2014 x n 1 : : :

東邦大学 理学部 情報科学科

2014

年度 卒業論文

x

n

− 1

の因数分解に

現れる係数について

指導教員

:

白柳 潔

提出日

: 2015

年

1

月

30

日

提出者

: 5510113

 山崎 優

概要

多項式

_x

n

_{− 1}

_（

_n

_{は自然数）を整数の範囲内で因数分解}

すると、

_x

2

−1 = (x−1)(x+1)

_、

_x

3

−1 = (x−1)(x

2

_+x+1)

_、

x

4

− 1 = (x − 1)(x + 1)(x

2

+ 1)

、

x

5

− 1 = (x − 1)(x

4

+

x

3

+ x

2

+ x + 1)

のように、各因数の係数は

1,

−1,0

のいず

れかになるだろうと予想される。しかし、

n = 105

のと

きに係数

−2

が出現し、この予想は偽であることがわか

る。実は、任意の整数が係数として出現し得るという鈴

木の定理がある。

本研究では、

1

の原始

n

乗根と円周等分多項式の理論

に基づき、

x

n

− 1

の因数分解における因数の係数と個

数について考察する。係数については、鈴木の定理の証

明を利用し、任意の整数を作る方法を数式処理システム

Maple

によって実装する。これによって、

1,

−1,0

以外の

係数を出現させる

_n

をいくつか計算する。また、因数の

個数は、円周等分多項式による等式表示により算出でき

ることがわかった。

目次

1

はじめに

4

2

x

n

− 1

の因数分解と予想

5

3

予想に対する証明と反例

6

4

理論の準備

9

5

円周等分多項式の係数について

16

6

例外的係数の生成

19

6.1

アルゴリズム

. . . .

19

6.2

実験

. . . .

21

7

まとめと今後の課題

24

8

謝辞

26

9

付録

: x

4807

− 1

の因数分解

28

1

はじめに

中学や高校で学ぶ以下の乗法公式はおなじみであろう。

x

2

− y

2

= (x + y)(x

− y)

x

3

− y

3

= (x

− y)(x

2

+ xy + y

2

)

上記の公式に、

_{y = 1}

を代入すれば、

x

2

− 1 = (x + 1)(x − 1)

x

3

− 1 = (x − 1)(x

2

+ x + 1)

となる。ここから

x

の指数を上げ、

x

4

− 1, x

5

− 1, x

6

− 1

などの

x

n

− 1

where n

∈ Z, n ≥ 2

の形をした因数分解へと興味が向くことは至って自然な

ことである。実は、この因数分解には整数論での理論が

密接に関係している。本論文では、この

x

n

− 1

の因数分

解において、

n

の値に依存する性質を探求することを目

的とする。具体的には、主として

•

因数の係数

•

因数の個数

についてである。

なお、本研究にあたって、白柳研究室の先輩方が類似

した内容の研究を行っていなかったため、外部の論文

_[7]

や様々な専門書

_{[1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9]}

を参考にした。

2

x

n

− 1

の因数分解と予想

本論文の主題である

x

n

− 1

where n

∈ N, n ≥ 2

の因数分解を考える。

2

以上

10

以下の整数

n

に対して、

係数の範囲を整数に限定して因数分解を行うと次のよう

な結果が得られる。

x

2

− 1 = (x + 1)(x − 1)

x

3

− 1 = (x − 1)(x

2

+ x + 1)

x

4

− 1 = (x + 1)(x − 1)(x

2

+ 1)

x

5

− 1 = (x − 1)(x

4

+ x

3

+ x

2

+ x + 1)

x

6

− 1 = (x + 1)(x − 1)(x

2

+ x + 1)(x

2

− x + 1)

x

7

− 1 = (x − 1)

(

x

6

+ x

5

+ x

4

+ x

3

+ x

2

+ x + 1

)

x

8

− 1 = (x − 1) (x + 1)

(

x

2

+ 1

) (

x

4

+ 1

)

x

9

− 1 = (x − 1)

(

x

2

+ x + 1

) (

x

6

+ x

3

+ 1

)

x

10

− 1 = (x − 1) (x + 1)

(

x

4

+ x

3

+ x

2

+ x + 1

) (

x

4

− x

3

+ x

2

− x + 1

)

以上の結果に対して、因数の個数をまとめると次の表

1

のようになる。

表

_{1. x}

n

_{− 1}

_{の因数分解における因数の個数}

x

n

− 1

因数の個数

x

2

− 1

2

x

3

− 1

2

x

4

− 1

3

x

5

− 1

2

x

6

− 1

4

x

7

− 1

2

x

8

− 1

4

x

9

− 1

3

x

10

− 1

4

以上の結果より、筆者は次の予想を立てた。

予想

_1.

