De ρ a r t m e n t  0 1  M a t h e m a t i c s ，  F a c u l t y  0 1  S c i e n c e ，  K a n a z a w a  U n i v e r s 的 U .  E .   R S c i e n c e s  M a t h e m a t 勾 u e s ， U n i v e r s i t e  d e  N a n c y   1 

屋 久

S c i .   R e p .  Kanazawa U n i v . ，  Vo l .   2 6 ，  N o .  2 ，  p p .  2 7 ‑ s Q   D e c e m b e r  1 9 8 1  

On  Quadratic and Quartic Characters of Quadratic Units  Y  oshiomi Furuta and Pierre Kaplan 

De ρ a r t m e n t  0 1  M a t h e m a t i c s ，  F a c u l t y  0 1  S c i e n c e ，  K a n a z a w a  U n i v e r s 的 U .  E .   R S c i e n c e s  M a t h e m a t 勾 u e s ， U n i v e r s i t e  d e  N a n c y   1 

( R e c e i v e d   O c t o b e r  2 7 ，  1 9 8 1 )  

A b s t r a c t .   P r i m e  d e c o m p o s i t i o n  c r i t e r i a   i n   n o n ‑ a b e l i a n  n o r m a l  e x t e n s i o n s   L  o f   d e g r e e  8  a r e  s t u d i e d ，  w h e r e   L  i s   o b t a i n e d  b y  a d j o i n i n g  a  s q u a r e ，  r o o t  o r  a  q u a r t i c  r o o t  o f   t h e  f u n d a m e n t a l  u n i t  o f  a  q u a d r a t i c  f i e l d  a c c o r d i n g  a s  t h e  n o r m  o f  t h 巴 u n i ti s   e q u a l  t o ‑ 1   o r   1 .  

~1. I n t r o d u c t i o n  

L e t  m be a  p o s i t i v e  s q u a r e  f r e e  r a t i o n a l  i n t e g e r .   I n  t h i s  p a p e r  we g i v e  an e x p r e s s i o n   t o  t h e   2

( n  =  1  o r  2 )   r e s i d u e  symbol o f  t h e  fundamental u n i t  

o f  t h e  q u a d r a t i c  f i e l d  k  =  Q  ( . / i T I ) ，   r e l a t i v e  t o  c e r t a i n  primes q .  

I f   t h e  norm o f ε

i s   ‑1 we c o n s i d e r  t h e  q u a d r a t i c  c h a r a c t e r  o f 臼・ Thisc a s e  h a s  been  a l r e a d y  s t u d i e d ，  f o r   example i n   [ 1  J ，  [ 4  J  .  I f   t h e  norm o f  

i s   +  1  we c o n s i d e r  i t s   b i q u a d r a t i c  c h a r a c t e r .   This c a s e  has been s t u d i e d  i n   [ 5 J   ，  [ 6 ] ，  and l a t e r  i n   [ 3 J   s o  a s   t o  i n c l u d e  a l s o  t h e  c a s e  where t h e  norm o f 臼 i s‑1. Here we  a p p l y  t h e  methods and r e s u l t s   o f   [ 2 J 削 hec o n s t r u c t i o n  o f   [ 3 J   ;  t h i s  w i l l  g i v e  f 伽

町 … r 削 a i nq  a 釘 … r

by c e r t a i n  prime d e c o m p o s i t i o n  symbols d e f i n e d  i 加 n [ 2 勾 J. 

We  s e t  η=R+s ; m ，   where ( R ，  S )  i s   t h e  minimum p o s i t i v e  s o l u t i o n  o f   ( 1 .   1 )   R2̲mS2= 1 .  

By  [ 3 ，  Lemma 1 J   t h e r e  e x i s t s  a  u n i q u e  d e c o m p o s i t i o n  m=de ，  d ，  e>O ，  a  u n i q u e  p a i r  o f   p o s i t i v e  i n t e g e r s  V ，  W and a  u n i q u e  number t=l o r  2  s u c h  t h a t  t=1 i f   _m~l (mod  4 ) ，  ( t ，  d )  

ヰ ( 1 ， 1 )   and t h a t  

( 1   . 2 )   t=dV2̲e W2 ， η 二

， where 

( 1 .   3 )  

I f   N ( ε m)=  ‑1 ， ε=ε J z   o r   ε m  and  i f   N ( ε m )   = 十 1 ， S2 ニ ε~ o r   ε m  a c c o r d i n g   a s   t h e  

2 7 ー

2 8   Y  o s h i o m i  F u r u t a  a n d  P i e r r e  K a p l a n  

d i o p h a n t i n e   e q u a t i o n  r 2 ‑ms 2 =4 h a s  o r  h a s  n o t  odd s o l u t i o n s  ( r ，  s ) .  

