r101‑一
アr‑・ イ ・ イ ェ ジ ョ フ 著
『 分 布 系 列 の 平 滑 化 と計 算 』 くめ
A.M.EmoB,BHpaBHMBaHvaevaBHgvacneHvaePHAoB
Pacnpe江e五eHH孟,(roccTaTH3江aT,1961),336cTp.
竹 内 清
1
本 書 は,分 布 の若 干 の特 性値,た とえば,変 量 の算 術 平 均 とか総 度 数,ま た は変 動 の上 限 お よび下 限 等 の情 報 を 援 用 して,全 体 の分 布 を還 元す る問 題
に主 眼 が お かれ て い る。 この こ とは経 済 統 計 の分 野 で は しば しば ぶ つ か る問 題 で あ る。 た とえぽ,も との個 票 とか 詳 細 な 統 計 表が な く,対 象集 団 の算 術 平均 とか,変 動 の上 限 と下 限 しか与 え られ て い な い場 合 に は,本 書 で 考 察 さ れ て い る方 法 は,実 際 的価 値 も高 く,分 布 系 列 の 加工 な らび に分 析 に従 事 す
る実 務 家 のた め に もそ の利 用 価 値 は大 きい で あ ろ う。
さて本 書 の構 成 は,第1部 と第H部 か らな って い るが,第1部 は2つ の章 か らな り,第ll部 の導 入 部 とな って い る。第 盈部 は10個 の 章 か ら な っ て い
るが,本 書 全 体 はつ ぎの よ うな 構成 に な って い る。
編 集 者 か ら 序 論
第1部 分 布 の平 滑化 第1章 変 動 系列
(1)筆 者の入手 した本 書は,森 田優 三教授が1962年4月,国 連 の社会 経済 理事会 の
国連統 計委員 会 に 日本政府代 表 として出席 され た折,ソ 連 政府 代表 として出席 の
E》KOB教 授 か ら森 田教授 を通 じて筆者 に贈 られ た もので あ る。本 書の書評 の契機
を与 え られたE}KOB教 授 な らびに森 田教授 に心 か ら感 謝の意 を捧 げ る次第 であ
る。
一102一 商 学 討 究 第13巻 第4号
第2章 分 布 の平 滑 化 第 ∬部 分 布 の 計 算
第3章 分 布 系 列 の一 般 的 な 計算 問題 第4章1次 函 数 に よ る分 布 の計 算
第5章2次 放 物 線 に よ る分 布 の計 算,離 散 的変 量 第6章2次 放 物線 に よ る連 続 的変 量 の 分 布 の計 算 第7章 凸 曲線 お よび 凹 曲線
第8章3次 放 物線 に よ る分 布 の計 算 第9章 双 曲線 に よ る分 布 の計 算
第10章 若 干 の基 本 的 な 統 計 的特 性 の計 算 第11章 変 動系 列 の計 算 方 法
第12章 正 規 分 布 の 計算 付 録
2
第1章 変 動系 列 で は,変 動 系 列 の概 念,そ れ の処 理 法 と関 連 して の分 布 の 特 性値 そ の他 の基 礎 が述 べ られ る。そ こで は一 本 書 全 般 を 通 して で あ るが 一 社 会 経 済 の領 域 か らの具 体 例 が=豊富 に例 示 され て い るの で ,読 者 に とっ
て 理 解 しや す く,ま た 興味 を よぶ で あ ろ う。
第2章 は,分 布 の平 滑 化 で あ るが,経 験 的 な 度数 系 列 に当 て は め るべ き理 論 的 曲線 と して は,2次 の 放物 線 が ほ とん どす べ て の例 に お い て 採 用 さ れ る。 統 計 学 に お い て よ り一般 的 な分 布 で あ る,正 規 分 布 とか ボ ア ソ ン分 布 に つ い て は,ほ ん の僅 か ば か りふ れ て あ るだ けで あ る。分 布 の平 滑化 の方 法 と して は,通 常 最 も広 く利 用 され て い る古典 的 な 最小 二乗 法 と,実 際 に あ ま り 利 用 され て い な い モ ー メ ソ ト法 が 第2章 の 終 りの部 分 で 検 討 され る。
