素粒子物理学特論

素粒子物理学特論

期末レポート問題

=c= 1とする。

相互作用のない複素スカラー場のラグランジアンは L=∂^µΦ^†∂_µΦ−m²Φ^†Φ

である。

場Φを

Φ(x, t) =

d³k

(2π)³(2ω_k)

a(k)e^{ik·x−iωkt}+b^†(k)e^{−ik·x+iωkt}

のように展開する。ただしここでω_k=√

k²+m²である。

ここで演算子a(k)，b(k)とそのエルミート共役は交換関係

[a(k), a^†(k)] =δ³(k−k), [b(k), b^†(k)] =δ³(k−k) (その他の交換子はゼロ) を満たすものとする。

1.上記の交換関係から，Φ(x, t)とその共役運動量Π(x, t)の同時刻正準交換関係 [Φ(x, t),Π(x, t)] =iδ³(x−x)

を導出せよ。

2.この系のハミルトニアンを，演算子a(k)，b(k)とそのエルミート共役を用い て表せ。注：H =

d³xH(Φ,Φ^†,Π,Π^†)

3.ラグランジアンは，無限小変換Φ→ Φ +δΦ，δΦ = iθΦ (θは実パラメータ) の下で不変である。ネーターの定理により保存する電荷(charge)を求め，そ れを演算子a(k)，b(k)とそのエルミート共役を用いて表せ。

以上