The p r i m e  d e c o m p o s i t i o n  symbol we w i l l  c o n s i d e r  i s   [ d t ，  ‑ e t ，  q ]   ，  a s  d e f i n e d  i n   [ 2 ，  D e f i n i t i o n   1 .   1  and D e f i n i t i o n  5 .   2 ]   . 

L e t  m=Pl P 2 … P r  t h e  d e c o m p o s i t i o n  o f  m i n  a  p r o d u c t  o f  p r i m e  n u m b e r s .  We  c o n s i d e r   odd p r i m e s  q  s u c h  t h a t  

1 ，  It ，  I P  

( 1 .   4 )   (一一)=(~) q  ' q "   = ( 一 : : ; q  ' )=1  ( i = l ，  " ' ，   r )   Then εcar 山 i r 伽 附 e 吋 d 出 a r 山

w

附耐 e l l 仙 叫 刷 叩 a 山 l t 刷 t)w 袖 h 児 e e 悦 r 閃 eq 杓 i sa  p r i m e   i d e a l   ( ば O ぱ fd 拘 e 昭 g ^悶 1 )d i 討 V 巾 附 i s s s

叩 ub 凶 f 臼 i 凶 e e 副 l l d 0 ぱ fQ 似 (r 工 工 ， . ， r τ ，;P了，… ， . f 日.

~2. C a l c u l a t i o n  o f   [ d t ，  ‑et ，  q ]  

We  a p p l y  [ 2 ，  Theorem 5 .   1 ]   w i t h   d

^二 d tand d2 ^二 e t .As t 2 =dtV 2 ‑etW 2 _，  t h e  number  m o f   [ 2 ，  Theorem 5 .   1 ]   i s   e q u a l  t o   1 .   A l s o  t h e  number d  o f   [ 2 ，  Theorem 5 .   1 ]   i s   e q u a l   t o  o u r  number  t .   Thus we o b t a i n  : 

PROPOSITION.  L e t   q  b e  a ρ r i m e  number s a t i s f y i n g   ( 1 .   4 ) ，  and c o n g r u e n t  t o   1  m o d u l o  8  i f   t  i s   e v e n  o r   i f   m  i s   e v e n  and  d  o r   ‑ e 三 1(mod 4 ) .   Then 

d t ， 

‑et  [ d t ，  ‑ e t ，  q ]  = ( ー τ ⁾⁼⁽ ‑ ‑ i ^{ー ) ，}

ωh e r e   b ，  X ，  Y  i s   any s o l u t i o n  o f  t h e  f o l l o w i n g  d i o ρ h a n t i n e  e q u a t i o n  s u c h  t h a t   ( b ，  x ，  y)=l  and  ( b ，  2m) =1: 

a )   qb 2 =X2 十 XY+‑‑z‑Y2 m+1  b )   qb 2 =X 2 +mY2 

c )   qb 2 =X2+4mY2  d )   qb 2 =X2+16mY2 

e )   qb 2 =(b 十 8X+4Y)2+16mY2

~3. Determina 

ifm 三 一 l(mod4 ) ，  d 三 一 e 三 1(mod 4 ) ，  t=l; 

ずm 手 1(mod 4 ) ，  d  o r   ‑e 三 1(mod 8 ) ，  t=l ;  (σm=:  ‑l(mod 山 一e 二 刊 od4 ) 目

σ mj  ‑1 (mod 4 ) ，  d  o r   ‑e 三 5(mod 8 ) ;   ず m 三 2(mod 4 ) ，  d  o r   ‑e 三 1(mod 4 ) ;   ず m 三 一 l(mod4 ) ，  t = 2 .  