と ころで 本 書 で 考 察 して い る分 布 の平 滑 化 と計 算 は,1変 量 の場 合 を 対 象
と してお り,基 本 的 に は多 変 量 を対 象 とす る 回 帰 分 析 を 行 な っ て は い な
アー ●わ ㌔痛 紮講
平滑化 と計算」(竹 内)‑1・3‑一
く
い 。 した が って 度 数 を変 量 の函 数 と して,そ の 平 滑化 と計 算 を 考察 して い る わ け で あ る。 変 量 をX,そ の度 数 をYと した 場 合,Y‑f(X)と して 問 題
を 考 え て い るわ けで あ る。 変 量Xが 離 散 的 で あ る場 合 と連 続 的 で あ る場 合 に分 け て問 題 を 考 え て い るが,考 え方 の基 本 そ の もの は 同 じで あ る。 実際 の 計 算 に当 た っ ては,一 一定 の変 数変 換 を行 な った 上 で,極 め て簡 単 な計 算 公 式
を与 えて い る。
既 述 の ご と く,本 書 の第K部 は,著 者 に よって 研究 され た基 本 的 な 問題 に 当 て られ て い る。 す な わ ち,研 究 対 象 とな って い る統 計集 団 の 経験 的分 布 に つ い て の詳 細 な デ ー タが 欠如 して お り,そ の全 体 に つ い て,た とえ ば,算 術 平 均 とか 総 計 とか,変 動 の 上 限 と下 限 等 の よ うな一 般 的 な情 報 しか 利 用 で き
な い場 合 に,そ の特 性値 の可 能 な分 布 を どの よ うに して 得 るか,と い う問 題 が そ こで 主 と して 考察 され る。
第3章 の初 め で,分 布 の 平 滑 化 と計算 に つ い て ふれ,上 述 の よ うに算 術 平 均 とか 総 計 とか,変 動 の上 限 と下 限 等 の一 般 的 な情 報 しか 利 用 で き な い場 合 に は,す なわ ち,系 列 の実 際 の 度数 が な い場 合 には,計 算 され た 変 数 の値 と
それ とを比 較 で きな い の で,最 小 二乗 法 は 適 用 で きな い 。 した が って,そ の よ うな場 合,計 算 され る分 布 の対 応 す る パ ラ メ ー タ ーを 見 出す ため には,別 の基 礎iによ らな けれ ぽ な らな い こ とに な る。
そ こで 著 者 は,そ の よ うな 基 礎 と して,全 体 に つ い て の一 般 的情 報 」一 一そ の総 度数 と算 術 平 均,そ れ に また変 量 の 最初 の値 と最 後 の値,そ れ と分 布 の 形 を もつ だ け で よい で あ ろ うとす る。 本 章 で は,こ の条 件 の うち の最 後
の二 つ,す なわ ち,分 布 の形 と変 量 の 最初 と最 後 の値 を 検 討 す る。
(2)最 小 二 乗 法 の 取 扱 い も最 も単 純 な も の で あ る 。 経 済 分 析 で 最 も 基 本 的 に 利 用 さ れ る 回 帰 分 析 に お け る 最 小 二 乗 法 の 一 般 に っ い て は,次 書 は 極 め て す ぐ れ て い る σ
K).B.JIHHHHK,MeToAHaHMeHbulHxKBaApaToBHOcHoBHTeopHH O6pa60TKHHa6πK)1真eH曲H3双.BTopoe,AononHeHHoeHllcnpaBneHHoe,
1962.