 

_x

n

− 1

_{は必ず因数}

_x

− 1

_を持つ

予想

_2.

 係数は

₁

または

−1

または

₀

である

予想

_3.

 

_x

n

− 1

_{がもつ因数の個数は、}

_n

_{から求める}

ことができる

以下では、この

3

つの予想について検証することに

する。

3

予想に対する証明と反例

まず初めに、予想

1

が真であることを証明し、次に予

想

2

が偽であることを反例を用いて示す。

命題

1

予想

1

は真である。

証明 

2

以上の整数

n

に対して、

f

n

(x)

def

= x

n

− 1

とする。ここで、剰余の定理より、多項式

_{P (x)}

を

_x

− a

で割ったときの余りは

_{P (a)}

である。割り切れるときは、

余りは

_{P (a) = 0}

である。

逆に、

P (a) = 0

のとき、

P (x)

を

x

− a

で割ったときの商

を

S(x)

とすれば、

P (x) = (x

− a)S(x) + P (a) = (x − a)S(x)

よって、

P (x)

は

x

− a

で割り切れる。

従って、次が成り立つ。

多項式

_{P (x)}

が

_x

− a

で割り切れる

⇔ P (a) = 0 (∗)

(

∗)

は因数定理に他ならない。

∀n ∈ Z (n ≥ 2), f

n

(1) = 1

n

− 1 = 0

であるから、

(

∗)

より、

P (x)

は

x

− 1

で割り切れる。

∴ x

n

− 1

_は因数

_x

− 1

_を持つ。

故に、予想

₁

は真である。

□

命題

₂

予想

₂

は偽である。

反例 先ほどと同様に、自然数

_n

に対して、

f

_n

(x)

def

= x

n

− 1

とする。

_{n = 105}

に対して、因数分解を考える。手計算

では大変なので、数式処理ソフト

_Maple

の関数を使うと、

因数分解の結果は次の通りである。

factor(x

105

− 1) //factor

は因数分解をする関数

(x

− 1)

(

x

6

+ x

5

+ x

4

+ x

3

+ x

2

+ x + 1

) (

x

4

+ x

3

+ x

2

+ x + 1

)

(

1

− x + x

5

− x

6

+ x

7

− x

8

+ x

10

− x

11

+ x

12

− x

13

+ x

14

− x

16

+x

17

− x

18

+ x

19

− x

23

+ x

24

) (

x

2

+ x + 1

) (

1

− x + x

3

− x

4

+x

6

− x

8

+ x

9

− x

11

+ x

12

) (

1

− x + x

3

− x

4

+ x

5

− x

7

+ x

8

)

(

1 + x + x

2

− x

6

− x

5

−2 x

7

− x

24

+ x

12

− x

8

+ x

13

+ x

14

+ x

16

+x

17

+ x

15

+ x

48

− x

20

− x

22

− x

26

− x

28

+ x

31

+ x

32

+ x

33

+ x

34

+x

35

+ x

36

− x

39

− x

40

−2 x

41

− x

42

− x

43

+ x

46

+ x

47

− x

9

)

以上の結果からわかるように、

f

105

(x)

の因数中の係数に

−2

が現れている。よって、

1

または

−1

または

0

以外の

係数が存在するため、予想

2

は偽である。

□

さて、予想

₂

は偽であったが、ここで新たな疑問が生

まれる。すなわち、このような例外は果たして

−2

のみ

なのであろうか。この疑問は次の計算機実験より、誤り

であることがわかる。

factor(x

4807

− 1)

この結果を本論文の付録に記載する。膨大にして煩雑

な因数分解だが、結果は非常に興味深いものである。こ

れから係数として

−3

が現れていることがわかる。

以上のことからわかるように、一回一回因数分解をし

て例外的な係数の有無を確かめるのが大変であることは

明らかである。それでは、係数について与えられた

_n

か

ら何か言えることはないだろうか。そのことについては、

5

章で述べる。また、予想

3

については、

4

章の最後で述

べる。

4

理論の準備

この章では、

x

n

− 1

の因数分解について考察するため

の数学的準備として、

1

の原始

n

乗根と円周等分多項式

の理論について説明する。なお、本章における記述は、そ

のほとんどが文献

[3]

からの引用である。

定義

₁

_n

乗して

₁

になり、

_(n

− 1)

