式は、 そ の 中で も 最 も 基本 的 で か つ典 型 的 なもの のーっ とぃえ る，本 研究で は次の ような 非線型項 を 持 つ波 動 方 程 式に 対 す る 初期 値 問 題 の古 典 解 ， 即ち ，R xゆ ，oo)上でC2の解に ついて 考察 す る．
Ot2u ̲△u = F.,Otv.,Vu） in Rn x (0,oo), u（x,0) = f(x), ut(x,0) = g(x) for xE R'.
(1) (2) 但u(x,t)実数 値関数 であり かぬ轟 舵2とす る．蛾 朏…″ →R
はp>lに対 し
F（A）〓 〇（IAlp) asA→O
を 満 た す も の と す る ． っ ま り 、Fは 多項 式 の オ ーダ ー で 増 大す る よ う な非 線 型 項 であ る ． ま た 、初 期 値 は ある 意 味 で 十分 小 さ いと仮 定する ．それ は次のよ うな事 情によ る．自 明解 u三0は 初期 値 ア ニ ニ9二 ニ0を満 た す(1）の 解とな ってい る．そ こで， 小さな 初期値 を与え た 時にも， やはり （1），(2)の時 間大域解 が存在 するの かとぃ う問題 が考え られる ．っまり方程 式（1） の 安 定性 に関す る問題 である ，既に 次のよう な場合 にはっ 古典解 が有限 時間内 に爆発 し得 る こ と が示 さ れ て いる ． そ れ はっ 非線 型項の増 大度の オーダ ーが小 さかっ たり， 初期値 の無 限 遠 方 での 減 衰 度 が弱 い 場 合 であ り、 このこと からど れほど 初期値 が小さ くとも 常に時 間大域的 に解が 存在す るとは 限らな いこと が分か る．
さ て 、 存 在 定 理 の 証 明 は 次の よ う な 不動 点 を 見 つけ る 問 題 に帰 着 さ れ る．Xをあ る 適 切 に 選 ば れ た あ る バ ナ ッ ハ 空 間 と す る ． 任 意 の り CXに 対 し て 、 初 期 値 問 題
at2u ̲ Au = F,aW,X7り） in Rl x (0,oo), u(x,0) テ f(x), 私t（x,0) = g(x) for xE Rn.
(3) (4) の 一 意 的 な 解uCXを 対 応さ せ る 写 像を 考 え る ，こ の 写 像 の不 動 点 が 実は ， （1） ，(2)の 解 となっている．一般に，基本解の性質からF(v，魏ロ，▽り）ECy,/2l十1(R x（0，oo））であれば，
uE C2(R x（0，oo))と なる こ と が 知ら れ て い る． っ ま り， 古典解 を得る ための十 分条件 は りE C[n/2]4・2(R x（0，oo））とし、うことである．しかしながら，これは全ての竹≧2に対して，
いわ ゆ るderivative lossが 生 じる こ と を 意味 し て お り、 こ の ま まで は 解 の 空間Xす ら定義
一35−・
すること ができない．
本 研 究 で は 初 期 値 が 球 対 称 で 空 間 次 元 が 奇 数 の 場 合 に こ の 困 難 が 解 消 さ れ る こ と を 示 す ． 球 対 称 性 を 仮 定 す る と ． 一 般 の 場 合 よ り も た ぃ へ ん 扱 い や す い 特 殊 な 解 の 表 示 式 を 得 る こ と が で き ， 最 大 値 丿 ル ム に 関 す る 減 衰 評 価 を 得 る こ と が 可 能 と な る ． ま た 、 解 の 特 異 性 はr〓0 のみにあ らわれることも分 かる．
更に ， 空間 次元 が 奇数 であ る こと を仮 定 する と，T（n−1)/2 F(v， 仇り ， ▽り ）EC［ /21+1(R x
（0，oo））であ れば，r（ −l)/2,tl,EC【 /2］+2 (R x（0，oo))となるとぃう大変都合の良い性質が導 かる，゛ っまり，r（ −1）／2りE cc /2j+2(R x（0，oo))を仮定するとr（ ―1)/2,ll,も同じ微分可能性 を持つこ とになり，derivative lossが解消．されるの である．
PartAで は ， 非 線 型 項 と 初 期 値 に 適 当 な 条 件 を 課 す こ と で 、 上 で 述 べ た 性 質 を 十 分 に 活 用 し て （1） ，(2)の 時 間 大 域 解 の 存 在 を 示 す こ と が で き た ． そ こ で は ， と く にFが 未 知 関 数 の 微 分 の み を 含 む よ う な 場 合 だ け を 扱 っ て い る が ， そ こ で の 議 論 はFが 未 知 関 数 自 身 を 含 む よ うな場合 にも適当な修正を 施すことにより適 用できる．
PartBで はFが 未 知 関 数 自 身 の み を 含 む よ う な 場 合 にPartAで 確 立 さ れ た 手 法 を 発 展 さ せ て ， 次 の よ う な 問 題 を 考 察 し た ． い ま ，Po(n)を 次 の2次 方 程 式 の 正 根 と す る ，
(n ‑ l)p2 ̲ (n+l)p ‑ 2 = 0.