こ こで は,説 明 度 数 と被 説 明 変 数 の 両 方 に 誤 差 の あ る 場 合 の,A.Waldの 直
交 回 帰 の 方 法 に もふ れ て い る 。
一一104一 商 学 討 究 第13巻 第4号
分 布 の形 の選 択 の問 題 に つ いて,著 者は つ ぎの よ うに 考 え る。与 え られ た 分 布 の形 を正 し く選 択 す るた め の 基礎 と して は,ま ず現 象 の本 質,全 体 の構 造 の形 成 の合 法 則 性,度 数 と変 量 の間 の依 存 関 係 に つ い て の知 識 で あ る と し て,1次 函 数,2次 放 物 線,双 曲線 に つ い て 簡単 にそ の性 質を 述 べ る。
また変 量 の最 初 の値 と最 後 の値 を正 し く選 択 す る た め の 重 要 な規 準 と し て,著 者 は,実 際 的 な 試行 錯 誤 と研 究 対 象 とな って い る現 象 の 本 質 に 関す る 知 識 を あ げ て い る。(こ れ と関連 して第K章 の初めで この問題についての補足が行な
われてい る)。
この章 の後 の部 分 で,特 別 な分 布 と して,ボ ア ソ ソ分 布 と二項 分 布 が具 体 例 を 用 い て 述 べ られ て い る。 た だ し,ボ ア ソ ソ分 布 の前提 条 件 とか,ど の よ
うな場 合 に 応 用 で き るか に は ふれ て い な い 。 また ボ ア ソ ソ分 布 の つ ぎに2項 分 布 が 述 べ られ て い るが,こ の両 者 の理 論 的 な関 係 に つ い て は ふ れ て い な
い。 あ る分 布 を 適 用す る場 合 の前 提 条 件 を十 分 に注 意 して おか な い と,特 に 初 心 の 実 際 家が そ れ を 適 用す る際 は 形 式 的 に な り,実 際 の場 合 か な りの危 険
も予 想 され る こ とは い な めな い で あ ろ う。
第IV章 で は,1次 函 数 に よ る分 布 の計 算 が 述 べ られ るが,そ の 考 え方 は, 以 下 の 展 開 の基 礎 に な る もので あ る。 ここで 著 者 の オ リジ ナ ル な考 え方 の緒 1口を 見 出す こ とが で き るで あ ろ う。e
こ こで は,本 書 の 中心 的 な役割 を果 たす 第V章 を や や 詳 細 に紹 介す る こ と に しよ う。
まず 総 度 数 Σン,総 計,算 術 平 均X,そ の ほか 変 量 の下 限aと 上 限bに 関 す る情報 だ け が 利 用 で き る場 合 に つ い て,2次 放 物 線 で の分 布 の計 算 を 考
え る(基 本的な離散的変量の場合について)。
2次 放 物 線 ツ===2a。+2a、x+2a2〆の場 合,最 小二 乗 法 に おけ る正 規 方 程 式 は つ ぎ の よ うに与 え られ る。
キの キロ
2aoS十2al,・2'Xi十2a2」 Σ「πi2・==Xy
‑m‑m
上 式で
茅 は
ア〔'イ ●千券無 講
平滑化 と計算』(竹 内)
キ れ ヰ ロセ キ ロコ
;a。SX、+,a、 ΣX、2+,a,Σ 方、3一 Σ η
囎m‑m‑n1 ,
キ エ ロコ コ イ ロ ユ
2a。X」tri2+2a、 Σ 〃i3+2a2.Σ 躍i4富 Σ 方2γ.
‑m‑m‑m
a十b Xi==Xi一 ヤ ー2‑
S詔b‑a十1=2m十1.