乗以下では

₁

にな

らない複素数を

₁

の原始

_n

乗根という。

定義

₂

複素数体における１の原始

_n

乗根すべてを解

とする複素数係数多項式を

_n

についての円周等分多項

式という。これを

Φ

n

(x)

と記す。すなわち、

Φ

n

(x) =

∏

ζは 1 の原始 n 乗根

(x

− ζ)

例 

_{n = 2, 4}

に対しては

Φ

2

(x) = x + 1, Φ

4

(x) = x

2

+ 1

であり、奇素数

p

に対しては

Φ

_p

(x) =

x

p

− 1

x

− 1

= x

p−1

_{+ x}

p−2

_{+ ... + x + 1}

である。

一般の

_n

については、以下が成り立つ。

命題

₃

Φ

n

(x) =

∏

d|n

(x

d

− 1)

µ(n/d)

ただし、

_µ

は

N

から

{−1, 0, 1}

への関数（メビウス

関数と呼ばれる）で、

µ(n) =























1

n = 1

のとき

0

n

が平方因子をもつとき

(

−1)

k

n

が

k

個の相異なる素因数

に分解されるとき

[

証明

]

x

n

− 1 =

∏

ζn=1

(x

− ζ)

において右辺の積を

ζ

の位数（つまり何乗すると初めて

1

になるか）でまとめると、

x

n

− 1 =

∏

d|n

Φ

_d

(x)

(1)

となる。この式は、任意の自然数

n

について成立する

ので、

f (m) = x

m

− 1, g(m) = Φ

m

(x)

として、以下のメビウスの反転公式の乗法型

₍

★

₎

を適用

すれば求める式を得る。

★ メビウスの反転公式（乗法型）

1

からある

n

までの自然数に対して定義された関数

f (x), g(x)

があって、

n

の任意の約数

m

に対して

f (m) =

∏

d|m

g(d)

となっているならば、

_n

の任意の約数

_m

に対して

g(m) =

∏

d|m

f (d)

µ(m/d)

が成立する。

□

以下では

_Φ

_n

_(x)

は

Z

係数の既約な多項式であることを

示す。

命題

₄

_Φ

_n

_(x)

は

Z

係数多項式である。

[

証明

]

 命題

3

から、

Φ

n

(x) =

f (x)

g(x)

 

where f (x), g(x)

∈ Z[x]

と書ける。右辺は分母、分子の共通因子をすでに取り除

いてあったものとする。分子、分母は最初はともにモニッ

クであるから共通因子を取り除いたあともモニックであ

る。ここで、仮に

_{deg g(x)}

≥ 1

であったとすると、左辺に

は分母がないのだから複素数係数で考えると、

_{f (x), g(x)}

には共通因子があることになる。すると共通解の最小多

項式で両者は割り切れてしまう。これは矛盾である。し

たがって、

deg g(x) = 0

、つまり

g(x) = 1

であって、

Φ

n

(x) = f (x)

∈ Z[x]

である。

□

命題

5

Φ

n

(x)

は

Z[x]

で既約である。

[

証明

]

 

ζ

を

1

の原始

n

乗根の一つとし、以下固定し

て考える。

f (x)

∈ Z[x]

を

ζ

の

Q

上の最小多項式とし、

g(x)

∈ Z[x]

を

f (x)g(x) = x

n

− 1

(1)

で定義する。ここで

_{f (x), g(x)}

は、

Z

係数のモニックな

多項式であることを注意しておく。両辺を微分すれば、

f

′

(x)g(x) + f (x)g

′

(x) = nx

n−1

(2)

である。

p

を

n

を割り切らない任意の素数とし、

(1)

に

ζ

p

を代入すると

f

(ζ

p

)g(ζ

p

) = 0

で あ る 。以 下 で は

f (ζ

p

) = 0

を 示 し た い 。そ れ に は

g(ζ

p

)

̸= 0

を示せばよい。

(2)

に

ζ

p

を代入して、

f

′

(ζ

p

)g(ζ

p

) + f (ζ

p

)g

′

(ζ

p

) = nζ

p(n−1)

を得る。ここで一般論から

f (x)

p

= f (x

p

) + p h(x) for some h(x)

∈ Z[x]

と書ける。これに

_ζ

を代入すれば

0 = f (ζ

p

) + p h(ζ)

となる。これを上の微分の式に代入すれば

f

′

(ζ

p

)g(ζ

p

)

− p h(ζ)g

′

(ζ

p

) = nζ

p(n−1)

となる。ここで、仮に

g(ζ

p

) = 0

であったとすると、

−p h(ζ)g

′

(ζ

p

) = nζ

p(n−1)