As i n   [ 3 ]   we s e t  d ' ^二 d t ， e ' = e t ， μ=t‑WI ご e ^， li=t+W; ご e ' ， v=2t+2V; 司 r‑

v=2t‑2V./ 百 . ， and d e f i n e  t h e  f o l l o w i n g  f i e l d s  : 

( 3 .   1 )   k=Q  ( . f τ 百 ) ， K=Q  ( . ; c r ，   . ， r 二百)， L=K  ( . / ! i ) .  

Then ，  a s  μ 戸 = V2 d ' ，  L  i s   a  d i h e d r a l  e x t e n s i o n  o f  Q whose s u b f i e l d   s t r u c t u r e  i s   a s  

On Q u a d r a t i c  a n d   Qu a r t i c  C h a r a c t e r s  o f  Q u a d r a t i c  U n i t s   2 9  

f o l l o w s :  

¥ /  

¥σ

ー 一

︑ Q

¥ Q /

7 ν

¥  

/ 川

¥

¥

As ( d ' ，  e ' ) = l  o r  2  and a s  vand μare prime t o  one a n o t h e r  up t o  a  s q u a r e  f a c t o r  i n  K ，  t h e  o n l y  i d e a l s  which can r a m i f y  i n  L/k l i e  above 2 .   T h e r e f o r e  t h e  c o n d u c t o r   f  o f  L/k i s   a  power o f  2 .  

Let S  be t h e  ray  c 1 a s s  f i e l d  modulo  f  above k ，  and l e t 立 andK* r e s p e c t i v e l y  t h e  c e n t r a l   c 1 a s s  f i e l d  and t h e  g e n u s  f i e l d  above K r e l a t i v e  t o  S / Q .  

Then LcS ，  and ，  a s  Gal(L/K) b e l o n g s  t o  t h e  c e n t e r  o f  G a l ( L / Q ) ，  Lc 食. As L/Q i s  non  a b e l i a n ，  L a ; K へ s ot h a t   [ 食 :K 勺=2

Let q  be a  r a t i o n a l  prime c o n g r u e n t  t o  1  modulo 4  and decomposed i n  K* i n  i d e a l s  o f   t h e  f i r s t  d e g r e e .  From  [ 2 J   we have 

K/K* 

( 3 .   2 )   [ d ' ，  ‑ e ' ，  q J   =(一一可ー)

L/K  ， ， u ， ， v 

=(一一一一一)=(~)ニ(ー)， N K * / K q   'q'  'q 

/食¥，

K ¥ K / L  

特

where  q  and q  a r e  prime i d e a l  f a c t o r  o f  q  i n  K* and K r e s p e c t i v e l y .   According t o   [ 2 ，  Theorem 4 .   3 J   ， t h e  f i e l d  K* i s   g i v e n  a s   ( 3 . 3 )   K* ニ同 Q ( { r T ) ，  

where ko  i s  t h e  o r d i n a r y  genus f i e l d  o f   k ，  and f  i s   a  p o s i t i v e  r a t i o n a l  i n t e g e r ，  which can  be ca 1 c u l a t e d  from t h e  c o n d u c t o r   f  o f  t h e  e x t e n s i o n  L/ k .  As f  and  f  have t h e  same prime  f a c t o r s ，  f  i s   a  power o f  2 .   T h e r e f o r e  t h e  p r i m e s  q=  1  (mod 4 )   c o m p l e t e l y  decomposed i n   K* a r e  t h e  p r i m e s  s a t i s f y i n g  ( 2 .   1 )   and ，  i n   t h e  c a s e  where f>4 

( 3 .   4 )   q 三 1(mod f ) .  