‑m ,一(m‑1),…,‑1,0,+1,…+(m‑1),+m
と い う値 を と る こ とに な る 。 と こ ろ で
1)xの 奇 数 ベ キ 項 の 和 は0で あ る 。
ア ヒ ユ キれユ Σx・=Σx3呂0,
‑m‑m
2)
か ら+mま で の 合 計 に 等 し い 。
3)偶 数 ベ キ 項 の 和 に よ っ て,す な わ ち
キロコ の
Σ κ呈2k=2ΣXi2k
‑m1
で あ るか ら,次 式 が 与 え られ る 。 れ コ
2aoS十 ・22a22写Xi2=Xy 1 の '2
2a・.Σ 方i2溜 ・3矧
1
セ エ じ
＼ 、2・a・FXI2+22a2{rxi4=sx2y・
上 式 を 解 く こ と に よ っ て,つ ぎ の 結 果 が 与 え ら れ る 。 Σ万i4」 写ツー Σ ガi2万吻
2ao瓢 「 飯 ・=E(Σ
X、2)・ 一
動 一一 蕩 一 または 一 説,
一105一
一mか ら0ま で と0か らmま で の 合 計 は
,‑mか ら 一 一1ま で と+1
一106一 商 学 討 究
、
第13巻 第4号
SΣx2ツ ー2XAri2X:ソ 2a2= 2[S.Xxi4‑2(XXi2)2]
i‑1・2・3… …m‑7 ロ
以 上 の よ う に し て,2a・,2a・,2a2を う る た め に は,つ ぎ の 情 報 を う る 必 要 が あ る 。
1)Σx 2)Xxy 3)Σ 吻.
と こ ろ で,Σ 夕 と Σ κア は 通 常 統 計 で え ら れ る こ と が 多 い が,Σ 吻 に つ い て は,通 常 の 公 表 統 計 で は え ら れ な い 。 そ こ で"Vx2yを ど の よ う に し て 推 計 す る か が 問 題 と な る 。 こ れ は 一 般 に 間 接 的 方 法 に よ る こ と に な る 。
そ れ で は ど の よ う に し て パ ラ メ ー タ ー の 推 計 を 簡 単 化 し て い る か,対 称 分 布 の 場 合 に つ い て み よ う 。
二 次 の 放 物 線 を 次 式 で 表 わ す 。 y/==、a。+、a、X+'ia、X2.
上 式 を 対 称 な 分 布 と し て,2a・,2a・,2a2を 見 出 す に は,‑Yx2yま た は ノ の 大 き さ を 決 め る 必 要 は な い 。 問 題 は つ ぎ の よ う に な る 。
2ao+2alX+2a2×2
を 一 次 の 因 数 に 分 解 す る こ とが で き る。 す な わ ち,も しx、 とar2が 二 次 方 程 式
2a。+2a、x+2a2x2=O
の 根 で あ れ ば
、a。+、a、〃+、a、X,一 、ai(X‑‑X、)(X‑X,).
ま た は,結 局 つ ぎ の よ う に な る 。 ノ ー 、a・(X‑X、)(X‑X,).
し た が つ て 上 式 か らx=x、 ま た は κ・=κ2で
v,!‑o.
〆
アー'イ ●千撫 講
輔 化 と欄(竹 内)‑1・7一
変 量xの 根(‑mと+m)は,絶 対 値 が 等 し く 符 号 が 異 な る の で,二 次 方 程 式 の 根 は ま た つ ぎ の よ う に な る 。
圖 一 レ 、!.
x・ の 符 号 を 一,x2の 符 号 を+と し よ う 。 そ うす る と,任 意 の 度 数yiに た い し て 次 式 が え ら れ る で あ ろ う 。
3・'・t'=:・a・(X・+X・)(X一X・)一 ・a・(X・2一 κ、1、).
度 数yiを 合 計 す る と
キ エ ロ ユ キ ロ
Σ 二 γノ=2a2Σ(xi2‑‑xl?2)=2a2(2『xi2‑Sx1ぞ2)==2a2(2Xxi2‑S」vl?2)・
‑IU‑m1
た だ し.Σ ノ=Σ 夕.