となる。両辺に

_ζ

p

_{を掛けてから移項してまとめると}

p ζ

p

h(ζ)g

′

(ζ

p

) + n = 0

となる。ここで

f (x)

は

Z

係数のモニックな多項式であ

るから、剰余の定理より、

∃q(x), ∃r(x) ∈ Z[x] s.t. x

p

_h(x)g

′

_(x

p

_{) = q(x)f (x) + r(x)}

ここに、

_{deg r(x) < deg f (x)}

である。これに

ζ

を代入すれば、

ζ

p

h(ζ)g

′

(ζ

p

) = r(ζ)

となる。よって、

p r(ζ) + n = 0

である。

_{f (x)}

の次数の最小性から、

_{p r(x) + n}

は多項式

として

0

でなければならない。したがって、

r(x) =

−n/p

であるが

p

は

n

を割り切らないから、

r(x)

が

Z

係数で

あることに反する。よって、

g(ζ

p

)

̸= 0

となり

f (ζ

p

) = 0

である。次に、

q

を

n

を割り切らない素数（

= p

でも可）

として、これまでの議論を

_ζ

と

_q

に対してまったく同じ

に進めることができる。よって、

_{f (ζ}

pq

_{) = 0}

_{である。こ}

れを繰り返せば

_n

と互いに素なすべての

_m

について、

f (ζ

m

) = 0

となることがわかる。つまり、

f (x)

は

1

の

すべての原始

n

乗根を解にもつ。よって、

f (x) = Φ

_n

(x)

でなって、

Φ

_n

(x)

が既約であることが証明された。

□

以上、命題

3

、

4

、

5

を定理にまとめると次のように

なる。

定理

1

任 意 の 自 然 数

n

に 対 し て 円 周 等 分 多 項 式

Φ

n

(x)

は、

Z

係数の既約多項式であって次の式で計

算できる。

Φ

n

(x) =

∏

d|n

(x

d

− 1)

µ(n/d)

ここで、予想

₃

について解答を与えることができる。

命題

₃

の証明の中の等式

₍₁₎

と、各因数（円周等分多項

式）が

Z

係数の既約多項式であることから、等式

₍₁₎

がま

さに

x

n

− 1

の整数範囲における因数分解を与えている。

よって、

x

n

− 1

の因数の個数は、

n

の約数の個数に等し

いことがわかる。特に

n

が素数のときは、因数の個数は

2

となる。従って、予想

3

は真である。

次の章でいよいよ本論文の最大の主題である、因数の

係数、すなわち、円周等分多項式の係数について重要な

定理を述べる。

5

円周等分多項式の係数について

驚くべきことに、実は円周等分多項式（以下、円分多

項式と略す）の係数は、任意の整数になり得る。言い換

えれば、任意の整数は、ある円分多項式のある係数とし

て現れる。それを定理として記述する。

定理

₂

（

_{Suzuki [7]}

）

任意の

_s

∈ Z

に対し、ある自然

数

n

が存在して

s

は

Φ

_n

(x)

のある係数である。

その証明には次の補題がポイントとなる。

補題

_t

≥ 3

なる任意の整数

_t

に対し、

_p

₁

_{+ p}

₂

_{> p}

_t

な

る素数の列

_p

₁

_{< p}

₂

_<

· · · < p

_t

が存在する。

[

補題の証明

]

t

≥ 3

を固定する。仮にどの素数列

p

1

< p

2

<

· · · < p

t

に対しても、

p

1

+ p

2

≤ p

t

が成り立つとせよ。すると、

2p

1

< p

t

となり、任意の自然数

k

に対し、

2

k−1

と

2

k

の間

に

t

個未満しか素数が存在することができない。

これより、

_π(2

k

_{) < kt}

_{を得る。ここに、}

_π(s)

_は

_s

_以下

の素数の個数である。ところが、チェビシェフの定理

₍

例

えば

[1]

）より、

π(x) >

cx

ln x

が成り立つ。ここに

c

は正の

定数である。よって、

c2

k

ln 2

k

< kt

、すなわち

c2

k

_{< k}

2

_{t ln 2}

となる。しかし、十分大きな

k

に対し、この不等式は成

り立たなくなる。

□

[

定理

2

の証明

]

t

≥ 3

を奇数とせよ。

p

1

+ p

2

> p

t

となるような素数列

p

1

< p

2

<

· · · < p

t

をとれ。

p = p

t

、

n = p

1

· · · p

t

とおく。

定理

₁

より、

Φ

n

(x) =

∏

d|n

(x

d

− 1)

µ(n/d)

t

は奇数だから、メビウス関数の定義により、

Φ

n

(x) =

(x

p1

− 1) · · · (x

pi

− 1)

x

− 1

·

∏

(x

pipjpk

− 1)

∏

(x

pipj

− 1)

· · · ·

となる。この等式を

_{mod x}

p+1

_{で考える。}

_(p

i

− 1)(p

j

−

1)

≥ 2

より、

p

_i

p

_j

≥ p

_i

+ p

_j

+ 1 > p

_t

+ 1 = p + 1

だから、

x

pipj

≡ 0 (mod x

p+1

_{), x}

pipjpk

≡ 0 (mod x

p+1

), . . . .