From t h e  v a l u e  o f   f  g i v e n  i n   [ 3 J   ， we d e d u c e  t h e  v a l u e  o f  f .   Both o f  them a r e  l i s t e d  i n  t h e  

f o l l o w i n g  t a b l e  : 

3 0   Yoshiomi F u r u t a  and P i e r r e  Kaplan 

Tab!e  1 

j 1 1 .   t

d ， e  f 

1  o r  2  1  o r  4  m 三 1(mod 4 )  

E

三 (mod4 )   ^』 8 

t=2  1 6   1 6  

t=} ，  d 三 宮 三 一 1(mod 4 )   1 6   1 6   m 三 ‑1(mod 4 )   l=l ，  d " " 一 巳 三 (mod4 ) ，  W ood  8  8 

t ニ 1 ， d 三 一 巴 三 (mod4 ) ，  Vl e v e n   1  o r  4  1  0γ4  d 三 2 ， ‑e 三 1(mod 4 )   4  8  d 三‑1， e 三 2 (mod 4 )   4  8  m 三 (mod4 )   d 三 2

4 ) ，  ‑e 三 1( 1 1 1 む 仁 1 8 ) 1  o r  2  1  0 1 "   4 

d 三1. {mod8 ) ，  e 三 2(mod 4 )   1γ2  1  o r  4 

l ¥ J  OW ，  2 )   a I 吋:3) obtain  5 ) ε ν = t   ‑ 1 ‑ J ノ

and  that f 二上 5 ift=2 ，  v v e   sεe  that  we hov 日

TEEOREIvL  L e t   m  b e   a 匂

的 b r i n ' i e

L e t ε b e

~) and  4 )   w h e r e   f  i s   ち ) ⁱ _¥  ム _q 

i  ‑et ヲ q J' 

T a b l e  L  T f 切符

m t i o 仰 J and  q  a 

COROLLAR ¥ T   t h e   c o n d i t i o n s   0 1 "   t h e   7 )  

M ノ n e r e 0 I S  

/ ε 、〆 dt

¥  q  j 

的 t h e

] = l i > e J e r : e n c e s  

日 1 二 P ， P 2 ， ・ ' p γ i t s n u r r l b e r  

t h e η 

[ 1 ]   " 1 .   F u r u t a ，  Norm o r  u n i t s  o f  quad : r a t i c  f i e l d s ，  1 .   Math ，  Soc  ]a pan ，  n  ^{( 1 9 5 9 )} ，  1 3 9 ‑ 1 4 5  

[ 2 J   prime d e c o m p o s i t i o n  symbol f o r  a  n o n ‑ a b e ! i a n  c e n t r a l 己主 t 巴 n s i o nv v h i c h  i 8   a b e 1 i an o v e r   a  b i c y c l i c  b i q u a d r a t i c  f i e i d ，  Nagoya 江 a 十 J " 7 9  ( 1 9 8 0 ) ，  7 9 ‑ 1 0 9 .  

[ 3 J   F ，  I ‑ I a l t e r ‑ K o c h ，  P .  Kaplan and  K  S ，  ' N i l l i a m s ，  An A r t i n  c h a r a c t e r  and 1 で p r e s e n t a t i o n so f  I J r i n l e S  by  b i n a r y  q u a d r a t i c  f or m s  I I   ( t o   a p p e a r )  

[  吋 4 JP ， 叩 p 計 1 m η 1and  K  S ，  ， γ l J ¥ V γ 山 i 註 凶 山 1 I 凶 1 日 i a r 口 n ， S 弘 ん A L し nAr 此 吋 t i ncha 釦 古 恥 t e 釘 ι an 町 吋 仁 1r ε 町 4 印 P 戸 ε r 臼 S 己 n 凶 t ぷ a a t i o 凶 O ぱ fp r 川 n 閃号白 sby b J . T l 乱 む r yquad 企

t 封 t 討 i 比

forms ，  l V I a n u s c r i p t a  Math"  ( 1 9 8 1 ) ，  3 3 9 ‑ 3 5 6 .  

[ 5 J     ， E Lehmer ，  On t h e  q u a r t i c  c h a r a c t 色 ro f  q  u a d r a t i c  t l n 1 t s ヲ J ， r e i n e  und angew ，  r V ! a t h "   2 6 8 / 2 ( 3 9  ( 1 9 ' 1 4 ) ，  2 9 4  

‑ 3 0 1 .  

[ 6 J   P ，  A ，   Leonard a n d  K ，  S .   V V l l l i a m s ，  Th 巴 q . u a r t i cc h a r a c t e r s  o f  c e r t a i n  q u a d r a t i c  u n i t s ，  l  Number 

Theory 1 2  ( 1 9 8 0 ) ，  1 0 6 ‑ 1 0 9