エ
し た が っ て2a2(2ΣXi2‑Sxl?2)==』pt.
1
これ か ら2a2は つ ぎ の よ うに 容 易 に 求 め る 。 Σツ
2a2=m
2"E'xi2‑Sκ1?2 .
1
この よ うに して,対 称分 布 にた い して は つ ぎの結 果 が え られ る。
ツ←X・1・EX̲‑X夕mXi・
Sx1?2'‑2Xxi2Sκ112‑2」 Σ7κi2
ユ1
‑(X、1、‑x、 ・)一 ■ ・ri
SXI?2‑2 .Σ7Xi2.
1
上 式 に お い てx・=κ1ま た はx・=x2で 端 の縦 座 標 の 値 は0に な る 。 だ が, 圧 倒 的 多 数 の 社 会 生 活 現 象 で は,特 性 の 与 え られ た 具 体 的 な値 に 一一初 め と 終 りに 一 〇 と等 し くな い 一 定 の 度 数 が 対 応 す る。 そ こ で,両 端 の 値 よ り絶 対 値 が1だ け 大 き い 特 性 値 に 対 応 す る 度 数 が0で あ る と 考 え て,著 者 は 対 称 的 な2次 方 程 式 の 根 を 求 め る。 す な わ ち
〃、一 一(m+1) x2=(m+1)
■
一108一
商 学 討 究 第13巻 第4号
と 考 え る わ け で あ る 。 し た が っ て x、1、 一+(m+1)2 .
と こ ろ でS‑2m+1か らm+1‑=(S+1)!2。 し た が っ て 上 式 は つ ぎ の よ う に も 表 わ さ れ る 。
2̲(S十1)2
ガ ・24 ヨ1
.
ま た
挙 κ〜‑m(m+'1(2m+1)・‑S(讐 量')
か ら,2a・,2a・,2a2は つ ぎ の よ う に も 求 ま る 。
、a。‑x・1・9Pt‑3(S+1)iツ
Sx、1,‑2翫 、22S(S+2)
1
2al==0
6Σ ツ 2a27‑S(S+iヲ(S+2)
.
つ ぎ に 二 次 放 物 線 に つ い て,分 布 の 中 央 に 関 し て 非 対 称 な 場 合 の パ ラ メ ー タ ー2a・,2a、,2a2は つ ぎ の よ う に し て 求 め ら れ て い る 。
2ao十2a、x+2a2x2==O
を 解 く と,根 は 次 式 で 与 え ら れ る 。 一 、a、± ゾ 、a、2‑4、a。 ・,a, ㌧
X1,2=2
2a2.
凸 分 布 の 頂 点 が分 布 の 中 央 の 左側 に あ る場 合,大 きな根 κ2は 上式 分 子 の 平 方 根 の前 の符 号 は+に な る。 対 称 的 な場 合 と同 様 に,こ の 場 合 に もつ ぎの よ
うに 考 え る。
S十1 x2=・M十1=2
ま た は
一"・a・+ノ 鎧i‑4・a・.虹
m+1‑S吉1
.・
アー ●イ ●千蕪 繭 惹
囎 化 と計算」(竹 内)‑1・9‑一
これ を,す で に2次 放 物 線 の場 合 の正 規 方 程 式 群 の 最 初 の二 つ,す なわ ち
ロユ ぬ
2aoS十22a2ΣXi2=Xy
1 ロ
2、a・ ・IS'Xi2==2S!try 1
に 含 め て 考 え る必 要 が あ る。 上 の 最 後 の 式 か ら
2a1=m Σ矧
2ΣXi2●
1
または
一 Σx… 一 璽+11(2m+1)‑S(警 ま1)
か ら
12.翫 ツ
2a1= S(S2‑1).
こ れ 以 下 前 と 同 様 に 展 開 し て,つ ぎ の 結 果 が え ら れ る 。 3〔(S十1)十2髪 コXy
2a・=2S(S+2)一 12Xxy 2a1==S(Sこfア
6[(S‑1)十6nfコEy
2a2='"'‑S(§ 卯2文 華 こ 丁)一 .