よって、

Φ

n

(x)

≡ ±

(1

− x

p1

₎

· · · (1 − x

pi

₎

1

− x

(mod x

p+1

₎

となる。

_Φ

_n

_{(0) = 1}

より、

₊

のサインを選ぶことがで

きる。

p

i

+ p

j

≥ p

1

+ p

2

> p

より、

(1

− x

pi

₎

· · · (1 − x

pi

₎

≡ (1 − x

p1

− · · · − x

pi

₎

_{(mod x}

p+1

₎

また、

(1

− x)

−1

≡ (1 + x + · · · + x

p

)

(mod x

p+1

)

であるから、

Φ

n

(x)

≡ (1+x+· · ·+x

p

)(1

−x

p1

−· · ·−x

pi

)

(mod x

p+1

)

単項式

x

pi

、

_x

pi+1

、

_{. . .}

、

_x

pi+p

のうち、

_x

p

_{= x}

pt

はすべ

ての

_i

に対して現れるのに対し、

_x

p−1

_と

_x

p−2

_は

_t

_以外の

すべての

_i

に対して現れる。従って、

_Φ

_n

における

_x

p

_の

係数は

−t + 1

であり、

_x

p−2

_{の係数は、}

−(t − 1) + 1 = −t + 2

となる。

t

が

3

より始まってすべての奇数の上を動く

とき、

−t + 1

と

−t + 2

はすべての負の整数の上を動く。

次にすべての正の整数が円分多項式の係数になり得る

ことをいう。そのために、

_p

₁

≥ 3

、

_p

₁

_{+ p}

₂

_{> p}

_t

のとき、

Φ

2p1···p_t

を考えよ。すると、

n = p

1

· · · p

t

は奇数だから、

Φ

2n

(x) = Φ

n

(

−x)

*1

よって、

_x

p

_と

_x

p−2

_{の係数は、}

_Φ

2n

と

Φ

n

とで、符号だ

けが異なり、それぞれ

t

− 1

、

t

− 2

となる。従って証明さ

れた。

□

6

例外的係数の生成

6.1

アルゴリズム

5

章で述べた定理

2

の証明を利用して、

x

n

− 1

を因数

分解した結果中に

0,

−1

または

1

以外の係数（これを例外

的係数と呼ぼう）が現れるような

n

を生成するアルゴリ

ズムを考えた。以下に、そのアルゴリズムを述べる。

Input:

素数列の個数

(

奇数）

Output: x

n

− 1

を因数分解した結果中に

0,

−1

または

1

以外の係数が現れるような

n

---function

 

MAKE_EXCEPTIONAL_NUMBER(t)

Primes

←

Array(1..t)

//

要素数

t

の配列

flag

←

false

while(flag

が

false

と等しい

)

*1

一般に

n

が

3

以上の奇数のとき、この等式が成り立つ。

証明は例えば

_[5]

を参照されたい。

c

←乱数

for(i

を

1

から

t

まで

1

ずつ増やす

)

Primes[i]

←

c

番目の素数

c

←

c +

乱数

endfor

if(Primes[1]+Primes[2] > Primes[t])

flag

←

true

endif

endwhile

d

←

ARRAY_MULTI(Primes)

//

係数情報を表示

print(

係数に

-t+1

が現れます。

)

return(d)

endfunction

function

 

ARRAY_MULTI(A)

n

←配列の要素数

num

←

A[1]

for(i

を

2

から

n

まで

1

ずつ増やす

)

num

←

num * A[i]

endfor

return(num)

endfunction

以上のアルゴリズムを数式処理ソフト

_Maple

上で実装

し、例外的係数を生成する

_n

を計算した。それを次の節

に記す。

6.2

実験

この節では、本論文の主要な定理の有効性について実

験した結果を中心に述べる。実験には、前節で述べたア

ルゴリズムを数式処理ソフト

Maple

で実装したプログラ

ムを使った。以下に、実験結果を示す。

◦

実験結果

1

>MAKE_EXCEPTIONAL_NUMBER(3)