こ の と き ， 初 期 値 が 無 限 遠 方 で 適 当 に 減 衰 し て い て ， か つp冫Po(n)な ら ば 時 間 大 域 解 の 存 在 が 予 想 さ れ て お り ， 実 際 ， 竹 く4の 場 合 に は す で に 示 さ れ て い る ， と く にn=2．3で は 初 期 値 の 減 衰 度 の 臨 界 値 も 定 め ら れ て い る ．
し か し な が ら ， 高 次 元 （n≧5） の 場 合 に は こ れ ま で 部 分 的 な 結 果 し か 得 ら れ て い な っ か た ， そ の 原 因 は ，Fが 未 知 関 数 の 微 分 を 含 ま な い 場 合 に もn>4で あ れ ばderivative lossが 生 じ る こ と と 無 関 係 で は な い と 思 わ れ る ． 本 研 究 で は ， 初 期 値 が 球 対 称 で 空 間 次 元 が 奇 数 の 場 合 に こ の 未 解 決 部 分 を 完 全 に 解 決 す る こ と が で き た ． 得 ら れ た 結 果 は 以 下 の 通 り で あ る ： 次 の 初 期 値 問 題 に つ い て 考 え る ．
02u̲a2.̲手aru=F ) in (O,oo)x(0,oo), r
u(r,0) = f(r), at （r,0) = g(r) for rE (0,oo).
但 し ， 竹 は5以 上 の 奇 数 と す る ． 初 期 値 に 対 し て 次 の よ う な 減 衰 条 件 を 考 え る ，
(5) (6)
こ こで，片，どは 正のパラメーター， （r）：/―1・卩，アぃ（r）：（妾 ）ゴァ（r）とする．一方pに対 し ては
ホp 岩， （8）
を 仮 定 す る ． こ の 時 ， ど が 十 分 小 さ け れ ば 解 の 最 大 存 在 時 間 疋 に 対 し て 次 の 評 価 が 成 り 立 つ ． Te = oo if笂 > ruo = 2/(p ‑ 1),
Te > CE‑(p‑l)/(2‑(p‑1)n) if 0<笂 O
(9)
（10)
こ こ で ，C＝ C(p， 竹 咒 ）>0は 定 数 ．
す な わ ち ， 本 研 究 でp￣ Po(n)，R＝ 咒oが そ れ ぞ れ ， 初 期 値 問 題(5)，(6)に お け る 増 大 度 お
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よび減衰度の臨界値であることが示された．なおこの結果において，（10)の評価はEのオー ダーに関して最良のものである．
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学位論文審査の要旨 主査
副査 副査 副査 副査
教 授 教 授 教 授 教 授 助 教 授
久 保 田 上 見 儀 我 小 澤 神 保
学 位 論 文 題 名
幸 次 練 太 郎 美 一 徹 秀 一
Global existence of classlcal solution of Cauchy problem for nonlinear wave equation
（非線型波動方程式に対する初期値問題における古典解の存在定理）
近 年、 非線 型波 動 方程 式に 対す る初 期 値問 題の 時間 大 域解 の存 在定 理に 関 する研究が盛 ん に行 なわ れて いる ， しか し， その 多く は 低次 元空 間に お ける 古典 解及 び高 次 元空間におけ る 弱解 の存 在定 理の 証 明を 目的 とし てお り 、高 次元 空間 に おけ る古 典解 の時 間 大域的な挙動 は 未開 拓の 分野 で， 今 後の 発展 が待 たれ て いる 状況 にあ る ．
本 論文 は， この よ うな 状況 にあ る高 次 元空 間の 場合 に つい て， 基本 解の 具 体的な表示式 を 用い て， 古典 解の 微 分可 能性 と減 衰評 価 に関 して ，初 期 値が 球対 称で 空間 次 元が奇数とい う 仮定 のも とに 研究 し 、古 典解 の時 間大 域 的挙 動の 解析 上 の有 益な 指針 を得 る ことを目的と し て取 り組 まれ たも の で， 未知 の実 数値 関 数u(x，t）に 対 して 次の 初期 値問 題 を古典解の範 疇 で考 察し てい る．
8t2U ̲ Au = F(u,8tu,¥7u) in Rn x (0,oo), u（x,0) = f(x), ut(x,0) = g(x) for xE R'.
(1) (2) こ こ で ，Fは 原 点 近 傍 でp次 の 多 項 式的 に振 舞う 実数 値 関数 であ ると 仮 定す る． また ，一 般 的 に 議論 を展 開す るた め 初期 値に はあ る 意味 での 小さ さを 課 す．
さ て， 存在 定理 の証 明 は次 のよ うな 初 期値 問題(1)，(2)に 対す る線 形化 問題の不動点を見 つ け る問 題に 帰着 され る ．
8t2u ̲ Au = F,atり，X7り） in Rl x (0,oo), u（x,0) = f(x), ut(x,0) = g(x) for x C R'.
(3) (4) 著 者の 仕事 の 独創 的な 点は 。 初期 値が 球対 称で 空 間次 元が 奇数 の場 合 に， この線型化問題 を、 いわゆ るderivative lossを生じさ せることなく解くための定式 化を行なったことである．
更 にFが 未 知 関 数 自 身 の み を 含 む よ う な 場 合 に はFの 微 分 可 能 性 が 一 回 し か な い 時 に も 同
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様の定式化が可能である．
これを要するに，著者は，初期値が球対称で空間次元は奇数である場合について古典解の 時間大域的な挙動の新知見を得たものでありっ今後の一般論の展開に対して貢献するところ 大なるものがある．
よって 著者は， 北海道大 学博士 （理学）の学位を授与される資格あるものと認める．
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