左 側 に 非 対 称 な 場 合 社 会 経 済 現 象 と して は 稀 で あ るが … 一に つ い て は,つ ぎ の よ うに な る 。
3[(S十1)‑2芳]Xy 2a。=={2S(sr2r‑
12Xay 2alr系sこiT
6[(S‑1)‑6芳 コXツ 2a2==一'KiT/(S+2)(S三 一1) .
し た が っ て,右 側 に 非 対 称 な 場 合 と 左 側 に 非 対 称 な 場 合 の,パ ラ メ ー タ ー
一110一
商 学 討 究 第13巻 第4号
の 値 は,2a、 は 両 者 等 し く,,a。 と2a2は,分 子 のNの 前 の 符 号 が 異 な る だ け で あ る 。
と こ ろ で 計 算 の 簡 単 化 か ら す る と,,a。 は 上 式 か ら 直 接 求 め な く と も,既 述 の 正 規 方 程 式 か ら,パ ラ メ ー タ ー2a2を 媒 介 と し て 求 め て も よ い 。
12Xニソ『S(S2‑1)2a2
2ao=M12S
.
計 算 労 力 を 簡 単 化 す る た め に,著 者 は,総 度 数 を100に した 上 で,便 利 な 計 算 表 を 作 製 し て い る。 す な わ ち,Σy・=100と して,上 の 式 を つ ぎ の よ うに 表 わ す 。
2a・・ 一(S2‑112)〔S(謬1y司
1200
2a1== ・ 刃
S(S2‑1)
2a2‑‑S(S+繋 ・‑1)(S言Ll}1) .
つ い で 真
ほ
K:∂‑S詰1
・K琢 一S(3600S十2)(S2 ‑1)
K易 一
S(1200S2‑1)・ 略Sぎ' と お き,2a。,2a・,2a2を つ ぎ の よ う に 表 わ す 。
、a。‑Kl∂(Klち 一,a,)
2a、‑K碁 渉 ・}
,a,一 一K敬 螺 一 田)
著 者 は,S‑・3,… …,100に 対 応 す るそ れ ぞ れ のKの 値 を 計 算 して あ る の で,計 算 は 容 易 に な る。 た だ し,Sが 偶 数 の と き は,以 上 の 計 算 結 果 に つ い て,2a1を2で,2a2を4で 割 る こ とが 必 要 に な る。
鱗
アー ●イ'循 轟 購
輔 化 と計算」(竹 内)
一 一111‑一 一
3
第6章 で は連 続 的変 量 の分 布 の2次 放物 線 で の計 算 が 述 べ て あ る。 基 本 的 'な考 え方 は 離 散 的 な変 量 の場 合 と同 じで あ る
。 こ こで も対 称 的 な 場 合 と非 対 称 的 な場 合 に 分 け て考 え て い る。
第7章 は 凸 曲線 と凹 曲線 に つ い て,離 散 的 な変 量 と連 続 的 な変 量 の場 合 を 考 察 して い る。考 え 方 の 基 本は前 章 まで と同 じで あ る。 一
第8章 では,3次 の放 物 線 で の 分 布 の計 算 が 述 べ られ て あ る。
第9章 は,双 曲線 で の分 布 の計 算が 述 べ られ て い る。 こ こで も離 散 的変 量 と連 続 的変 量 につ いて 別 個 に取 扱 って い る。1
社 会 経 済現 象 の 系列 の全 体 の度 数 は,双 曲線 で近 似で き る曲線 で しぼ しば 決 定 され る。す なわ ち
Y=A・+一 Al ×一 .