//

素数列の個数は

3

円分多項式

_x

429

− 1

_{の因数中に係数}

−2

_{が現れます。}

n = 429

に対して、

p

1

= 3 < p

2

= 11 < p

3

= 13

という奇

素数の列をとれば、

p

1

+ p

2

= 14 > 13 = p

3

かつ

n = p

1

p

2

p

3

よって、定理の仮定を満たすため、

x

429

− 1

の因数中に係

数

−3 + 1 = −2

が現れるはずである。実際、因数分解を

してみると、次の結果を得た。

factor(x

429

− 1)

(x− 1)(1 + x12 + x11+ x10+ x9 + x8+ x7+ x6+ x5+ x4+ x3+ x2+ x) ( 1 + x10+ x9 + x8+ x7+ x6+ x5+ x4 + x3+ x2+ x)( 1− x − x12+ x11+ x22− x14+ x13− x38+ x57+ x76− x95− x23+ x46− x69+ x24+ x39− x47 −x58_{+ x}61_{− x}62_{+ x}65_{+ x}70 _{− x}80_{+ x}81 _{− x}84_{+ x}85 _{− x}93_{+ x}96_{+ x}107_{− x}108 −x119_{+ x}33_{+ x}44_{+ x}55_{+ x}35_{− x}34_{− x}45_{− x}49_{+ x}50_{+ x}52_{− x}53_{− x}56_{− x}60 +x63 − x64− x67+ x68− x71+ x72+ x74 − x75− x82+ x83− x86+ x87+ x94 −x97 _{+ x}98_{− x}106_{+ x}109_{+ x}120_{− x}25_{+ x}26_{− x}27_{+ x}48_{− x}51_{− x}73_{− x}40 +x59 − x36+ x37 )(1 + x2 + x)( 1− x + x3− x4+ x6− x7+ x9− x10+ x12 −x14_{+ x}15_{− x}17_{+ x}18_{− x}20_{+ x}21_{− x}23_{+ x}24 _{) ( 1− x + x}3_{− x}4_{+ x}6_{− x}7 +x9 − x10+ x11 − x13+ x14 − x16+ x17 − x19+ x20 ) ( 1− x124− x128+ x136 −x147_{− x}157_{+ x}214_{+ x}216_{− x}229_{+ x}239_{+ x}134_{+ x}140_{+ x}144_{− x}151_{− x}153 −2 x155_{− x}159_{− x}163_{+ x}166 _{+ x}167_{+ x + x}172_{− x}54_{− x}195_{+ x}199_{+ x}201 +x205 + x207− x226+ x174+ x182− x186− x189− x193− x12− x11+ x2 − x14 −2 x13_{+ x}57 _{−2 x}46_{+ x}24_{+ x}39_{− x}47_{+ x}58_{+ x}65_{− x}81_{− x}84 _{−2 x}85_{− x}93 +x96+ x107+ x33− x44+ x35+ x34− x45− x50 −2 x52− x53+ x63+ x64 +x67 + x68+ x72+ x74 − x83− x86− x87 + x97+ x98+ x106− x120+ x25+ x26 −x48_{− x}51_{+ x}73_{+ x}40_{+ x}59_{− x}15_{− x}114_{+ x}133_{− x}190_{+ x}138_{− x}161_{+ x}66 −x77_{− x}89 _{+ x}99_{+ x}100_{+ x}103_{+ x}104_{− x}112_{− x}116_{− x}118_{− x}122_{− x}126_{− x}130 +x135+ x137+ x139+ x141+ x142− x149− x154− x156+ x168+ x173+ x175 +x177 + x181+ x183− x187 −2 x188− x192 −2 x194− x196+ x200+ x206+ x215 −x225 _{−2 x}227_{− x}228_{+ x}238_{+ x}240_{− x}110_{+ x}143_{+ x}176_{+ x}41_{− x}79 _{− x}91 +x101+ x102+ x105 )

以上の結果から、確かに係数として

−2

が現われている

ことがわかり、定理の有効性を確認できた。

◦

実験結果

₂

>MAKE_EXCEPTIONAL_NUMBER(5)

//

素数列の個数は

5

円分多項式

x

1062347

− 1

の因数中に係数

−4

が現れ

ます。

n = 1062347

に対して、

p

1

= 11 < p

2

= 13 < p

3

= 17 <

p

4

= 19 < p

5

= 23

という奇素数の列をとれば、

p

1

+ p

2

= 24 > 23 = p

5

かつ

n = p

1

p

2

p

3

p

4

p

5

よって、定理の仮定を満たすため、

_x

1062347

− 1

_の因数中

に係数

−5 + 1 = −4

が現れるはずである。実際、因数分

解をしてみると、結果の表示は省略するが確かに係数と

して

−4

が現れていた。定理の有効性を確認できた。

以上の実験結果より、定理の有効性を確認することが

出来た。

3

章で述べた

x

4807

− 1

について、

n = 4807

に対

して、

p

1

= 11 < p

2

= 19 < p

3

= 23

という奇素数の列を

とれば、

p

1

+ p

2

= 30 > 23 = p

3

かつ

n = p

1

p

2

p

3

よって、定理の仮定を満たすため、

x

4807

− 1

の因数中に

係数

−3 + 1 = −2

が現れる。実際、確かに係数として

−2

が現れていた。ところが、係数

−3

も現れていた。これ

は定理によって出現が保証された係数ではないというこ

ともわかった。

7

まとめと今後の課題

x

n

− 1

の因数分解について研究した。まず、必ず

x

− 1

を含むことを証明し、次に因数の係数は

0,

−1

または

1

以

外にもなり得ることを例で示した。また、因数の個数は、

1

の原始

n

乗根と円周等分多項式の理論を使って、

n

の

約数の個数に等しいことを証明した。因数の係数につい

ては更に深く研究し、任意の整数が因数の係数になり得

るという鈴木の定理を証明し、その証明を利用して

_0,

−1

または

₁

以外の係数

₍

例外的係数）を生成する

_n

を求め

るアルゴリズムを考案した。それを実装し、実際にその

ような

n

をいくつか計算した。

感想として、代数学の理論は、紙と鉛筆と、コンピュー

タ

(

数式処理ソフト

)

を行き来して、初めて明らかになる

泥臭いものだということを実感できた。また、単純な疑

問、例えば今回で言う

x

n

− 1

について、奥が深いもので

あるということを強く感じ取ることができた。

さて、鈴木の定理の証明では、素数列の個数

_t

が奇数

であるという仮定を置いていた。しかし、

_t

が偶数でも例

外的係数を生成することがある。実際、

_p

₁

_{= 11 < p}

₂

₌

13 < p

3

= 19 < p

4

= 23

という奇素数の列をとれば、

p

₁

+ p

₂

= 24 > 23 = p

₄

であり、

n = p

₁

p

₂

p

₃

p

₄

= 62491

に

対して因数分解すると係数として

−4+1 = −3

が現れる。

従って、今後の課題として、今回研究した理論をより

深く理解した上で、

1. t

が

4

以上の偶数のときでも、鈴木の方法によって

n

は必ず例外的係数を生成するかどうかを確かめる

こと

2.

例外的係数を生成する

n

の中で、鈴木の方法では求め

られないものはどれくらいあるのかを検証すること

3.

ある一定の範囲内で、例外的係数を生成する

n

を昇

順にもれなく列挙すること

が挙げられる。

8

謝辞

本研究を進めるにあたり、ご指導を頂いた卒業論文指

導教員の白柳 潔教授に感謝致します。また、普段興味深

い講義をして下さる東邦大学教授の皆様、日常の議論を

通じて多くの知識や示唆を頂いた白柳研究室の永嶋 裕樹

先輩、同期の皆様に感謝致します。

参考文献

[1] H. Davenport,

Multiplicative Number Thoery,

Markham Publ. Co., Chicago, 1967.

[2]

桂 利行

,

 『代数学

I

群と環』

,

 東京大学出版会

,

 

2004.

[3]

木田 祐司

,

 『初等整数論』

,

 朝倉書店

,

 

2001.

[4]

三宅 敏恒

,

 『入門代数学』

,

 培風館

,

 

1999.

[5] V.V. Prasolov, Polynomials, Springer, 2004.

[6] D.J.S. Robinson, An Introduction to Abstract

Alge-bra,

 

Walter de Gruyter, 2003.

[7] J. Suzuki, On Coefficients of Cyclotomic

Polynomi-als, Proc. Japan Acad., 63, Ser. A 279-280 1987.

[8]

山本 芳彦

,

 『数論入門

1

』

,

 岩波書店

,

 

1996.