A。,A、 は パ ラ メ ー タ ー 。 こ のA。,A、 も 正 規 方 程 式 を も と に し て,こ れ ま で 見 た 関 係 を 利 用 し て つ ぎ の 結 果 が え ら れ る 。
馬 一 籍 鵡
〔(S+1)‑2X〕XY
A1=
(S+1)X(÷)‑2S .雪 、
上 式では Σ(÷)が あ る力糟 都 つ ぎの関係を用 いて近 似 的にそ 纏 導 き 出す こ とを提 唱 して い る。
¥(1Xi)(bl謡 講 等.
允 だ し,aノ は グ ル ー プ 内 の 最 初 の 変 量 値
bノ は グ ル ー プ 内 の 最 後 の 変 量 値
一112一 商 学 討 究 第13巻 第4号
S,は グ ル ー プ 内 の 変 量 の 個 数 。
と こ ろ で 上 式 を 使 う場 合,X≧5な る こ とが 注 意 され て い る。
連 続 変 量 の 場 合 のA・ お よ びAユ は 次 式 で 与 え られ て い る。
2[(logeb‑109ea)文 一(b‑a)コ 塞
Ao=(b ‑a)[(a十b)(10geb‑logea)‑2(b‑a)コ
[(a十b)‑2Xコ 昂 「
A1==
(a十b)(109eb‑logoa>‑2(b‑‑a).
な お 区 間(Xi・Xi+b)に お け る 分 布 の 度 数Yi'は つ ぎ の 積 分 に よ っ て 決 定 さ れ る 。 が
∫ll邑X寮+妥)dX・=A・(X,・ ・一'X,)
十A1(10geXi+b‑‑10geXi).
い ま
Xi+b‑X,一 ・JX logeXi+h‑logeXi=dlogeX と お く と
Yi'=xAodX十AldlogeX.
第10章 で は い く つ か の 基 本 的 な 統 計 的 特 性 値 に つ い て の 計 算,お よ び そ 妥 ら の 間 の 関 係 に つ い て 述 べ て あ る 。
非 対 称 度 に つ い て は,KPearson流 の
μ3 . A=
v/μ23
(ただ し,μ3は 平均値 の周 りの3次 の積率,μ2は 平均 値の周 りの2次 の積率)を 検 討 し た 後,彼 の 測 度 を 提 起 す る。齢 す な わ ち,非 対 称 度 と して,分 布 の 中 央(変 量 の初 め と終 りの 値 を それ ぞれa,bと した 場 合(a+b)12)に 関 し て 全 体 の う ち の 一
方 の 部 分 の 他 の 部 分 に た い す る関 係 と して,ま た は 二 つ の 部 分 の うち の 一 方 の 全 体 に た い す る関 係 一 全 体 に た い す る部 分 と して を 採 用 す る。
全 体(Σ ッ)に す い す る左 側 の 部 分 の 度 数(拶 ッ)の 割 合 ・ 、 Σッ/、 Σッ を 碗 で
アー 一.イ ●協 素講
囎 化 と計算」(竹 内)‑113一
表 わ す と,右 側 の 部 分 の 度 数(拶 ッ)の 全 体(Σy)に 対 す る割 合 は1一 α2と な る 。 した が っ て,
む
∫f(x)du==a2Xpt(左 側)
一警)
.(学
∫ f(x)a〃==(1‑一 α2)Sツ(右 側)
0
と な る 。2次 放 物 線 の 分 布 の 場 合 に は,α2と して 結 局 つ ぎ の 結 果 が 導 か れ る 。
(S‑1)‑3x
α2= 2(S‑1).
上 式 は つ ぎ の よ うに も表 わ す こ とが で き る。
a十5b‑6X
α2=4(b ‑a) .
以 上 か ら,奇 数 個 の変 量(S‑2m+1)か らな る 離 散 的 分 布 の 非 対 称 度 は つ ぎ の よ うに 与 え られ る。
S‑3芳 α・冨 』 褻「
.