[9]

雪江 明彦

,

 『代数学

2

環と体とガロア理論』

,

 日

9

付録

: x

4807

− 1

の因数分解

factor(x

4807

− 1)

(x

− 1)

(

1 + x

22

+ x

21

+ x

20

+ x

19

+ x

18

+ x

17

+ x

16

+ x

15

+ x

14

+x

13

+ x

12

+ x

11

+ x

10

+ x

9

+ x

8

+ x

7

+ x

6

+ x

5

+ x

4

+ x

3

+x

2

+ x

) (

1 + x

18

+ x

17

+ x

16

+ x

15

+ x

14

+ x

13

+ x

12

+ x

11

+x

10

+ x

9

+ x

8

+ x

7

+ x

6

+ x

5

+ x

4

+ x

3

+ x

2

+ x

)

(1

− x

+x

396

− x

395

+ x

377

− x

376

+ x

373

− x

372

+ x

358

− x

357

+ x

354

−x

353

+ x

350

− x

349

+ x

339

− x

338

+ x

335

− x

334

+ x

331

− x

330

+x

327

− x

326

+ x

320

− x

319

+ x

316

− x

315

+ x

312

− x

311

+ x

308

−x

307

+ x

304

− x

303

+ x

301

− x

300

+ x

297

− x

296

+ x

293

− x

292

+x

289

− x

288

+ x

285

− x

284

+ x

282

− x

280

+ x

278

− x

277

+ x

274

−x

273

_{+ x}

270

_{− x}

269

_{+ x}

266

_{− x}

265

_{+ x}

263

_{− x}

261

_{+ x}

259

_{− x}

257

+x

255

− x

254

+ x

251

− x

250

+ x

247

− x

246

+ x

244

− x

242

+ x

240

−x

238

+ x

236

− x

234

+ x

232

− x

231

+ x

228

− x

227

+ x

225

− x

223

+x

221

− x

219

+ x

217

− x

215

+ x

213

− x

211

+ x

209

− x

208

+ x

206

−x

204

+ x

202

− x

200

+ x

198

− x

196

+ x

194

− x

192

+ x

190

− x

188

+x

187

− x

185

+ x

183

− x

181

+ x

179

− x

177

+ x

175

− x

173

+ x

171

−x

169

+ x

168

− x

165

+ x

164

− x

162

+ x

160

− x

158

+ x

156

− x

154

+x

152

− x

150

+ x

149

− x

146

+ x

145

− x

142

+ x

141

− x

139

+ x

137

−x

135

_{+ x}

133

_{− x}

131

_{+ x}

130

_{− x}

127

_{+ x}

126

_{− x}

123

_{+ x}

122

_{− x}

119

+x

118

− x

116

+ x

114

− x

112

+ x

111

− x

108

+ x

107

− x

104

+ x

103

−x

100

+ x

99

− x

96

+ x

95

− x

93

+ x

92

− x

89

+ x

88

− x

85

+ x

84

−x

81

+ x

80

− x

77

+ x

76

− x

70

+ x

69

− x

66

+ x

65

− x

62

+ x

61

−x

58

+ x

57

− x

47

+ x

46

− x

43

+ x

42

− x

39

+ x

38

− x

24

+ x

23

−x

20

_{+ x}

19

₎

(

_{1 + x}

10

_{+ x}

9

_{+ x}

8

_{+ x}

7

_{+ x}

6

_{+ x}

5

_{+ x}

4

_{+ x}

3

_{+ x}

2

+x)

(

1

− x + x

220

− x

219

+ x

209

− x

208

+ x

198

− x

196

+ x

187

−x

185

+ x

176

− x

173

+ x

165

− x

162

+ x

154

− x

150

+ x

143

− x

139

+x

132

− x

127

+ x

121

− x

116

+ x

110

− x

104

+ x

99

− x

93

+ x

88

−x

81

+ x

77

− x

70

+ x

66

− x

58

+ x

55

− x

47

+ x

44

− x

35

+ x

33

−x

24

_{+ x}

22

_{− x}

12

_{+ x}

11

₎

(

₁

_{− x + x}

180

_{− x}

179

_{+ x}

169

_{− x}

168

+x

161

− x

160

+ x

158

− x

157

+ x

150

− x

149

+ x

147

− x

146

+ x

142

−x

141

+ x

139

− x

138

+ x

136

− x

135

+ x

131

− x

130

+ x

128

− x

127

+x

125

− x

124

+ x

123

− x

122

+ x

120

− x

119

+ x

117

− x

116

+ x

114

−x

113

+ x

112

− x

111

+ x

109

− x

108

+ x

106

− x

105

+ x

104

− x

102

+x

101

− x

100

+ x

98

− x

97

+ x

95

− x

94

+ x

93

− x

91

+ x

90

−x

89

_{+ x}

87

_{− x}

86

_{+ x}

85

_{− x}

83

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