同 様 に 偶 数 個 の 変 量 を もつ 分 布 に つ い て は (S2‑1)‑3Sx
α2= 2(S2‑1).
つ い で3次 の放 物 線 で 表 わ され る連 続 的変 量 を もつ 分 布 の 非対 称 度 に つ い て は つ ぎの よ うに導 い て い る。
分布 の左 側 の部 分 につ いて
∫ 一量≠ 卿 鋤 一(1‑a3)xツ ・
右 側 の部 分 につ い て
一114一 商 学 討 究 第13巻 第4号
.等
∫ 吻 鋤 一(1‑a・)Sy・
0
上 式か ら
3a。(%')一 、・,⊆S:"i'i')2+、a2(騨 一3a3(S孟1メ ー α鋤 ・
3a。(℃')+3a、(S毛1ア+・a2(S云1)3+3a3(S蚕1)4‑(1‑‑a3)Xツ
こ れ か ら つ ぎ の 結 果 が 導 か れ る 。 (S‑1)43a3 nt・=α ・+「20封r
.
上 式 か らつ ぎ の こ とが 分 る。 凸 分 布 で は,・a3が 正 で あ るか ら α3は α、 よ り大 き い が,凹 分 布 で は3a3が 負 で あ るか ら α・は α2よ り小 さ い 。
つ い で 著 者 は,算 術 平 均 と,変 量 の 最 初 の 値 と 最 後 の 値 だ け の情 報 が あ り,具 体 的 な 系 列 は 欠 如 して い る場 合 に お け る,メ デ イ ア ン(M・)と 算 術 平 均(X)と の 間 の関 係,モ ー ド(M。)と 算 術 平 均(天)と の 間 の 関 係,分 散 くσ2)と 算 術 平 均(X)と の 間 の 関 係,四 分 位 数(Q、 とQ3)と 算 術 平 均(X)
くヨ
と の 間 の 関 係 を そ れ ぞ れ 別 個 に 導 い て い る。
た と え ば,2次 の 放 物 線 で 表 わ され る分 布 の 場 合 に つ い て σ2と 文 の 間 の 関 係 は つ ぎ の よ うに な る 。
,∫S‑1)2{[3S(S+3)一 三コ+12SI兄1}一 、
σ 一 ル
60S(S十1).
離 散 的 変 量 を も っ た 分 布 の 場 合 に は
。・,,,.Lt=1)(S+3)+4(S+2)1芳}一 兄・
20.
第11章 で は,変 動 系 列 の計 算 方法 につ い て述 べ て あ る。
(3)K.Pearsonは 正 規 分 布 に ほ ぼ 近 い 分 布 に つ い てMo÷ 丑 一3(1‑M。)を 導 い
た 。 上 式 で は 衰,M・,Moが 一 つ の 関 係 で 結 ば れ て い る が,著 者 は 、 これ ら の そ
れ ぞ れ 二 つ の 間 の 関 係 を 別 個 に 導 い て い る こ と に 注 意 。
'
アー イ'協 繭 識
滑化 と計算 』(竹 内)一 一115‑一 これ まで の展 開で も分 る よ うに,変 量 の 最初 の値 と最 後 の値 が 極 め て重 要 な 働 きを して きた が,本 章 の初 め の部 分 で,そ れ らを 決定 す るた め の補 足 的 な規 準 が 述 べ られ る。結 局,分 布 の最 初 の値aと 最後 の値bの 範 囲 はつ ぎ
・ の よ うに ま とめ られ る。
左 に 非 対 称 な 場 合
非対称度 非対馨騨 ・ の 範 囲 aの 近 似 的
平 均 値
強 度
適 度
弱 度
0.1‑O.2
0.2‑0.4
0.4‑0.5 1
30支 一23b ユ03…‑7b<
a<
73
噛
305…‑17b10x‑7b<a<
313
亟 一 ユ7b<。<2量 一b l3
1
4衰 一3b
3衰 一2b
‑
